Fiche d'activités de la leçon : Racines arbitraires des nombres complexes Mathématiques

Dans cette feuille d'exercices, nous nous entraînerons à utiliser le théorème de de Moivre pour trouver les racines énièmes d'un nombre complexe et explorer leurs propriétés.

Q1:

Dรฉtermine les racines carrรฉes de ๐‘ง, sachant que ๐‘ง=โˆ’8๐‘–.

  • A{1,โˆ’1}
  • B{๐‘–,โˆ’๐‘–}
  • C๏ฏโˆš32+12๐‘–,โˆ’โˆš32โˆ’12๐‘–๏ป
  • D{2โˆ’2๐‘–,โˆ’2+2๐‘–}
  • E๏ฏ1โˆš2โˆ’1โˆš2๐‘–,โˆ’1โˆš2+1โˆš2๐‘–๏ป

Q2:

On pose ๐‘ง=โˆ’8๐‘–. Dรฉtermine les racines carrรฉes de ๐‘ง sans utiliser la forme trigonomรฉtrique.

  • A{๐‘–,โˆ’๐‘–}
  • B๏ฏ1โˆš2โˆ’1โˆš2๐‘–,โˆ’1โˆš2+1โˆš2๐‘–๏ป
  • C{2โˆ’2๐‘–,โˆ’2+2๐‘–}
  • D{1,โˆ’1}
  • E๏ฏโˆ’12+โˆš32๐‘–,12โˆ’โˆš32๐‘–๏ป

Q3:

Dรฉtermine les racines carrรฉes de ๐‘ง=2+2โˆš3๐‘–๏Šจ dans โ„‚.

  • A๏ซโˆš3โˆ’๐‘–,โˆ’โˆš3+๐‘–๏ท
  • B๏ฏโˆš32+12๐‘–,โˆ’โˆš32โˆ’12๐‘–๏ป
  • C๏ซโˆš3+๐‘–,โˆ’โˆš3โˆ’๐‘–๏ท
  • D๏ฏโˆ’โˆš32+12๐‘–,โˆš32โˆ’12๐‘–๏ป

Q4:

On pose ๐‘ง=โˆ’28+96๐‘–. Dรฉtermine les racines carrรฉes de ๐‘ง sans รฉcrire le nombre sous la forme trigonomรฉtrique.

  • A(8+6๐‘–),โˆ’(8+6๐‘–)
  • B๏€ผ2425โˆ’725๐‘–๏ˆ,โˆ’๏€ผ2425โˆ’725๐‘–๏ˆ
  • C๏€ผโˆ’725+2425๐‘–๏ˆ,โˆ’๏€ผโˆ’725+2425๐‘–๏ˆ
  • D(6+8๐‘–),โˆ’(6+8๐‘–)
  • E๏€ผโˆš2โˆ’12๐‘–๏ˆ,โˆ’๏€ผโˆš2โˆ’12๐‘–๏ˆ

Q5:

Sans รฉcrire ๐‘ง sous forme trigonomรฉtrique, dรฉtermine les racines carrรฉes de ๐‘ง pour ๐‘ง=โˆ’8+2๐‘–1+4๐‘–.

  • A๐‘–, โˆ’๐‘–
  • B1โˆ’๐‘–, 1+๐‘–
  • C1, โˆ’1
  • D1+๐‘–, โˆ’1โˆ’๐‘–

Q6:

Dรฉtermine les deux racines carrรฉes de 2(โˆ’7โˆ’7๐‘–)โˆ’7+7๐‘– sans passer par la forme trigonomรฉtrique.

  • Aยฑ๐‘–
  • Bยฑ๏€ฟ1โˆš2โˆ’โˆš3๐‘–๏‹
  • Cยฑ(1+๐‘–)
  • Dยฑ(1โˆ’๐‘–)
  • Eยฑ1

Q7:

Dรฉtermine les racines carrรฉes de โˆ’181โˆ’โˆš3๐‘–, en donnant tes rรฉponses sous la forme trigonomรฉtrique.

  • A3(30+๐‘–30)cossinโˆ˜โˆ˜, 3(210+๐‘–210)cossinโˆ˜โˆ˜
  • B3(30+๐‘–30)cossinโˆ˜โˆ˜, 3(150+๐‘–150)cossinโˆ˜โˆ˜
  • C(30+๐‘–30)cossinโˆ˜โˆ˜, (210+๐‘–210)cossinโˆ˜โˆ˜
  • D3(60+๐‘–60)cossinโˆ˜โˆ˜, 3(210+๐‘–210)cossinโˆ˜โˆ˜
  • E9(30+๐‘–30)cossinโˆ˜โˆ˜, 9(210+๐‘–210)cossinโˆ˜โˆ˜

Q8:

ร‰tant donnรฉ ๐‘ฅ=7โˆ’9๐‘–4โˆ’2๐‘–โˆ’โˆ’8โˆ’5๐‘–โˆ’1+3๐‘–, dรฉtermine les deux racines carrรฉes de ๐‘ฅ sans exprimer d'abord ๐‘ฅ sous forme trigonomรฉtrique.

  • Aยฑ๏€ผ35โˆ’45๐‘–๏ˆ
  • Bยฑ๏€ฟโˆš32โˆ’1โˆš2๐‘–๏‹
  • Cยฑ(โˆ’1โˆ’2๐‘–)
  • Dยฑ(2โˆ’๐‘–)
  • Eยฑ๏€ผโˆ’45+35๐‘–๏ˆ

Q9:

Soit ๐‘ฅ=3+4๐‘–. Calcule ๐‘ฅ๏Šฑ๏Ž ๏Žก.

  • Aยฑ๏€ผ45+35๐‘–๏ˆ
  • Bยฑ๏€ฝ1+2๐‘–3๏‰
  • Cยฑ(2+๐‘–)
  • Dยฑ๏€ฟโˆ’1โˆš2+1โˆš2๐‘–๏‹
  • Eยฑ๏€ฝ2โˆ’๐‘–5๏‰

Q10:

Sachant que ๐‘ฅ+๐‘ฆ๐‘–=๏€ฝ4+2๐‘–1โˆ’2๐‘–๏‰๏Ž ๏Žก, dรฉtermine toutes les valeurs rรฉelles possibles de ๐‘ฅ et ๐‘ฆ.

  • A{(โˆ’3,โˆ’4),(3,4)}
  • B๏ฌ๏€ผโˆ’โˆš3,โˆ’12๏ˆ,๏€ผโˆš3,12๏ˆ๏ธ
  • C{(1,1),(โˆ’1,โˆ’1)}
  • D๏ฌ๏€ผ14,โˆ’1๏ˆ,๏€ผโˆ’14,1๏ˆ๏ธ
  • E{(0,2),(0,โˆ’2)}

Q11:

Dรฉtermine les deux racines carrรฉes de ๐‘ฅ=8+๐‘–โˆ’1โˆ’2๐‘–+โˆ’9+2๐‘–โˆ’4โˆ’๐‘– dans โ„‚, sans exprimer ๐‘ฅ sous forme trigonomรฉtrique.

  • Aยฑ(1โˆ’๐‘–)
  • Bยฑ(1+๐‘–)
  • Cยฑ๐‘–
  • Dยฑ1

Q12:

Sachant que ๐‘ง=โˆ’5+4๐‘–โˆ’5๐‘–2+7๐‘–โˆ’2๐‘–+7๐‘–๏Šจ๏Šจ๏Šฉ, dรฉtermine les racines carrรฉes de ๐‘ง sous forme trigonomรฉtrique.

  • A๏€ป๏€ป๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹4๏‡๏‡cossin, ๏€ผ๏€ผโˆ’3๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’3๐œ‹4๏ˆ๏ˆcossin
  • B๏€ป๏€ป๐œ‹2๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹2๏‡๏‡cossin, ๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹2๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹2๏‡๏‡cossin
  • C๏€ป๏€ป๐œ‹3๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹3๏‡๏‡cossin, ๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹3๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹3๏‡๏‡cossin
  • D๏€ป๏€ป๐œ‹6๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹6๏‡๏‡cossin, ๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹6๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹6๏‡๏‡cossin
  • E๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹4๏‡๏‡cossin, ๏€ผ๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ๏ˆcossin

Q13:

Utilise la formule de Moivre pour calculer les deux racines carrรฉes de 16๏€ผ5๐œ‹3โˆ’๐‘–5๐œ‹3๏ˆcossin.

  • Aยฑ๏€ป2โˆš3+2๐‘–๏‡
  • Bยฑ๏€ฟโˆš32+12๐‘–๏‹
  • Cยฑ๏€ฟ12โˆ’1โˆš2๐‘–๏‹
  • Dยฑ4๐‘–

Q14:

Dรฉtermine, sous forme trigonomรฉtrique, les racines carrรฉes de 4๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ.

  • A2๏€ผ๏€ผ5๐œ‹12๏ˆ+๐‘–๏€ผ5๐œ‹12๏ˆ๏ˆcossin, 2๏€ผ๏€ผโˆ’7๐œ‹12๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’7๐œ‹12๏ˆ๏ˆcossin
  • B๏€ผ๏€ผ5๐œ‹12๏ˆ+๐‘–๏€ผ5๐œ‹12๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ๏€ผโˆ’7๐œ‹12๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’7๐œ‹12๏ˆ๏ˆcossin
  • C2๏€ผ๏€ผ7๐œ‹12๏ˆ+๐‘–๏€ผ7๐œ‹12๏ˆ๏ˆcossin, 2๏€ผ๏€ผโˆ’5๐œ‹12๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’5๐œ‹12๏ˆ๏ˆcossin
  • D๏€ผ๏€ผ5๐œ‹12๏ˆ+๐‘–๏€ผ5๐œ‹12๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ๏€ผ11๐œ‹12๏ˆ+๐‘–๏€ผ11๐œ‹12๏ˆ๏ˆcossin
  • E2๏€ผ๏€ผ5๐œ‹12๏ˆ+๐‘–๏€ผ5๐œ‹12๏ˆ๏ˆcossin, 2๏€ผ๏€ผ11๐œ‹12๏ˆ+๐‘–๏€ผ11๐œ‹12๏ˆ๏ˆcossin

Q15:

Sachant que ๐‘ง=๏€ป๏€ป๐œ‹6๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹6๏‡๏‡sincos, dรฉtermine les racines cubiques de ๏€น๐‘ง๏…๏Šซ.

  • A๏€ผ๏€ผ5๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผ5๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ๏€ผโˆ’7๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’7๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹9๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹9๏‡๏‡cossin
  • B๏€ผ๏€ผ7๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผ7๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ๏€ผโˆ’5๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’5๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ป๏€ป๐œ‹9๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹9๏‡๏‡cossin
  • C๏€ผ๏€ผ5๐œ‹18๏ˆ+๐‘–๏€ผ5๐œ‹18๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ๏€ผ17๐œ‹18๏ˆ+๐‘–๏€ผ17๐œ‹18๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ๏€ผโˆ’7๐œ‹18๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’7๐œ‹18๏ˆ๏ˆcossin
  • D๏€ผ๏€ผ7๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผ7๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ๏€ผโˆ’8๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’8๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ๏€ผโˆ’5๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’5๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossin
  • E๏€ผ๏€ผโˆ’7๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’7๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ๏€ผโˆ’4๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’4๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹9๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹9๏‡๏‡cossin

Q16:

Dรฉtermine les racines cubiques de 64, en donnant tes rรฉponses sous forme trigonomรฉtrique.

  • A๐‘=4๏Šง, ๐‘=4๏€ผ๏€ผ4๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ4๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šจsincos, ๐‘=4๏€ผ๏€ผโˆ’4๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผโˆ’4๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šฉsincos
  • B๐‘=8๏Šง, ๐‘=8๏€ผ๏€ผ4๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ4๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šจsincos, ๐‘=8๏€ผ๏€ผโˆ’4๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผโˆ’4๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šฉsincos
  • C๐‘=8๏Šง, ๐‘=8๏€ผ๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šจcossin, ๐‘=8๏€ผ๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šฉcossin
  • D๐‘=4๏Šง, ๐‘=4๏€ผ๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šจcossin, ๐‘=4๏€ผ๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šฉcossin

Q17:

Dรฉtermine les quatre racines de โˆ’1, en donnant tes rรฉponses sous forme trigonomรฉtrique.

  • A๐‘=๏€ผ๏€ผ3๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šงsincos, ๐‘=๏€ผ๏€ผ5๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ5๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šจsincos, ๐‘=๏€ผ๏€ผ7๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ7๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šฉsincos,ย ๐‘=๏€ผ๏€ผ9๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ9๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šชsincos
  • B๐‘=2๏€ผ๏€ผ3๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šงsincos, ๐‘=2๏€ผ๏€ผ5๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ5๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šจsincos, ๐‘=2๏€ผ๏€ผ7๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ7๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šฉsincos,ย ๐‘=2๏€ผ๏€ผ9๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ9๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šชsincos
  • C๐‘=2๏€ป๏€ป๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹4๏‡๏‡๏Šงcossin, ๐‘=2๏€ผ๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šจcossin, ๐‘=2๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹4๏‡๏‡๏Šฉcossin,ย ๐‘=2๏€ผ๏€ผโˆ’3๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’3๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šชcossin
  • D๐‘=๏€ป๏€ป๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹4๏‡๏‡๏Šงcossin, ๐‘=๏€ผ๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šจcossin, ๐‘=๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹4๏‡๏‡๏Šฉcossin,ย ๐‘=๏€ผ๏€ผโˆ’3๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’3๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šชcossin

Q18:

Dรฉtermine l'ensemble solutionย de l'รฉquation ๐‘ง=4๏€ปโˆš2โˆ’โˆš2๐‘–๏‡๏Šฉ dans โ„‚, en exprimant les solutions sous forme exponentielle.

  • A๏ญ2๐‘’,2๐‘’,2๐‘’๏น๏Šฑ๏ƒ๏ƒ๏Šฑ๏ƒ๏‘ฝ๏Ž ๏Žก๏Žฆ๏‘ฝ๏Ž ๏Žก๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ
  • B๏ญ2๐‘’,2๐‘’,2๐‘’๏น๏Šฑ๏ƒ๏ƒ๏ƒ๏Žฆ๏‘ฝ๏Ž ๏Žก๏‘ฝ๏Ž ๏Žก๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ
  • C๏ญ๐‘’,๐‘’,๐‘’๏น๏Šฑ๏ƒ๏ƒ๏ƒ๏‘ฝ๏Ž ๏Žก๏‘ฝ๏Žฃ๏Žฆ๏‘ฝ๏Ž ๏Žก
  • D๏ญ๐‘’,๐‘’,๐‘’๏น๏Šฑ๏ƒ๏ƒ๏Šฑ๏ƒ๏‘ฝ๏Ž ๏Žก๏Žฆ๏‘ฝ๏Ž ๏Žก๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ

Q19:

Rรฉsous ๐‘ง=16โˆš2+16๐‘–โˆš2๏Šซ.

  • A๐‘ง=2๐‘’๏‘ฝ๏Žก๏ŽŸ๏ƒ, 2๐‘’๏Žจ๏‘ฝ๏Žก๏ŽŸ๏ƒ, 2๐‘’๏Ž ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žก๏ŽŸ๏ƒ, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žก๏ŽŸ, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ
  • B๐‘ง=2๐‘’๏‘ฝ๏Ž ๏Žค๏ƒ, 2๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Ž ๏Žค๏ƒ, 2๐‘’๏Ž ๏Žข๏‘ฝ๏Ž ๏Žค๏ƒ, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Ž ๏‘ฝ๏Žข, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Ž ๏Ž ๏‘ฝ๏Ž ๏Žค
  • C๐‘ง=4๐‘’๏‘ฝ๏Žก๏ŽŸ๏ƒ, 4๐‘’๏Žจ๏‘ฝ๏Žก๏ŽŸ๏ƒ, 4๐‘’๏Ž ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žก๏ŽŸ๏ƒ, 4๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žก๏ŽŸ, 4๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ
  • D๐‘ง=4๐‘’๏‘ฝ๏Ž ๏Žค๏ƒ, 4๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Ž ๏Žค๏ƒ, 4๐‘’๏Ž ๏Žข๏‘ฝ๏Ž ๏Žค๏ƒ, 4๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Ž ๏‘ฝ๏Žข, 4๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Ž ๏Ž ๏‘ฝ๏Ž ๏Žค
  • E๐‘ง=32๐‘’๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, 32๐‘’๏Žจ๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, 32๐‘’๏Ž ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, 32๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žฃ, 32๐‘’๏Šฑ๏Šฉ๏Ž„๏ƒ

En reprรฉsentant ces solutions sur un plan complexe d'Argand, ou non, dรฉcris les propriรฉtรฉs gรฉomรฉtriques des solutions.

  • ALes racines sont les sommets d'un pentagone rรฉgulier inscrit dans un cercle de rayon 32 et de centre l'origine du repรจre.
  • BLes racines sont les sommets d'un pentagone rรฉgulier inscrit dans un cercle de rayon 1 et de centre l'origine du repรจre.
  • CLes racines sont les sommets d'un pentagone rรฉgulier inscrit dans un cercle de rayon 4 et de centre l'origine du repรจre.
  • DLes racines appartiennent ร  une droite.
  • ELes racines sont les sommets d'un pentagone rรฉgulier inscrit dans un cercle de rayon 2 et de centre l'origine du repรจre.

Q20:

Dรฉtermine les solutions de l'รฉquation ๐‘ง=125๐‘’๏Šฌ๏ƒ๏Žก๏‘ฝ๏Žข. Quelles sont leurs propriรฉtรฉs gรฉomรฉtriquesโ€‰?

  • A5๐‘’๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, 5๐‘’๏Žฃ๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, 5๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, 5๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žก๏‘ฝ๏Žจ, 5๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žค๏‘ฝ๏Žจ, 5๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žง๏‘ฝ๏Žจโ€‰; les racines sont les sommets d'un hexagone rรฉgulier ayant comme centre l'origine du repรจre, et inscrit dans un cercle de rayon 5.
  • Bโˆš5๐‘’๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, โˆš5๐‘’๏Žฃ๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, โˆš5๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, โˆš5๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žก๏‘ฝ๏Žจ, โˆš5๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žค๏‘ฝ๏Žจ, โˆš5๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žง๏‘ฝ๏Žจโ€‰; les racines sont les sommets d'un hexagone rรฉgulier ayant comme centre l'origine du repรจre, et inscrit dans un cercle de rayon โˆš5.
  • C5๐‘’๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, 5๐‘’๏Žฃ๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, 5๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, 5๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žก๏‘ฝ๏Žจ, 5๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žค๏‘ฝ๏Žจ, 5๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žง๏‘ฝ๏Žจโ€‰; les racines sont les sommets d'un hexagone rรฉgulier ayant comme centre l'origine du repรจre, et inscrit dans un cercle de rayon โˆš5.
  • Dโˆš5๐‘’๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, โˆš5๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Ž ๏Žง๏ƒ, โˆš5๐‘’๏Žฃ๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, โˆš5๐‘’๏Ž ๏Ž ๏‘ฝ๏Ž ๏Žง๏ƒ, โˆš5๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, โˆš5๐‘’๏Ž ๏Žฆ๏‘ฝ๏Ž ๏Žง๏ƒโ€‰; les racines sont les sommets d'un hexagone rรฉgulier ayant comme centre l'origine du repรจre, et inscrit dans un cercle de rayon โˆš5.
  • E125๐‘’๏Žก๏‘ฝ๏Žข๏ƒ, 125๐‘’๏Žง๏‘ฝ๏Žข๏ƒ, 125๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, 125๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Ž ๏Žฃ๏‘ฝ๏Žข, 125๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žค๏‘ฝ๏Žข, 125๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žง๏‘ฝ๏Žจโ€‰; les racines appartiennent ร  une droite qui passe par l'origine du repรจre.

Dรฉtermine les racines sixiรจmes de l'unitรฉ.

  • A๐‘’๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ, ๐‘–, ๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ, ๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏‘ฝ๏Žฅ, โˆ’๐‘–, ๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žค๏‘ฝ๏Žฅ
  • B1, ๐‘’๏‘ฝ๏Žข๏ƒ, ๐‘–, โˆ’1, ๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏‘ฝ๏Žข, โˆ’๐‘–
  • C1, ๐‘’๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ, ๐‘’๏‘ฝ๏Žข๏ƒ, ๐‘’๏‘ฝ๏Žก๏ƒ, ๐‘’๏Žก๏‘ฝ๏Žข๏ƒ, ๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ
  • D1, ๐‘’๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ, ๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ, โˆ’1, ๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏‘ฝ๏Žฅ, ๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žค๏‘ฝ๏Žฅ
  • E1, ๐‘’๏‘ฝ๏Žข๏ƒ, ๐‘’๏Žก๏‘ฝ๏Žข๏ƒ, โˆ’1, ๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏‘ฝ๏Žข, ๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žก๏‘ฝ๏Žข

Quelle est la relation entre les racines sixiรจmes de l'unitรฉ et les solutions de l'รฉquation ๐‘ง=125๐‘’๏Šฌ๏ƒ๏Žก๏‘ฝ๏Žขโ€‰?

  • ALes solutions de l'รฉquation sont les racines sixiรจmes de l'unitรฉ multipliรฉes par 5๐‘’๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ.
  • BLes solutions de l'รฉquation sont les racines sixiรจmes de l'unitรฉ multipliรฉes par 125๐‘’๏Žก๏‘ฝ๏Žข๏ƒ.
  • CLes solutions de l'รฉquation sont les racines sixiรจmes de l'unitรฉ multipliรฉes par 5๐‘’๏‘ฝ๏Žข.
  • DLes solutions de l'รฉquation sont les racines sixiรจmes de l'unitรฉ multipliรฉes par โˆš5๐‘’๏‘ฝ๏Žจ.
  • ELes solutions de l'รฉquation sont les racines sixiรจmes de l'unitรฉ multipliรฉes par โˆš5๐‘’๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ.

Q21:

Dรฉtermine les valeurs possibles de 1โˆš3๏€ฝ(๐‘–)+(๐‘–)๏‰๏Ž ๏Žข๏Ž ๏Žข๏Šฑ.

  • Aโˆ’2, 0 et 2
  • Bโˆ’1, 0 et 1
  • Cโˆ’2โˆš3, 0 et 2โˆš3
  • Dโˆ’1โˆš3, 0 et 1โˆš3
  • Eโˆ’13, 0 et 13

Q22:

Dรฉtermine les racines de l'รฉquation ๐‘ง+16=0๏Šฎ.

  • Aโˆš2๐‘’๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žง, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žค๏‘ฝ๏Žง, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žข๏‘ฝ๏Žง, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏‘ฝ๏Žง.
  • Bโˆš2๐‘’๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žฃ, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žค๏‘ฝ๏Žฃ, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏‘ฝ๏Žฃ
  • C2๐‘’๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, 2๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, 2๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, 2๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žง, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žค๏‘ฝ๏Žง, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žข๏‘ฝ๏Žง, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏‘ฝ๏Žง
  • D๐‘’๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ, ๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ, ๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ, ๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ, ๐‘’๏Žจ๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ, ๐‘’๏Ž ๏Ž ๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ, ๐‘’๏Ž ๏Žข๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ, ๐‘’๏Ž ๏Žค๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ
  • E2๐‘’๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, 2๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, 2๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, 2๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žฃ, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žค๏‘ฝ๏Žฃ, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏‘ฝ๏Žฃ

Les nombres complexes reprรฉsentant les racines de l'รฉquation ๐‘ง+16=0๏Šฎ sont chacun รฉlevรฉs au carrรฉ pour former les sommets d'une nouvelle figure. Que vaut l'aire de cette figureโ€‰?

Q23:

Dรฉtermine les coordonnรฉes des sommets de l'hexagone rรฉgulier centrรฉ autour de (โˆ’1;2) dont l'un des sommets est situรฉ en l'origine du repรจre.

Donne ta rรฉponse sous forme de coordonnรฉes cartรฉsiennes exactes.

  • A(0;0), ๏€ฟ3+2โˆš32;โˆš3โˆ’62๏‹, ๏€ฟ1+2โˆš32;โˆš3โˆ’22๏‹, (2;โˆ’4), ๏€ฟ1โˆ’2โˆš32;โˆ’โˆš3โˆ’22๏‹, ๏€ฟ3โˆ’2โˆš32;โˆ’โˆš3โˆ’62๏‹
  • B(0;0), ๏€ฟโˆ’2โˆ’โˆš32;โˆ’2โˆš3+12๏‹, ๏€ฟโˆ’6โˆ’โˆš32;โˆ’2โˆš3+12๏‹, (โˆ’4;2), ๏€ฟโˆ’6+โˆš32;2โˆš3+32๏‹, ๏€ฟโˆ’2+โˆš32;2โˆš3+12๏‹
  • C(0;0), ๏€ฟโˆ’1+2โˆš32;โˆš3+22๏‹, ๏€ฟโˆ’3+2โˆš32;โˆš3+62๏‹, (โˆ’2;4), ๏€ฟโˆ’3โˆ’2โˆš32;โˆ’โˆš3+62๏‹, ๏€ฟโˆ’1โˆ’2โˆš32;โˆ’โˆš3+22๏‹
  • D(0;0), (โˆ’2;0), (โˆ’3;2), (โˆ’2;4), (0;4), (1;2)
  • E(0;0), ๏€ฟ2+โˆš32;2โˆš3โˆ’12๏‹, ๏€ฟ6+โˆš32;2โˆš3โˆ’32๏‹, (4;โˆ’2), ๏€ฟ6โˆ’โˆš32;โˆ’2โˆš3โˆ’32๏‹, ๏€ฟ2โˆ’โˆš32;โˆ’2โˆš3โˆ’12๏‹

Q24:

Dรฉtermine les coordonnรฉes des sommets d'un pentagone rรฉgulier centrรฉ autour de l'origine du repรจre et avec un sommet situรฉ en (3;3).

Donne ta rรฉponse sous forme de coordonnรฉes cartรฉsiennes exactes.

  • A(3;3), ๏€ผ3โˆš2๏€ผ13๐œ‹20๏ˆ;3โˆš2๏€ผ13๐œ‹20๏ˆ๏ˆsincos, ๏€ผ3โˆš2๏€ผโˆ’19๐œ‹20๏ˆ;3โˆš2๏€ผโˆ’19๐œ‹20๏ˆ๏ˆsincos, ๏€ผ3โˆš2๏€ผโˆ’11๐œ‹20๏ˆ;3โˆš2๏€ผโˆ’11๐œ‹20๏ˆ๏ˆsincos, ๏€ผ3โˆš2๏€ผโˆ’3๐œ‹20๏ˆ;3โˆš2๏€ผโˆ’3๐œ‹20๏ˆ๏ˆsincos
  • B(3;3), ๏€ผ3โˆš2๏€ผ13๐œ‹20๏ˆ;3โˆš2๏€ผ13๐œ‹20๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ3โˆš2๏€ผโˆ’19๐œ‹20๏ˆ;3โˆš2๏€ผโˆ’19๐œ‹20๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ3โˆš2๏€ผโˆ’11๐œ‹20๏ˆ;3โˆš2๏€ผโˆ’11๐œ‹20๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ3โˆš2๏€ผโˆ’3๐œ‹20๏ˆ;3โˆš2๏€ผโˆ’3๐œ‹20๏ˆ๏ˆcossin
  • C(3;3), ๏€ผ3โˆš2๏€ผ11๐œ‹15๏ˆ;3โˆš2๏€ผ11๐œ‹15๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ3โˆš2๏€ผโˆ’13๐œ‹15๏ˆ;3โˆš2๏€ผโˆ’13๐œ‹15๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ3โˆš2๏€ผโˆ’7๐œ‹15๏ˆ;3โˆš2๏€ผโˆ’7๐œ‹15๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ป3โˆš2๏€ปโˆ’๐œ‹15๏‡;3โˆš2๏€ปโˆ’๐œ‹15๏‡๏‡cossin
  • D(3;3), ๏€ผ3๏€ผ13๐œ‹20๏ˆ;3๏€ผ13๐œ‹20๏ˆ๏ˆsincos, ๏€ผ3๏€ผโˆ’19๐œ‹20๏ˆ;3๏€ผโˆ’19๐œ‹20๏ˆ๏ˆsincos, ๏€ผ3๏€ผโˆ’11๐œ‹20๏ˆ;3๐‘๐‘œ๐‘ ๏€ผโˆ’11๐œ‹20๏ˆ๏ˆsin, ๏€ผ3๏€ผโˆ’3๐œ‹20๏ˆ;3๏€ผโˆ’3๐œ‹20๏ˆ๏ˆsincos
  • E(3;3), ๏€ผ3๏€ผ13๐œ‹20๏ˆ;3๏€ผ13๐œ‹20๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ3๏€ผโˆ’19๐œ‹20๏ˆ;3๏€ผโˆ’19๐œ‹20๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ3๏€ผโˆ’11๐œ‹20๏ˆ;3๏€ผโˆ’11๐œ‹20๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ผ3๏€ผโˆ’3๐œ‹20๏ˆ;3๏€ผโˆ’3๐œ‹20๏ˆ๏ˆcossin

Q25:

Un petit robot est programmรฉ pour se dรฉplacer de ๐‘Ž unitรฉs vers l'avant, puis il tourne ร  gauche selon un angle de 2๐œ‘. S'il effectue cette procรฉdure ๐‘› fois, ร  quelle distance sera-t-il du point de dรฉpartโ€‰? Donne une rรฉponse exacte.

  • A|||(๐‘›๐œ‘)๐œ‘|||sinsin
  • B|(๐‘›๐œ‘)|cos
  • C|๐‘Ž||||(๐‘›๐œ‘)๐œ‘|||sinsin
  • D|๐‘Ž|
  • E|๐‘Ž||(๐‘›๐œ‘)|sin

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