Feuille d'activités : Calculer le volume d'un solide en effectuant une rotation autour de l'axe des abscisses en utilisant la méthode des cylindres

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à calculer le volume d'un solide engendré par la révolution d'un domaine bidimensionnel autour de l'axe des abscisses en utilisant la méthode des cylindres.

Q1:

On considère le domaine délimité par les courbes d’équations 𝑦 = 𝑥 + 4 , 𝑦 = 0 , 𝑥 = 0 et 𝑥 = 3 . Détermine le volume généré par la rotation de ce domaine autour de l’axe des abscisses.

  • A 1 8 6 𝜋
  • B93
  • C186
  • D 9 3 𝜋
  • E 3 3 𝜋 2

Q2:

Calcule le volume du solide obtenu par rotation complète de la surface délimitée par la courbe d’équation 𝑦 = 1 𝑥 et de la droite d’équation 𝑥 = 4 . L’axe de rotation est l’axe des abscisses.

  • A 1 6 𝜋 1 5 unités de volume
  • B 2 5 2 unités de volume
  • C 1 6 1 5 unités de volume
  • D 2 5 𝜋 2 unités de volume

Q3:

Calcule le volume du solide obtenu en faisant tourner la région délimitée par les courbes d'équations 𝑦 = 4 + 𝑥 s e c et 𝑦 = 6 autour de la droite d'équation 𝑦 = 4 𝑥 𝜋 2 ; 𝜋 2 . Donne ta réponse au centième près.

Q4:

Considère la région délimitée par la courbe d'équation 𝑦 = 3 4 𝑥 c o s et les droites d'équations 𝑦 = 0 , 𝑥 = 𝜋 8 et 𝑥 = 𝜋 8 . Mets en place une intégrale pour le volume du solide obtenu en faisant tourner cette région autour de 𝑦 = 4 .

  • A 𝜋 9 4 𝑥 𝑥 c o s d
  • B 𝜋 3 4 𝑥 𝑥 c o s d
  • C 𝜋 4 8 4 𝑥 1 8 4 𝑥 𝑥 c o s c o s d
  • D 𝜋 2 4 4 𝑥 9 4 𝑥 𝑥 c o s c o s d
  • E 𝜋 6 4 𝑥 𝑥 c o s d

Q5:

Mets en place une intégrale pour le volume du solide obtenu en faisant tourner la région délimitée par la courbe d'équation 𝑦 = 𝑒 et les droites d'équations 𝑦 = 0 , 𝑥 = 5 et 𝑥 = 5 autour de la droite d'équation 𝑦 = 5 .

  • A 2 𝜋 𝑒 + 1 0 𝑒 𝑥 d
  • B 𝜋 𝑒 2 5 𝑥 d
  • C 𝜋 𝑒 + 2 5 𝑥 d
  • D 𝜋 𝑒 + 1 0 𝑒 𝑥 d
  • E 𝜋 𝑒 + 2 5 𝑥 d

Q6:

Calcule le volume du solide obtenu en faisant tourner la région délimitée par les courbes d'équations 𝑦 = 𝑥 s i n , 𝑦 = 𝑥 c o s , 𝑥 = 𝜋 6 et 𝑥 = 𝜋 4 autour de 𝑦 = 1 . Donne ta réponse au centième près.

Q7:

Calcule le volume du solide obtenu par rotation complète de la surface délimitée par la courbe d’équation 𝑦 = 4 5 𝑥 et des droites d’équations 𝑥 = 2 , 𝑥 = 8 et 𝑦 = 0 . L’axe de rotation est l’axe des abscisses.

  • A 3 𝜋 1 0 unités de volume
  • B 6 2 5 unités de volume
  • C 2 𝜋 5 unités de volume
  • D 6 𝜋 2 5 unités de volume

Q8:

Calcule le volume généré par la rotation du domaine délimité par les courbes d’équations 𝑦 = 8 𝑥 et 𝑥 = 𝑦 autour de la droite d’équation 𝑦 = 5 .

  • A 1 9 1 𝜋 9 6 0
  • B 3 𝜋 1 6 0
  • C 3 𝜋 8 0
  • D 1 9 1 𝜋 4 8 0
  • E 1 9 1 𝜋 2 4 0

Q9:

Calcule le volume du solide engendré par la rotation, autour de l’axe des abscisses, du domaine délimité par la courbe d’équation 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑥 et l’axe des abscisses.

  • A 8 𝜋 1 5 unités de volume
  • B 3 2 𝜋 1 5 unités de volume
  • C 1 6 𝜋 1 5 unités de volume
  • D 1 6 𝜋 1 5 unités de volume

Q10:

Calcule le volume du solide engendré par une rotation complète de la région délimitée par la courbe d'équation 𝑦 = 𝑥 + 2 , l'axe des 𝑥 et les deux droites 𝑥 = 2 et 𝑥 = 1 , autour de l'axe des 𝑥 .

  • A9 cubes unités
  • B 1 5 3 5 cubes unités
  • C 9 𝜋 cubes unités
  • D 1 5 3 𝜋 5 cubes unités

Q11:

Calcule le volume du solide obtenu par rotation complète de la surface délimitée par la courbe d’équation 𝑦 = 𝑥 2 et des droites d’équations 𝑥 = 1 et 𝑦 = 3 . L’axe de rotation est l’axe des abscisses.

  • A14 unités de volume
  • B 2 8 3 unités de volume
  • C 1 4 𝜋 unités de volume
  • D 2 8 𝜋 3 unités de volume

Q12:

Détermine, au centième près, le volume du solide obtenu par rotation de la région délimitée par les courbes d'équations 𝑥 = 5 𝑦 et 𝑥 = 2 𝑦 par rapport à 𝑥 = 3 .

Q13:

Considère la région délimitée par les courbes d'équations 𝑦 = 𝑥 , 𝑦 = 0 et 𝑥 = 2 . Calcule le volume du solide obtenu en faisant tourner cette région autour de 𝑥 = 3 .

  • A 9 6 𝜋 5
  • B 6 4 𝜋 5
  • C 1 2 8 𝜋 5
  • D 5 6 𝜋 5
  • E 1 1 2 𝜋 5

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