Feuille d'activités de la leçon : Théorème de Pythagore en 3D Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à utiliser le théorème de Pythagore pour résoudre des problèmes en trois dimensions.

Question 1

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ est un cube. Détermine les longueurs de 𝐴′𝐵 et 𝐴𝐶.

  • A𝐴′𝐵=97, 𝐴𝐶=97√2
  • B𝐴′𝐵=97√2, 𝐴𝐶=97
  • C𝐴′𝐵=97, 𝐴𝐶=97
  • D𝐴′𝐵=97√2, 𝐴𝐶=97√2

Question 2

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ est un cube. Détermine les longueurs de 𝐴′𝐵 et 𝐴𝐶.

  • A𝐴′𝐵=93, 𝐴𝐶=93√2
  • B𝐴′𝐵=93√2, 𝐴𝐶=93
  • C𝐴′𝐵=93, 𝐴𝐶=93
  • D𝐴′𝐵=93√2, 𝐴𝐶=93√2

Question 3

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ est un cube. Détermine les longueurs de 𝐴′𝐵 et 𝐴𝐶.

  • A𝐴′𝐵=56, 𝐴𝐶=56√2
  • B𝐴′𝐵=56√2, 𝐴𝐶=56
  • C𝐴′𝐵=56, 𝐴𝐶=56
  • D𝐴′𝐵=56√2, 𝐴𝐶=56√2

Question 4

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ est un cube. Détermine les longueurs de 𝐴′𝐵 et 𝐴𝐶.

  • A𝐴′𝐵=5, 𝐴𝐶=5√2
  • B𝐴′𝐵=5√2, 𝐴𝐶=5
  • C𝐴′𝐵=5, 𝐴𝐶=5
  • D𝐴′𝐵=5√2, 𝐴𝐶=5√2

Question 5

Si 𝑀𝐴𝐵𝐶 est une pyramide triangulaire droite, que la longueur de son arête 𝑀𝐴=59cm et que sa base 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐴, où 𝐵𝐴=105cm et 𝐶𝐴=36cm, alors détermine la hauteur de la pyramide, arrondie au centième près.

Question 6

Let 𝐵𝐶𝐷 équilatéral de côté 96, et 𝐵𝐴 perpendiculaire au plan 𝐵𝐶𝐷 de longueur 48. Détermine la longueur de la perpendiculaire de 𝐴 à 𝐶𝐷.

Question 7

𝐴𝐵𝐶𝐷 est une pyramide triangulaire où 𝑚∠𝐵𝐴𝐶=30∘ et 𝑚∠𝐵𝐴𝐷=90∘. Trace 𝐵𝐻⟂𝐴𝐶. Si 𝐵𝐻 est perpendiculaire au plan 𝐴𝐶𝐷, 𝐵𝐻=25 et 𝐴𝐷=65, alors calcule la longueur de 𝐻𝐷.

  • A69,6
  • B41
  • C25√3
  • D10√61

Question 8

𝑁𝐴, 𝑁𝐵 et 𝑁𝐶 sont orthogonaux deux à deux. Sachant que 𝑁𝐴=10, 𝑁𝐵=30 et un point 𝐷 sur 𝐴𝐵. Détermine la longueur 𝐴𝐷 pour laquelle 𝐴𝐵 est perpendiculaire au plan 𝑁𝐶𝐷.

  • A3√10
  • B√10
  • C9√10
  • D10√10

Question 9

𝑀𝐴𝐵𝐶 est une pyramide régulière dont la base 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral dont la longueur du côté est de 32 cm. Si la longueur de son arête latérale est égale à 88 cm, alors calcule la hauteur de la pyramide au centième près.

Question 10

Une pyramide est sur une base triangulaire équilatérale de 21 cm et a une hauteur de 23 cm. Quelle est la longueur, au centième près, de l'arête latérale de la pyramide ?

Question 11

𝐴𝐵𝐶𝐴′𝐵′𝐶′ est un prisme incliné, et 𝐵𝐶𝐶′𝐵′ est un carré. Trace 𝐵𝐷⟂𝐴𝐴′ avec 𝐷 appartenant à 𝐴𝐴′. Sachant que 𝐴𝐵=19, 𝐵𝐷=8 et 𝐴𝐶=21, détermine la longueur de 𝐷𝐶.

  • A12
  • B20,6
  • C3√82
  • D29,4

Question 12

Sur la figure ci-dessous, 𝐴𝐵 est contenu dans le plan 𝑋, et 𝐴𝐶 est perpendiculaire à 𝑋. Sachant que 𝐴𝐵=6 et 𝐴𝐶=8, calcule la longueur de 𝐵𝐶.

Question 13

𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que 𝑚∠𝐵=60∘ et 𝐵𝐶=23. 𝐶𝐷 est tracé perpendiculairement au plan 𝐴𝐵𝐶, et la perpendiculaire à 𝐴𝐵 issue de 𝐷 est tracée pour le rencontrer en 𝐸. Si 𝐷𝐸=23, détermine la longueur de 𝐶𝐷 et la mesure de l'angle compris entre 𝐵𝐷 et le plan 𝐶𝐷𝐸.

  • A19,92, 4053′36,22′′∘
  • B19,92, 6326′5,82′′∘
  • C11,5, 6326′5,82′′∘
  • D11,5, 2633′54,18′′∘
  • E30,43, 30∘

Question 14

Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐵 et 𝐵𝐷 est orthogonal au plan 𝐴𝐵𝐶. Une perpendiculaire 𝐷𝐸 est issue de 𝐸 à 𝐴𝐶. L'aire du triangle 𝐴𝐶𝐷 vaut 1‎ ‎134, 𝐴𝐵=43,2 et 𝐵𝐶=12,6. Soit 𝜃 l'angle entre 𝐷𝐸 et le plan 𝐴𝐵𝐶. Détermine tan𝜃 au millième près.

Question 15

Sur la figure, supposons que 𝐴𝐵=28, 𝐵𝐷⟂plan 𝐵𝐴𝐶 et 𝐷𝐸⟂𝐴𝐶. Calcule la longueur de 𝐷𝐸.

  • A7√65
  • B√21
  • C7√5
  • D25,24

Question 16

Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝑚∠𝐴=60∘ et 𝐴𝐵=24. 𝐵𝐷 est la normale au plan 𝐴𝐵𝐶, et 𝑂 le pied de la perpendiculaire de 𝐷 à 𝐴𝐶. Si 𝐷𝑂=72, alors détermine la longueur de 𝐵𝐷.

  • A12√39
  • B48√2
  • C12√35
  • D12√33

Question 17

Le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 a 𝐴𝐵=25 et 𝐵𝐶=36. Supposons que les perpendiculaires 𝐵𝐻 et 𝐴𝑂 sont de longueur 27. Quelle est l'aire de 𝐶𝐷𝑂𝐻 ?

  • A900
  • B675
  • C1‎ ‎125
  • D1‎ ‎095,7

Question 18

Détermine l'aire de la surface du pavé droit ci-dessous, en arrondissant le résultat au dixième près.

Question 19

Un morceau de papier en forme de secteur circulaire ayant un rayon de 72 cm et un angle de 275∘ est plié de façon que les points 𝐴 et 𝐵 se réunissent pour former un cône circulaire de la plus grande aire possible. Détermine la hauteur du cône au centième près.

Question 20

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 est un cube dont la longueur de l'arête est 6√2 cm et où 𝑋 est le milieu de 𝐴𝐵, détermine l'aire du plan 𝐷𝑋𝑌𝐸.

  • A36√5 cm2
  • B72 cm2
  • C101,82 cm2
  • D90 cm2

Question 21

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ est un parallélépipède dont les trois dimensions sont 𝐴𝐵=69cm, 𝐵𝐶=55cm et 𝐴𝐴′=92cm. Calcule l'aire du rectangle 𝐶𝐵𝐴′𝐷′.

Question 22

Identifie une paire de points entre lesquels une diagonale du prisme rectangulaire donné peut être tracée.

  • A𝐹 et 𝐶
  • B𝐺 et 𝐷
  • C𝐴 et 𝐶
  • D𝐴 et 𝐺
  • E𝐸 et 𝐷

Question 23

Sur la figure, 𝐴𝐻 est perpendiculaire au plan 𝑌, qui contient les points 𝐻, 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Si 𝐵𝐷=36 et 𝐴𝐷=85, alors calcule l'aire du triangle 𝐴𝐵𝐷.

  • A1‎ ‎386
  • B3‎ ‎272,5
  • C3‎ ‎060
  • D1‎ ‎530

Question 24

La hauteur d’un cône de révolution est longue de 90 cm, et la longueur de sa génératrice est 106 cm. Détermine la circonférence et l'aire de sa base en fonction de 𝜋.

  • Acirconférence =112𝜋cm, aire =3136𝜋cm
  • Bcirconférence =3136𝜋cm, aire =112𝜋cm
  • Ccirconférence =3136cm, aire =112cm
  • Dcirconférence =112cm, aire =3136cm

Question 25

Une feuille de papier en forme de secteur de rayon 29 cm et d'aire 203𝜋 cm2 est plié pour former un cône droit, en collant ensemble les rayons 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶. Quelle est la hauteur du cône ? Rappelons que l'aire du secteur est donnée par la moitié du produit de son rayon et de la longueur de son arc.

  • A43,96 cm
  • B6√22 cm
  • C√890 cm
  • D33,04 cm

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