Feuille d'activités : Intégration par parties pour les intégrales indéfinies

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser l'intégration par parties ou l'intégration partielle sur des intégrales indéfinies pour déterminer l'intégrale d'un produit de fonctions.

Q1:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 2𝑥𝑒𝑥d.

  • A 4 𝑥 𝑥 + 1 𝑒 + C
  • B 4 1 2 𝑥 𝑥 + 1 𝑒 + C
  • C 2 1 2 𝑥 𝑥 + 1 𝑒 + C
  • D 4 1 2 𝑥 𝑥 1 𝑒 + C
  • E 2 𝑥 𝑒 + C

Q2:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 9𝑥+7𝑒𝑥d.

  • A 9 5 𝑥 + 4 4 4 5 𝑒 + C
  • B 9 5 𝑥 + 4 4 4 5 𝑒 + C
  • C 9 𝑥 + 4 4 4 5 𝑒 + C
  • D 9 5 𝑥 + 2 6 4 5 𝑒 + C
  • E 1 5 ( 9 𝑥 + 7 ) 𝑒 + C

Q3:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 𝑥(3𝑥5)ln.

  • A 1 3 ( 3 𝑥 5 ) [ ( 3 𝑥 5 ) + 1 ] + l n C
  • B 1 3 ( 3 𝑥 5 ) [ ( 3 𝑥 5 ) 1 ] + l n C
  • C 1 3 ( 3 𝑥 5 ) ( 3 𝑥 5 ) 𝑥 + l n C
  • D 1 3 ( 3 𝑥 5 ) ( 3 𝑥 5 ) 1 + l n C

Q4:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 𝑥28𝑥÷3𝑥ln.

  • A 4 3 𝑥 [ 8 𝑥 + 2 ] + l n C
  • B 2 3 𝑥 [ 8 𝑥 2 ] + l n C
  • C 4 3 𝑥 8 𝑥 2 + l n C
  • D 4 3 𝑥 [ 8 𝑥 2 ] + l n C

Q5:

Supposons que (6𝑥7)9𝑥𝑥=𝑦𝑧𝑧𝑦lndd. À quoi correspond 𝑦𝑧? (Le signe d’intégration correspond au calcul d’une primitive.)

  • A 𝑥 2 ( 3 𝑥 + 1 4 ) + C
  • B 𝑥 ( 3 𝑥 + 7 ) 9 𝑥 l n
  • C ( 6 𝑥 7 ) 9 𝑥 l n
  • D 𝑥 ( 3 𝑥 + 7 )

Q6:

Une courbe passe par le point de coordonnées 0,715 et la tangente en le point de coordonnées (𝑥;𝑦) a pour coefficient directeur 8𝑥2𝑥+1. Quelle est l’équation de la courbe?

  • A 𝑦 = 4 1 5 ( 2 𝑥 + 1 ) ( 8 𝑥 1 ) + 1 1 1 5
  • B 𝑦 = 8 1 5 ( 2 𝑥 + 1 ) ( 3 𝑥 1 ) + 1
  • C 𝑦 = 8 1 5 ( 2 𝑥 + 1 ) ( 3 𝑥 1 ) 1 6 1 5
  • D 𝑦 = 8 1 5 ( 2 𝑥 + 1 ) ( 3 𝑥 1 ) 1 1 5

Q7:

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝑦=𝑓(𝑥) en le point (𝑥,𝑦) est donné par 3𝑥𝑒(2𝑥+1). Détermine 𝑓(𝑥) si le point 1,5𝑒 se situe sur la courbe.

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑒 4 ( 2 𝑥 + 1 ) + 2 1 4 𝑒
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑒 4 ( 2 𝑥 + 1 ) + 1 1 1 2 𝑒
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑒 4 ( 2 𝑥 + 1 ) + 1 9 4 𝑒
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 𝑒 4 ( 2 𝑥 + 1 ) + 1 9 4 𝑒

Q8:

Utilise l'intégration par parties pour évaluer 𝑥𝑥𝑥sind.

  • A 𝑥 𝑥 𝑥 + c o s s i n C
  • B 𝑥 ( 𝑥 𝑥 ) + s i n c o s C
  • C s i n c o s C 𝑥 + 𝑥 𝑥 +
  • D 𝑥 𝑥 𝑥 + s i n c o s C
  • E s i n c o s C 𝑥 𝑥 𝑥 +

Q9:

Intègre 𝑥𝑥lnd par parties en introduisant 𝑢=𝑥ln et dd𝑣=𝑥.

  • A l n C 𝑥 𝑥 +
  • B 𝑥 𝑥 + 1 + l n C
  • C 𝑥 ( 𝑥 + 1 ) + l n C
  • D 𝑥 ( 𝑥 1 ) + l n C
  • E 𝑥 𝑥 1 + l n C

Q10:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 𝑥(5𝑥12)𝑥sin.

  • A ( 5 𝑥 + 1 2 ) 𝑥 5 𝑥 + c o s s i n C
  • B ( 5 𝑥 1 2 ) 𝑥 + 5 𝑥 + c o s s i n C
  • C ( 5 𝑥 + 1 2 ) 𝑥 + 5 𝑥 + c o s s i n C
  • D ( 5 𝑥 1 2 ) 𝑥 5 𝑥 + c o s s i n C

Q11:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par (3𝑥+4)𝑒𝑥d.

  • A 𝑒 9 2 𝑥 + 3 𝑥 + 1 + C
  • B 𝑒 9 2 𝑥 + 6 𝑥 + 1 0 + C
  • C 𝑒 9 𝑥 + 6 𝑥 + 1 0 + C
  • D 𝑒 9 𝑥 + 3 𝑥 + 1 0 + C

Q12:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 𝑥2𝑒𝑥3(𝑥+1).

  • A 2 𝑒 3 ( 𝑥 + 1 ) + C
  • B 2 𝑒 ( 2 𝑥 + 1 ) 3 ( 𝑥 + 1 ) + C
  • C 2 𝑒 ( 2 𝑥 + 1 ) 3 ( 𝑥 + 1 ) + C
  • D 2 𝑒 3 ( 𝑥 + 1 ) + C

Q13:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 64𝑥𝑥lnd.

  • A 6 𝑥 4 𝑥 5 + l n C
  • B 𝑥 4 𝑥 5 + l n C
  • C 6 4 𝑥 5 + l n C
  • D 6 𝑥 4 𝑥 + 5 + l n C
  • E 6 𝑥 4 𝑥 5 + l n C

Q14:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 𝑥(5𝑥)𝑥lnd.

  • A 1 4 𝑥 2 ( 5 𝑥 ) + 2 5 𝑥 1 + l n l n C
  • B 1 2 𝑥 ( 5 𝑥 ) + l n C
  • C 1 2 𝑥 2 ( 5 𝑥 ) 2 5 𝑥 + 1 + l n l n C
  • D 1 4 𝑥 2 ( 5 𝑥 ) 2 5 𝑥 + 1 + l n l n C
  • E 1 4 𝑥 2 ( 5 𝑥 ) 2 5 𝑥 + 1 + l n l n C

Q15:

Détermine l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 93𝑥𝑥𝑥lnd.

  • A 9 2 5 𝑥 ( 5 3 𝑥 + 1 ) + l n C
  • B 9 2 5 𝑥 ( 3 𝑥 1 ) + l n C
  • C 9 5 𝑥 3 𝑥 + l n C
  • D 9 5 𝑥 ( 5 3 𝑥 1 ) + l n C
  • E 9 2 5 𝑥 ( 5 3 𝑥 1 ) + l n C

Q16:

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝑦=𝑓(𝑥) en le point (𝑥,𝑦) est donné par 7𝑥𝑒(2𝑥+1). Détermine 𝑓(𝑥) si le point 1,8𝑒 se situe sur la courbe.

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 𝑒 4 ( 2 𝑥 + 1 ) + 1 0 3 1 2 𝑒
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑒 4 ( 2 𝑥 + 1 ) + 1 1 1 2 𝑒
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 𝑒 4 ( 2 𝑥 + 1 ) + 8 9 1 2 𝑒
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 𝑥 𝑒 4 ( 2 𝑥 + 1 ) + 8 9 1 2 𝑒

Q17:

Utilise l'intégration par parties pour déterminer la valeur exacte de 𝑥2𝑥𝑥/sind.

  • A 𝜋 8 + 1 4
  • B 1 4 𝜋 8
  • C 𝜋 8 1 4
  • D 𝜋 4 1 4
  • E 1 4 𝜋 4

Q18:

Évalue 𝑥𝑒𝑥d.

  • A 2 3 𝑒
  • B 1 𝑒
  • C 𝑒 2
  • D 𝑒 1
  • E 𝑒 + 2

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