Feuille d'activités : Modélisation avec des fonctions périodiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à modéliser des situations réelles à l'aide de fonctions périodiques.

Q1:

Une masse attachée à l’extrémité basse d’un ressort produit des oscillations où (𝑡), le déplacement, en centimètres, de la masse par rapport à la position d’équilibre peut être modélisé ainsi par la fonction (𝑡)=4𝜋2𝑡,cos

𝑡 est mesurée en secondes. Détermine l’amplitude, la période et la fréquence du déplacement.

  • Aamplitude: 4 cm, période: 4 s, fréquence: 14 Hz
  • Bamplitude: 2 cm, période: 4 s, frequency: 14 Hz
  • Camplitude: 4 cm, période: 2 s, frequency: 12 Hz
  • Damplitude: 4 cm, période: 12 s, frequency: 2 Hz
  • Eamplitude: 4 cm, période: 14 s, frequency: 4 Hz

Q2:

Une grande roue a pour diamètre 20 m in diameter. Une balade dans la roue se déroule sur 6 minutes et consiste en une révolution complète, démarrant et finissant au point le plus bas. Lorsqu’un visiteur embarque dans la grande roue, son siège se situe à 2 m au dessus du sol. Pendant combien de temps sera-t-il au-dessus de 13 m du sol pendant la balade?

  • A4 minutes24 secondes
  • B2 minutes19 secondes
  • C3 minutes54 secondes
  • D2 minutes49 secondes
  • E3 minutes18 secondes

Q3:

Dans une région, les précipitations mensuelles atteignent un pic égal à 24 pouces en septembre et un minimum de 4 pouces en mars. Identifie les périodes d’inondation dans la région (précipitations supérieures strictes à 22 pouces) et celles de sécheresse (inférieures strictes à 5 pouces). Donne ta réponse en fonction du jour suivant.

  • Ainondations: du 7 octobre au 4 février, sécheresse: du 27 mars au 24 juillet
  • Binondations: du 4 août au 25 septembre, sécheresse: du 23 janvier au 6 avril
  • Cinondations: du 24 juillet au 7 octobre, sécheresse: du 4 février au 27 mars
  • Dinondations: du 23 janvier au 6 avril, sécheresse: du 4 août au 25 septembre
  • Einondations: du 4 février au 27 mars, sécheresse: du 24 juillet au 7 octobre

Q4:

Un ressort est fixé en l’une de ses extrémités et est suspendue verticalement. Son extrémité inférieure est tirée de 11 cm vers le bas par rapport à sa position d’équilibre puis elle est relâchée. Le ressort effectue 8 oscillations chaque seconde; et après 2 secondes, l’amplitude des oscillations est égale à 6 cm. Combien de temps cela prend-il pour que les amplitudes atteignent 0,1 cm? Arrondis le résultat au dixième près.

Q5:

Durant une saison des moussons de 90 jours, les précipitations journalières peuvent être modélisées par des fonctions sinusoïdales. Si les précipitations fluctuent entre un minimum de 2 pouces au jour 10 et un maximum de 12 pouces au jour 55, durant quelle période les précipitations sont-elles strictement supérieures à 10 pouces?

  • Adu jour 9 au jour 35
  • Bdu jour 41 au jour 68
  • Cdu jour 64 au jour 90
  • Ddu jour 43 au jour 66
  • Edu jour 19 au jour 45

Q6:

Londres est située dans l’hémisphère nord et la durée du jour varie au cours de l’année. Le 21 décembre, il y a environ 7 heures et 49 minutes de jour, tandis que le 21 juin, il y a 16 heures et 38 minutes. Lequel des modèles suivants pourrait approcher au mieux les variations de la durée du jour à Londres, où est le nombre d’heures du jour et 𝑗 le nombre de jours écoulés depuis le premier janvier?

  • A=352𝜋365(𝑗+11)cos
  • B=124,42𝜋365(𝑗+11)cos
  • C=2432𝜋365(𝑗7)sin
  • D=994𝜋365(𝑗30)sin
  • E=544𝜋365(𝑗13)sin

Q7:

La profondeur de l’eau dans un port de pêche est habituellement de 28 mètres. Le mouvement des marées est représenté par 𝑆=4(15𝑛)+28sin, 𝑛 est le temps écoulé, en heures, après minuit. Combien de fois par jour la profondeur de l’eau est de 24 mètres?

  • Aquatrefois
  • Bunecinq
  • Ctroisfois
  • Ddeuxfois

Q8:

La fluctuation de la température à Londres au cours d'une journée peut être modélisée à l'aide d'une fonction sinusoïdale.

Étant donné que la température maximale de 21C a été atteinte à 3 heures de l'après-midi, et que la température minimale 10C a été atteinte à 3 heures du matin, écris une expression pour la température en fonction de 𝑡, le nombre d'heures après minuit.

  • A𝑇=5,5𝜋12(𝑡15)+15,5cos
  • B𝑇=5,5𝜋12(𝑡+15)+15,5cos
  • C𝑇=𝜋12(𝑡15)+21cos
  • D𝑇=𝜋12(𝑡+15)+21cos
  • E𝑇=5,5𝜋12(𝑡15)+21cos

Enfin, détermine la température à 7 heures du soir.

  • A𝑇=21,5C
  • B𝑇=10,74C
  • C𝑇=18,25C
  • D𝑇=20,13C
  • E𝑇=23,75C

Q9:

Jacques et Kenza est allé nager dans la mer à 14 heures, quand c'était la marée haute. La variation de la hauteur de l’eau par rapport à la moyenne annuelle est donnée par =54𝜋25𝑡cos, 𝑡 est le temps, en heures, après une marée haute.

À quelle heure se produit la marée haute suivante?

  • A2:30 am
  • B2:00 am
  • C12:00 am
  • D2:00 pm
  • E2:30 pm

Quand y aura-t-il la marée haute pendant l'après-midi, trois jours plus tard?

  • A5 am
  • B5 pm
  • C5:30 pm
  • D12 pm
  • E12 am

Ils veulent retourner à la même plage trois jours plus tard, dans l'après-midi, et voudraient que la hauteur de l'eau soit au moins 4 mètres au-dessus de la moyenne annuelle. Entre quels moments devraient-ils y aller?

  • Aentre 12:42 pm et 3:17 pm
  • Bentre 1:17 pm et 11:12 pm
  • Centre 6:15 pm et 4:12 am
  • Dentre 3:17 pm et 1:12 am
  • Eentre 3:42 pm et 6:17 pm

Q10:

Le nombre d'heures de lumière du jour à Paris dépend de la saison et est modélisé par 𝑑=1242𝜋365(𝑡+10)cos, 𝑡 est le nombre de jours dans une année (le 1er janvier est le jour 1). D'après le modèle, quel est le jour à Paris qui dure 10 heures?

  • A21 avril, 21 août
  • B20 janvier, 22 mai
  • C20 février, 21 avril
  • D21 août, 21 octobre
  • E20 février, 21 octobre

Q11:

Une particule se déplace le long de l'axe des 𝑥 de sorte que son déplacement depuis l'origine 𝑂 après 𝑡 secondes est 7(12𝑡)sin mètres. Détermine les instants en lesquels le déplacement de la particule est égal à 72 mètres. Utilise 𝑛 pour dénoter un entier naturel arbitraire.

  • A𝑡=7𝜋72+𝑛𝜋6secondes, 𝑡=7𝜋6+2𝑛𝜋secondes
  • B𝑡=7𝜋72+𝑛𝜋6secondes, 𝑡=11𝜋72+𝑛𝜋6secondes
  • C𝑡=72+𝑛𝜋6secondes, 𝑡=72+2𝑛𝜋secondes
  • D𝑡=𝜋72+𝑛𝜋6secondes, 𝑡=72+2𝑛𝜋secondes
  • E𝑡=𝜋72+𝑛𝜋6secondes, 𝑡=7𝜋6+2𝑛𝜋secondes

Q12:

L’aire de la banquise au Pôle Sud fluctue entre 18 millions de kilomètres carrés le 1er septembre à 3 millions de kilomètres carrés le 1er mars. Modélise cette aire comme une fonction sinusoïdale du temps puis estime l’intervalle des dates pendant lequel il y a plus que 15 millions de kilomètres carrés de banquise.

  • Adu July 7 au November 24
  • Bdu September 10 au February 19
  • Cdu January 15 au June 16
  • Ddu July 10 au September 1
  • Edu 7 juillet au 24 octobre

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