Feuille d'activités : Théorème de Pythagore en trois dimensions

Le théorème de Pythagore est connu comme une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Dans cette feuille d'exercices, entraîne-toi à utiliser le théorème de Pythagore en trois dimensions pour résoudre des problèmes de géométrie en trois dimensions.

Q1:

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷 est un cube. Détermine les longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶.

  • A𝐴𝐵=972, 𝐴𝐶=97
  • B𝐴𝐵=972, 𝐴𝐶=972
  • C𝐴𝐵=97, 𝐴𝐶=97
  • D𝐴𝐵=97, 𝐴𝐶=972

Q2:

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷 est un cube. Détermine les longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶.

  • A𝐴𝐵=93, 𝐴𝐶=932
  • B𝐴𝐵=932, 𝐴𝐶=932
  • C𝐴𝐵=93, 𝐴𝐶=93
  • D𝐴𝐵=932, 𝐴𝐶=93

Q3:

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷 est un cube. Détermine les longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶.

  • A𝐴𝐵=56, 𝐴𝐶=562
  • B𝐴𝐵=562, 𝐴𝐶=562
  • C𝐴𝐵=56, 𝐴𝐶=56
  • D𝐴𝐵=562, 𝐴𝐶=56

Q4:

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷 est un cube. Détermine les longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶.

  • A𝐴𝐵=5, 𝐴𝐶=5
  • B𝐴𝐵=5, 𝐴𝐶=52
  • C𝐴𝐵=52, 𝐴𝐶=52
  • D𝐴𝐵=52, 𝐴𝐶=5

Q5:

Si 𝑀𝐴𝐵𝐶 est une pyramide triangulaire droite, que la longueur de son arête 𝑀𝐴=59cm et que sa base 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐴, 𝐵𝐴=105cm et 𝐶𝐴=36cm, alors détermine la hauteur de la pyramide, arrondie au centième près.

Q6:

Let 𝐵𝐶𝐷 équilatéral de côté 96, et [𝐵𝐴] perpendiculaire au plan 𝐵𝐶𝐷 de longueur 48. Détermine la longueur de la perpendiculaire de 𝐴 à [𝐶𝐷].

Q7:

𝐴𝐵𝐶𝐷 est une pyramide triangulaire où 𝐵𝐴𝐶=30 et 𝐵𝐴𝐷=90. Trace 𝐵𝐻𝐴𝐶. Si 𝐵𝐻 est perpendiculaire au plan 𝐴𝐶𝐷, 𝐵𝐻=25 et 𝐴𝐷=65, alors calcule la longueur de 𝐻𝐷.

  • A69,6
  • B41
  • C1061
  • D253

Q8:

[𝑁𝐴], [𝑁𝐵] et [𝑁𝐶] sont orthogonaux deux à deux. Sachant que 𝑁𝐴=10, 𝑁𝐵=30 et un point 𝐷 sur [𝐴𝐵]. Détermine la longueur 𝐴𝐷 pour laquelle [𝐴𝐵] est perpendiculaire au plan 𝑁𝐶𝐷.

  • A310
  • B910
  • C10
  • D1010

Q9:

𝑀𝐴𝐵𝐶 est une pyramide régulière dont la base 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral dont la longueur du côté est de 32 cm. Si la longueur de son arête latérale est égale à 88 cm, alors calcule la hauteur de la pyramide au centième près.

Q10:

Une pyramide est sur une base triangulaire équilatérale de 21 cm et a une hauteur de 23 cm. Quelle est la longueur, au centième près, de l'arête latérale de la pyramide?

Q11:

Sur la figure, 𝐴𝐵 appartient au plan 𝑋, et 𝐴𝐶 est perpendiculaire à 𝑋. Sachant que 𝐴𝐵=6 et 𝐴𝐶=8, calcule la longueur de 𝐵𝐶.

Q12:

𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que 𝐵=60 et 𝐵𝐶=23. 𝐶𝐷 est tracée perpendiculairement au plan 𝐴𝐵𝐶, et la perpendiculaire à 𝐴𝐵 depuis 𝐷 est tracée pour le rencontrer en 𝐸. Si 𝐷𝐸=23, détermine la longueur de 𝐶𝐷 et la mesure de l'angle entre 𝐵𝐷 et le plan 𝐶𝐷𝐸.

  • A30,43, 30
  • B11,5, 63265,82
  • C19,92, 63265,82
  • D19,92, 405336,22
  • E11,5, 263354,18

Q13:

Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐵 et [𝐵𝐷] est orthogonal au plan 𝐴𝐵𝐶. Une perpendiculaire [𝐷𝐸] est issue de 𝐸 à [𝐴𝐶]. L'aire du triangle 𝐴𝐶𝐷 vaut 1‎ ‎134, 𝐴𝐵=43,2 et 𝐵𝐶=12,6. Soit 𝜃 l'angle entre [𝐷𝐸] et le plan 𝐴𝐵𝐶. Détermine tan𝜃 au millième près.

Q14:

Sur la figure, supposons que 𝐴𝐵=28, [𝐵𝐷]plan 𝐵𝐴𝐶 et [𝐷𝐸][𝐴𝐶]. Calcule la longueur de [𝐷𝐸].

  • A25,24
  • B21
  • C75
  • D765

Q15:

Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝐴=60 et 𝐴𝐵=24. [𝐵𝐷] est la normale au plan 𝐴𝐵𝐶, et 𝑂 le pied de la perpendiculaire de 𝐷 à [𝐴𝐶]. Si 𝐷𝑂=72, alors détermine la longueur de [𝐵𝐷].

  • A1235
  • B1233
  • C482
  • D1239

Q16:

Le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 a 𝐴𝐵=25 et 𝐵𝐶=36. Supposons que les perpendiculaires [𝐵𝐻] et [𝐴𝑂] sont de longueur 27. Quelle est l'aire de 𝐶𝐷𝑂𝐻?

  • A900
  • B675
  • C1‎ ‎125
  • D1‎ ‎095,7

Q17:

Détermine l'aire de la surface du pavé droit ci-dessous, en arrondissant le résultat au dixième près.

Q18:

Un morceau de papier en forme de secteur circulaire ayant un rayon de 72 cm et un angle de 275 est plié de façon que les points 𝐴 et 𝐵 se réunissent pour former un cône circulaire de la plus grande aire possible. Détermine la hauteur du cône au centième près.

Q19:

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐻𝑂𝑅𝐸 est un cube dont la longueur de l'arête est 62 cm et où 𝑋 est le milieu de [𝐴𝐵], détermine l'aire du plan 𝐷𝑋𝑌𝐸.

  • A72 cm2
  • B365 cm2
  • C90 cm2
  • D101,82 cm2

Q20:

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélépipède dont les trois dimensions sont 𝐴𝐵=69cm, 𝐵𝐶=55cm et 𝐴𝐴=92cm. Calcule l'aire du rectangle 𝐶𝐵𝐴𝐷.

  • A3‎ ‎795 cm2
  • B6‎ ‎348 cm2
  • C6‎ ‎325 cm2
  • D8‎ ‎118 cm2

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