Feuille d'activités : Continuité d'une fonction

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à différencier entre les trois types de discontinuité d'une fonction en un point donné.

Q1:

Discute la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥 = 2 , sachant qu'elle est définie par 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 8 𝑥 4 𝑥 2 , 3 𝑥 = 2 . s i s i

  • ALa fonction est discontinue sur 𝑥 = 2 car 𝑓 ( 2 ) est indéfinie.
  • BLa fonction est discontinue sur 𝑥 = 2 car l i m 𝑓 ( 𝑥 ) n'existe pas.
  • CLa fonction est discontinue en 𝑥 = 2 car 𝑓 ( 2 ) 𝑓 ( 𝑥 ) l i m .
  • DLa fonction est continue sur 𝑥 = 2 .

Q2:

Considère la fonction définie par 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 1 𝑥 1 𝑥 < 1 , 6 2 𝑥 1 0 𝑥 1 . s i s i Que peut-on dire de la continuité de 𝑓 en 𝑥 = 1 ?

  • ALa fonction est discontinue en 𝑥 = 1 car l i m 𝑓 ( 𝑥 ) n'existe pas.
  • BLa fonction est continue sur .
  • CLa fonction est discontinue en 𝑥 = 1 car 𝑓 ( 1 ) est indéfinie.
  • DLa fonction est continue en 𝑥 = 1 .
  • ELa fonction est discontinue en 𝑥 = 1 car 𝑓 ( 1 ) 𝑓 ( 𝑥 ) l i m .

Q3:

On pose 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 6 4 𝑥 + 𝑥 2 0 3 2 . Définis, si possible, 𝑓 ( 4 ) pour rendre 𝑓 continue en 𝑥 = 4 .

  • ALa fonction 𝑓 ne peut être rendue continue en 𝑥 = 4 car l i m 𝑥 4 𝑓 ( 𝑥 ) n’existe pas.
  • BLa fonction est continue en 𝑥 = 4 .
  • CLa fonction 𝑓 ne peut être rendue continue en 𝑥 = 4 car 𝑓 ( 4 ) n’est pas définie.
  • DLa fonction 𝑓 peut être rendue continue en 𝑥 = 4 en posant

Q4:

Étudie la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥 = 5 sachant que 𝑓 ( 𝑥 ) = 8 𝑥 + 1 𝑥 5 , 𝑥 2 5 𝑥 1 2 5 𝑥 > 5 . i f i f

  • A La fonction est continue en 𝑥 = 5 .
  • B La fonction est discontinue en 𝑥 = 5 car l i m 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑓 ( 5 ) .
  • C La fonction est discontinue en 𝑥 = 5 car 𝑓 ( 5 ) est indéfinie.
  • D La fonction est discontinue en 𝑥 = 5 car l i m 𝑓 ( 𝑥 ) n’existe pas.

Q5:

Détermine la valeur du paramètre 𝑎 qui rend 𝑓 continue en 𝑥 = 3 , 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 𝑥 ( 𝑎 3 ) 3 𝑎 𝑥 3 𝑥 3 , 7 𝑥 + 6 𝑥 = 3 . s i s i

Q6:

On veut définir 𝑓 ( 𝑎 ) = 5 4 et 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 pour 𝑥 𝑎 et avoir 𝑓 continue en 𝑥 = 𝑎 . Détermine la valeur de 𝑎 .

  • A2
  • B 1 3
  • C 1 2
  • D3

Q7:

Détermine la valeur du paramètre 𝑎 qui rend la fonction 𝑓 continue en 𝑥 = 0 , 𝑓 ( 𝑥 ) = 5 6 𝑥 5 7 𝑥 3 𝑥 𝑥 0 , 𝑎 𝑥 = 0 . s i n t a n s i s i

  • A 1 0
  • B 5 3
  • C 3 5 3
  • D 6 5 3
  • E 5 3

Q8:

Étudie la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥 = 0, où 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 5 𝑥 𝑥 0 , 5 𝑥 = 0 . s i n s i s i

  • ALa fonction est discontinue en 𝑥 = 0 car l i m 𝑓 ( 𝑥 ) n’existe pas.
  • BLa fonction est discontinue en 𝑥 = 0 car 𝑓 ( 0 ) est indéfinie.
  • CLa fonction est continue en 𝑥 = 0 .
  • DLa fonction est discontinue en 𝑥 = 0 car l i m 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑓 ( 0 ) .

Q9:

La fonction définie par 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 | 𝑥 | 𝑥 + 1 7 𝑥 < 0 , 𝑎 + 9 𝑥 𝑥 0 , s i c o s s i est continue en 𝑥 = 0 . Quelles sont les valeurs possibles de 𝑎 ?

  • A 3 , 3
  • B 3
  • C 2 , 2
  • D 3 , 3

Q10:

Détermine la valeur de 𝑘 qui rend la fonction 𝑓 continue en 𝑥 = 𝜋 4 , 𝑓 ( 𝑥 ) = 6 2 𝑥 + 4 𝑥 2 𝑥 + 2 𝑥 𝜋 4 , 5 𝑘 𝑥 = 𝜋 4 . s i n t a n s i n s i s i

  • A 6 5
  • B 2
  • C 6
  • D 2 5

Q11:

Étudie la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥 = 𝜋 2 , 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 𝑥 + 7 𝑥 𝑥 𝜋 2 , 6 2 𝑥 1 𝑥 > 𝜋 2 . s i n c o s s i c o s s i

  • ALa fonction est discontinue en 𝑥 = 𝜋 2 car l i m 𝑓 ( 𝑥 ) n’existe pas.
  • BLa fonction est discontinue en 𝑥 = 𝜋 2 car 𝑓 𝜋 2 n’est pas définie.
  • CLa fonction est discontinue en 𝑥 = 𝜋 2 car l i m 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑓 𝜋 2 .
  • DLa fonction est continue en 𝑥 = 𝜋 2 .
  • ELa fonction est discontinue sur .

Q12:

Détermine la valeur de 𝑎 qui rend la fonction 𝑓 continue en 𝑥 = 0 sachant que 𝑓 ( 𝑥 ) = 9 𝑥 3 𝑥 8 𝑥 𝑥 0 , 𝑎 + 6 𝑥 = 0 . s i n t a n s i s i

  • A 2 7 8
  • B 4 5 8
  • C 3 3 8
  • D 2 1 8

Q13:

Trouve la valeur de 𝑘 qui rend la fonction 𝑓 continue en 𝑥 = 0 , sachant que 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 4 𝑥 7 𝑥 𝑥 0 , 7 𝑘 𝑥 = 0 . s i n t a n s i s i

  • A2
  • B 1 2
  • C 8 7
  • D 8 4 9
  • E 2 4 9

Q14:

Étudie la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥 = 𝜋 2 , 𝑓 ( 𝑥 ) = 8 + 7 𝑥 𝑥 < 𝜋 2 , 7 + 5 𝑥 𝑥 𝜋 2 . c o s s i s i n s i

  • ALa fonction est discontinue en 𝑥 = 𝜋 2 car l i m 𝑓 ( 𝑥 ) n’existe pas.
  • BLa fonction est discontinue en 𝑥 = 𝜋 2 car 𝑓 𝜋 2 n’est pas définie.
  • CLa fonction est discontinue en 𝑥 = 𝜋 2 car l i m 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑓 𝜋 2 .
  • DLa fonction est continue en 𝑥 = 𝜋 2 .

Q15:

On pose 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝜋 𝑥 5 𝑥 𝑥 < 0 , 𝜋 𝑎 + 6 𝜋 5 𝑥 𝑥 0 . s i n s i c o s s i Détermine les valeurs de 𝑎 qui rendent 𝑓 continue en 𝑥 = 0 .

  • A 6 5
  • B 1 5
  • C 2 𝜋 5 1
  • D 4 5

Q16:

On pose la fonction définie par 𝑓 ( 𝑥 ) = 1 𝑥 + 5 𝑥 𝑥 𝑥 0 , 4 + 1 5 𝑥 𝑥 > 0 . c o s s i n s i c o s s i Que peut-on dire de la continuité de 𝑓 en 𝑥 = 0 ?

  • A La fonction est discontinue en 𝑥 = 0 car l i m 𝑓 ( 𝑥 ) n'existe pas.
  • B La fonction est continue en sur .
  • C La fonction est discontinue en 𝑥 = 0 car 𝑓 ( 0 ) est indéfinie.
  • D La fonction est continue en 𝑥 = 0 .
  • E La fonction est discontinue en 𝑥 = 0 car 𝑓 ( 0 ) 𝑓 ( 𝑥 ) l i m .

Q17:

Trouve quelle valeur de 𝑘 rend la fonction 𝑓 continue en 𝑥 = 4 , sachant que 𝑓 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 4 ) 4 𝑥 1 6 𝑥 4 , 𝑘 𝑥 = 4 . s i n s i s i

  • A4
  • B 1 4
  • C 4
  • D 1 4
  • E 1

Q18:

Discute la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥 = 0 , sachant que 𝑓 ( 𝑥 ) = 6 𝑥 𝑥 𝑥 4 𝑥 𝑥 < 0 , 𝑥 + 5 𝑥 + 4 𝑥 0 . s i n t a n s i s i

  • ALa fonction n’est pas continue en 𝑥 = 0 car l i m 𝑓 ( 𝑥 ) n’existe pas.
  • B La fonction n’est pas continue en 𝑥 = 0 car 𝑓 ( 0 ) n’est pas définie.
  • CLa fonction n’est pas continue en 𝑥 = 0 car l i m 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑓 ( 0 ) .
  • DLa fonction est continue en 𝑥 = 0 .
  • ELa fonction est discontinue sur .

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