Feuille d'activités : Droite de régression des moindres carrés

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer et utiliser l'équation de la droite de régression des moindres carrés.

Q1:

Le nuage de points illustre un ensemble de données pour lequel un modèle de régression linéaire apparaît approprié.

Les données utilisées pour produire ce nuage de points est donné dans le tableau ci-dessous.

𝑥 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
𝑦 9,25 7,6 8,25 6,5 5,45 4,5 1,75 1,8

Détermine l'équation de la droite de régression des moindres carrés de 𝑦 sur 𝑥, en arrondissant les coefficients de régression au millième près.

  • A 𝑦 = 1 0 , 6 5 7 − 2 , 2 3 1 𝑥
  • B 𝑦 = 4 , 0 9 4 + 0 , 6 8 6 𝑥
  • C 𝑦 = 9 , 9 7 3 − 2 , 1 5 0 𝑥
  • D 𝑦 = 1 0 , 2 3 5 − 1 , 0 7 8 𝑥
  • E 𝑦 = 6 , 8 1 9 − 0 , 5 2 5 𝑥

Q2:

En utilisant les informations du tableau, détermine l'équation ̂𝑦=𝑎+𝑏𝑥 de la droite de régression. Arrondis 𝑎 et 𝑏 au millième près.

Terres cultivées en hectares 126 13 104 180 38 161 14 99 55 177
Production d'une culture d'été en kilogrammes 160 40 80 340 260 200 280 280 140 100
  • A ̂ 𝑦 = 0 , 2 0 1 𝑥 + 1 6 8 , 5 6 3
  • B ̂ 𝑦 = 0 , 2 0 1 𝑥 + 2 0 7 , 4 3 7
  • C ̂ 𝑦 = 0 , 0 3 4 𝑥 + 1 6 8 , 5 6 3
  • D ̂ 𝑦 = 1 6 8 , 5 6 3 𝑥 + 0 , 2 0 1

Q3:

Le tableau montre le prix d'un baril de pétrole et la croissance économique. En utilisant l'information dans le tableau, détermine la droite de régression d'équation ̂𝑦=𝑎+𝑏𝑥. Donne une valeur arrondie de 𝑎 et 𝑏 au millième près.

Prix d'un baril de pétrole en dollars 50,40 55,30 63 70,70 83,60 94,10 102,50 118
Taux de croissance économique − 1 0,5 0,5 1 2,8 3,9 4,9 5
  • A ̂ 𝑦 = 0 , 0 0 4 𝑥 − 5 , 1 3 2
  • B ̂ 𝑦 = − 5 , 1 3 2 𝑥 + 0 , 0 9 2
  • C ̂ 𝑦 = 0 , 0 9 2 𝑥 + 9 , 5 3 2
  • D ̂ 𝑦 = 0 , 0 9 2 𝑥 − 5 , 1 3 2

Q4:

Le tableau montre la relation entre les variables 𝑥 et 𝑦. Détermine l'équation de la droite de régression sous la forme ̂𝑦=𝑎+𝑏𝑥. Arrondis 𝑎 et 𝑏 au millième près.

𝑥 10 22 22 13 16 21
𝑦 25 18 24 25 12 17
  • A ̂ 𝑦 = − 0 , 3 7 6 𝑥 + 1 3 , 6 4 9
  • B ̂ 𝑦 = − 0 , 3 7 6 𝑥 + 2 6 , 6 8 4
  • C ̂ 𝑦 = − 0 , 0 1 3 𝑥 + 2 6 , 6 8 4
  • D ̂ 𝑦 = 2 6 , 6 8 4 𝑥 − 0 , 3 7 6

Q5:

En utilisant les informations du tableau, estime la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥=13. Donne ta réponse à l'unité près.

𝑥 23 9 24 15 7 12
𝑦 22 24 25 13 21 9

Q6:

En utilisant les informations du tableau, détermine l'erreur dans 𝑦 si 𝑥=22. Donne ta réponse à l'entier près.

𝑥 26 22 28 15 30 10 25 29
𝑦 5 4 12 7 14 10 13 15

Q7:

Le tableau montre le prix d'un baril de pétrole et la croissance économique. En utilisant les informations du tableau, estime la croissance économique si le prix d'un baril de pétrole vaut 35,40 dollars.

Prix d'un baril de pétrole en dollars 26 13,30 22,90 12,40 26,70 17,90 23,60 37,40
Taux de croissance économique 1,8 0,4 3,7 2,3 3,2 2,7 0,5 0,3
  • A2,5
  • B0,2
  • C1,5
  • D2,4

Q8:

Sachant que les points de coordonnées (3,−9) et (2,−4) appartiennent à la droite de régression 𝑦 sur 𝑥, lequel des points suivants n'appartient pas à la même droite ?

  • A ( 2 0 , − 9 4 )
  • B ( − 1 0 , 5 6 )
  • C ( 1 6 , − 6 9 )
  • D ( 1 2 , − 5 4 )

Q9:

Le tableau suivant illustre la relation entre la durée de vie des voitures, en années, et leur prix de vente, en milliers de livres. Détermine l'équation de la droite de régression sous la forme ̂𝑦=𝑎+𝑏𝑥, en donnant 𝑎 et 𝑏 au millième près.

Durée de vie d'une voiture (𝑥) 5 2 2 3 5 5 1 2
Prix de vente (𝑦) 71 83 60 90 93 70 41 45
  • A ̂ 𝑦 = 0 , 7 3 6 𝑥 + 4 7 , 7 8 8
  • B ̂ 𝑦 = 4 7 , 7 8 8 𝑥 + 6 , 8 2 8
  • C ̂ 𝑦 = 6 , 8 2 8 𝑥 + 9 0 , 4 6 3
  • D ̂ 𝑦 = 6 , 8 2 8 𝑥 + 4 7 , 7 8 8

Q10:

Pour une série statistique donnée, 𝑥=47, 𝑦=45,75, 𝑥=329, 𝑦=389,3125, 𝑥𝑦=310,25 et 𝑛=8. Calcule la valeur du coefficient de régression 𝑏 dans le modèle de régression linéaire des moindres carrés 𝑦=𝑎+𝑏𝑥. Donne ta réponse au millième près.

  • A 𝑏 = 0 , 7 8 4
  • B 𝑏 = − 0 , 1 8 8
  • C 𝑏 = 0 , 6 1 6
  • D 𝑏 = − 0 , 1 7 6
  • E 𝑏 = 0 , 9 8 9

Q11:

Étant donné la droite de régression ̂𝑦=7,3𝑥−5,9, détermine la valeur prévue de 𝑦 lorsque 𝑥=30.

  • A − 2 1 3 , 1
  • B213,1
  • C224,9
  • D − 2 2 4 , 9

Q12:

Deux variables 𝑋 et 𝑌 ont un coefficient de corrélation égal à 𝑟, leur moyenne et leur écart-type sont respectivement notés 𝑋,𝑌,𝑠 et 𝑠. Laquelle des formules suivantes permet de calculer la pente 𝑏 de la droite des moindres carrés, dont l'équation est 𝑌=𝑎+𝑏𝑋 ?

  • A 𝑠 𝑟 ⋅ 𝑠
  • B 𝑟 𝑠 𝑠
  • C 𝑟 𝑠 𝑠
  • D 𝑠 𝑠
  • E 𝑠 𝑠

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