Feuille d'activités : Déterminer la longueur d'un arc de courbe définie de manière paramétrique

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer la longueur d'un arc de courbe définie de façon paramétrique.

Q1:

Calcule la longueur de la courbe d'équations paramétriques 𝑥=3𝑡−3𝑡coscos et 𝑦=3𝑡−3𝑡sinsin, où 0⩽𝑡⩽𝜋.

Q2:

Exprime la longueur de la courbe ayant comme équations paramétriques 𝑥=𝑡−2𝑡sin et 𝑦=1−2𝑡cos, où 0⩽𝑡⩽4𝜋, sous la forme d'une intégrale.

  • A √ 5 + 4 𝑡 𝑡 c o s d
  • B ( 1 + 2 ( 𝑡 − 𝑡 ) ) 𝑡 s i n c o s d
  • C √ 5 − 4 𝑡 𝑡 c o s d
  • D √ 1 + 2 ( 𝑡 − 𝑡 ) 𝑡 s i n c o s d
  • E √ 5 + 𝑡 − 4 𝑡 − 4 𝑡 𝑡 𝑡 c o s s i n d

Q3:

Détermine la longueur de la courbe dont les équations paramétriques sont 𝑥=2𝑡sin et 𝑦=1−𝑡ln, où 0⩽𝑡⩽12.

  • A l n 9 4
  • B √ 5 𝜋 6
  • C l n 3 − 1
  • D 2 2 l n
  • E l n 3

Q4:

Détermine la longueur de la courbe d'équations paramétriques 𝑥=𝑡𝑡sin et 𝑦=𝑡𝑡cos, où 0⩽𝑡⩽1.

  • A − 1 2 √ 2 − 1 2 1 + √ 2 l n
  • B 1 2 √ 2 + 1 2 1 + √ 2 l n
  • C 1 2 √ 2 + 1 2 √ 2 − 1 l n
  • D − 1 2 √ 2 − 1 2 √ 2 − 1 l n
  • E 4 3

Q5:

Exprime la longueur de la courbe d'équations paramétriques 𝑥=𝑡+𝑒 et 𝑦=𝑡−𝑒, où 0⩽𝑡⩽2, sous la forme d'une intégrale.

  • A √ 2 𝑡 d
  • B √ 2 𝑡 + 2 𝑒 𝑡 d
  • C √ 2 + 2 𝑒 𝑡 d
  • D 2 + 2 𝑒 𝑡 d
  • E √ 2 + 2 𝑒 2 𝑡 d

Q6:

Calcule la longueur de la courbe d'équations paramétriques 𝑥=𝑒−𝑡 et 𝑦=4𝑒, où 0⩽𝑡⩽2.

  • A 𝑒
  • B 𝑒 2 + 2 𝑒 − 1 2
  • C 𝑒 + 4 𝑒 − 7
  • D 𝑒 + 1
  • E 1 2 𝑒 − 2 𝑒 + 3 2

Q7:

Exprime la longueur de la courbe d'équations paramétriques 𝑥=𝑡+√𝑡 et 𝑦=𝑡−√𝑡, où 0⩽𝑡⩽1 sous la forme d'une intégrale.

  • A √ 2 𝑡 𝑡 d
  • B 2 + 1 2 𝑡 𝑡 d
  • C √ 2 𝑡 d
  • D 2 + 2 𝑡 𝑡 d
  • E √ 2 𝑡 + 2 𝑡 𝑡 d

Q8:

La position d'une particule à l'instant 𝑡 est 𝑡,𝑡sincos. Détermine la distance que la particule parcourt entre 𝑡=0 et 𝑡=3𝜋.

  • A1
  • B √ 2
  • C 6 √ 2
  • D 1 2 √ 2
  • E6

Q9:

Détermine la longueur de la courbe d'équations paramétriques 𝑥=1+3𝑡 et 𝑦=4+2𝑡, où 0⩽𝑡⩽1.

  • A 4 √ 2 − 2
  • B 1 2 𝜋
  • C5
  • D 9 6 5
  • E 1 3 √ 1 3 − 2 7 1 2

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