Feuille d'activités de la leçon : Opérations sur les vecteurs en 3D Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à effectuer des opérations sur des vecteurs en 3D, telles que l'addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire.

Question 1

Γ‰tant donnΓ©s ⃑𝑒=βˆ’5βƒ‘π‘–βˆ’8⃑𝑗+6βƒ‘π‘˜ et βƒ‘π‘Ÿ=4βƒ‘π‘–βˆ’3⃑𝑗+13βƒ‘π‘˜, dΓ©termine βƒ‘π‘’βˆ’βƒ‘π‘Ÿ.

  • Aβˆ’9βƒ‘π‘–βˆ’5βƒ‘π‘—βˆ’7βƒ‘π‘˜
  • Bβˆ’11βƒ‘π‘–βˆ’4βƒ‘π‘—βˆ’20βƒ‘π‘˜
  • Cβˆ’βƒ‘π‘–βˆ’11⃑𝑗+19βƒ‘π‘˜
  • Dβˆ’9βƒ‘π‘–βˆ’11βƒ‘π‘—βˆ’20βƒ‘π‘˜

Question 2

Γ‰tant donnΓ©s ⃑𝑒=(βˆ’8;9;9) et βƒ‘π‘Ÿ=(βˆ’6;4;9), dΓ©termine 25βƒ‘π‘’βˆ’45βƒ‘π‘Ÿ.

  • Aο€Όβˆ’8;25;βˆ’185
  • Bο€Ό8;25;βˆ’185
  • Cο€Ό85;25;βˆ’185

Question 3

Si ⃑𝑒=(βˆ’1;1;1) et ⃑𝑀=(1;1;βˆ’2), dΓ©termine le vecteur ⃑𝑠 pour lequel 2⃑𝑠+5⃑𝑒=5⃑𝑀.

  • Aο€Ό0;5;βˆ’52
  • Bο€Ό3;2;βˆ’112
  • C(10;0;βˆ’15)
  • Dο€Ό5;0;βˆ’152

Question 4

Si ⃑𝐴=9βƒ‘π‘–βˆ’7⃑𝑗+8βƒ‘π‘˜ et ⃑𝐡=8βƒ‘π‘–βˆ’3⃑𝑗+4βƒ‘π‘˜, alors dΓ©termine βƒ‘π΄βˆ’23⃑𝐡.

  • Aβˆ’73⃑𝑖+133⃑𝑗
  • Bβˆ’73βƒ‘π‘–βˆ’133⃑𝑗
  • C253βƒ‘π‘–βˆ’133⃑𝑗+163βƒ‘π‘˜
  • Dβˆ’73βƒ‘π‘–βˆ’13⃑𝑗

Question 5

Sachant que ⃑𝑒=⃑𝑖+⃑𝑗+βƒ‘π‘˜, ⃑𝑣=βƒ‘π‘–βˆ’2⃑𝑗+3βƒ‘π‘˜ et ⃑𝑀=βˆ’βƒ‘π‘–βˆ’βƒ‘π‘—+βƒ‘π‘˜, dΓ©termine ⃑𝑒+⃑𝑣–⃑𝑀.

  • A3⃑𝑖+3βƒ‘π‘˜
  • Bβƒ‘π‘–βˆ’2⃑𝑗+3βƒ‘π‘˜
  • Cβƒ‘π‘–βˆ’2⃑𝑗
  • Dβƒ‘π‘–βˆ’2⃑𝑗+5βƒ‘π‘˜
  • E3⃑𝑖+3⃑𝑗

Question 6

Si ⃑𝑒=βˆ’βƒ‘π‘–βˆ’βƒ‘π‘—+2βƒ‘π‘˜, ⃑𝑣=⃑𝑗+βƒ‘π‘˜ et ⃑𝑀=βˆ’βƒ‘π‘–βˆ’βƒ‘π‘˜, alors dΓ©termine ‖‖⃑𝑒–⃑𝑣–⃑𝑀‖‖.

  • A1
  • B2
  • C2√3
  • D3√2
  • E2√2

Question 7

Supposons que ⃑𝑒=(4;7;βˆ’7), ⃑𝑀=(βˆ’5;1;βˆ’2), et ⃑𝑒+⃑𝑀+βƒ‘π‘Ÿ=⃑𝑖. Que vaut βƒ‘π‘Ÿβ€‰?

  • A⃑𝑖
  • B8βƒ‘π‘—βˆ’9βƒ‘π‘˜
  • Cβƒ‘π‘–βˆ’8⃑𝑗+9βƒ‘π‘˜
  • D2βƒ‘π‘–βˆ’8⃑𝑗+9βƒ‘π‘˜

Question 8

Sachant que ⃑𝐴=3⃑𝑖+⃑𝑗+π‘šβƒ‘π‘˜ et que ⃑𝐡 est un vecteur unitaire Γ©gale Γ  15⃑𝐴, dΓ©termine les valeurs possibles de π‘š.

  • A35;βˆ’35
  • B√155;βˆ’βˆš155
  • C√15;βˆ’βˆš15
  • D15;βˆ’15

Question 9

Soit un vecteur unitaire ⃑𝑒 tel que 11⃑𝑒=(βˆ’1;βˆ’2;π‘˜). DΓ©termine les valeurs possibles de π‘˜.

  • A116;βˆ’116
  • B116121;βˆ’116121
  • C2√2911;βˆ’2√2911
  • D2√29;βˆ’2√29

Question 10

Γ‰tant donnΓ©s les vecteurs de position ⃑𝐴=βˆ’3⃑𝑗+5βƒ‘π‘˜ et ⃑𝐡=βˆ’2⃑𝑖+3⃑𝑗+4βƒ‘π‘˜, dΓ©termine le vecteur unitaire dans la direction ⃑𝐡–⃑𝐴.

  • A√4141ο€»βˆ’2⃑𝑖+6βƒ‘π‘—βˆ’βƒ‘π‘˜ο‡
  • B√8585ο€»βˆ’2⃑𝑖+9βƒ‘π‘˜ο‡
  • C√721ο€»βˆ’2⃑𝑖+6βƒ‘π‘—βˆ’βƒ‘π‘˜ο‡
  • D√4141ο€»2βƒ‘π‘–βˆ’6⃑𝑗+βƒ‘π‘˜ο‡

Question 11

DΓ©termine le vecteur unitaire de mΓͺme direction et sens que 𝐴𝐡, oΓΉ 𝐴(βˆ’4;5;2) et 𝐡(βˆ’9;βˆ’2;3).

  • A(βˆ’5;βˆ’7;1)
  • B(1;1;1)
  • Cο€Ύβˆ’1√3;βˆ’75√3;15√3
  • Dο€Ύ1√3;75√3;βˆ’15√3

Question 12

DΓ©termine π‘˜ pour que les points de coordonnΓ©es (3;9;βˆ’4), (9;βˆ’3;βˆ’1), (βˆ’7;29;π‘˜) sont alignΓ©s.

Question 13

Soient ⃑𝑉 et οƒŸπ‘Š deux vecteurs dΓ©finis par ⃑𝑉=(βˆ’1;5;βˆ’2) et οƒŸπ‘Š=(3;1;1). En comparant β€–β€–βƒ‘π‘‰βˆ’οƒŸπ‘Šβ€–β€– et β€–β€–βƒ‘π‘‰β€–β€–βˆ’β€–β€–οƒŸπ‘Šβ€–β€–, quelle quantitΓ© est la plus grande ?

  • AThey are both the same.
  • Bβ€–β€–βƒ‘π‘‰β€–β€–βˆ’β€–β€–οƒŸπ‘Šβ€–β€–
  • Cβ€–β€–βƒ‘π‘‰βˆ’οƒŸπ‘Šβ€–β€–

Question 14

Γ‰tant donnΓ©s les deux vecteurs βƒ‘π‘Ž=(βˆ’2;βˆ’3;0) et ⃑𝑏=(βˆ’3;3;βˆ’2), dΓ©termine βƒ‘π‘Ž+⃑𝑏.

  • A(βˆ’5;0;2)
  • Bβˆ’7
  • C(βˆ’5;0;βˆ’2)
  • D(1;0;βˆ’2)
  • E(1;βˆ’6;2)

Question 15

Sachant que ⃑𝐴=(1;2;1) et ⃑𝐡=(2;1;2), trouve ‖‖⃑𝐴+⃑𝐡‖‖.

  • A3√3
  • B3
  • C√13
  • D9
  • E√3

Question 16

Si βƒ‘π‘Ž=(2;3;1) et ⃑𝑏=(1;3;2), dΓ©termine 2βƒ‘π‘Ž+3⃑𝑏.

  • A(7;11;2)
  • B(2;11;1)
  • C(7;15;8)
  • D(1;15;2)
  • E(6;11;6)

Question 17

Vrai ou faux : Si βƒ‘π‘Ž=(1;1;2) et ⃑𝑏=(2;1;2), alors β€–β€–βƒ‘π‘Ž+⃑𝑏‖‖>β€–β€–βƒ‘π‘Žβˆ’βƒ‘π‘β€–β€–.

  • Afaux
  • Bvrai

Question 18

Vrai ou faux : sachant que βƒ‘π‘Ž=(1;2;3),⃑𝑏=(2;6;2) et ⃑𝑐=(0;2;0), alors β€–β€–βƒ‘π‘Ž+⃑𝑏+⃑𝑐‖‖>β€–β€–βƒ‘π‘Žβˆ’βƒ‘π‘βˆ’βƒ‘π‘β€–β€–.

  • Avrai
  • Bfaux

Question 19

Soient βƒ‘π‘Ž=(1;2;2) et ⃑𝑏=(4;3;1), dΓ©termine les coordonnΓ©es du vecteur ⃑𝑐 qui vΓ©rifie l’équation ⃑𝑐=2βƒ‘π‘Ž+⃑𝑏.

  • A(6;4;5)
  • B(4;7;2)
  • C(6;7;5)
  • D(4;7;1)
  • E(4;4;2)

Question 20

Une force d’intensitΓ© (βˆ’βƒ‘π‘–+⃑𝑗+βƒ‘π‘˜) newtons agit sur un objet. On y applique une autre force pour obtenir une force totale d’intensitΓ© (2⃑𝑖+⃑𝑗+βƒ‘π‘˜) newtons. Quelle est l’intensitΓ© de cette autre force ?

  • A(βˆ’βƒ‘π‘–βˆ’2βƒ‘π‘—βˆ’2βƒ‘π‘˜) newtons
  • Bβˆ’3⃑𝑖 newtons
  • C(⃑𝑖+2⃑𝑗+2βƒ‘π‘˜) newtons
  • D(3⃑𝑖+⃑𝑗+βƒ‘π‘˜) newtons
  • E3⃑𝑖 newtons

Question 21

Soient ⃑𝑣 et ⃑𝑀 deux vecteurs dΓ©finis par ⃑𝑣=(βˆ’1;5;βˆ’2) et ⃑𝑀=(3;1;1). En comparant ‖‖⃑𝑣+⃑𝑀‖‖ et ‖‖⃑𝑣‖‖+‖‖⃑𝑀‖‖, laquelle des deux quantitΓ©s a la plus grande valeur ?

  • A‖‖⃑𝑣+⃑𝑀‖‖
  • B‖‖⃑𝑣‖‖+‖‖⃑𝑀‖‖
  • CLes valeurs sont Γ©gales.

Question 22

Si βƒ‘π‘Ž=4⃑𝑖+2⃑𝑗+3βƒ‘π‘˜ et ⃑𝑏=2⃑𝑖+3⃑𝑗+4βƒ‘π‘˜, alors dΓ©termine βƒ‘π‘Ž+⃑𝑏.

  • A4⃑𝑖+3⃑𝑗+4βƒ‘π‘˜
  • B6⃑𝑖+6⃑𝑗+7βƒ‘π‘˜
  • C4⃑𝑖+6⃑𝑗+8βƒ‘π‘˜
  • D6⃑𝑖+5⃑𝑗+7βƒ‘π‘˜
  • E4⃑𝑖+5⃑𝑗+8βƒ‘π‘˜

Question 23

Vrai ou faux : Si βƒ‘π‘Ž est un vecteur en 3D, et que ⃑0 est le vecteur nul, alors, pour tout vecteur βƒ‘π‘Ž,βƒ‘π‘Ž+⃑0 est Γ©gal Γ  ⃑0.

  • Avrai
  • Bfaux

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