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Aula: Concavidade e Pontos de Inflexão

Nesta aula, nós vamos aprender como determinar a concavidade das funções, bem como seus pontos de inflexão.

Atividade • 19 Questões

Q1:

Determine os intervalos em que a função 𝑓 ( 𝑥 ) = − 3 𝑥 + √ 9 𝑥 + 1 é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para cima em ( − ∞ , ∞ ) .
  • BA função é côncava para baixo em ( − 9 , ∞ ) .
  • CA função é côncava para baixo em ( − ∞ , ∞ ) .
  • DA função é côncava para baixo em ( 0 , ∞ ) .
  • EA função é côncava para cima em ( − 9 , ∞ ) .

Q2:

Determinar os intervalos em que a função 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 3 2 𝑥 + 1 2 2 é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para baixo em − ∞ , − √ 6 6 e √ 6 6 , ∞ e côncava para cima em − √ 6 6 , √ 6 6 .
  • BA função é côncava para baixo em − √ 6 6 , √ 6 6 e √ 6 6 , ∞ e côncava para cima em − ∞ , − √ 6 6 .
  • CA função é côncava para baixo em − √ 6 6 , √ 6 6 e côncava para cima em − ∞ , − √ 6 6 e √ 6 6 , ∞ .
  • DA função é côncava para baixo em √ 6 6 , ∞ e côncava para cima em − ∞ , − √ 6 6 e − √ 6 6 , √ 6 6 .
  • EA função é côncava para baixo em − ∞ , − √ 6 6 e − √ 6 6 , √ 6 6 e côncava para cima em √ 6 6 , ∞ .

Q3:

Encontre os pontos de inflexão de 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 1 4 𝑥 + 1 2 2 .

  • AOs pontos de inflexão são √ 3 6 , − 1 1 1 6 e − √ 3 6 , − 1 1 1 6 .
  • BOs pontos de inflexão são √ 3 2 , − 1 1 6 e − √ 3 2 , − 1 1 6 .
  • COs pontos de inflexão são 1 2 , − 3 8 e − 1 2 , − 3 8 .
  • DO ponto de inflexão é − 4 , 3 1 3 .
  • EO ponto de inflexão é 1 4 , − 3 4 .

Q4:

Encontre (se houver) os pontos de inflexão de 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑒 − 2 𝑒 + 5 𝑥 𝑥 .

  • ANão há pontos de inflexão.
  • BO ponto de inflexão é 1 5 , √ 𝑒 2 √ 𝑒 + 5 5 5 .
  • CO ponto de inflexão é 0 , 1 3 .
  • DO ponto de inflexão é 1 5 , √ 𝑒 − 2 √ 𝑒 + 5 5 5 .
  • EO ponto de inflexão é 0 , 1 7 .

Q5:

Para 0 < 𝑥 < 2 𝜋 , determine os intervalos em que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 2 𝑥 c o s s e n 2 tem concavidade para cima ou para baixo.

  • A 𝑓 tem concavidade para cima no intervalo 𝜋 6 , 5 𝜋 6 e tem concavidade para baixo nos intervalos 0 , 𝜋 6 e 5 𝜋 6 , 2 𝜋 .
  • B 𝑓 tem concavidade para cima no intervalo ( 𝜋 , 2 𝜋 ) e concavidade para baixo no intervalo ( 0 , 𝜋 ) .
  • C 𝑓 tem concavidades para cima nos intervalos 0 , 𝜋 6 e 5 𝜋 6 , 2 𝜋 e concavidade para baixo no intervalo 𝜋 6 , 5 𝜋 6 .
  • D 𝑓 tem concavidade para cima nos intervalos 0 , 𝜋 2 e 3 𝜋 2 , 2 𝜋 e concavidade para baixo no intervalo 𝜋 6 , 5 𝜋 6 .
  • E 𝑓 tem concavidade para cima no intervalo 𝜋 6 , 5 𝜋 6 e concavidade para baixo nos intervalos 0 , 𝜋 2 e 3 𝜋 2 , 2 𝜋 .

Q6:

Determinar os intervalos em que 𝑓 ( 𝑥 ) = − 4 𝑥 + ( 𝑥 + 3 ) − 4 5 é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para baixo no intervalo ( − ∞ , − 3 ) e para cima no intervalo ( − 3 , ∞ ) .
  • BA função é côncava para baixo no intervalo ( − ∞ , 3 ) e para cima no intervalo ( 3 , ∞ ) .
  • CA função é côncava para baixo no intervalo ( − 3 , ∞ ) e para cima no intervalo ( − ∞ , − 3 ) .
  • DA função é côncava para baixo no intervalo ( − 4 , ∞ ) e para cima no intervalo ( − ∞ , 1 ) .
  • EA função é côncava para baixo no intervalo ( − ∞ , 1 ) e para cima no intervalo ( − 4 , ∞ ) .

Q7:

Determinar os intervalos em que a função 𝑓 ( 𝑥 ) = − 4 𝑥 + 𝑥 5 3 é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para cima em − ∞ , − √ 3 0 2 0 e 0 , √ 3 0 2 0 e côncava para baixo em − √ 3 0 2 0 , 0 e √ 3 0 2 0 , ∞ .
  • BA função é côncava para cima em − √ 3 0 2 0 , 0 e 0 , √ 3 0 2 0 e côncava para baixo em − ∞ , − √ 3 0 2 0 e √ 3 0 2 0 , ∞ .
  • CA função é côncava para cima em − √ 3 0 2 0 , 0 e √ 3 0 2 0 , ∞ e côncava para baixo em − ∞ , − √ 3 0 2 0 e 0 , √ 3 0 2 0 .
  • DA função é côncava para cima em 0 , √ 3 0 2 0 e √ 3 0 2 0 , ∞ e côncava para baixo em − ∞ , − √ 3 0 2 0 e − √ 3 0 2 0 , 0 .
  • EA função é côncava para cima em − ∞ , − √ 3 0 2 0 e − √ 3 0 2 0 , 0 e côncava para baixo em 0 , √ 3 0 2 0 e √ 3 0 2 0 , ∞ .

Q8:

Dado 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 + 4 𝑥 s e n c o s , em que 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 2 , determine os pontos de inflexão de 𝑓 .

  • A 𝑓 tem pontos de inflexão em 3 𝜋 1 6 , 0 e 7 𝜋 1 6 , 0 .
  • B 𝑓 tem pontos de inflexão em 𝜋 1 6 , 0 e 5 𝜋 1 6 , 0 .
  • C 𝑓 tem pontos de inflexão em 3 𝜋 1 6 , √ 2 e 7 𝜋 1 6 , − √ 2 .
  • D 𝑓 tem pontos de inflexão em 𝜋 1 6 , √ 2 e 5 𝜋 1 6 , − √ 2 .
  • E 𝑓 tem pontos de inflexão em 3 𝜋 1 6 , √ 2 e 7 𝜋 1 6 , √ 2 .

Q9:

Para 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝜋 , encontre todos os pontos de inflexão de 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 − 𝑥 s e n .

  • A ( 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 4 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 6 𝜋 )
  • B ( 𝜋 , 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 4 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 6 𝜋 )
  • C ( 𝜋 , 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 3 𝜋 )
  • D ( 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 4 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 3 𝜋 )
  • E ( 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 2 𝜋 , 2 𝜋 ) , ( 3 𝜋 , 6 𝜋 )

Q10:

Determine o ponto de inflexão da curva 𝑦 = 6 𝑥 ( 𝑥 + 1 ) .

  • A − 2 3 , − 4 9
  • Bnão tem pontos de inflexão
  • C 2 3 , 1 0 0 9
  • D − 3 2 , − 9 4
  • E − 1 3 , − 8 9

Q11:

Determine o ponto de inflexão da curva 𝑦 = 9 𝑥 ( 𝑥 − 1 ) .

  • A 2 3 , 2 3
  • Bnão tem pontos de inflexão
  • C − 2 3 , − 5 0 3
  • D 3 2 , 2 7 8
  • E 1 3 , 4 3

Q12:

Determine os intervalos em que a função 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 2 𝑥 l n é côncava para cima e para baixo.

  • AA função é côncava para cima em 𝑒 2 , ∞ e côncava para baixo em 0 , 𝑒 2 .
  • BA função é côncava para baixo em 0 , 1 2 √ 𝑒 e côncava para baixo em 1 2 √ 𝑒 , ∞ .
  • CA função é côncava para cima em 0 , 𝑒 2 e côncava para baixo em 𝑒 2 , ∞ .
  • DA função é côncava para cima em 1 2 √ 𝑒 , ∞ e côncava para baixo em 0 , 1 2 √ 𝑒 .
  • EA função é côncava para cima em 2 √ 𝑒 , ∞ e côncava para baixo em 0 , 2 √ 𝑒 .

Q13:

Uma boa definição da função 𝑓 sendo côncava em um intervalo 𝐽 = ( 𝑎 , 𝑏 ) é que 𝑓 ′ está aumentando no intervalo. Assim, a inclinação do gráfico aumenta à medida que 𝑥 aumenta.

Se 𝑓 ′ ′ existe no intervalo, que resultado provaria que 𝑓 é côncava para cima se 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) > 0 para 𝑥 em 𝐽 ?

  • Ao fato de que se a derivada de uma função é positiva em um intervalo, então a função está aumentando nesse intervalo
  • Bo fato de que se a derivada de uma função é zero, então a função atinge um máximo ou mínimo local
  • Co fato de que uma função tem a mesma taxa instantânea de mudança em algum ponto que sua taxa média de mudança ao longo do intervalo
  • Do fato de que se uma função é negativa em um ponto e positiva em outro, então deve ser zero entre esses pontos

Considere a função 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑥 4 . Seria 𝑔 ′ crescente no intervalo ( − 1 , 1 ) ?

  • Anão
  • Bsim

Com a função acima, nossa definição diz que a função 𝑔 é côncava para cima em ( − 1 , 1 ) . Seria 𝑔 ′ ′ ( 𝑥 ) > 0 nesse intervalo?

  • Asim
  • Bnão

É verdade que se 𝑓 é côncava em um intervalo, então 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) > 0 no intervalo? (Lembre-se da definição acima!)

  • Asim
  • Bnão

Q14:

Determine (se existirem) os pontos de inflexão de 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 2 𝑥 2 l n .

  • A 𝑓 tem um ponto de inflexão em 𝑒 2 , − 9 8 𝑒 − 3 3 2 .
  • B 𝑓 não tem pontos de inflexão.
  • C 𝑓 tem um ponto de inflexão em 𝑒 2 , 9 8 𝑒 − 3 3 2 .
  • D 𝑓 tem um ponto de inflexão em 1 2 √ 𝑒 , 3 8 𝑒 .
  • E 𝑓 tem um ponto de inflexão em 1 2 √ 𝑒 , − 3 8 𝑒 .

Q15:

Encontre o ponto de inflexão no gráfico de 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 9 𝑥 + 6 𝑥 3 2 .

  • A ( 3 ; − 3 6 )
  • Bsem ponto de inflexão
  • C ( 3 ; − 2 1 )
  • D ( 3 ; 0 )

Q16:

Encontre os intervalos nos quais o gráfico da função 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 3 𝑥 − 7 𝑥 é convexo para baixo e convexo para cima.

  • AO gráfico é convexo para cima sobre o intervalo ( − ∞ , 1 ) , e é convexo para baixo sobre o intervalo ( 1 , ∞ ) .
  • BO gráfico é convexo para baixo sobre o intervalo ( − ∞ , 1 ) , e é convexo para cima sobre o intervalo ( 1 , ∞ ) .
  • CO gráfico é convexo para baixo sobre o intervalo ( − ∞ , 1 ) , e é convexo para baixo sobre o intervalo ( 1 , ∞ ) .
  • DO gráfico é convexo para cima sobre o intervalo ( − ∞ , 1 ) , e é convexo para cima sobre o intervalo ( 1 , ∞ ) .

Q17:

Encontre os pontos de inflexão de 𝑓 ( 𝑥 ) = − 2 𝑥 + 5 𝑥 5 3 .

  • A √ 3 2 , 2 1 √ 3 1 6 , − √ 3 2 , − 2 1 √ 3 1 6 , ( 0 , 0 ) .
  • B 5 √ 6 6 , 4 7 5 3 6 , − 5 √ 6 6 , − 4 7 5 3 6 , ( 0 , − 3 ) .
  • C √ 3 2 , − 3 √ 3 3 2 , − √ 3 2 , 3 √ 3 3 2 .
  • D √ 3 2 , 4 5 8 , − √ 3 2 , − 4 5 8 .
  • E √ 3 2 , 4 5 8 , − √ 3 2 , − 4 5 8 , ( 0 , 3 ) .

Q18:

Determine, se existirem, os pontos de inflexão do gráfico de 𝑓 ( 𝑥 ) = 6 𝑥 − 7 𝑥 + 4 𝑥 < 1 , − 4 𝑥 + 7 𝑥 𝑥 ≥ 1 . f o r f o r

  • A ( 0 , 4 )
  • B A f u n ç ã o n ã o t e m p o n t o s d e i n fl e x ã o .
  • C ( 0 , 0 )
  • D ( 0 , − 7 )

Q19:

A curva 𝑦 = 𝑘 𝑥 + 𝑥 − 5 2 3 tem um ponto de inflexão em 𝑥 = 1 . Quanto é 𝑘 ?
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