Feuille d'activités : Déterminer la longueur d'un arc de courbe définie de manière paramétrique

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer la longueur d'un arc de courbe définie de façon paramétrique.

Q1:

Calcule la longueur de l’arc de la courbe représentative de la fonction définie par sur l’intervalle .

  • A
  • B
  • C4
  • D
  • E2

Q2:

Calcule la longueur de la courbe d'équations paramétriques 𝑥 = 3 c o s 𝑡 − c o s 3 𝑡 et 𝑦 = 3 s i n 𝑡 − s i n 3 𝑡 , où 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝜋 .

Q3:

Exprime la longueur de la courbe ayant comme équations paramétriques 𝑥 = 𝑡 − 2 𝑡 s i n et 𝑦 = 1 − 2 𝑡 c o s , où 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 4 𝜋 , sous la forme d'une intégrale.

  • A √ 1 + 2 ( 𝑡 − 𝑡 ) 𝑡 s i n c o s d
  • B √ 5 + 𝑡 − 4 𝑡 − 4 𝑡 𝑡 𝑡 c o s s i n d
  • C √ 5 + 4 𝑡 𝑡 c o s d
  • D √ 5 − 4 𝑡 𝑡 c o s d
  • E ( 1 + 2 ( 𝑡 − 𝑡 ) ) 𝑡 s i n c o s d

Q4:

Détermine la longueur de la courbe dont les équations paramétriques sont 𝑥 = 2 s i n 𝑡 et 𝑦 = l n 1 − 𝑡 , où 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 1 2 .

  • A √ 5 𝜋 6
  • B l n 3 − 1
  • C l n 9 4
  • D l n 3
  • E 2 l n 2

Q5:

Détermine la longueur de la courbe d'équations paramétriques 𝑥 = 𝑡 𝑡 s i n et 𝑦 = 𝑡 𝑡 c o s , où 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 1 .

  • A 1 2 √ 2 + 1 2 √ 2 − 1 l n
  • B − 1 2 √ 2 − 1 2 1 + √ 2 l n
  • C − 1 2 √ 2 − 1 2 √ 2 − 1 l n
  • D 1 2 √ 2 + 1 2 1 + √ 2 l n
  • E 4 3

Q6:

Exprime la longueur de la courbe d'équations paramétriques 𝑥 = 𝑡 + 𝑒 et 𝑦 = 𝑡 − 𝑒 , où 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 2 , sous la forme d'une intégrale.

  • A √ 2 𝑡 d
  • B 2 + 2 𝑒 𝑡 d
  • C √ 2 𝑡 + 2 𝑒 𝑡 d
  • D √ 2 + 2 𝑒 2 𝑡 d
  • E √ 2 + 2 𝑒 𝑡 d

Q7:

Calcule la longueur de la courbe d'équations paramétriques 𝑥 = 𝑒 − 𝑡 et 𝑦 = 4 𝑒 , où 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 2 .

  • A 𝑒
  • B 𝑒 2 + 2 𝑒 − 1 2
  • C 𝑒 + 4 𝑒 − 7
  • D 𝑒 + 1
  • E 1 2 𝑒 − 2 𝑒 + 3 2

Q8:

Exprime la longueur de la courbe d'équations paramétriques 𝑥 = 𝑡 + √ 𝑡 et 𝑦 = 𝑡 − √ 𝑡 , où 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 1 sous la forme d'une intégrale.

  • A √ 2 𝑡 d
  • B √ 2 𝑡 + 2 𝑡 𝑡 d
  • C 2 + 2 𝑡 𝑡 d
  • D 2 + 1 2 𝑡 𝑡 d
  • E √ 2 𝑡 𝑡 d

Q9:

La position d'une particule à l'instant 𝑡 est s i n 𝑡 , c o s 𝑡 . Détermine la distance que la particule parcourt entre 𝑡 = 0 et 𝑡 = 3 𝜋 .

  • A 1 2 √ 2
  • B √ 2
  • C6
  • D 6 √ 2
  • E1

Q10:

Détermine la longueur de la courbe d'équations paramétriques 𝑥 = 1 + 3 𝑡 et 𝑦 = 4 + 2 𝑡 , où 0 ⩽ 𝑡 ⩽ 1 .

  • A 1 3 √ 1 3 − 2 7 1 2
  • B 9 6 5
  • C5
  • D 4 √ 2 − 2
  • E 1 2 𝜋

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