Feuille d'activités : Déterminer la décomposition en éléments simples avec des facteurs linéaires répétés

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à décomposer des expressions rationnelles en éléments simples lorsque le dénominateur a des facteurs linéaires répétés.

Q1:

Considère l'expression rationnelle 𝑅=5𝑥31𝑥+39(𝑥4)(𝑥+1). La stratégie suivante permet de l'écrire comme somme d'éléments simples.

Quelle est la valeur de 𝑅(𝑥4) lorsque 𝑥=4? Notons-la 𝑎.

Ainsi, 𝑅=𝑎(𝑥4)+𝑆. Que vaut 𝑆? Donne la forme factorisée et simplifiée.

  • A𝑆=(𝑥2)(𝑥4)(𝑥+1)
  • B𝑆=(𝑥2)(𝑥4)(𝑥+1)
  • C𝑆=5(𝑥+2)(𝑥4)(𝑥+1)
  • D𝑆=5(𝑥2)(𝑥4)(𝑥+1)
  • E𝑆=5(𝑥2)(𝑥4)(𝑥+1)

Répète la première étape avec (𝑥4)𝑆 et (𝑥+1)𝑆 pour déterminer 𝑏 et 𝑐 de sorte que 𝑆=𝑏(𝑥4)+𝑐(𝑥+1). Quelle est finalement la décomposition en éléments simples de 𝑅?

  • A3𝑥+12𝑥41(𝑥4)
  • B3𝑥+1+2𝑥41(𝑥4)
  • C3𝑥+1+1𝑥42(𝑥4)
  • D3𝑥+11𝑥4+2(𝑥4)
  • E3𝑥+1+2𝑥4+1(𝑥4)

Q2:

Exprime 𝑥2(𝑥+2)(𝑥+1) en éléments simples.

  • A2𝑥+2+1(𝑥+1)
  • B1𝑥+2+2𝑥+11(𝑥+1)
  • C2𝑥+21𝑥+11(𝑥+1)
  • D2𝑥+21𝑥+11(𝑥+1)
  • E2𝑥+21(𝑥+1)

Q3:

Détermine la décomposition en éléments simples de 𝑥+𝑥+1𝑥(𝑥3)(𝑥+1).

  • A32(𝑥+1)+116(𝑥+1)13𝑥+1348(𝑥3)
  • B32(𝑥+1)+116(𝑥+1)+13𝑥712(𝑥3)
  • C14(𝑥+1)+116(𝑥+1)13𝑥+1348(𝑥3)
  • D14(𝑥+1)+116(𝑥+1)+13𝑥+1348(𝑥3)
  • E14(𝑥+1)+116(𝑥+1)13𝑥712(𝑥3)

Q4:

Détermine 𝐴 et 𝐵 de sorte que 2𝑥(𝑥3)=𝐴𝑥3+𝐵(𝑥3).

  • A𝐴=6, 𝐵=2
  • B𝐴=2, 𝐵=6
  • C𝐴=2, 𝐵=6
  • D𝐴=2, 𝐵=6
  • E𝐴=2, 𝐵=6

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