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Feuille d'activités : Exprimer des vecteurs dans l'espace en fonction des vecteurs de la base canonique

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à exprimer des vecteurs en fonction des vecteurs de la base canonique au lieu des coordonnées et comment additionner et soustraire des vecteurs sous cette forme.

Q1:

Détermine le vecteur unitaire dans la direction de l’axe des abscisses.

  • A ( 0 ; 0 ; 1 )
  • B ( 0 ; 1 ; 0 )
  • C ( 0 ; 1 ; 1 )
  • D ( 1 ; 0 ; 0 )
  • E ( 1 ; 1 ; 1 )

Q2:

Détermine le vecteur unitaire dans la direction de l’axe des ordonnées.

  • A ( 0 ; 0 ; 1 )
  • B ( 1 ; 0 ; 0 )
  • C ( 1 ; 0 ; 1 )
  • D ( 0 ; 1 ; 0 )
  • E ( 1 ; 1 ; 1 )

Q3:

Supposons que ⃗ 𝑢 = 5 9 9 , ⃗ 𝑤 = − 4 − 2 − 9 , et ⃗ 𝑢 + ⃗ 𝑤 + ⃗ 𝑟 = ⃗ 𝚤 . Que vaut ⃗ 𝑟  ?

  • A 2 ⃗ 𝚤 + 7 ⃗ 𝚥
  • B − ⃗ 𝑖 − 7 ⃗ 𝚥
  • C ⃗ 𝑖
  • D − 7 ⃗ 𝚥

Q4:

Supposons que ⃗ 𝑢 = 4 7 − 7 , ⃗ 𝑤 = − 5 1 − 2 , et ⃗ 𝑢 + ⃗ 𝑤 + ⃗ 𝑟 = ⃗ 𝚤 . Que vaut ⃗ 𝑟  ?

  • A 8 ⃗ 𝚥 − 9 ⃗ 𝑘
  • B ⃗ 𝑖 − 8 ⃗ 𝚥 + 9 ⃗ 𝑘
  • C ⃗ 𝑖
  • D 2 ⃗ 𝚤 − 8 ⃗ 𝚥 + 9 ⃗ 𝑘

Q5:

Le vecteur ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 3 2 3 1 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ est-il unitaire ?

  • ANon
  • BOui

Q6:

Détermine le vecteur unitaire dans la direction de l’axe des côtes.

  • A ( 1 ; 0 ; 0 )
  • B ( 0 ; 1 ; 0 )
  • C ( 1 ; 1 ; 0 )
  • D ( 0 ; 0 ; 1 )
  • E ( 1 ; 1 ; 1 )

Q7:

Soit un vecteur unitaire ⃗ 𝑢 tel que 1 1 ⃗ 𝑢 = − 1 − 2 𝑘 . Détermine les valeurs possibles de 𝑘 .

  • A 2 √ 2 9 1 1 , − 2 √ 2 9 1 1
  • B 1 1 6 , − 1 1 6
  • C 1 1 6 1 2 1 , − 1 1 6 1 2 1
  • D 2 √ 2 9 , − 2 √ 2 9

Q8:

Étant donnés ⃗ 𝑢 = 4 ⃗ 𝚤 + 4 ⃗ 𝚥 − 5 ⃗ 𝑘 et ⃗ 𝑤 = 3 ⃗ 𝚤 − ⃗ 𝑘 , détermine ‖ ‖ ⃗ 𝑢 − ⃗ 𝑤 ‖ ‖ .

  • A 3 √ 2
  • B3
  • C √ 3 3

Q9:

Étant donnés ⃗ 𝑢 = 3 ⃗ 𝚤 − ⃗ 𝚥 − 4 ⃗ 𝑘 et ⃗ 𝑤 = − 3 ⃗ 𝚤 + 5 ⃗ 𝚥 − 5 ⃗ 𝑘 , détermine ‖ ‖ ⃗ 𝑢 − ⃗ 𝑤 ‖ ‖ .

  • A √ 2 6
  • B √ 1 3
  • C √ 7 3

Q10:

Si ⃗ 𝑢 = 5 ⃗ 𝚤 − 2 ⃗ 𝚥 − ⃗ 𝑘 et ⃗ 𝑤 = − ⃗ 𝚥 + 2 ⃗ 𝑘 , détermine ‖ ‖ ⃗ 𝑢 + ⃗ 𝑤 ‖ ‖ et ‖ ‖ ⃗ 𝑢 ‖ ‖ + ‖ ‖ ⃗ 𝑤 ‖ ‖ .

  • A ‖ ‖ ⃗ 𝑢 + ⃗ 𝑤 ‖ ‖ = 3 √ 2 , ‖ ‖ ⃗ 𝑢 ‖ ‖ + ‖ ‖ ⃗ 𝑤 ‖ ‖ = √ 2 + 2
  • B ‖ ‖ ⃗ 𝑢 + ⃗ 𝑤 ‖ ‖ = 3 , ‖ ‖ ⃗ 𝑢 ‖ ‖ + ‖ ‖ ⃗ 𝑤 ‖ ‖ = 1 + √ 2
  • C ‖ ‖ ⃗ 𝑢 + ⃗ 𝑤 ‖ ‖ = √ 3 5 , ‖ ‖ ⃗ 𝑢 ‖ ‖ + ‖ ‖ ⃗ 𝑤 ‖ ‖ = √ 5 + √ 3 0

Q11:

Si ⃗ 𝑢 = − 2 ⃗ 𝚤 − 3 ⃗ 𝚥 + 4 ⃗ 𝑘 et ⃗ 𝑤 = − 4 ⃗ 𝚤 − 4 ⃗ 𝚥 − 3 ⃗ 𝑘 , détermine ‖ ‖ ⃗ 𝑢 + ⃗ 𝑤 ‖ ‖ et ‖ ‖ ⃗ 𝑢 ‖ ‖ + ‖ ‖ ⃗ 𝑤 ‖ ‖ .

  • A ‖ ‖ ⃗ 𝑢 + ⃗ 𝑤 ‖ ‖ = 2 √ 7 , ‖ ‖ ⃗ 𝑢 ‖ ‖ + ‖ ‖ ⃗ 𝑤 ‖ ‖ = √ 2 + √ 2 2
  • B ‖ ‖ ⃗ 𝑢 + ⃗ 𝑤 ‖ ‖ = √ 1 4 , ‖ ‖ ⃗ 𝑢 ‖ ‖ + ‖ ‖ ⃗ 𝑤 ‖ ‖ = 1 + √ 1 1
  • C ‖ ‖ ⃗ 𝑢 + ⃗ 𝑤 ‖ ‖ = √ 8 6 , ‖ ‖ ⃗ 𝑢 ‖ ‖ + ‖ ‖ ⃗ 𝑤 ‖ ‖ = √ 2 9 + √ 4 1

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