Feuille d'activités : Opérations sur les vecteurs dans l'espace

Dans cette feuille d'exercices, nous allons nous entraîner à effectuer des opérations sur des vecteurs dans l’espace, tels que l’addition de vecteurs, la soustraction de vecteurs et la multiplication par un scalaire.

Q1:

Γ‰tant donnΓ©s ⃗𝑒=βˆ’5βƒ—πš€βˆ’8βƒ—πš₯+6βƒ—π‘˜ et βƒ—π‘Ÿ=4βƒ—πš€βˆ’3βƒ—πš₯+13βƒ—π‘˜, dΓ©termine βƒ—π‘’βˆ’βƒ—π‘Ÿ.

  • Aβˆ’9βƒ—πš€βˆ’5βƒ—πš₯βˆ’7βƒ—π‘˜
  • Bβˆ’11βƒ—πš€βˆ’4βƒ—πš₯βˆ’20βƒ—π‘˜
  • Cβˆ’βƒ—πš€βˆ’11βƒ—πš₯+19βƒ—π‘˜
  • Dβˆ’9βƒ—πš€βˆ’11βƒ—πš₯βˆ’20βƒ—π‘˜

Q2:

Γ‰tant donnΓ©s ⃗𝑒=(βˆ’8;9;9) et βƒ—π‘Ÿ=(βˆ’6;4;9), dΓ©termine 25βƒ—π‘’βˆ’45βƒ—π‘Ÿ.

  • Aο€Όβˆ’8;25;βˆ’185
  • Bο€Ό8;25;βˆ’185
  • Cο€Ό85;25;βˆ’185

Q3:

Si ⃗𝑒=(βˆ’1;1;1) et ⃗𝑀=(1;1;βˆ’2), dΓ©termine le vecteur ⃗𝑠 pour lequel 2⃗𝑠+5⃗𝑒=5⃗𝑀.

  • Aο€Ό0;5;βˆ’52
  • Bο€Ό3;2;βˆ’112
  • C(10;0;βˆ’15)
  • Dο€Ό5;0;βˆ’152

Q4:

Si ⃗𝐴=9βƒ—πš€βˆ’7βƒ—πš₯+8βƒ—π‘˜ et ⃗𝐡=8βƒ—πš€βˆ’3βƒ—πš₯+4βƒ—π‘˜, alors dΓ©termine βƒ—π΄βˆ’23⃗𝐡.

  • Aβˆ’73βƒ—πš€+133βƒ—πš₯
  • Bβˆ’73βƒ—πš€βˆ’133βƒ—πš₯
  • C253βƒ—πš€βˆ’133βƒ—πš₯+163βƒ—π‘˜
  • Dβˆ’73βƒ—πš€βˆ’13βƒ—πš₯

Q5:

Sachant que ⃗𝑒=βƒ—πš€+βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜, ⃗𝑣=βƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯+3βƒ—π‘˜ et ⃗𝑀=βˆ’βƒ—πš€βˆ’βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜, dΓ©termine ⃗𝑒+⃗𝑣–⃗𝑀.

  • A3βƒ—πš€+3βƒ—π‘˜
  • Bβƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯+3βƒ—π‘˜
  • Cβƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯
  • Dβƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯+5βƒ—π‘˜
  • E3βƒ—πš€+3βƒ—πš₯

Q6:

Si ⃗𝑒=βˆ’βƒ—πš€βˆ’βƒ—πš₯+2βƒ—π‘˜, ⃗𝑣=βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜ et ⃗𝑀=βˆ’βƒ—πš€βˆ’βƒ—π‘˜, alors dΓ©termine ‖‖⃗𝑒–⃗𝑣–⃗𝑀‖‖.

  • A1
  • B2
  • C2√3
  • D3√2
  • E2√2

Q7:

Supposons que ⃗𝑒=(4;7;βˆ’7), ⃗𝑀=(βˆ’5;1;βˆ’2), et ⃗𝑒+⃗𝑀+βƒ—π‘Ÿ=βƒ—πš€. Que vaut βƒ—π‘Ÿβ€‰?

  • A⃗𝑖
  • B8βƒ—πš₯βˆ’9βƒ—π‘˜
  • Cβƒ—π‘–βˆ’8βƒ—πš₯+9βƒ—π‘˜
  • D2βƒ—πš€βˆ’8βƒ—πš₯+9βƒ—π‘˜

Q8:

Sachant que ⃗𝐴=3βƒ—πš€+βƒ—πš₯+π‘šβƒ—π‘˜ et que ⃗𝐡 est un vecteur unitaire Γ©gale Γ  15⃗𝐴, dΓ©termine les valeurs possibles de π‘š.

  • A35;βˆ’35
  • B√155;βˆ’βˆš155
  • C√15;βˆ’βˆš15
  • D15;βˆ’15

Q9:

Soit un vecteur unitaire ⃗𝑒 tel que 11⃗𝑒=(βˆ’1;βˆ’2;π‘˜). DΓ©termine les valeurs possibles de π‘˜.

  • A116;βˆ’116
  • B116121;βˆ’116121
  • C2√2911;βˆ’2√2911
  • D2√29;βˆ’2√29

Q10:

Γ‰tant donnΓ©s les vecteurs de position ⃗𝐴=βˆ’3βƒ—πš₯+5βƒ—π‘˜ et ⃗𝐡=βˆ’2βƒ—πš€+3βƒ—πš₯+4βƒ—π‘˜, dΓ©termine le vecteur unitaire dans la direction ⃗𝐡–⃗𝐴.

  • A√4141ο€»βˆ’2βƒ—πš€+6βƒ—πš₯βˆ’βƒ—π‘˜ο‡
  • B√8585ο€»βˆ’2βƒ—πš€+9βƒ—π‘˜ο‡
  • C√721ο€»βˆ’2βƒ—πš€+6βƒ—πš₯βˆ’βƒ—π‘˜ο‡
  • D√4141ο€»2βƒ—πš€βˆ’6βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜ο‡

Q11:

DΓ©termine le vecteur unitaire de mΓͺme direction et sens que 𝐴𝐡, oΓΉ 𝐴(βˆ’4;5;2) et 𝐡(βˆ’9;βˆ’2;3).

  • A(βˆ’5;βˆ’7;1)
  • B(1;1;1)
  • Cο€Ύβˆ’1√3;βˆ’75√3;15√3
  • Dο€Ύ1√3;75√3;βˆ’15√3

Q12:

DΓ©termine π‘˜ pour que les points de coordonnΓ©es (3;9;βˆ’4), (9;βˆ’3;βˆ’1), (βˆ’7;29;π‘˜) sont alignΓ©s.

Q13:

Soient ⃗𝑉 et οƒͺπ‘Š deux vecteurs dΓ©finis par ⃗𝑉=(βˆ’1;5;βˆ’2) et οƒͺπ‘Š=(3;1;1). En comparant β€–β€–βƒ—π‘‰βˆ’οƒͺπ‘Šβ€–β€– et β€–β€–βƒ—π‘‰β€–β€–βˆ’β€–β€–οƒͺπ‘Šβ€–β€–, quelle quantitΓ© est la plus grande ?

  • AThey are both the same.
  • Bβ€–β€–βƒ—π‘‰β€–β€–βˆ’β€–β€–οƒͺπ‘Šβ€–β€–
  • Cβ€–β€–βƒ—π‘‰βˆ’οƒͺπ‘Šβ€–β€–

Q14:

Une force d’intensitΓ© (βˆ’βƒ—πš€+βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜) newtons agit sur un objet. On y applique une autre force pour obtenir une force totale d’intensitΓ© (2βƒ—πš€+βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜) newtons. Quelle est l’intensitΓ© de cette autre force ?

  • A(βˆ’βƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯βˆ’2βƒ—π‘˜) newtons
  • Bβˆ’3βƒ—πš€ newtons
  • C(βƒ—πš€+2βƒ—πš₯+2βƒ—π‘˜) newtons
  • D(3βƒ—πš€+βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜) newtons
  • E3βƒ—πš€ newtons

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