Feuille d'activités de la leçon : Racines 𝑛-ièmes des nombres complexes Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à utiliser la formule de Moivre pour déterminer les racines 𝑛-ièmes d'un nombre complexe tout en explorant leurs propriétés.

Q1:

DΓ©termine les racines cubiques de 64, en donnant tes rΓ©ponses sous forme trigonomΓ©trique.

  • A𝑍=4, 𝑍=4ο€Όο€Ό4πœ‹3οˆβˆ’π‘–ο€Ό4πœ‹3sincos, 𝑍=4ο€Όο€Όβˆ’4πœ‹3οˆβˆ’π‘–ο€Όβˆ’4πœ‹3sincos
  • B𝑍=8, 𝑍=8ο€Όο€Ό4πœ‹3οˆβˆ’π‘–ο€Ό4πœ‹3sincos, 𝑍=8ο€Όο€Όβˆ’4πœ‹3οˆβˆ’π‘–ο€Όβˆ’4πœ‹3sincos
  • C𝑍=8, 𝑍=8ο€Όο€Ό2πœ‹3+𝑖2πœ‹3cossin, 𝑍=8ο€Όο€Όβˆ’2πœ‹3+π‘–ο€Όβˆ’2πœ‹3cossin
  • D𝑍=4, 𝑍=4ο€Όο€Ό2πœ‹3+𝑖2πœ‹3cossin, 𝑍=4ο€Όο€Όβˆ’2πœ‹3+π‘–ο€Όβˆ’2πœ‹3cossin

Q2:

DΓ©termine l'ensemble solutionΒ de l'Γ©quation 𝑧=4ο€»βˆš2βˆ’βˆš2π‘–ο‡οŠ© dans β„‚, en exprimant les solutions sous forme exponentielle.

  • A2𝑒,2𝑒,2π‘’οΉοŠ±οƒοƒοŠ±οƒο‘½οŽ οŽ‘οŽ¦ο‘½οŽ οŽ‘οŽ’ο‘½οŽ£
  • B2𝑒,2𝑒,2π‘’οΉοŠ±οƒοƒοƒοŽ¦ο‘½οŽ οŽ‘ο‘½οŽ οŽ‘οŽ’ο‘½οŽ£
  • C𝑒,𝑒,π‘’οΉοŠ±οƒοƒοƒο‘½οŽ οŽ‘ο‘½οŽ£οŽ¦ο‘½οŽ οŽ‘
  • D𝑒,𝑒,π‘’οΉοŠ±οƒοƒοŠ±οƒο‘½οŽ οŽ‘οŽ¦ο‘½οŽ οŽ‘οŽ’ο‘½οŽ£

Q3:

DΓ©termine les racines carrΓ©es de 𝑧=2+2√3π‘–οŠ¨ dans β„‚.

  • A√3βˆ’π‘–,βˆ’βˆš3+𝑖
  • B√32+12𝑖,βˆ’βˆš32βˆ’12𝑖
  • C√3+𝑖,βˆ’βˆš3βˆ’π‘–ο·
  • Dο―βˆ’βˆš32+12𝑖,√32βˆ’12𝑖

Q4:

DΓ©termine les racines carrΓ©es de 𝑧, sachant que 𝑧=βˆ’8𝑖.

  • A{1,βˆ’1}
  • B{𝑖,βˆ’π‘–}
  • C√32+12𝑖,βˆ’βˆš32βˆ’12𝑖
  • D{2βˆ’2𝑖,βˆ’2+2𝑖}
  • E1√2βˆ’1√2𝑖,βˆ’1√2+1√2𝑖

Q5:

On pose 𝑧=βˆ’8𝑖. DΓ©termine les racines carrΓ©es de 𝑧 sans utiliser la forme trigonomΓ©trique.

  • A{𝑖,βˆ’π‘–}
  • B1√2βˆ’1√2𝑖,βˆ’1√2+1√2𝑖
  • C{2βˆ’2𝑖,βˆ’2+2𝑖}
  • D{1,βˆ’1}
  • Eο―βˆ’12+√32𝑖,12βˆ’βˆš32𝑖

Q6:

On pose 𝑧=βˆ’28+96𝑖. DΓ©termine les racines carrΓ©es de 𝑧 sans Γ©crire le nombre sous la forme trigonomΓ©trique.

  • A(8+6𝑖),βˆ’(8+6𝑖)
  • Bο€Ό2425βˆ’725π‘–οˆ,βˆ’ο€Ό2425βˆ’725π‘–οˆ
  • Cο€Όβˆ’725+2425π‘–οˆ,βˆ’ο€Όβˆ’725+2425π‘–οˆ
  • D(6+8𝑖),βˆ’(6+8𝑖)
  • Eο€Όβˆš2βˆ’12π‘–οˆ,βˆ’ο€Όβˆš2βˆ’12π‘–οˆ

Q7:

Sans Γ©crire 𝑧 sous forme trigonomΓ©trique, dΓ©termine les racines carrΓ©es de 𝑧 pour 𝑧=βˆ’8+2𝑖1+4𝑖.

  • A𝑖, βˆ’π‘–
  • B1βˆ’π‘–, 1+𝑖
  • C1, βˆ’1
  • D1+𝑖, βˆ’1βˆ’π‘–

Q8:

DΓ©termine les deux racines carrΓ©es de 2(βˆ’7βˆ’7𝑖)βˆ’7+7𝑖 sans passer par la forme trigonomΓ©trique.

  • A±𝑖
  • BΒ±ο€Ώ1√2βˆ’βˆš3𝑖
  • CΒ±(1+𝑖)
  • DΒ±(1βˆ’π‘–)
  • EΒ±1

Q9:

DΓ©termine les racines carrΓ©es de βˆ’181βˆ’βˆš3𝑖, en donnant tes rΓ©ponses sous la forme trigonomΓ©trique.

  • A3(30+𝑖30)cossin∘∘, 3(210+𝑖210)cossin∘∘
  • B3(30+𝑖30)cossin∘∘, 3(150+𝑖150)cossin∘∘
  • C(30+𝑖30)cossin∘∘, (210+𝑖210)cossin∘∘
  • D3(60+𝑖60)cossin∘∘, 3(210+𝑖210)cossin∘∘
  • E9(30+𝑖30)cossin∘∘, 9(210+𝑖210)cossin∘∘

Q10:

DΓ©termine, sous forme trigonomΓ©trique, les racines carrΓ©es de 4π‘’οŽ€ο‘½οŽ₯.

  • A2ο€Όο€Ό5πœ‹12+𝑖5πœ‹12cossin, 2ο€Όο€Όβˆ’7πœ‹12+π‘–ο€Όβˆ’7πœ‹12cossin
  • Bο€Όο€Ό5πœ‹12+𝑖5πœ‹12cossin, ο€Όο€Όβˆ’7πœ‹12+π‘–ο€Όβˆ’7πœ‹12cossin
  • C2ο€Όο€Ό7πœ‹12+𝑖7πœ‹12cossin, 2ο€Όο€Όβˆ’5πœ‹12+π‘–ο€Όβˆ’5πœ‹12cossin
  • Dο€Όο€Ό5πœ‹12+𝑖5πœ‹12cossin, ο€Όο€Ό11πœ‹12+𝑖11πœ‹12cossin
  • E2ο€Όο€Ό5πœ‹12+𝑖5πœ‹12cossin, 2ο€Όο€Ό11πœ‹12+𝑖11πœ‹12cossin

Cette leçon comprend 20 questions additionnelles et 146 variantes de questions additionnelles pour les abonnés.

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