Feuille d'activités : Déterminer la décomposition en éléments simples avec des facteurs linéaires répétés

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à décomposer des expressions rationnelles en éléments simples lorsque le dénominateur a des facteurs linéaires répétés.

Q1:

Considère l'expression rationnelle 𝑅=5𝑥−31𝑥+39(𝑥−4)(𝑥+1). La stratégie suivante permet de l'écrire comme somme d'éléments simples.

Quelle est la valeur de 𝑅(𝑥−4) lorsque 𝑥=4 ? Notons-la 𝑎.

Ainsi, 𝑅=𝑎(𝑥−4)+𝑆. Que vaut 𝑆 ? Donne la forme factorisée et simplifiée.

  • A𝑆=(𝑥−2)(𝑥−4)(𝑥+1)
  • B𝑆=(𝑥−2)(𝑥−4)(𝑥+1)
  • C𝑆=5(𝑥+2)(𝑥−4)(𝑥+1)
  • D𝑆=5(𝑥−2)(𝑥−4)(𝑥+1)
  • E𝑆=5(𝑥−2)(𝑥−4)(𝑥+1)

Répète la première étape avec (𝑥−4)𝑆 et (𝑥+1)𝑆 pour déterminer 𝑏 et 𝑐 de sorte que 𝑆=𝑏(𝑥−4)+𝑐(𝑥+1). Quelle est finalement la décomposition en éléments simples de 𝑅 ?

  • A3𝑥+1−2𝑥−4−1(𝑥−4)
  • B3𝑥+1+2𝑥−4−1(𝑥−4)
  • C3𝑥+1+1𝑥−4−2(𝑥−4)
  • D3𝑥+1−1𝑥−4+2(𝑥−4)
  • E3𝑥+1+2𝑥−4+1(𝑥−4)

Q2:

Exprime 𝑥−2(𝑥+2)(𝑥+1) en éléments simples.

  • A2𝑥+2+1(𝑥+1)
  • B−1𝑥+2+2𝑥+1−1(𝑥+1)
  • C2𝑥+2−1𝑥+1−1(𝑥+1)
  • D−2𝑥+2−1𝑥+1−1(𝑥+1)
  • E2𝑥+2−1(𝑥+1)

Q3:

Détermine la décomposition en éléments simples de 𝑥+𝑥+1𝑥(𝑥−3)(𝑥+1).

  • A−32(𝑥+1)+116(𝑥+1)−13𝑥+1348(𝑥−3)
  • B−32(𝑥+1)+116(𝑥+1)+13𝑥−712(𝑥−3)
  • C14(𝑥+1)+116(𝑥+1)−13𝑥+1348(𝑥−3)
  • D14(𝑥+1)+116(𝑥+1)+13𝑥+1348(𝑥−3)
  • E14(𝑥+1)+116(𝑥+1)−13𝑥−712(𝑥−3)

Q4:

Détermine 𝐴 et 𝐵 de sorte que 2𝑥(𝑥−3)=𝐴𝑥−3+𝐵(𝑥−3).

  • A𝐴=6, 𝐵=2
  • B𝐴=2, 𝐵=6
  • C𝐴=2, 𝐵=−6
  • D𝐴=−2, 𝐵=−6
  • E𝐴=−2, 𝐵=6

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