Feuille d'activités de la leçon : Droite de régression des moindres carrés Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à déterminer et utiliser l'équation de la droite des moindres carrés.

Question 1

Le nuage de points illustre un ensemble de données pour lequel un modèle de régression linéaire apparaît approprié.

Les données utilisées pour produire ce nuage de points est donné dans le tableau ci-dessous.

𝑥0,511,522,533,54
𝑦9,257,68,256,55,454,51,751,8

Détermine l'équation de la droite de régression des moindres carrés de 𝑦 sur 𝑥, en arrondissant les coefficients de régression au millième près.

  • A𝑦=10,657−2,231𝑥
  • B𝑦=4,094+0,686𝑥
  • C𝑦=9,973−2,150𝑥
  • D𝑦=10,235−1,078𝑥
  • E𝑦=6,819−0,525𝑥

Question 2

En utilisant les informations du tableau, détermine l'équation ̂𝑦=𝑎+𝑏𝑥 de la droite de régression. Arrondis 𝑎 et 𝑏 au millième près.

Terres cultivées en hectares1261310418038161149955177
Production d'une culture d'été en kilogrammes1604080340260200280280140100
  • Â𝑦=0,201𝑥+168,563
  • B̂𝑦=0,201𝑥+207,437
  • Ĉ𝑦=0,034𝑥+168,563
  • D̂𝑦=168,563𝑥+0,201

Question 3

Le tableau montre le prix d'un baril de pétrole et la croissance économique. En utilisant l'information dans le tableau, détermine la droite de régression d'équation ̂𝑦=𝑎+𝑏𝑥. Donne une valeur arrondie de 𝑎 et 𝑏 au millième près.

Prix d'un baril de pétrole en dollars50,4055,306370,7083,6094,10102,50118
Taux de croissance économique−10,50,512,83,94,95
  • Â𝑦=0,004𝑥−5,132
  • B̂𝑦=−5,132𝑥+0,092
  • Ĉ𝑦=0,092𝑥+9,532
  • D̂𝑦=0,092𝑥−5,132

Question 4

Le tableau montre la relation entre les variables 𝑥 et 𝑦. Détermine l'équation de la droite de régression sous la forme ̂𝑦=𝑎+𝑏𝑥. Arrondis 𝑎 et 𝑏 au millième près.

𝑥102222131621
𝑦251824251217
  • Â𝑦=−0,376𝑥+13,649
  • B̂𝑦=−0,376𝑥+26,684
  • Ĉ𝑦=−0,013𝑥+26,684
  • D̂𝑦=26,684𝑥−0,376

Question 5

En utilisant les informations du tableau, estime la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥=13. Donne ta réponse à l'unité près.

𝑥2392415712
𝑦22242513219

Question 6

En utilisant les informations du tableau, détermine l'erreur dans 𝑦 si 𝑥=22. Donne ta réponse à l'entier près.

𝑥2622281530102529
𝑦5412714101315

Question 7

Le tableau montre le prix d'un baril de pétrole et la croissance économique. En utilisant les informations du tableau, estime la croissance économique si le prix d'un baril de pétrole vaut 35,40 dollars.

Prix d'un baril de pétrole en dollars2613,3022,9012,4026,7017,9023,6037,40
Taux de croissance économique1,80,43,72,33,22,70,50,3
  • A2,5
  • B0,2
  • C1,5
  • D2,4

Question 8

Sachant que les points de coordonnées (3,−9) et (2,−4) appartiennent à la droite de régression 𝑦 sur 𝑥, lequel des points suivants n'appartient pas à la même droite ?

  • A(20,−94)
  • B(−10,56)
  • C(16,−69)
  • D(12,−54)

Question 9

Le tableau suivant illustre la relation entre la durée de vie des voitures, en années, et leur prix de vente, en milliers de livres. Détermine l'équation de la droite de régression sous la forme ̂𝑦=𝑎+𝑏𝑥, en donnant 𝑎 et 𝑏 au millième près.

Durée de vie d'une voiture (𝑥)52235512
Prix de vente (𝑦)7183609093704145
  • Â𝑦=0,736𝑥+47,788
  • B̂𝑦=47,788𝑥+6,828
  • Ĉ𝑦=6,828𝑥+90,463
  • D̂𝑦=6,828𝑥+47,788

Question 10

Pour une série statistique donnée, 𝑥=47, 𝑦=45,75, 𝑥=329, 𝑦=389,3125, 𝑥𝑦=310,25 et 𝑛=8. Calcule la valeur du coefficient de régression 𝑏 dans le modèle de régression linéaire des moindres carrés 𝑦=𝑎+𝑏𝑥. Donne ta réponse au millième près.

  • A𝑏=0,784
  • B𝑏=0,989
  • C𝑏=0,616
  • D𝑏=−0,188
  • E𝑏=−0,176

Question 11

La latitude (𝑥) et les températures moyennes en février (𝑦, données en ∘C) de 10 villes à travers le monde ont été mesurées. Le modèle de régression linéaire des moindres carrés calculé pour ces données était comme suit : 𝑦=35,7−0,713𝑥.

Quelle est l'interprétation de la valeur −0,713 dans le modèle ?

  • APour chaque degré de latitude supplémentaire, la température moyenne a diminué de 0,713∘C.
  • BC'est l'ordonnée à l'origine 𝑦 de la droite de régression.
  • CC'est la température moyenne en février pour une ville de latitude 0 (située sur l'équateur).
  • DPour chaque 0,713 degré de latitude supplémentaire, la température moyenne a diminué de 1∘C.
  • EPour chaque degré de latitude supplémentaire, la température moyenne a augmenté de 0,713∘C.

Quelle est l'interprétation de la valeur 35,7 dans le modèle ?

  • APour chaque degré de latitude supplémentaire, la température moyenne a augmenté de 0,713∘C.
  • BPour chaque 0,713 degré de latitude supplémentaire, la température moyenne a diminué de 1∘C.
  • CPour chaque degré de latitude supplémentaire, la température moyenne a diminué de 0,713∘C.
  • DC'est la température moyenne en février pour une ville de latitude 0 (située sur l'équateur).
  • EC'est la pente de la droite de régression.

Question 12

Un conseil municipal investit dans l’amélioration de ses services de bus. Sur une période de cinq ans, les responsables collectent des données sur le montant investi dans chaque ligne de bus (𝑥, donné en centaines de dollars) et le pourcentage de bus qui arrivent à l'heure (𝑦, donné en  %). Ils trouvent que les données peuvent être décrites par le modèle de régression linéaire suivant : 𝑦=52,3+2,7𝑥.

Quelle est l'interprétation de la valeur 2,7 dans le modèle de régression ?

  • APour chaque supplément de 100 $ d'investissement, 2,7% de bus supplémentaires arrivent à l'heure.
  • BElle représente le pourcentage de bus arrivant à l'heure sans investissement.
  • CC'est l'ordonnée à l'origine 𝑦 de la droite de régression.
  • DPour chaque supplément de 52,3 $ d'investissement, 2,7% de bus supplémentaires arrivent à l'heure.

Quelle est l'interprétation de la valeur 52,3 dans le modèle de régression ?

  • APour chaque supplément de 100 $ d'investissement, 2,7% de bus supplémentaires arrivent à l'heure.
  • BC'est la pente de la droite de régression.
  • CElle représente le pourcentage de bus arrivant à l'heure avec 100 $ d'investissement.
  • DElle représente le pourcentage de bus arrivant à l'heure sans investissement.

Question 13

La relation entre les distances parcourues par les concurrents au saut en longueur (𝑥)mètres et au saut en hauteur (𝑦)mètres lors de l'heptathlon féminin aux Jeux olympiques de Rio 2016 peut être modélisée par la droite de régression d'équation 𝑦=0,218𝑥+0,483.

Quelle est l'interprétation de la valeur 0,218 dans le modèle de régression ?

  • APour chaque mètre supplémentaire parcouru au saut en hauteur, les concurrents ont couvert en moyenne 0,218 mètre supplémentaire au saut en longueur.
  • BPour chaque mètre supplémentaire parcouru au saut en longueur, les concurrents ont couvert, en moyenne, 0,218 mètre supplémentaire au saut en hauteur.
  • CC'est le résultat prédit du saut en hauteur pour un concurrent qui a parcouru 0 mètre au saut en longueur.
  • DC'est l'ordonnée à l'origine 𝑦 de la droite de régression.

Quelle est l'interprétation de la valeur 0,483 dans le modèle de régression ?

  • AC'est le résultat prédit du saut en hauteur, en mètres, pour un concurrent qui a parcouru 0 mètre au saut en longueur.
  • BC'est la pente de la droite de régression.
  • CPour chaque mètre supplémentaire parcouru au saut en longueur, les concurrents ont couvert, en moyenne, 0,483 mètre supplémentaire au saut en hauteur.
  • DC'est le point d'intersection de la droite de régression avec l'axe des 𝑥.
  • EC'est le résultat prédit du saut en longueur, en mètres, pour un concurrent qui a parcouru 0 mètre au saut en hauteur.

Est-ce que l'interprétation de la valeur 0,483 semble raisonnable dans le contexte des données ?

  • Aoui
  • BNon, le modèle a été très extrapolé et n'est donc pas fiable.

Estime, au centième de mètre près, le résultat prédit d'un saut en hauteur pour un concurrent qui a parcouru 6,03 m au saut en longueur.

Question 14

Étant donné la droite de régression ̂𝑦=7,3𝑥−5,9, détermine la valeur prévue de 𝑦 lorsque 𝑥=30.

Question 15

Un vendeur de crème glacée enregistre des données sur le nombre de glaces vendues chaque jour et la température à midi pendant la période allant du mois d'avril au mois de novembre. Il adapte un modèle de régression linéaire de la forme 𝑦=𝑎+𝑏𝑥 aux données. Penses-tu que le coefficient de régression 𝑏 serait positif ou négatif dans cette situation ?

  • Anégatif
  • Bpositif

Question 16

Deux variables 𝑋 et 𝑌 ont un coefficient de corrélation égal à 𝑟, leur moyenne et leur écart-type sont respectivement notés 𝑋;𝑌;𝑠 et 𝑠. Laquelle des formules suivantes permet de calculer la pente 𝑏 de la droite des moindres carrés, dont l'équation est 𝑌=𝑎+𝑏𝑋 ?

  • A𝑟𝑠𝑠
  • B𝑟𝑠𝑠
  • C𝑠𝑠
  • D𝑠𝑠
  • E𝑠𝑟⋅𝑠

Question 17

Utilise les informations du tableau pour déterminer l’équation de la droite de régression des moindres carrés de 𝑦 sur 𝑥. Écris l'équation sous la forme 𝑦=𝑎𝑥+𝑏, en arrondissant 𝑎 et 𝑏 au millième près.

𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦
12218396484324
22219418484361
32320460529400
42618468676324
53123713961529
632247681‎ ‎024576
734227481‎ ‎156484
837259251‎ ‎369625
941291‎ ‎1891‎ ‎681841
1042271‎ ‎1341‎ ‎764729
Somme3102257‎ ‎21910‎ ‎1285‎ ‎193
  • A𝑦=0,236𝑥+3,965
  • B𝑦=0,939𝑥+15,746
  • C𝑦=0,471𝑥+7,898
  • D𝑦=3,725𝑥+62,467
  • E𝑦=0,251𝑥+4,209

Question 18

Un jardinier étudie les effets du volume d'herbicide utilisé (𝑥) sur le nombre de mauvaises herbes (𝑦) dans son jardin. Il collecte des données, puis adapte un modèle de régression linéaire de la forme 𝑦=𝑎+𝑏𝑥 aux données. Penses-tu que le coefficient de régression 𝑏 serait positif ou négatif dans cette situation ?

  • Anégatif
  • Bpositif

Question 19

Une enseignante étudiait l'impact d’un programme de révision en ligne sur les résultats de ses élèves. Elle leur a demandé de noter la durée d'utilisation du programme sur une période hebdomadaire, puis a comparé ces durées avec leurs notes à une évaluation.

L'enseignante a ensuite adapté un modèle de régression aux données, en utilisant 𝑥 pour représenter le nombre d'heures consacrées au programme de révision, et 𝑦 pour représenter la note à l'évaluation. L'équation du modèle de régression des moindres carrés est : 𝑦=5,36𝑥+35.

Quelle est l'interprétation de la valeur 5,36 dans le modèle de régression ?

  • AC'est la note prédite pour un élève qui n'a pas passé de temps à utiliser le programme de révision en ligne.
  • BC'est l'ordonnée à l'origine 𝑦 de la droite de régression.
  • CPour chaque heure supplémentaire qu’un élève consacre au programme de révision en ligne, il obtient 5,36 points de plus (en moyenne) à l'évaluation.

Quelle est l'interprétation de la valeur 35 dans le modèle de régression ?

  • AC'est la pente de la droite de régression.
  • BPour chaque heure supplémentaire qu’un élève consacre au programme de révision en ligne, il obtient 35 points de plus (en moyenne) à l'évaluation.
  • CC'est le point d'intersection de la droite de régression avec l'axe des 𝑥.
  • DC'est la note prédite pour un élève qui n'a pas passé de temps à utiliser le programme de révision en ligne.

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