Fiche d'activités de la leçon : Intégration par changement de variable : intégrales indéfinies Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser l'intégration par parties ou l'intégration partielle sur des intégrales indéfinies pour déterminer l'intégrale d'un produit de fonctions.

Q1:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 2𝑥𝑒𝑥d.

  • A4𝑥𝑥+1𝑒+C
  • B412𝑥𝑥+1𝑒+C
  • C212𝑥𝑥+1𝑒+C
  • D412𝑥𝑥1𝑒+C
  • E2𝑥𝑒+C

Q2:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 9𝑥+7𝑒𝑥d.

  • A95𝑥+4445𝑒+C
  • B95𝑥+4445𝑒+C
  • C9𝑥+4445𝑒+C
  • D95𝑥+2645𝑒+C
  • E15(9𝑥+7)𝑒+C

Q3:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par (3𝑥5)𝑥lnd.

  • A13(3𝑥5)[(3𝑥5)+1]+lnC
  • B13(3𝑥5)(3𝑥5)1+lnC
  • C13(3𝑥5)[(3𝑥5)1]+lnC
  • D13(3𝑥5)(3𝑥5)𝑥+lnC

Q4:

Détermine 28𝑥÷3𝑥𝑥lnd.

  • A43𝑥[8𝑥+2]+lnC
  • B23𝑥[8𝑥2]+lnC
  • C43𝑥8𝑥2+lnC
  • D43𝑥[8𝑥2]+lnC

Q5:

Supposons que (6𝑥7)9𝑥𝑥=𝑦𝑧𝑧𝑦lndd. À quoi correspond 𝑦𝑧? (Le signe d’intégration correspond au calcul d’une primitive.)

  • A𝑥2(3𝑥+14)+C
  • B𝑥(3𝑥+7)9𝑥ln
  • C(6𝑥7)9𝑥ln
  • D𝑥(3𝑥+7)

Q6:

Une courbe passe par le point de coordonnées 0;715, et la tangente en son point de coordonnées (𝑥;𝑦) a pour coefficient directeur 8𝑥2𝑥+1. Quelle est l’équation de la courbe?

  • A𝑦=815(2𝑥+1)(3𝑥1)+1
  • B𝑦=815(2𝑥+1)(3𝑥1)115
  • C𝑦=415(2𝑥+1)(8𝑥1)+1115
  • D𝑦=815(2𝑥+1)(3𝑥1)1615

Q7:

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝑦=𝑓(𝑥) en le point (𝑥,𝑦) est donné par 3𝑥𝑒(2𝑥+1). Détermine 𝑓(𝑥) si le point 1,5𝑒 se situe sur la courbe.

  • A𝑓(𝑥)=3𝑒4(2𝑥+1)+214𝑒
  • B𝑓(𝑥)=𝑒4(2𝑥+1)+1112𝑒
  • C𝑓(𝑥)=3𝑒4(2𝑥+1)+194𝑒
  • D𝑓(𝑥)=3𝑥𝑒4(2𝑥+1)+194𝑒

Q8:

Utilise l'intégration par parties pour évaluer 𝑥𝑥𝑥sind.

  • A𝑥𝑥𝑥+cossinC
  • B𝑥(𝑥𝑥)+sincosC
  • CsincosC𝑥+𝑥𝑥+
  • D𝑥𝑥𝑥+sincosC
  • EsincosC𝑥𝑥𝑥+

Q9:

Intègre 𝑥𝑥lnd par parties en introduisant 𝑢=𝑥ln et dd𝑣=𝑥.

  • AlnC𝑥𝑥+
  • B𝑥𝑥+1+lnC
  • C𝑥(𝑥+1)+lnC
  • D𝑥(𝑥1)+lnC
  • E𝑥𝑥1+lnC

Q10:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par (5𝑥12)𝑥𝑥sind.

  • A(5𝑥+12)𝑥5𝑥+cossinC
  • B(5𝑥12)𝑥5𝑥+cossinC
  • C(5𝑥12)𝑥+5𝑥+cossinC
  • D(5𝑥+12)𝑥+5𝑥+cossinC

Q11:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par (3𝑥+4)𝑒𝑥d.

  • A𝑒92𝑥+6𝑥+10+C
  • B𝑒92𝑥+3𝑥+1+C
  • C𝑒9𝑥+3𝑥+10+C
  • D𝑒9𝑥+6𝑥+10+C

Q12:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 2𝑒𝑥3(𝑥+1)𝑥d.

  • A2𝑒3(𝑥+1)+C
  • B2𝑒(2𝑥+1)3(𝑥+1)+C
  • C2𝑒(2𝑥+1)3(𝑥+1)+C
  • D2𝑒3(𝑥+1)+C

Q13:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 64𝑥𝑥lnd.

  • A6𝑥4𝑥5+lnC
  • B𝑥4𝑥5+lnC
  • C64𝑥5+lnC
  • D6𝑥4𝑥+5+lnC
  • E6𝑥4𝑥5+lnC

Q14:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 𝑥(5𝑥)𝑥lnd.

  • A14𝑥2(5𝑥)+25𝑥1+lnlnC
  • B12𝑥(5𝑥)+lnC
  • C12𝑥2(5𝑥)25𝑥+1+lnlnC
  • D14𝑥2(5𝑥)25𝑥+1+lnlnC
  • E14𝑥2(5𝑥)25𝑥+1+lnlnC

Q15:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 93𝑥𝑥𝑥lnd.

  • A925𝑥(53𝑥+1)+lnC
  • B925𝑥(3𝑥1)+lnC
  • C95𝑥3𝑥+lnC
  • D95𝑥(53𝑥1)+lnC
  • E925𝑥(53𝑥1)+lnC

Q16:

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝑦=𝑓(𝑥) en le point (𝑥,𝑦) est donné par 7𝑥𝑒(2𝑥+1). Détermine 𝑓(𝑥) si le point 1,8𝑒 se situe sur la courbe.

  • A𝑓(𝑥)=7𝑒4(2𝑥+1)+10312𝑒
  • B𝑓(𝑥)=𝑒4(2𝑥+1)+1112𝑒
  • C𝑓(𝑥)=7𝑒4(2𝑥+1)+8912𝑒
  • D𝑓(𝑥)=7𝑥𝑒4(2𝑥+1)+8912𝑒

Q17:

Utilise l'intégration par parties pour déterminer la valeur exacte de 𝑥2𝑥𝑥/sind.

  • A𝜋8+14
  • B14𝜋8
  • C𝜋814
  • D𝜋414
  • E14𝜋4

Q18:

Évalue 𝑥𝑒𝑥d.

  • A𝑒2
  • B1𝑒
  • C𝑒+2
  • D23𝑒
  • E𝑒1

Q19:

Calcule (𝑥)𝑥tand.

  • A𝜋2(2)ln
  • B𝜋4+(2)2ln
  • C𝜋4(2)2ln
  • D𝜋2
  • E𝜋4(2)ln

Q20:

Détermine (𝑥1)𝑥𝑥cosd.

  • A(𝑥1)𝑥𝑥+sincosC
  • B(𝑥1)𝑥+𝑥+sincosC
  • C(𝑥1)𝑥𝑥+cossinC
  • D(𝑥1)𝑥+2𝑥+sincosC
  • E𝑥1𝑥+𝑥+cossinC

Q21:

Détermine𝑥𝑥𝑥lnd.

  • A19𝑥(3𝑥1)+lnC
  • B13𝑥(3𝑥1)+lnC
  • C19𝑥(3𝑥+1)+lnC
  • D13𝑥(3𝑥+1)+lnC
  • E19𝑥(𝑥1)+lnC

Q22:

Détermine 𝑥𝑒𝑥d.

  • A12𝑒+C
  • B2𝑥𝑒+C
  • C14𝑒+C
  • D2𝑒+C
  • E𝑒+C

Q23:

Détermine(𝑥+3)𝑒𝑥d.

  • A𝑥+8𝑥+17𝑒+C
  • B𝑥+7𝑥+14𝑒+C
  • C𝑥+8𝑥+15𝑒+C
  • D𝑥+8𝑥+17𝑒+C
  • E𝑥+8𝑥+17𝑒+C

Q24:

Détermine(𝑥)𝑥coslnd.

  • A12𝑥((𝑥)(𝑥))+sinlncoslnC
  • B𝑥((𝑥)+(𝑥))+sinlncoslnC
  • C14𝑥((𝑥)+(𝑥))+sinlncoslnC
  • D12𝑥((𝑥)+(𝑥))+sinlncoslnC
  • E12𝑥((𝑥)(𝑥))+coslnsinlnC

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