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Aula: O Teorema do Valor Médio e sua Interpretação

Nesta aula, nós vamos aprender como utilizar o teorema do valor médio.

Atividade • 4 Questões

Q1:

Considere a afirmação de que se 𝑓 é uma função diferenciável em um intervalo 𝐼 e 𝑓 ′ ( 𝑥 ) > 0 nesse intervalo, então 𝑓 é estritamente crescente em 𝐼 .

Qual das seguintes afirmações é equivalente a acima?

  • ASe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e não estritamente crescente nesse intervalo, então 𝑓 ′ ( 𝑎 ) ≤ 0 em algum ponto 𝑎 ∈ 𝐼 .
  • BSe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e estritamente crescente nesse intervalo, então 𝑓 ′ ( 𝑎 ) > 0 em algum ponto 𝑎 ∈ 𝐼 .
  • CSe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e não estritamente crescente nesse intervalo, então 𝑓 ′ ( 𝑥 ) ≤ 0 em todos os pontos 𝑥 ∈ 𝐼 .
  • DSe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e estritamente crescente nesse intervalo, então 𝑓 ′ ( 𝑥 ) > 0 em todos os pontos 𝑥 ∈ 𝐼 .
  • ESe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e 𝑓 ′ ( 𝑥 ) ≤ 0 nesse intervalo, então 𝑓 não é estritamente crescente em 𝐼 .

O que significa para uma função 𝑓 não ser estritamente crescente no intervalo 𝐼 ?

  • AHá pontos 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝐼 com 𝑎 < 𝑏 mas 𝑓 ( 𝑏 ) ≤ 𝑓 ( 𝑎 ) .
  • BSempre que 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝐼 satisfaz 𝑎 < 𝑏 , então 𝑓 ( 𝑏 ) ≤ 𝑓 ( 𝑎 ) .
  • CExiste um ponto 𝑎 ∈ 𝐼 onde 𝑓 ′ ( 𝑎 ) ≤ 0 .
  • DHá pontos 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝐼 com 𝑎 < 𝑏 mas 𝑓 ( 𝑏 ) = 𝑓 ( 𝑎 ) .
  • EHá pontos 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝐼 com 𝑎 < 𝑏 mas 𝑓 ( 𝑏 ) < 𝑓 ( 𝑎 ) .

Utilizando a afirmação equivalente para o resultado principal, como você pode utilizar o teorema do valor médio para provar a afirmação equivalente?

  • ASe 𝑓 é diferenciável em 𝐼 e não estritamente crescente, então tome 𝑎 < 𝑏 com 𝑓 ( 𝑎 ) ≥ 𝑓 ( 𝑏 ) . Pelo teorema do valor médio, obtemos 𝑐 entre 𝑎 e 𝑏 e onde 𝑓 ′ ( 𝑐 ) = 𝑓 ( 𝑏 ) − 𝑓 ( 𝑎 ) 𝑏 − 𝑎 , então 𝑓 ′ ( 𝑐 ) ≤ 0 .
  • BSe 𝑓 é diferenciável em 𝐼 e não estritamente crescente, então tome 𝑎 < 𝑏 com 𝑓 ( 𝑎 ) ≤ 𝑓 ( 𝑏 ) . Pelo teorema do valor médio, obtemos 𝑐 entre 𝑎 e 𝑏 onde 𝑓 ′ ( 𝑐 ) = 𝑓 ( 𝑏 ) − 𝑓 ( 𝑎 ) 𝑏 − 𝑎 , então 𝑓 ′ ( 𝑐 ) ≤ 0 .
  • CNão é possível provar a afirmação utilizando o teorema do valor médio.
  • DSe 𝑓 é diferenciável em 𝐼 e não estritamente crescente, então tome 𝑎 < 𝑏 com 𝑓 ( 𝑎 ) ≥ 𝑓 ( 𝑏 ) . Pelo teorema do valor médio, obtemos 𝑐 entre 𝑎 e 𝑏 onde 𝑓 ′ ( 𝑐 ) = 𝑓 ( 𝑏 ) − 𝑓 ( 𝑎 ) 𝑏 − 𝑎 , então 𝑓 ′ ( 𝑐 ) = 0 .
  • ESe 𝑓 é diferenciável em 𝐼 e não estritamente crescente, então tome 𝑎 < 𝑏 com 𝑓 ( 𝑎 ) ≥ 𝑓 ( 𝑏 ) . Pelo teorema do valor médio, obtemos 𝑐 entre 𝑎 e 𝑏 onde 𝑓 ′ ( 𝑐 ) = 𝑓 ( 𝑏 ) − 𝑓 ( 𝑎 ) 𝑏 − 𝑎 , então 𝑓 ′ ( 𝑐 ) 0 > .

Q2:

Leandro não está convencido de que o teorema do valor médio é verdadeiro porque, diz ele, a função 𝑓 ( 𝑥 ) = | 𝑥 | tem a propriedade que se tomarmos 𝑎 = − 2 e 𝑏 = 2 , nós temos 𝑓 ( 𝑏 ) − 𝑓 ( 𝑎 ) 𝑏 − 𝑎 = 0 , e ainda não há nenhum ponto 𝑥 onde 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 0 . Qual é o erro dele?

  • AA função não é diferenciável em 𝑥 = 0 . O teorema requer diferenciabilidade em um intervalo.
  • BA função não é contínua. O teorema requer continuidade em um intervalo.
  • CO teorema requer que o domínio seja um intervalo, que ℝ não é.
  • DA função deve ser estritamente crescente no intervalo.
  • EA função deve ser estritamente decrescente no intervalo.

Q3:

Considere o resultado: se 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e 𝑓 ( 𝑥 ) = 0 ′ , então 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑐 , uma constante, para todos 𝑥 ∈ 𝐼 .

Qual das seguintes afirmações diz exatamente a mesma coisa que o resultado da função constante?

  • Ase 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e não uma função constante, então 𝑓 ′ ( 𝑎 ) ≠ 0 em algum 𝑎 ∈ 𝐼 .
  • BSe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e 𝑓 ′ ( 𝑥 ) ≠ 0 em cada 𝑥 ∈ 𝐼 , então 𝑓 ( 𝑥 ) não é uma função constante.
  • CSe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e não uma função constante, então 𝑓 ′ ( 𝑥 ) ≠ 0 em todos 𝑥 ∈ 𝐼 .
  • DSe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e 𝑓 ′ ( 𝑎 ) ≠ 0 em algum 𝑎 ∈ 𝐼 , então 𝑓 ( 𝑥 ) não é uma função constante.
  • ESe 𝑓 é uma função constante em um intervalo 𝐼 , então 𝑓 é diferenciável e 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 0 em todos 𝑥 ∈ 𝐼 .

Se 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e não constante, nós temos pontos 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝐼 com 𝑓 ( 𝑎 ) ≠ 𝑓 ( 𝑏 ) . Como isso mostra que 𝑓 ′ ( 𝑐 ) ≠ 0 em algum ponto 𝑐 ∈ 𝐼 ?

  • Aporque então 𝑓 ( 𝑏 ) − 𝑓 ( 𝑎 ) 𝑏 − 𝑎 ≠ 0 e pelo teorema do valor médio, há um ponto 𝑐 com 𝑓 ′ ( 𝑐 ) = 𝑓 ( 𝑏 ) − 𝑓 ( 𝑎 ) 𝑏 − 𝑎
  • B porque então 𝑓 ( 𝑏 ) − 𝑓 ( 𝑎 ) 𝑏 − 𝑎 ≠ 0 e pelo teorema do valor médio, há um ponto 𝑐 com 𝑓 ( 𝑐 ) = 𝑓 ( 𝑏 ) − 𝑓 ( 𝑎 )
  • Cporque 𝑓 ( 𝑏 ) ≠ 𝑓 ( 𝑎 ) significa que um dos 𝑓 ′ ( 𝑎 ) ou 𝑓 ′ ( 𝑏 ) não é zero; nós podemos pegar 𝑐 como neste ponto
  • D porque se 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 0 em 𝐼 , então 𝑓 seria uma função constante
  • E porque apenas funções constantes tem 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 0 em toda parte

Q4:

A Maria não está convencida de que o teorema do valor médio seja verdadeiro porque, diz ela, a função é sem dúvida derivável em . Mas se considerarmos e , temos e, no entanto, não existe um ponto em que . Qual é o erro dela?

  • AO teorema requer que o domínio seja um intervalo, e não é.
  • BA função não é contínua e o teorema requer continuidade num intervalo.
  • CO teorema requer que a função seja derivável sempre, e não é.
  • DA função deve ser estritamente crescente no intervalo.
  • EA função deve ser estritamente decrescente no intervalo.
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