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Aula: Encontrando os Pontos de Interseção de Duas Funções

Nesta aula, nós vamos aprender como encontrar os pontos de interseção de duas funções, utilizando uma abordagem gráfica ou algébrica para resolver sistemas de equações onde um ou ambos são não-lineares.

Atividade • 16 Questões

Q1:

Encontre o conjunto de pontos de intersecção dos gráficos de 𝑦 = 3 𝑥 e 𝑥 + 𝑦 = 4 0 .

  • A { ( 2 , 6 ) , ( − 2 , − 6 ) }
  • B { ( 2 , − 6 ) , ( − 6 , 2 ) }
  • C { ( 4 , − 1 2 ) , ( − 1 2 , 4 ) }
  • D { ( 4 , 1 2 ) , ( − 4 , − 1 2 ) }

Q2:

Responda às seguintes questões.

Determine a equação da reta que passa pelos pontos (2, 0) e (1, 2).

  • A 𝑦 = − 2 𝑥 + 4
  • B 𝑦 = 𝑥 + 1
  • C 𝑦 = 2 𝑥 − 4
  • D 𝑦 = − 𝑥 + 2
  • E 𝑦 = − 2 𝑥 − 4

Determine a equação da reta que passa pelos pontos ( − 1 , 0 ) e ( 0 , − 2 ) .

  • A 𝑦 = − 2 𝑥 − 2
  • B 𝑦 = − 2 𝑥 + 4
  • C 𝑦 = 2 𝑥 + 2
  • D 𝑦 = 2 𝑥 − 4
  • E 𝑦 = − 2 𝑥 − 4

Então, as duas retas intersetam-se? Se sim, indique o ponto de interseção.

  • ANão, não se intersetam.
  • BSim, intersetam-se em (2, 0).
  • CSim, intersetam-se em (1, 2).
  • DSim, intersetam-se em ( − 1 , 0 ) .
  • ESim, intersetam-se em ( 0 , − 2 ) .

Q3:

Responda às seguintes questões.

Determine a equação que passa pelos pontos ( − 2 , − 1 ) e ( 0 , 3 ) .

  • A 𝑦 = 2 𝑥 + 3
  • B 𝑦 = 4 𝑥 + 7
  • C 𝑦 = − 2 𝑥 + 3
  • D 𝑦 = 𝑥 + 3
  • E 𝑦 = 𝑥 + 1

Determine a equação da reta que passa pelos pontos ( − 2 , 4 ) e ( − 1 , 1 ) .

  • A 𝑦 = − 3 𝑥 − 2
  • B 𝑦 = 3 𝑥 + 4
  • C 𝑦 = 3 𝑥 + 2
  • D 𝑦 = − 3 𝑥 − 4
  • E 𝑦 = − 3 𝑥 + 2

Então, as duas retas intersetam-se? Se sim, indique o ponto de interseção.

  • ASim, intersetam-se em ( − 1 , 1 ) .
  • BNão, não se intersetam.
  • CSim, intersetam-se em ( − 2 , 4 ) .
  • DSim, intersetam-se em ( − 2 , − 1 ) .
  • ESim, intersetam-se em ( 0 , 3 ) .

Q4:

Responda às seguintes questões.

Determine a equação da reta que passa pelos pontos ( 3 , 1 ) e ( 5 , 3 ) .

  • A 𝑦 = 𝑥 − 2
  • B 𝑦 = 2 𝑥 − 2
  • C 𝑦 = 2 𝑥 − 8
  • D 𝑦 = − 𝑥 + 2
  • E 𝑦 = 2 𝑥 − 4

Determine a equação da reta que passa pelos pontos ( 2 , 4 ) e ( 3 , 3 ) .

  • A 𝑦 = − 𝑥 + 6
  • B 𝑦 = − 𝑥 + 3
  • C 𝑦 = − 𝑥 + 2
  • D 𝑦 = 𝑥 + 6
  • E 𝑦 = 𝑥 + 2

Então, as duas retas intersetam-se? Se sim, indique o ponto de interseção.

  • ASim, intersetam-se em ( 4 , 2 ) .
  • BSim, intersetam-se em ( 2 , 4 ) .
  • CSim, intersetam-se em ( 3 , 5 ) .
  • DSim, intersetam-se em ( 5 , 3 ) .
  • ENão, não se intersetam.

Q5:

A figura apresentada mostra os gráficos das funções 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 − 2 e 𝑔 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 ) l n . Quais são os pontos em que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑔 ( 𝑥 ) ?

  • A ( 1 , 0 ) , ( 0 , 2 0 3 , − 1 , 5 9 4 )
  • B ( 0 , − 1 ) , ( 0 , 2 0 3 , − 1 , 5 9 4 )
  • C ( 0 , 1 ) , ( 0 , 2 0 3 , − 1 , 5 4 9 )
  • D ( 0 , 1 ) , ( − 1 , 5 9 4 , 0 , 2 0 3 )
  • E ( 1 , 0 ) , ( − 1 , 5 9 4 , 0 , 2 0 3 )

Q6:

A figura apresentada mostra os gráficos das funções 𝑓 ( 𝑥 ) = 6 e 𝑔 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 − 3 𝑥 . Quais são os pontos em que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑔 ( 𝑥 ) ?

  • A ( − 1 , 6 ) , ( 2 , 6 )
  • B ( 6 , − 1 ) , ( 6 , 2 )
  • C ( 0 , 1 ) , ( 0 , 6 )
  • D ( 6 , 1 ) , ( 6 , − 2 )
  • E ( 1 , 6 ) , ( − 2 , 6 )

Q7:

A figura apresentada mostra os gráficos das funções 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 − 3 e 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 4 𝑥 − 5 . Quais são os pontos em que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑔 ( 𝑥 ) ?

  • A ( 1 , 0 ) , ( − 2 , − 9 )
  • B ( 1 , 1 ) , ( − 9 , − 2 )
  • C ( 1 , 0 ) , ( − 8 , − 2 7 )
  • D ( 0 , 1 ) , ( − 9 , − 2 )
  • E ( 1 , 1 ) , ( − 2 , − 9 )

Q8:

A figura dada mostra as representações gráficas das funções 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 − 2 e 𝑔 ( 𝑥 ) = − 2 𝑥 + 4 . Qual é o ponto em que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑔 ( 𝑥 ) ?

  • A ( 1 , 2 )
  • B ( 2 , 1 )
  • C ( 3 , − 2 )
  • D ( − 2 , 3 )
  • E ( 1 , − 2 )

Q9:

A figura apresentada mostra os gráficos das funções 𝑓 ( 𝑥 ) = 5 𝑥 − 4 e 𝑔 ( 𝑥 ) = − 𝑥 + 8 . Qual é o ponto em que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑔 ( 𝑥 ) ?

  • A ( 2 , 6 )
  • B ( 5 , 3 )
  • C ( 3 , 5 )
  • D ( 6 , 2 )
  • E ( 1 , 1 )

Q10:

A figura mostra o gráfico de 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 7 5 𝑥 5 0 em conjunto com três retas da forma 𝑦 = 𝑘 − 𝑥 .

Resolvendo a equação 𝑓 ( 𝑥 ) = − 𝑥 , determine as coordenadas dos pontos 𝐴 e 𝐵 .

  • A ( − 5 , 5 ) , ( 5 , − 5 )
  • B ( − 5 , 5 ) , ( 5 , 5 )
  • C ( 0 , 0 ) , ( 5 , 5 )
  • D ( − 5 , − 5 ) , ( 5 , 5 )
  • E ( − 5 , 5 ) , ( 0 , 0 )

Note que a partir de 𝑓 ( 2 ) = − 7 1 2 5 , sabemos que a reta 𝑦 = 2 − 7 1 2 5 − 𝑥 se interseta com 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ) no ponto 2 , − 7 1 2 5 , tal que ( 𝑥 − 2 ) é um fator do polinómio do terceiro grau 𝑓 ( 𝑥 ) − 2 − 7 1 2 5 − 𝑥 . Determine as coordenadas em 𝑥 dos outros dois pontos de interseção.

  • A − √ 2 2 − 1 , √ 2 2 − 1
  • B − √ 2 2 , √ 2 2
  • C − √ 2 2 + 1 , √ 2 2 − 1
  • D − √ 2 2 − 1 , − √ 2 2 + 1
  • E − √ 2 2 + 1 , √ 2 2 + 1

Simplifique a expressão que indica que a taxa média de variação de 𝑓 de 𝑥 = 𝑐 a 𝑥 = 𝑑 é − 1 , e é uma equação do segundo grau em 𝑑 com coeficientes que envolvem 𝑐 .

  • A 𝑑 + 𝑐 𝑑 + 𝑐 − 2 5 = 0
  • B 4 𝑑 + 2 𝑐 𝑑 + 𝑐 − 2 5 = 0
  • C 4 𝑑 + 2 𝑐 𝑑 + 𝑐 − 2 5 = 0
  • D 𝑑 − 𝑐 𝑑 + 𝑐 − 2 5 = 0
  • E 𝑑 + 𝑐 𝑑 + 𝑐 = 0

A coordenada em 𝑥 , 𝑐 , do ponto 𝐶 é tal que existe um único 𝑑 para o qual a taxa média de variação de 𝑓 é − 1 . Determinando o discriminante da expressão quadrática, calcule 𝑐 e 𝑑 .

  • A 𝑐 = 1 0 √ 3 3 , 𝑑 = − 5 √ 3 3
  • B 𝑐 = √ 3 , 𝑑 = − √ 3 2
  • C 𝑐 = 1 0 √ 3 , 𝑑 = − 5 √ 3
  • D 𝑐 = 1 0 √ 3 3 , 𝑑 = 5 √ 3 3
  • E 𝑐 = − 1 0 √ 3 , 𝑑 = 5 √ 3

Para que valores de 𝑐 não há pontos 𝑑 tais que a taxa média de variação de 𝑓 de 𝑥 = 𝑐 a 𝑥 = 𝑑 é − 1 ?

  • A 𝑐 > 1 0 √ 3 3 ou 𝑐 < − 1 0 √ 3 3
  • B 𝑐 > 1 0 √ 3 ou 𝑐 < − 1 0 √ 3
  • C 𝑐 > √ 3 3 ou 𝑐 < − √ 3 3
  • D 𝑐 < √ 3 3 ou 𝑐 > − √ 3 3
  • E 𝑐 < 1 0 √ 3 3 ou 𝑐 > − 1 0 √ 3 3

Q11:

Encontre todos os valores de 𝑥 onde 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑡 ( 𝑥 ) , dado 𝑓 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 + 3 4 ) 2 e 𝑡 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 3 4 .

  • A 𝑥 = − 3 3 ou 𝑥 = − 3 4
  • B 𝑥 = − 3 3 ou 𝑥 = 3 5
  • C 𝑥 = − 3 4 ou 𝑥 = 3 3
  • D 𝑥 = − 3 4 ou 𝑥 = 3 5
  • E 𝑥 = − 3 3 ou 𝑥 = 3 3

Q12:

Determina todos os valores possíveis de 𝑥 que satisfazem 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 9 𝑥 + 2 e 𝑓 ( 𝑥 ) = − 1 6 sendo 𝑥 ∈ ℤ .

  • A − 3 ou − 6
  • B3 ou 6
  • C − 6
  • D − 3

Q13:

Os gráficos de 𝑓 e 𝑓 intersectam no ponto ( 𝑘 , 2 ) , onde 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 e 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 − 𝑥 . Encontre o conjunto de valores possíveis de 𝑘 .

  • A { 1 }
  • B { − 1 }
  • C { − 2 }
  • D { 2 }

Q14:

A figura dada mostra as representações gráficas de funções 𝑓 ( 𝑥 ) = | 2 𝑥 | − 5 e 𝑔 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 ) l n . Quais são os pontos em que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑔 ( 𝑥 ) ?

  • A ( 0 , 0 0 7 , − 4 , 9 8 6 ) , ( 3 , 0 5 9 , 1 , 1 1 8 )
  • B ( − 0 , 0 0 7 , − 4 , 9 8 6 ) , ( 3 , 0 5 9 , 1 , 1 1 8 )
  • C ( 0 , 0 0 7 , − 4 , 9 8 6 ) , ( 1 , 1 1 8 , 3 , 0 5 9 )
  • D ( − 4 , 9 8 6 , 0 , 0 0 7 ) , ( 3 , 0 5 9 , 1 , 1 1 8 )
  • E ( − 4 , 9 8 6 , 0 , 0 0 7 ) , ( 1 , 1 1 8 , 3 , 0 5 9 )

Q15:

Encontre o 𝑥 interceptado da função 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 − 1 5 𝑥 − 4 2 .

  • A − 2 e 7
  • B2 e 7
  • C2 e − 7
  • D − 2 e − 7

Q16:

Encontre o conjunto de pontos de intersecção dos gráficos de 𝑥 = 𝑦 e 𝑥 + 𝑦 = 3 2 .

  • A { ( 4 , 4 ) , ( − 4 , − 4 ) }
  • B { ( 4 , − 4 ) , ( − 4 , 4 ) }
  • C { ( 1 6 , − 1 6 ) , ( − 1 6 , 1 6 ) }
  • D { ( 1 6 , 1 6 ) , ( − 1 6 , − 1 6 ) }
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