Fiche d'activités de la leçon : Modélisation avec des fonctions périodiques Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à modéliser des situations réelles à l'aide de fonctions périodiques.

Q1:

Londres est située dans l’hémisphère nord et la durée du jour varie au cours de l’année. Le 21 décembre, il y a environ 7 heures et 49 minutes de jour, tandis que le 21 juin, il y a 16 heures et 38 minutes. Lequel des modèles suivants pourrait approcher au mieux les variations de la durée du jour à Londres, où est le nombre d’heures du jour et 𝑗 le nombre de jours écoulés depuis le premier janvier?

  • A=352𝜋365(𝑗+11)cos
  • B=124,42𝜋365(𝑗+11)cos
  • C=2432𝜋365(𝑗7)sin
  • D=994𝜋365(𝑗30)sin
  • E=544𝜋365(𝑗13)sin

Q2:

La profondeur de l'eau dans un port de pêche, 𝑆, est affectée par le mouvement des marées. Elle peut être représentée par 𝑆=4(15𝑛)+28sin, 𝑆 est mesurée en mètres et 𝑛 est le temps écoulé, en heures, après minuit. Combien de fois par jour la profondeur de l'eau est-elle exactement de 24 mètres?

  • Aquatre fois
  • Bune fois
  • Cdeux fois
  • Dtrois fois

Q3:

La fluctuation de la température à Londres au cours d'une journée peut être modélisée à l'aide d'une fonction sinusoïdale.

Étant donné que la température maximale de 21C a été atteinte à 3 heures de l'après-midi, et que la température minimale 10C a été atteinte à 3 heures du matin, écris une expression pour la température en fonction de 𝑡, le nombre d'heures après minuit.

  • A𝑇=5,5𝜋12(𝑡15)+15,5cos
  • B𝑇=5,5𝜋12(𝑡+15)+15,5cos
  • C𝑇=𝜋12(𝑡15)+21cos
  • D𝑇=𝜋12(𝑡+15)+21cos
  • E𝑇=5,5𝜋12(𝑡15)+21cos

Enfin, détermine la température à 7 heures du soir.

  • A𝑇=21,5C
  • B𝑇=10,74C
  • C𝑇=18,25C
  • D𝑇=20,13C
  • E𝑇=23,75C

Q4:

Bastien et Lise est allé nager dans la mer à 14 heures, quand c'était la marée haute. La variation de la hauteur de l’eau par rapport à la moyenne annuelle est donnée par =54𝜋25𝑡cos, 𝑡 est le temps, en heures, après une marée haute.

À quelle heure se produit la marée haute suivante?

  • A2:30 pm
  • B12:00 am
  • C2:00 am
  • D2:00 pm
  • E2:30 am

Quand y aura-t-il la marée haute pendant l'après-midi, trois jours plus tard?

  • A5 pm
  • B12 am
  • C12 pm
  • D5 am
  • E5:30 pm

Ils veulent retourner à la même plage trois jours plus tard, dans l'après-midi, et voudraient que la hauteur de l'eau soit au moins 4 mètres au-dessus de la moyenne annuelle. Entre quels moments devraient-ils y aller?

  • Aentre 6:15 pm et 4:12 am
  • Bentre 1:17 pm et 11:12 pm
  • Centre 3:17 pm et 1:12 am
  • Dentre 3:42 pm et 6:17 pm
  • Eentre 12:42 pm et 3:17 pm

Q5:

Le nombre d'heures de lumière du jour à Paris dépend de la saison et est modélisé par 𝑑=1242𝜋365(𝑡+10)cos, 𝑡 est le nombre de jours dans une année (le 1er janvier est le jour 1). D'après le modèle, quel est le jour à Paris qui dure 10 heures?

  • A20 février, 21 avril
  • B20 janvier, 22 mai
  • C21 août, 21 octobre
  • D21 avril, 21 août
  • E20 février, 21 octobre

Q6:

Une particule se déplace le long de l'axe des 𝑥 de sorte que son déplacement depuis l'origine 𝑂 après 𝑡 secondes est 7(12𝑡)sin mètres. Détermine les instants en lesquels le déplacement de la particule est égal à 72 mètres. Utilise 𝑛 pour dénoter un entier naturel arbitraire.

  • A𝑡=7𝜋72+𝑛𝜋6secondes, 𝑡=7𝜋6+2𝑛𝜋secondes
  • B𝑡=7𝜋72+𝑛𝜋6secondes, 𝑡=11𝜋72+𝑛𝜋6secondes
  • C𝑡=72+𝑛𝜋6secondes, 𝑡=72+2𝑛𝜋secondes
  • D𝑡=𝜋72+𝑛𝜋6secondes, 𝑡=72+2𝑛𝜋secondes
  • E𝑡=𝜋72+𝑛𝜋6secondes, 𝑡=7𝜋6+2𝑛𝜋secondes

Q7:

La profondeur de l’eau dans un port de pêche est habituellement de 29 mètres. Le mouvement des marées est représenté par 𝑆=3(15𝑛)+29cos, 𝑛 est le temps écoulé, en heures, après minuit. Combien de fois par jour la profondeur de l’eau est de 32 mètres?

  • Atrois fois
  • Bune fois
  • Cdeux fois
  • Dquatre fois

Q8:

Pierre est assis au bord d'une jetée, ses pieds pendent à 60 cm au-dessous de la jetée. La jetée est généralement à 80 cm au-dessus du lac. Mais c'est une journée venteuse et les vagues font osciller la profondeur du lac. La profondeur du lac sous la jetée est indiquée, en mètres, par 𝑑=𝑑+0,32𝜋10𝑡sin, 𝑑 est la profondeur du lac par temps calme, et 𝑡 le temps en secondes. Quelle fraction du temps Pierre a-t-il les pieds sous l'eau? Exprime ta réponse sous forme de pourcentage au dixième près.

  • A38,4%
  • B76,8%
  • C23,2%
  • D53,5%
  • E26,8%

Q9:

Clémentine est en train de sauter sur un trampoline. Sa hauteur au-dessus du trampoline, en mètres, est donnée par =1𝜋2𝑡cos, à 𝑡 secondes après qu'elle a commencé à sauter.

Combien de secondes après chaque rebond lui faut-il pour atteindre une hauteur de 50 cm pendant la descente? Arrondis ta réponse au dixième de seconde près.

  • A0,3 s
  • B3,3 s
  • C1,7 s
  • D2,6 s
  • E0,7 s

Pendant quelle fraction du temps Clémentine se situe-t-elle à au moins 1,2 m au-dessus du trampoline? Exprime ta réponse sous la forme d'un pourcentage, au dixième près.

  • A56,4%
  • B43,6%
  • C87,2%
  • D71,8%
  • E28,2%

Q10:

La fluctuation de température pendant un jour d’hiver froid (en degrés Celsius) est modélisée par 𝑇=3𝜋12(𝑡14)+2cos, 𝑡 est l'heure du jour exprimée en heures après minuit. À quelles heures de la journée la température était de 0C?

  • A5 h 13 du matin, 10 h 47 du matin
  • B5 h 13 du soir, 10 h 47 du soir
  • C5 h 13 du matin, 10 h 47 du soir
  • D4 h 47 du matin, 11 h 13 du matin
  • E5 h 13 du soir, 10 h 47 du matin

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