Feuille d'activités : Continuité d'une fonction

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à différencier entre les trois types de discontinuité d'une fonction en un point donné.

Q1:

Discute la continuitรฉ de la fonction ๐‘“ en ๐‘ฅ=โˆ’2, sachant qu'elle est dรฉfinie par ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ฑ๐‘ฅ+8๐‘ฅโˆ’4๐‘ฅโ‰ โˆ’2,โˆ’3๐‘ฅ=โˆ’2.๏Šฉ๏Šจsisi

  • ALa fonction est continue sur ๐‘ฅ=โˆ’2.
  • BLa fonction est discontinue sur ๐‘ฅ=โˆ’2 car ๐‘“(โˆ’2) est indรฉfinie.
  • CLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=โˆ’2 car ๐‘“(โˆ’2)โ‰ ๐‘“(๐‘ฅ)lim๏—โ†’๏Šฑ๏Šจ.
  • DLa fonction est discontinue sur ๐‘ฅ=โˆ’2 car lim๏—โ†’๏Šฑ๏Šจ๐‘“(๐‘ฅ) n'existe pas.

Q2:

On pose la fonction ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ญโˆ’7๐‘ฅ+8๐‘ฅ<โˆ’8,๐‘ฅ+2๐‘ฅ+4๐‘ฅ>โˆ’8.sisi๏Šฉ Si cela est possible ou nรฉcessaire, dรฉfinis ๐‘“(โˆ’8) de sorte que ๐‘“ soit continue en ๐‘ฅ=โˆ’8.

  • A๐‘“(โˆ’8)=0 rendrait ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=โˆ’8.
  • BLa fonction est dรฉjร  continue en ๐‘ฅ=โˆ’8.
  • CLa fonction ne peut รชtre rendue continue en ๐‘ฅ=โˆ’8car lim๏—โ†’๏Šฑ๏Šฎ๏Žฉ๐‘“(๐‘ฅ)โ‰ lim๏—โ†’๏Šฑ๏Šฎ๏Žช๐‘“(๐‘ฅ).
  • D๐‘“(โˆ’8)=6 rendrait ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=โˆ’8.

Q3:

Considรจre la fonction dรฉfinie par ๐‘“(๐‘ฅ)=โŽงโŽจโŽฉ๐‘ฅ+1๐‘ฅโˆ’1,๐‘ฅ<โˆ’1,62๐‘ฅโˆ’10,๐‘ฅโฉพโˆ’1.๏Šฉ๏ŠฌQue peut-on dire de la continuitรฉ de ๐‘“ en ๐‘ฅ=โˆ’1โ€‰?

  • ALa fonction est continue sur โ„.
  • BLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=โˆ’1 car ๐‘“(โˆ’1) est indรฉfinie.
  • CLa fonction est continue en ๐‘ฅ=โˆ’1.
  • DLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=โˆ’1 car lim๏—โ†’๏Šฑ๏Šง๐‘“(๐‘ฅ) n'existe pas.
  • ELa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=โˆ’1 car ๐‘“(โˆ’1)โ‰ ๐‘“(๐‘ฅ)lim๏—โ†’๏Šฑ๏Šง.

Q4:

Dรฉtermine les valeurs de ๐‘Ž et ๐‘ qui rendent la fonction ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=โˆ’1 et ๐‘ฅ=โˆ’6, sachant que ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ณ3๐‘ฅ+11,๐‘ฅโฉฝโˆ’6,๐‘Ž๐‘ฅ+๐‘,โˆ’6<๐‘ฅ<โˆ’1,โˆ’5๐‘ฅ+10,๐‘ฅโฉพโˆ’1.๏Šจ

  • A๐‘Ž=125, ๐‘=375
  • B๐‘Ž=375, ๐‘=125
  • C๐‘Ž=โˆ’617, ๐‘=โˆ’127
  • D๐‘Ž=โˆ’127, ๐‘=โˆ’617
  • E๐‘Ž=125, ๐‘=โˆ’2575

Q5:

On pose ๐‘“(๐‘ฅ)=๐‘ฅ+๐‘ฅโˆ’2๐‘ฅโˆ’1๏Šจ. Est-il possible de dรฉfinir une valeur ๐‘“(1) pour rendre la fonction ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=1.

  • A On peut prolonger la fonction ๐‘“(1)=3 pour la rendre ๐‘“ continue en posant ๐‘ฅ=1.
  • B On peut prolonger la fonction ๐‘ฅ=1 car ๐‘“(1) undefine.
  • C La fonction est dรฉjร  continue en ๐‘ฅ=1.
  • D On ne peut prolonger par ๐‘“(1) continuitรฉ la fonction en ๐‘“ car lim๏—โ†’๏Šง๐‘“(๐‘ฅ) nโ€™existe pas.

Q6:

ร‰tudie la continuitรฉ de la fonction ๐‘“ en ๐‘ฅ=5 sachant que ๐‘“(๐‘ฅ)=โŽงโŽชโŽจโŽชโŽฉ8๐‘ฅ+1๐‘ฅโฉฝ5,๐‘ฅโˆ’25๐‘ฅโˆ’125๐‘ฅ>5.sisi๏Šจ๏Šฉ

  • ALa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=5 car lim๏—โ†’๏Šซ๐‘“(๐‘ฅ) nโ€™existe pas.
  • BLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=5 car ๐‘“(5) est indรฉfinie.
  • CLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=5 car lim๏—โ†’๏Šซ๐‘“(๐‘ฅ)โ‰ ๐‘“(5).
  • DLa fonction est continue en ๐‘ฅ=5.

Q7:

Dรฉtermine la valeur du paramรจtre ๐‘Ž qui rend ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=3, oรน ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ฒ๐‘ฅ+๐‘ฅ(๐‘Žโˆ’3)โˆ’3๐‘Ž๐‘ฅโˆ’3๐‘ฅโ‰ 3,7๐‘ฅ+6๐‘ฅ=3.๏Šจsisi

Q8:

On veut dรฉfinir ๐‘“(๐‘Ž)=54 et ๐‘“(๐‘ฅ)=๐‘ฅโˆ’๐‘Ž๐‘ฅโˆ’๐‘Ž๏Šฌ๏Šฌ๏Šฉ๏Šฉ pour ๐‘ฅโ‰ ๐‘Ž et avoir ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=๐‘Ž. Dรฉtermine la valeur de ๐‘Ž.

  • A13
  • B2
  • C3
  • D12

Q9:

Dรฉtermine la valeur du paramรจtre ๐‘Ž qui rend la fonction ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=0, oรน ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ฑโˆ’56๐‘ฅโˆ’57๐‘ฅ3๐‘ฅ,๐‘ฅโ‰ 0,๐‘Ž,๐‘ฅ=0.sintan

  • Aโˆ’653
  • B353
  • Cโˆ’10
  • Dโˆ’53
  • E53

Q10:

Discute la continuitรฉ de la fonction dรฉfinie par ๐‘“ en ๐‘ฅ=0, sachant que ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ฑ๐‘ฅ5๐‘ฅ,๐‘ฅโ‰ 0,5,๐‘ฅ=0.sin

  • ALa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=0 car lim๏—โ†’๏Šฆ๐‘“(๐‘ฅ) n'existe pas.
  • BLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=0 car lim๏—โ†’๏Šฆ๐‘“(๐‘ฅ)โ‰ ๐‘“(0).
  • CLa fonction est continue en ๐‘ฅ=0.
  • DLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=0 car ๐‘“(0) est indรฉfinie.

Q11:

La fonction dรฉfinie par ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ฒ7|๐‘ฅ|๐‘ฅ+17,๐‘ฅ<0,๐‘Ž+9๐‘ฅ,๐‘ฅโฉพ0,๏Šจcos est continue en ๐‘ฅ=0. Quelles sont les valeurs possibles de ๐‘Žโ€‰?

  • A3;โˆ’3
  • Bโˆš3;โˆ’โˆš3
  • Cโˆš3
  • D2;โˆ’2

Q12:

Dรฉtermine la valeur de ๐‘Ž qui rend la fonction ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=๐œ‹4, รฉtant donnรฉe ๐‘“(๐‘ฅ)=โŽงโŽจโŽฉ2๐‘ฅ+9๐‘ฅ4+4๐‘ฅ,๐‘ฅโ‰ ๐œ‹4,3๐‘Ž,๐‘ฅ=๐œ‹4.sintansin

  • A12
  • Bโˆ’16
  • C2
  • D16

Q13:

Dรฉtermine la valeur de ๐‘˜ qui rend la fonction ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=๐œ‹4, oรน ๐‘“(๐‘ฅ)=โŽงโŽจโŽฉโˆ’62๐‘ฅ+4๐‘ฅ2๐‘ฅ+2,๐‘ฅโ‰ ๐œ‹4,5๐‘˜,๐‘ฅ=๐œ‹4.sintansin

  • Aโˆ’2
  • Bโˆ’25
  • Cโˆ’65
  • Dโˆ’6

Q14:

ร‰tudie la continuitรฉ de la fonction ๐‘“ en ๐‘ฅ=๐œ‹2, oรน ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ดโˆ’7๐‘ฅ+7๐‘ฅ,๐‘ฅโฉฝ๐œ‹2,62๐‘ฅโˆ’1,๐‘ฅ>๐œ‹2.sincoscos

  • ALa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=๐œ‹2 car ๐‘“๏€ป๐œ‹2๏‡ nโ€™est pas dรฉfinie.
  • BLa fonction est continue en ๐‘ฅ=๐œ‹2.
  • CLa fonction est discontinue sur โ„.
  • DLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=๐œ‹2 car lim๏—โ†’๏‘ฝ๏Žก๐‘“(๐‘ฅ) nโ€™existe pas.
  • ELa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=๐œ‹2 car lim๏—โ†’๏‘ฝ๏Žก๐‘“(๐‘ฅ)โ‰ ๐‘“๏€ป๐œ‹2๏‡.

Q15:

Dรฉtermine la valeur de ๐‘Ž qui rend la fonction ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=0 sachant que ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ฒ68๐‘ฅ8๐‘ฅ2๐‘ฅ๐‘ฅโ‰ 0,๐‘Žโˆ’6๐‘ฅ=0.sintansisi๏Šจ

  • A30
  • B198
  • C24
  • D9

Q16:

ร‰tudie la continuitรฉ de la fonction ๐‘“ en ๐‘ฅ=๐œ‹2, oรน ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ด8+7๐‘ฅ๐‘ฅ<๐œ‹2,7+5๐‘ฅ๐‘ฅโฉพ๐œ‹2.cossisinsi

  • ALa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=๐œ‹2 car lim๏—โ†’๏‘ฝ๏Žก๐‘“(๐‘ฅ)โ‰ ๐‘“๏€ป๐œ‹2๏‡.
  • BLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=๐œ‹2 car ๐‘“๏€ป๐œ‹2๏‡ nโ€™est pas dรฉfinie.
  • CLa fonction est continue en ๐‘ฅ=๐œ‹2.
  • DLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=๐œ‹2 car lim๏—โ†’๏‘ฝ๏Žก๐‘“(๐‘ฅ) nโ€™existe pas.

Q17:

On pose ๐‘“(๐‘ฅ)=โŽงโŽจโŽฉ๐œ‹๐‘ฅ5๐‘ฅ,๐‘ฅ<0,๐œ‹๏”๐‘Ž+๏€ผ6๐œ‹5๐‘ฅ๏ˆ๏ ,๐‘ฅโฉพ0.sincos Dรฉtermine les valeurs de ๐‘Ž qui rendent ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=0.

  • A15
  • B2๐œ‹5โˆ’1
  • C65
  • Dโˆ’45

Q18:

Soit ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ฑโˆ’7๐‘ฅ+78๐‘˜๐‘ฅ,๐‘ฅโ‰ 0,โˆ’24๐‘ฅ,๐‘ฅ=0.cossin Dรฉtermine toutes les valeurs de ๐‘˜ qui rendent ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=0.

  • A๐‘˜โˆˆโ„๏Šฐ
  • B0
  • C๐‘˜โˆˆโ„
  • D๐‘˜โˆˆโ„โงต{0}

Q19:

ร‰tudie la continuitรฉ de la fonction ๐‘“ en ๐‘ฅ=โˆ’7, รฉtant donnรฉe ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ญ|๐‘ฅ+7|,๐‘ฅโฉฝโˆ’2,โˆ’๐‘ฅ+3,๐‘ฅ>โˆ’2.

  • ALa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=โˆ’7 car ๐‘“(โˆ’7)โ‰ ๐‘“(๐‘ฅ)lim๏—โ†’๏Šฑ๏Šญ.
  • BLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=โˆ’7 car ๐‘“(โˆ’7) n'est pas dรฉfinie.
  • CLa fonction est continue en ๐‘ฅ=โˆ’7.
  • DLa fonction est continue sur โ„โงต{โˆ’7}.
  • ELa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=โˆ’7 car lim๏—โ†’๏Šฑ๏Šญ๐‘“(๐‘ฅ) n'existe pas.

Q20:

Discute la continuitรฉ de la fonction ๐‘“ en ๐‘ฅ=0, sachant que ๐‘“(๐‘ฅ)=โŽงโŽชโŽจโŽชโŽฉ6๐‘ฅโˆ’๐‘ฅ๐‘ฅ4๐‘ฅ,๐‘ฅ<0,๐‘ฅ+5๐‘ฅ+4,๐‘ฅโฉพ0.๏Šจ๏Šจsintan

  • ALa fonction est discontinue sur โ„.
  • BLa fonction nโ€™est pas continue en ๐‘ฅ=0 car lim๏—โ†’๏Šฆ๐‘“(๐‘ฅ) nโ€™existe pas.
  • CLa fonction est continue en ๐‘ฅ=0.
  • DLa fonction nโ€™est pas continue en ๐‘ฅ=0 car ๐‘“(0) nโ€™est pas dรฉfinie.
  • ELa fonction nโ€™est pas continue en ๐‘ฅ=0 car lim๏—โ†’๏Šฆ๐‘“(๐‘ฅ)โ‰ ๐‘“(0).

Q21:

Dรฉtermine la valeur de ๐‘˜ qui rend la fonction ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=0, รฉtant donnรฉe ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ญ2๐‘ฅ3๐‘ฅ๐‘ฅโ‰ 0,๐‘˜๐‘ฅ=0.sincotsisi

  • A6
  • B2
  • C23
  • D32

Q22:

On pose la fonction ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ฑโˆ’6๐‘ฅ๐‘ฅ<0,โˆ’6๐‘ฅ+1โˆ’๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘ฅ>0.cossicossi Si cela est possible ou nรฉcessaire, dรฉfinis ๐‘“(0) pour rendre ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=0.

  • ALa fonction est dรฉjร  continue en ๐‘ฅ=0.
  • BAucune valeur de ๐‘“(0) ne rendra ๐‘“ continue car lim๏—โ†’๏Šฆ๐‘“(๐‘ฅ) n'existe pas.
  • CLa fonction ne peut รจtre rendue continue en ๐‘ฅ=0 car ๐‘“(0) est indรฉfinie.
  • D๐‘“(0)=โˆ’6 makes ๐‘“ continuous at ๐‘ฅ=0.

Q23:

ร‰tudie la continuitรฉ de la fonction ๐‘“ en ๐‘ฅ=0 sachant que ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ฑ5๐‘ฅ+7๐‘ฅ2๐‘ฅ,๐‘ฅโ‰ 0,6,๐‘ฅ=0.sinsin

  • ALa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=0 car ๐‘“(0) est indรฉfinie.
  • BLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=0 car lim๏—โ†’๏Šฆ๐‘“(๐‘ฅ)โ‰ ๐‘“(0).
  • CLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=0 car lim๏—โ†’๏Šฆ๐‘“(๐‘ฅ) nโ€™existe pas.
  • DLa fonction est continue en ๐‘ฅ=0.

Q24:

On pose ๐‘“(๐‘ฅ)=โŽงโŽจโŽฉโˆ’4๐‘ฅ+9,๐‘ฅโฉฝ3๐œ‹2,(4๐‘ฅโˆ’6๐œ‹)+13,๐‘ฅ>3๐œ‹2.sin๏ŠจQue peut-on dire de la continuitรฉ de ๐‘“ en ๐‘ฅ=3๐œ‹2โ€‰?

  • ALa fonction est continue en ๐‘ฅ=3๐œ‹2.
  • BLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=3๐œ‹2 car ๐‘“๏€ผ3๐œ‹2๏ˆ est indรฉfinie.
  • CLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=3๐œ‹2 car lim๏—โ†’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๐‘“(๐‘ฅ) n'existe pas.
  • DLa fonction est discontinue en ๐‘ฅ=3๐œ‹2 car ๐‘“๏€ผ3๐œ‹2๏ˆโ‰ ๐‘“(๐‘ฅ)lim๏—โ†’๏Žข๏‘ฝ๏Žก.

Q25:

On pose la fonction ๐‘“(๐‘ฅ)=๏ญ4๐‘ฅ๐‘ฅ<0,โˆ’8๐‘ฅโˆ’7๐‘ฅ๐‘ฅ>0.tansisincossi Si cela est possible, dรฉfinis ๐‘“(0) pour que ๐‘“ soit continue en ๐‘ฅ=0.

  • A๐‘“(๐‘ฅ)=0 rendrait ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=0.
  • B๐‘“(๐‘ฅ)=โˆ’7 rendrait ๐‘“ continue en ๐‘ฅ=0.
  • CLa fonction ne peut รชtre rendue continue en ๐‘ฅ=0 car lim๏—โ†’๏Šฆ๐‘“(๐‘ฅ) n'existe pas.
  • DLa fonction est dรฉjร  continue en ๐‘ฅ=0.

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