Feuille d'activités : Exprimer des vecteurs dans l'espace en fonction des vecteurs de la base canonique

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à exprimer des vecteurs en fonction des vecteurs de la base canonique au lieu des coordonnées et comment additionner et soustraire des vecteurs sous cette forme.

Q1:

DΓ©termine le vecteur unitaire dans la direction de 𝑙 ’ π‘Ž π‘₯ 𝑒 𝑑 𝑒 𝑠 π‘œ π‘Ÿ 𝑑 π‘œ 𝑛 𝑛 𝑒 𝑠 .

  • A β€– 0 , 0 , 1 β€–
  • B β€– 1 , 0 , 0 β€–
  • C β€– 1 , 0 , 1 β€–
  • D β€– 0 , 1 , 0 β€–
  • E β€– 1 , 1 , 1 β€–

Q2:

DΓ©termine le vecteur unitaire dans la direction de 𝑧 .

  • A  1 0 0 
  • B  0 1 0 
  • C  1 1 0 
  • D  0 0 1 
  • E  1 1 1 

Q3:

Γ‰tant donnΓ©s βƒ— 𝑒 = 4 βƒ— 𝚀 + 4 βƒ— πš₯ βˆ’ 5 βƒ— π‘˜ et βƒ— 𝑀 = 3 βƒ— 𝚀 βˆ’ βƒ— π‘˜ , dΓ©termine β€– β€– βƒ— 𝑒 βˆ’ βƒ— 𝑀 β€– β€– .

  • A 3 √ 2
  • B3
  • C √ 3 3

Q4:

Si βƒ— 𝑒 = 5 βƒ— 𝚀 βˆ’ 2 βƒ— πš₯ βˆ’ βƒ— π‘˜ et βƒ— 𝑀 = βˆ’ βƒ— πš₯ + 2 βƒ— π‘˜ , dΓ©termine β€– β€– βƒ— 𝑒 + βƒ— 𝑀 β€– β€– et β€– β€– βƒ— 𝑒 β€– β€– + β€– β€– βƒ— 𝑀 β€– β€– .

  • A β€– β€– βƒ— 𝑒 + βƒ— 𝑀 β€– β€– = 3 √ 2 , β€– β€– βƒ— 𝑒 β€– β€– + β€– β€– βƒ— 𝑀 β€– β€– = √ 2 + 2
  • B β€– β€– βƒ— 𝑒 + βƒ— 𝑀 β€– β€– = 3 , β€– β€– βƒ— 𝑒 β€– β€– + β€– β€– βƒ— 𝑀 β€– β€– = 1 + √ 2
  • C β€– β€– βƒ— 𝑒 + βƒ— 𝑀 β€– β€– = √ 3 5 , β€– β€– βƒ— 𝑒 β€– β€– + β€– β€– βƒ— 𝑀 β€– β€– = √ 5 + √ 3 0

Q5:

Supposons que βƒ— 𝑒 =  4 7 βˆ’ 7  , βƒ— 𝑀 =  βˆ’ 5 1 βˆ’ 2  , et βƒ— 𝑒 + βƒ— 𝑀 + βƒ— π‘Ÿ = βƒ— 𝚀 . Que vaut βƒ— π‘Ÿ  ?

  • A 8 βƒ— πš₯ βˆ’ 9 βƒ— π‘˜
  • B βƒ— 𝑖 βˆ’ 8 βƒ— πš₯ + 9 βƒ— π‘˜
  • C βƒ— 𝑖
  • D 2 βƒ— 𝚀 βˆ’ 8 βƒ— πš₯ + 9 βƒ— π‘˜

Q6:

Sachant que βƒ— 𝐴 = 3 βƒ— 𝚀 + βƒ— πš₯ + π‘š βƒ— π‘˜ et que βƒ— 𝐡 est un vecteur unitaire Γ©gale Γ  1 5 βƒ— 𝐴 , dΓ©termine les valeurs possibles de π‘š .

  • A √ 1 5 5 , βˆ’ √ 1 5 5
  • B 1 5 , βˆ’ 1 5
  • C 3 5 , βˆ’ 3 5
  • D √ 1 5 , βˆ’ √ 1 5

Q7:

Γ‰tant donnΓ©es deux vecteurs unitaires βƒ— 𝐴 et βƒ— 𝐡 tels que β€– β€– βƒ— 𝐴 + βƒ— 𝐡 β€– β€– = 1 , Γ©value ο€Ί 6 βƒ— 𝐴 + 4 βƒ— 𝐡  β‹… ο€Ί βˆ’ 2 βƒ— 𝐴 + βƒ— 𝐡  .

Q8:

Si βƒ— 𝑒 et βƒ— 𝑀 sont deux vecteurs unitaires et que πœƒ est l'angle qu'ils forment, Γ©value β€– β€– ο€Ή βƒ— 𝑒 βˆ’ βƒ— 𝑀 ) ∧ ( βƒ— 𝑒 + βƒ— 𝑀  β€– β€– .

  • A 𝑒 𝑀 πœƒ 2 2 s i n
  • B s i n πœƒ
  • C 2 𝑒 𝑀 πœƒ s i n
  • D 2 πœƒ s i n
  • E 𝑒 𝑀 πœƒ s i n

Q9:

DΓ©termine le vecteur unitaire dans la direction de 𝑙 ’ π‘Ž π‘₯ 𝑒 𝑑 𝑒 𝑠 π‘Ž 𝑏 𝑠 𝑐 𝑖 𝑠 𝑠 𝑒 𝑠 .

  • A  0 0 1 
  • B  0 1 0 
  • C  0 1 1 
  • D  1 0 0 
  • E  1 1 1 

Q10:

Soit un vecteur unitaire βƒ— 𝑒 tel que 1 1 βƒ— 𝑒 =  βˆ’ 1 βˆ’ 2 π‘˜  . DΓ©termine les valeurs possibles de π‘˜ .

  • A 2 √ 2 9 1 1 , βˆ’ 2 √ 2 9 1 1
  • B 1 1 6 , βˆ’ 1 1 6
  • C 1 1 6 1 2 1 , βˆ’ 1 1 6 1 2 1
  • D 2 √ 2 9 , βˆ’ 2 √ 2 9

Q11:

Le vecteur βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 3 2 3 1 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ est-il unitaire ?

  • ANon
  • BOui

Q12:

Supposons que βƒ— 𝑒 =  1 βˆ’ 2 βˆ’ 8  , βƒ— 𝑀 =  βˆ’ 8 9 1  , et βƒ— 𝑒 + βƒ— 𝑀 + βƒ— π‘Ÿ = βƒ— 𝚀 . Que vaut βƒ— π‘Ÿ  ?

  • A βˆ’ 6 βƒ— 𝚀 + 7 βƒ— πš₯ βˆ’ 7 βƒ— π‘˜
  • B 7 βƒ— 𝚀 βˆ’ 7 βƒ— πš₯ + 7 βƒ— π‘˜
  • C βƒ— 𝑖
  • D 8 βƒ— 𝚀 βˆ’ 7 βƒ— πš₯ + 7 βƒ— π‘˜

Q13:

Γ‰tant donnΓ©s βƒ— 𝑒 = βƒ— 𝚀 βˆ’ 2 βƒ— πš₯ βˆ’ 3 βƒ— π‘˜ et βƒ— 𝑀 = 2 βƒ— 𝚀 βˆ’ βƒ— π‘˜ , dΓ©termine β€– β€– βƒ— 𝑒 βˆ’ βƒ— 𝑀 β€– β€– .

  • A √ 1 0
  • B √ 5
  • C3

Q14:

Si βƒ— 𝑒 = βƒ— 𝚀 + 5 βƒ— πš₯ βˆ’ 5 βƒ— π‘˜ et βƒ— 𝑀 = βˆ’ 2 βƒ— πš₯ + 2 βƒ— π‘˜ , dΓ©termine β€– β€– βƒ— 𝑒 + βƒ— 𝑀 β€– β€– et β€– β€– βƒ— 𝑒 β€– β€– + β€– β€– βƒ— 𝑀 β€– β€– .

  • A β€– β€– βƒ— 𝑒 + βƒ— 𝑀 β€– β€– = √ 1 4 , β€– β€– βƒ— 𝑒 β€– β€– + β€– β€– βƒ— 𝑀 β€– β€– = √ 2
  • B β€– β€– βƒ— 𝑒 + βƒ— 𝑀 β€– β€– = √ 7 , β€– β€– βƒ— 𝑒 β€– β€– + β€– β€– βƒ— 𝑀 β€– β€– = 1
  • C β€– β€– βƒ— 𝑒 + βƒ— 𝑀 β€– β€– = √ 1 9 , β€– β€– βƒ— 𝑒 β€– β€– + β€– β€– βƒ— 𝑀 β€– β€– = 2 √ 2 + √ 5 1

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