Feuille d'activités : Continuité d'une fonction

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à différencier entre les trois types de discontinuité d'une fonction en un point donné.

Q1:

Discute la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥=−2, sachant qu'elle est définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+8𝑥−4𝑥≠−2,−3𝑥=−2.sisi

  • ALa fonction est continue sur 𝑥=−2.
  • BLa fonction est discontinue sur 𝑥=−2 car 𝑓(−2) est indéfinie.
  • CLa fonction est discontinue en 𝑥=−2 car 𝑓(−2)≠𝑓(𝑥)lim→.
  • DLa fonction est discontinue sur 𝑥=−2 car lim→𝑓(𝑥) n'existe pas.

Q2:

On pose la fonction 𝑓(𝑥)=−7𝑥+8𝑥<−8,𝑥+2𝑥+4𝑥>−8.sisi Si cela est possible ou nécessaire, définis 𝑓(−8) de sorte que 𝑓 soit continue en 𝑥=−8.

  • A 𝑓 ( − 8 ) = 0 rendrait 𝑓 continue en 𝑥=−8.
  • BLa fonction est déjà continue en 𝑥=−8.
  • CLa fonction ne peut être rendue continue en 𝑥=−8car lim→𝑓(𝑥)≠lim→𝑓(𝑥).
  • D 𝑓 ( − 8 ) = 6 rendrait 𝑓 continue en 𝑥=−8.

Q3:

Considère la fonction définie par 𝑓(𝑥)=⎧⎨⎩𝑥+1𝑥−1𝑥<−1,62𝑥−10𝑥⩾−1.sisiQue peut-on dire de la continuité de 𝑓 en 𝑥=−1 ?

  • ALa fonction est continue sur ℝ.
  • BLa fonction est discontinue en 𝑥=−1 car 𝑓(−1)≠𝑓(𝑥)lim→.
  • CLa fonction est discontinue en 𝑥=−1 car lim→𝑓(𝑥) n'existe pas.
  • DLa fonction est discontinue en 𝑥=−1 car 𝑓(−1) est indéfinie.
  • ELa fonction est continue en 𝑥=−1.

Q4:

Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏 qui rendent la fonction 𝑓 continue en 𝑥=−1 et 𝑥=−6, sachant que 𝑓(𝑥)=3𝑥+11𝑥⩽−6,𝑎𝑥+𝑏−6<𝑥<−1,−5𝑥+10𝑥⩾−1.sisisi

  • A 𝑎 = 1 2 5 , 𝑏 = 3 7 5
  • B 𝑎 = 3 7 5 , 𝑏 = 1 2 5
  • C 𝑎 = − 6 1 7 , 𝑏 = − 1 2 7
  • D 𝑎 = − 1 2 7 , 𝑏 = − 6 1 7
  • E 𝑎 = 1 2 5 , 𝑏 = − 2 5 7 5

Q5:

On pose 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥−2𝑥−1. Est-il possible de définir une valeur 𝑓(1) pour rendre la fonction 𝑓 continue en 𝑥=1.

  • A On peut prolonger la fonction 𝑓(1)=3 pour la rendre 𝑓 continue en posant 𝑥=1.
  • B On peut prolonger la fonction 𝑥=1 car 𝑓(1) undefine.
  • C La fonction est déjà continue en 𝑥=1.
  • D On ne peut prolonger par 𝑓(1) continuité la fonction en 𝑓 car lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.

Q6:

On pose 𝑓(𝑥)=𝑥−64𝑥+𝑥−20. Définis, si possible, 𝑓(4) pour rendre 𝑓 continue en 𝑥=4.

  • ALa fonction 𝑓 ne peut être rendue continue en 𝑥=4 car lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • BLa fonction 𝑓 ne peut être rendue continue en 𝑥=4 car 𝑓(4) n’est pas définie.
  • CLa fonction est continue en 𝑥=4.
  • DLa fonction 𝑓 peut être rendue continue en 𝑥=4 en posant 163

Q7:

Étudie la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥=5 sachant que 𝑓(𝑥)=⎧⎪⎨⎪⎩8𝑥+1𝑥⩽5,𝑥−25𝑥−125𝑥>5.ifif

  • A La fonction est discontinue en 𝑥=5 car lim→𝑓(𝑥)≠𝑓(5).
  • B La fonction est continue en 𝑥=5.
  • C La fonction est discontinue en 𝑥=5 car 𝑓(5) est indéfinie.
  • D La fonction est discontinue en 𝑥=5 car lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.

Q8:

Détermine la valeur du paramètre 𝑎 qui rend 𝑓 continue en 𝑥=3, où 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥(𝑎−3)−3𝑎𝑥−3𝑥≠3,7𝑥+6𝑥=3.sisi

Q9:

On veut définir 𝑓(𝑎)=54 et 𝑓(𝑥)=𝑥−𝑎𝑥−𝑎 pour 𝑥≠𝑎 et avoir 𝑓 continue en 𝑥=𝑎. Détermine la valeur de 𝑎.

  • A 1 3
  • B2
  • C3
  • D 1 2

Q10:

Détermine la valeur du paramètre 𝑎 qui rend la fonction 𝑓 continue en 𝑥=0, où 𝑓(𝑥)=−56𝑥−57𝑥3𝑥𝑥≠0,𝑎𝑥=0.sintansisi

  • A 5 3
  • B − 5 3
  • C − 1 0
  • D − 6 5 3
  • E 3 5 3

Q11:

Étudie la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥=0, où 𝑓(𝑥)=𝑥5𝑥𝑥≠0,5𝑥=0.sinsisi

  • ALa fonction est discontinue en 𝑥=0 car 𝑓(0) est indéfinie.
  • BLa fonction est discontinue en 𝑥=0 car lim→𝑓(𝑥)≠𝑓(0).
  • CLa fonction est discontinue en 𝑥=0 car lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • DLa fonction est continue en 𝑥=0.

Q12:

La fonction définie par 𝑓(𝑥)=7|𝑥|𝑥+17𝑥<0,𝑎+9𝑥𝑥⩾0,sicossi est continue en 𝑥=0. Quelles sont les valeurs possibles de 𝑎 ?

  • A 3 , − 3
  • B √ 3
  • C 2 , − 2
  • D √ 3 , − √ 3

Q13:

Détermine la valeur de 𝑎 qui rend la fonction 𝑓 continue en 𝑥=𝜋4, étant donnée 𝑓(𝑥)=⎧⎨⎩2𝑥+9𝑥4+4𝑥𝑥≠𝜋4,3𝑎𝑥=𝜋4.sintansinsisi

  • A2
  • B − 1 6
  • C 1 2
  • D 1 6

Q14:

Détermine la valeur de 𝑘 qui rend la fonction 𝑓 continue en 𝑥=𝜋4, où 𝑓(𝑥)=⎧⎨⎩−62𝑥+4𝑥2𝑥+2𝑥≠𝜋4,5𝑘𝑥=𝜋4.sintansinsisi

  • A − 6
  • B − 2 5
  • C − 6 5
  • D − 2

Q15:

Étudie la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥=𝜋2, où 𝑓(𝑥)=−7𝑥+7𝑥𝑥⩽𝜋2,62𝑥−1𝑥>𝜋2.sincossicossi

  • ALa fonction est discontinue sur ℝ.
  • BLa fonction est discontinue en 𝑥=𝜋2 car 𝑓𝜋2 n’est pas définie.
  • CLa fonction est discontinue en 𝑥=𝜋2 car lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • DLa fonction est continue en 𝑥=𝜋2.
  • ELa fonction est discontinue en 𝑥=𝜋2 car lim→𝑓(𝑥)≠𝑓𝜋2.

Q16:

Détermine la valeur de 𝑎 qui rend la fonction 𝑓 continue en 𝑥=0 sachant que 𝑓(𝑥)=68𝑥8𝑥2𝑥𝑥≠0,𝑎−6𝑥=0.sintansisi

  • A9
  • B30
  • C24
  • D198

Q17:

Trouve la valeur de 𝑘 qui rend la fonction 𝑓 continue en 𝑥=0, sachant que 𝑓(𝑥)=2𝑥4𝑥7𝑥𝑥≠0,7𝑘𝑥=0.sintansisi

  • A2
  • B 2 4 9
  • C 8 7
  • D 8 4 9
  • E 1 2

Q18:

Étudie la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥=𝜋2, où 𝑓(𝑥)=8+7𝑥𝑥<𝜋2,7+5𝑥𝑥⩾𝜋2.cossisinsi

  • ALa fonction est discontinue en 𝑥=𝜋2 car 𝑓𝜋2 n’est pas définie.
  • BLa fonction est discontinue en 𝑥=𝜋2 car lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • CLa fonction est continue en 𝑥=𝜋2.
  • DLa fonction est discontinue en 𝑥=𝜋2 car lim→𝑓(𝑥)≠𝑓𝜋2.

Q19:

On pose 𝑓(𝑥)=⎧⎨⎩𝜋𝑥5𝑥𝑥<0,𝜋𝑎+6𝜋5𝑥𝑥⩾0.sinsicossi Détermine les valeurs de 𝑎 qui rendent 𝑓 continue en 𝑥=0.

  • A 2 𝜋 5 − 1
  • B 6 5
  • C − 4 5
  • D 1 5

Q20:

On pose la fonction définie par 𝑓(𝑥)=1−𝑥+5𝑥𝑥𝑥⩽0,4+15𝑥𝑥>0.cossinsicossi Que peut-on dire de la continuité de 𝑓 en 𝑥=0 ?

  • A La fonction est discontinue en 𝑥=0 car lim→𝑓(𝑥) n'existe pas.
  • B La fonction est discontinue en 𝑥=0 car 𝑓(0)≠𝑓(𝑥)lim→.
  • C La fonction est continue en 𝑥=0.
  • D La fonction est discontinue en 𝑥=0 car 𝑓(0) est indéfinie.
  • E La fonction est continue en sur ℝ.

Q21:

Trouve quelle valeur de 𝑘 rend la fonction 𝑓 continue en 𝑥=4, sachant que 𝑓(𝑥)=(𝑥−4)4𝑥−16𝑥≠4,𝑘𝑥=4.sinsisi

  • A4
  • B − 1 4
  • C − 1
  • D 1 4
  • E − 4

Q22:

Étudie la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥=0, étant donnée 𝑓(𝑥)=−9𝑥|𝑥|+2𝑥⩽0,8−6|𝑥|𝑥𝑥>0.sisi

  • ALa fonction est continue en 𝑥=0.
  • BLa fonction est continue sur ℝ⧵{0}.
  • CLa fonction est discontinue en 𝑥=0 car lim→𝑓(𝑥) n'existe pas.
  • DLa fonction est discontinue en 𝑥=0 car 𝑓(0)≠𝑓(𝑥)lim→.
  • ELa fonction est discontinue en 𝑥=0 car 𝑓(0) est indéfinie.

Q23:

Discute la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥=0, sachant que 𝑓(𝑥)=⎧⎪⎨⎪⎩6𝑥−𝑥𝑥4𝑥𝑥<0,𝑥+5𝑥+4𝑥⩾0.sintansisi

  • ALa fonction est continue en 𝑥=0.
  • BLa fonction est discontinue sur ℝ.
  • C La fonction n’est pas continue en 𝑥=0 car 𝑓(0) n’est pas définie.
  • DLa fonction n’est pas continue en 𝑥=0 car lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • ELa fonction n’est pas continue en 𝑥=0 car lim→𝑓(𝑥)≠𝑓(0).

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