Fiche d'activités de la leçon : Méthode LU de Doolittle Mathématiques

Dans cette feuille d'exercices, nous allons nous entraîner à déterminer la décomposition LU (factorisation) d’une matrice à l’aide de la méthode de Doolittle.

Q1:

Détermine une décomposition LU de la matrice 1−3−4−3−31010101−62−5.

  • A1003101−311−3−4−301−210001
  • B100−3101−311−34−301−210001
  • C100−3101311−3−4−301−210001
  • D10031013113−4301210001
  • E100−3101−311−3−4−301−210001

Q2:

Détermine une décomposition LU de la matrice 131−13108−125−3−3.

  • A100310211131−101520001
  • B100310−211131101520001
  • C1003102−1−1131−101520001
  • D100−310−21113−110−1520001
  • E1003102−11131−101520001

Q3:

Détermine une décomposition LU de la matrice 1−1−3−1−12432−3−7−3.

  • A1001−102−111−13−101120001
  • B100−1102−111−1−3−101120001
  • C100−1102−1−11−1−3101120001
  • D1001102−111−1−3−101120001

Q4:

Détermine une décomposition LU de la matrice 120213123.

  • A100220101120025003
  • B10021010112003−3003
  • C1002101011200−33003
  • D10021010112003−3003
  • E1001201011200−33003

Q5:

Considère le système d'équations suivant : 𝑥+2𝑦+3𝑧=5;2𝑥+3𝑦+𝑧=6;3𝑥+5𝑦+4𝑧=11. Utilise la méthode de Doolittle pour déterminer une décomposition LU de la matrice de ce système d'équations, puis résous le système.

  • A𝑥𝑦𝑧=3−7𝑡4−5𝑡𝑡, 𝑡∈ℝ
  • B𝑥𝑦𝑧=3−7𝑡5−4𝑡𝑡, 𝑡∈ℝ
  • C𝑥𝑦𝑧=3−5𝑡5−7𝑡𝑡, 𝑡∈ℝ
  • D𝑥𝑦𝑧=7𝑡−34−5𝑡𝑡, 𝑡∈ℝ
  • E𝑥𝑦𝑧=7𝑡−35𝑡−4𝑡, 𝑡∈ℝ

Q6:

Détermine la factorisation LU de la matrice des coefficients, en utilisant la méthode de Doolittle, et utilise-la pour résoudre le système d'équations : 𝑥+2𝑦=5 et 2𝑥+3𝑦=6.

  • A𝑦=5, 𝑥=6
  • B𝑦=4, 𝑥=−3
  • C𝑦=5, 𝑥=−4
  • D𝑦=−5, 𝑥=−6
  • E𝑦=−4, 𝑥=3

Q7:

Considère les équations 𝑥+2𝑦+𝑧=1, 𝑦+3𝑧=2 et 2𝑥+3𝑦=6. Utilise la méthode de Doolittle pour déterminer une décomposition LU de la matrice coefficient de ce système d'équations, et ensuite résous le système.

  • A𝑧=1, 𝑦=2, 𝑥=6
  • B𝑧=6, 𝑦=−16, 𝑥=27
  • C𝑧=−6, 𝑦=−16, 𝑥=27
  • D𝑧=6, 𝑦=16, 𝑥=27
  • E𝑧=1, 𝑦=−2, 𝑥=6

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