Feuille d'activités : Déterminer la matrice de la transformation linéaire définie par une rotation suivie d'une symétrie pour les vecteurs

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer la matrice de la transformation linéaire qui fait pivoter chaque vecteur d'un angle donné et applique une symétrie axiale suivant l'axe des abscisses ou des ordonnées.

Q1:

Un vecteur de est tourné dans le sens trigonométrique autour de l'origine du repère selon un angle de 2𝜋3, puis le résultat est réfléchi par rapport à l'axe des 𝑥. Détermine, dans la base canonique, la matrice de cette combinaison de transformations.

  • A32121232
  • B12323212
  • C12323212
  • D12323212
  • E32123212

Q2:

Suppose que 𝐴 et 𝐵 sont des matrices de taille 2×2, avec 𝐴 représentant une rotation en sens trigonométrique 30 autour de l'origine du repère et 𝐵 représentant une symétrie par rapport à l'axe des 𝑥. Que représente la matrice 𝐵𝐴?

  • Aune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine avec une inclinaison de 45
  • Bune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine avec une inclinaison de 15
  • Cune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine avec une inclinaison de 75
  • Dune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine avec une inclinaison de 15
  • Eune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine avec une inclinaison de 75

Q3:

Soient 𝐴 et 𝐵 des matrices de taille 2×2, avec 𝐴 représentant une rotation dans le sens trigonométrique d'angle 30 par rapport à l'origine et 𝐵 représentant une symétrie par rapport à l'axe des 𝑥. Que représente la matrice 𝐴𝐵?

  • Aune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine et avec 75 d'inclinaison
  • Bune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine et avec 15 d'inclinaison
  • Cune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine et avec 75 d'inclinaison
  • Dune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine et avec 45 d'inclinaison
  • Eune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine et avec 15 d'inclinaison

Q4:

Décris l'effet géométrique de la transformation produite par la matrice 0330.

  • Aune dilatation de centre l'origine et de facteur d'agrandissement 3 suivie d'une symétrie d'axe la droite d'équation 𝑦=𝑥
  • Bune dilatation de centre l'origine et de facteur d'agrandissement 3 suivie d'une rotation d'angle 90 autour de l'origine
  • Cune dilatation de centre l'origine et de facteur d'agrandissement 3 suivie d'une symétrie d'axe la droite d'équation 𝑦=𝑥
  • Dune dilatation de centre l'origine et de facteur d'agrandissement 3 suivie d'une rotation d'angle 180
  • Eune dilatation de centre l'origine et de facteur d'agrandissement 3 suivie d'une rotation d'angle 90 autour de l'origine

Q5:

Laquelle des composées de transformations suivantes est représentée par la matrice 0220?

  • A une dilatation de centre l'origine et le facteur d'échelle 2 suivie d'une symétrie axiale par rapport à la droite d'équation 𝑦=𝑥
  • Bune rotation de 180 par rapport à l'origine suivie d'une symétrie axiale par rapport à la droite d'équation 𝑦=𝑥
  • Cune dilatation de centre l'origine et le facteur d'échelle 2 suivie d'une symétrie axiale par rapport à la droite d'équation 𝑦=𝑥
  • Dune dilatation de centre l'origine et le facteur d'échelle 2 suivie d'une symétrie axiale par rapport à la droite d'équation 𝑦=𝑥
  • E une dilatation de centre l'origine et le facteur d'échelle 2 suivie d'une symétrie axiale par rapport à la droite d'équation 𝑦=𝑥

Q6:

Une dilatation de centre l'origine du repère est composée avec rotation autour de l'origine pour former une nouvelle transformation linéaire. La transformation formée envoie le vecteur 34 sur 3356.

Détermine la matrice représentant la transformation formée.

  • A110014
  • B12,921,441,4412,92
  • C512125
  • D512125
  • E512125

Détermine le facteur d'agrandissement de la dilatation d'origine.

  • Afacteur d'agrandissement = 154
  • Bfacteur d'agrandissement = 13
  • Cfacteur d'agrandissement = 169
  • Dfacteur d'agrandissement = 13
  • Efacteur d'agrandissement =119

Q7:

Le carré unité de sommets 𝑂(0,0),𝐴(1,0),𝐵(1,1) et 𝐶(0,1) est transformé par une rotation puis une dilatation. Son image sous cette composée est 𝑂𝐴𝐵𝐶, comme illustré sur la figure.

Quelles sont les coordonnées de 𝐴?

  • A32,32
  • B32,32
  • C23,23
  • D32,32
  • E23,23

Quelle est la matrice représentant la composée?

  • A23232323
  • B32323232
  • C23232323
  • D32323233
  • E32323232

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