Feuille d'activités : Racines arbitraires de nombres complexes

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser le théorème de Moivre pour déterminer les racines d'un nombre complexe et en explorer les propriétés.

Q1:

DΓ©termine les racines cubiques de 64, en donnant tes rΓ©ponses sous forme trigonomΓ©trique.

  • A𝑍=4, 𝑍=4ο€Όο€Ό4πœ‹3οˆβˆ’π‘–ο€Ό4πœ‹3sincos, 𝑍=4ο€Όο€Όβˆ’4πœ‹3οˆβˆ’π‘–ο€Όβˆ’4πœ‹3sincos
  • B𝑍=8, 𝑍=8ο€Όο€Ό4πœ‹3οˆβˆ’π‘–ο€Ό4πœ‹3sincos, 𝑍=8ο€Όο€Όβˆ’4πœ‹3οˆβˆ’π‘–ο€Όβˆ’4πœ‹3sincos
  • C𝑍=8, 𝑍=8ο€Όο€Ό2πœ‹3+𝑖2πœ‹3cossin, 𝑍=8ο€Όο€Όβˆ’2πœ‹3+π‘–ο€Όβˆ’2πœ‹3cossin
  • D𝑍=4, 𝑍=4ο€Όο€Ό2πœ‹3+𝑖2πœ‹3cossin, 𝑍=4ο€Όο€Όβˆ’2πœ‹3+π‘–ο€Όβˆ’2πœ‹3cossin

Q2:

DΓ©termine les quatre racines de βˆ’1, en donnant tes rΓ©ponses sous forme trigonomΓ©trique.

  • A𝑍=ο€Όο€Ό3πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό3πœ‹4sincos, 𝑍=ο€Όο€Ό5πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό5πœ‹4sincos, 𝑍=ο€Όο€Ό7πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό7πœ‹4sincos, 𝑍=ο€Όο€Ό9πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό9πœ‹4οŠͺsincos
  • B𝑍=2ο€Όο€Ό3πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό3πœ‹4sincos, 𝑍=2ο€Όο€Ό5πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό5πœ‹4sincos, 𝑍=2ο€Όο€Ό7πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό7πœ‹4sincos, 𝑍=2ο€Όο€Ό9πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό9πœ‹4οŠͺsincos
  • C𝑍=2ο€»ο€»πœ‹4+π‘–ο€»πœ‹4ο‡ο‡οŠ§cossin, 𝑍=2ο€Όο€Ό3πœ‹4+𝑖3πœ‹4cossin, 𝑍=2ο€»ο€»βˆ’πœ‹4+π‘–ο€»βˆ’πœ‹4ο‡ο‡οŠ©cossin, 𝑍=2ο€Όο€Όβˆ’3πœ‹4+π‘–ο€Όβˆ’3πœ‹4οŠͺcossin
  • D𝑍=ο€»ο€»πœ‹4+π‘–ο€»πœ‹4ο‡ο‡οŠ§cossin, 𝑍=ο€Όο€Ό3πœ‹4+𝑖3πœ‹4cossin, 𝑍=ο€»ο€»βˆ’πœ‹4+π‘–ο€»βˆ’πœ‹4ο‡ο‡οŠ©cossin, 𝑍=ο€Όο€Όβˆ’3πœ‹4+π‘–ο€Όβˆ’3πœ‹4οŠͺcossin

Q3:

DΓ©termine l'ensemble solutionΒ de l'Γ©quation 𝑧=4ο€»βˆš2βˆ’βˆš2π‘–ο‡οŠ© dans β„‚, en exprimant les solutions sous forme exponentielle.

  • A2𝑒,2𝑒,2π‘’οΉοŠ±οƒοƒοŠ±οƒο‘½οŽ οŽ‘οŽ¦ο‘½οŽ οŽ‘οŽ’ο‘½οŽ£
  • B2𝑒,2𝑒,2π‘’οΉοŠ±οƒοƒοƒοŽ¦ο‘½οŽ οŽ‘ο‘½οŽ οŽ‘οŽ’ο‘½οŽ£
  • C𝑒,𝑒,π‘’οΉοŠ±οƒοƒοƒο‘½οŽ οŽ‘ο‘½οŽ£οŽ¦ο‘½οŽ οŽ‘
  • D𝑒,𝑒,π‘’οΉοŠ±οƒοƒοŠ±οƒο‘½οŽ οŽ‘οŽ¦ο‘½οŽ οŽ‘οŽ’ο‘½οŽ£

Q4:

DΓ©termine les racines carrΓ©es de 𝑧=2+2√3π‘–οŠ¨ dans β„‚.

  • A√3βˆ’π‘–,βˆ’βˆš3+𝑖
  • B√32+12𝑖,βˆ’βˆš32βˆ’12𝑖
  • C√3+𝑖,βˆ’βˆš3βˆ’π‘–ο·
  • Dο―βˆ’βˆš32+12𝑖,√32βˆ’12𝑖

Q5:

DΓ©termine les racines carrΓ©es de 𝑧, sachant que 𝑧=βˆ’8𝑖.

  • A{1,βˆ’1}
  • B{𝑖,βˆ’π‘–}
  • C√32+12𝑖,βˆ’βˆš32βˆ’12𝑖
  • D{2βˆ’2𝑖,βˆ’2+2𝑖}
  • E1√2βˆ’1√2𝑖,βˆ’1√2+1√2𝑖

Q6:

On pose 𝑧=βˆ’8𝑖. DΓ©termine les racines carrΓ©es de 𝑧 sans utiliser la forme trigonomΓ©trique.

  • A{𝑖,βˆ’π‘–}
  • B1√2βˆ’1√2𝑖,βˆ’1√2+1√2𝑖
  • C{2βˆ’2𝑖,βˆ’2+2𝑖}
  • D{1,βˆ’1}
  • Eο―βˆ’12+√32𝑖,12βˆ’βˆš32𝑖

Q7:

On pose 𝑧=βˆ’28+96𝑖. DΓ©termine les racines carrΓ©es de 𝑧 sans Γ©crire le nombre sous la forme trigonomΓ©trique.

  • A(8+6𝑖),βˆ’(8+6𝑖)
  • Bο€Ό2425βˆ’725π‘–οˆ,βˆ’ο€Ό2425βˆ’725π‘–οˆ
  • Cο€Όβˆ’725+2425π‘–οˆ,βˆ’ο€Όβˆ’725+2425π‘–οˆ
  • D(6+8𝑖),βˆ’(6+8𝑖)
  • Eο€Όβˆš2βˆ’12π‘–οˆ,βˆ’ο€Όβˆš2βˆ’12π‘–οˆ

Q8:

Sans Γ©crire 𝑧 sous forme trigonomΓ©trique, dΓ©termine les racines carrΓ©es de 𝑧 pour 𝑧=βˆ’8+2𝑖1+4𝑖.

  • A𝑖, βˆ’π‘–
  • B1βˆ’π‘–, 1+𝑖
  • C1+𝑖, βˆ’1βˆ’π‘–
  • D1, βˆ’1

Q9:

DΓ©termine les deux racines carrΓ©es de 2(βˆ’7βˆ’7𝑖)βˆ’7+7𝑖 sans passer par la forme trigonomΓ©trique.

  • A±𝑖
  • BΒ±ο€Ώ1√2βˆ’βˆš3𝑖
  • CΒ±(1+𝑖)
  • DΒ±(1βˆ’π‘–)
  • EΒ±1

Q10:

DΓ©termine les racines carrΓ©es de βˆ’181βˆ’βˆš3𝑖, en donnant tes rΓ©ponses sous la forme trigonomΓ©trique.

  • A3(30+𝑖30)cossin∘∘, 3(210+𝑖210)cossin∘∘
  • B3(30+𝑖30)cossin∘∘, 3(150+𝑖150)cossin∘∘
  • C(30+𝑖30)cossin∘∘, (210+𝑖210)cossin∘∘
  • D3(60+𝑖60)cossin∘∘, 3(210+𝑖210)cossin∘∘
  • E9(30+𝑖30)cossin∘∘, 9(210+𝑖210)cossin∘∘

Q11:

DΓ©termine, sous forme trigonomΓ©trique, les racines carrΓ©es de 4π‘’οŽ€ο‘½οŽ₯.

  • A2ο€Όο€Ό5πœ‹12+𝑖5πœ‹12cossin, 2ο€Όο€Όβˆ’7πœ‹12+π‘–ο€Όβˆ’7πœ‹12cossin
  • Bο€Όο€Ό5πœ‹12+𝑖5πœ‹12cossin, ο€Όο€Όβˆ’7πœ‹12+π‘–ο€Όβˆ’7πœ‹12cossin
  • C2ο€Όο€Ό7πœ‹12+𝑖7πœ‹12cossin, 2ο€Όο€Όβˆ’5πœ‹12+π‘–ο€Όβˆ’5πœ‹12cossin
  • Dο€Όο€Ό5πœ‹12+𝑖5πœ‹12cossin, ο€Όο€Ό11πœ‹12+𝑖11πœ‹12cossin
  • E2ο€Όο€Ό5πœ‹12+𝑖5πœ‹12cossin, 2ο€Όο€Ό11πœ‹12+𝑖11πœ‹12cossin

Q12:

Utilise la formule de Moivre pour calculer les deux racines carrΓ©es de 16ο€Ό5πœ‹3βˆ’π‘–5πœ‹3cossin.

  • AΒ±ο€»2√3+2𝑖
  • BΒ±ο€Ώβˆš32+12𝑖
  • CΒ±ο€Ώ12βˆ’1√2𝑖
  • DΒ±4𝑖

Q13:

Γ‰tant donnΓ© π‘₯=7βˆ’9𝑖4βˆ’2π‘–βˆ’βˆ’8βˆ’5π‘–βˆ’1+3𝑖, dΓ©termine les deux racines carrΓ©es de π‘₯ sans exprimer d'abord π‘₯ sous forme trigonomΓ©trique.

  • AΒ±ο€Ό35βˆ’45π‘–οˆ
  • BΒ±ο€Ώβˆš32βˆ’1√2𝑖
  • CΒ±(βˆ’1βˆ’2𝑖)
  • DΒ±(2βˆ’π‘–)
  • EΒ±ο€Όβˆ’45+35π‘–οˆ

Q14:

Soit π‘₯=3+4𝑖. Calcule π‘₯.

  • AΒ±ο€Ό45+35π‘–οˆ
  • BΒ±ο€½1+2𝑖3
  • CΒ±(2+𝑖)
  • DΒ±ο€Ώβˆ’1√2+1√2𝑖
  • EΒ±ο€½2βˆ’π‘–5

Q15:

Sachant que π‘₯+𝑦𝑖=ο€½4+2𝑖1βˆ’2π‘–ο‰οŽ οŽ‘, dΓ©termine toutes les valeurs rΓ©elles possibles de π‘₯ et 𝑦.

  • A{(βˆ’3,βˆ’4),(3,4)}
  • Bο¬ο€Όβˆ’βˆš3,βˆ’12,ο€Όβˆš3,12
  • C{(1,1),(βˆ’1,βˆ’1)}
  • D14,βˆ’1,ο€Όβˆ’14,1
  • E{(0,2),(0,βˆ’2)}

Q16:

Sachant que 𝑧=ο€»ο€»πœ‹6+π‘–ο€»πœ‹6sincos, dΓ©termine les racines cubiques de ([𝑧]).

  • Aο€Όο€Ό5πœ‹9+𝑖5πœ‹9cossin, ο€Όο€Όβˆ’7πœ‹9+π‘–ο€Όβˆ’7πœ‹9cossin, ο€»ο€»βˆ’πœ‹9+π‘–ο€»βˆ’πœ‹9cossin
  • Bο€Όο€Ό7πœ‹9+𝑖7πœ‹9cossin, ο€Όο€Όβˆ’5πœ‹9+π‘–ο€Όβˆ’5πœ‹9cossin, ο€»ο€»πœ‹9+π‘–ο€»πœ‹9cossin
  • Cο€Όο€Ό5πœ‹18+𝑖5πœ‹18cossin, ο€Όο€Ό17πœ‹18+𝑖17πœ‹18cossin, ο€Όο€Όβˆ’7πœ‹18+π‘–ο€Όβˆ’7πœ‹18cossin
  • Dο€Όο€Ό7πœ‹9+𝑖7πœ‹9cossin, ο€Όο€Όβˆ’8πœ‹9+π‘–ο€Όβˆ’8πœ‹9cossin, ο€Όο€Όβˆ’5πœ‹9+π‘–ο€Όβˆ’5πœ‹9cossin
  • Eο€Όο€Όβˆ’7πœ‹9+π‘–ο€Όβˆ’7πœ‹9cossin, ο€Όο€Όβˆ’4πœ‹9+π‘–ο€Όβˆ’4πœ‹9cossin, ο€»ο€»βˆ’πœ‹9+π‘–ο€»βˆ’πœ‹9cossin

Q17:

Sachant que 𝑧=βˆ’5+4π‘–βˆ’5𝑖2+7π‘–βˆ’2𝑖+7π‘–οŠ¨οŠ¨οŠ©, dΓ©termine les racines carrΓ©es de 𝑧 sous forme trigonomΓ©trique.

  • Aο€»ο€»πœ‹4+π‘–ο€»πœ‹4cossin, ο€Όο€Όβˆ’3πœ‹4+π‘–ο€Όβˆ’3πœ‹4cossin
  • Bο€»ο€»πœ‹2+π‘–ο€»πœ‹2cossin, ο€»ο€»βˆ’πœ‹2+π‘–ο€»βˆ’πœ‹2cossin
  • Cο€»ο€»πœ‹3+π‘–ο€»πœ‹3cossin, ο€»ο€»βˆ’πœ‹3+π‘–ο€»βˆ’πœ‹3cossin
  • Dο€»ο€»πœ‹6+π‘–ο€»πœ‹6cossin, ο€»ο€»βˆ’πœ‹6+π‘–ο€»βˆ’πœ‹6cossin
  • Eο€»ο€»βˆ’πœ‹4+π‘–ο€»βˆ’πœ‹4cossin, ο€Όο€Ό3πœ‹4+𝑖3πœ‹4cossin

Q18:

DΓ©termine les deux racines carrΓ©es de π‘₯=8+π‘–βˆ’1βˆ’2𝑖+βˆ’9+2π‘–βˆ’4βˆ’π‘– dans β„‚, sans exprimer π‘₯ sous forme trigonomΓ©trique.

  • AΒ±(1βˆ’π‘–)
  • BΒ±(1+𝑖)
  • C±𝑖
  • DΒ±1

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expΓ©rience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de ConfidentialitΓ©.