Fiche d'activités de la leçon : Produit scalaire en 3D Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à calculer le produit scalaire de deux vecteurs et en déduire s'ils sont orthogonaux, colinéaires ou non colinéaires.

Q1:

Si ⃑𝐴 et ⃑𝐡 sont deux vecteurs orthogonaux, alors ⃑𝐴⋅⃑𝐡=.

Q2:

Si le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est Γ©gal Γ  zΓ©ro, que peut-on dire Γ  propos des deux vecteurs ?

  • AIls sont de mΓͺme norme et de sens opposΓ©s.
  • BIls sont colinΓ©aires et de sens opposΓ©s.
  • CIls sont orthogonaux.
  • DCela ne renseigne en rien sur les deux vecteurs.
  • EIls sont colinΓ©aires et de mΓͺme sens.

Q3:

Pour les vecteurs unitaires βƒ—πš€, βƒ—πš₯ et βƒ—π‘˜, que vaut βƒ—πš€β‹…βƒ—πš€β€‰?

Q4:

Sachant que ⃑𝐴=(βˆ’6;βˆ’3;5) et ⃑𝐡=(7;βˆ’4;βˆ’1), dΓ©termine ⃑𝐴⋅⃑𝐡.

Q5:

ConsidΓ¨re les points 𝐴, 𝐡 et 𝐢 dont les coordonnΓ©es sont respectivement (2;βˆ’4;βˆ’2), (βˆ’2;3;3) et (4;2;5). DΓ©termine 𝐴𝐡⋅𝐴𝐢.

Q6:

Pour quelle valeur de π‘˜ les vecteurs ⃑𝐴=(7;βˆ’7π‘˜;βˆ’6) et ⃑𝐡=(7;βˆ’3;π‘˜) sont-ils orthogonaux ?

  • Aβˆ’4915
  • B4915
  • Cβˆ’73
  • Dβˆ’715

Q7:

Sachant que ⃑𝑒=5βƒ‘π‘–βˆ’7⃑𝑗+7βƒ‘π‘˜ et ⃑𝑀=βˆ’7βƒ‘π‘–βˆ’2βƒ‘π‘—βˆ’5βƒ‘π‘˜, dΓ©termine ⃑𝑒⋅⃑𝑀.

Q8:

DΓ©termine la relation entre les vecteurs ⃑𝐴=(βˆ’3;7;βˆ’8) et ⃑𝐡=(βˆ’6;βˆ’1;βˆ’1).

  • Aorthogonaux
  • Bautre
  • CcolinΓ©aires

Q9:

Γ‰tant donnΓ©s ⃗𝐴=(0;βˆ’3;1) et ⃗𝐡=βˆ’2βƒ—πš€βˆ’βƒ—πš₯βˆ’4βƒ—π‘˜, calcule ⃗𝐴⋅⃗𝐡.

Q10:

Sachant que ⃑𝐴=βˆ’3βƒ‘π‘–βˆ’5⃑𝑗+βƒ‘π‘˜, ⃑𝐡=βˆ’5βƒ‘π‘–βˆ’3βƒ‘π‘—βˆ’3βƒ‘π‘˜, ⃑𝐢=βˆ’2βƒ‘π‘–βˆ’βƒ‘π‘—+4βƒ‘π‘˜, et que ⃑𝐴+π‘šβƒ‘π΅ο† est colinΓ©aire au vecteur ⃑𝐢, dΓ©termine π‘š.

Q11:

Si ⃑𝐴=βˆ’3⃑𝑖+3⃑𝑗+4π‘šβƒ‘π‘˜, ⃑𝐡=βˆ’4βƒ‘π‘–βˆ’6βƒ‘π‘—βˆ’7βƒ‘π‘˜ et βƒ‘π΄βŸ‚βƒ‘π΅, dΓ©termine la valeur de π‘š.

  • Aβˆ’314
  • B174
  • C1514
  • D32

Q12:

DΓ©termine π‘š, sachant que le produit scalaire des deux vecteurs ⃑𝐴=π‘šβƒ‘π‘–βˆ’6βƒ‘π‘—βˆ’6βƒ‘π‘˜ et ⃑𝐡=βˆ’2⃑𝑖+8βƒ‘π‘—βˆ’4βƒ‘π‘˜ est Γ©gal Γ  27.

Q13:

Pour les vecteurs unitaires βƒ—πš€, βƒ—πš₯ et βƒ—π‘˜, que vaut βƒ—π‘˜β‹…βƒ—π‘˜β€‰?

Q14:

Pour les vecteurs unitaires βƒ—πš€, βƒ—πš₯ et βƒ—π‘˜, que vaut βƒ—πš₯β‹…βƒ—π‘˜β€‰?

Q15:

Si ⃗𝐴=2βƒ—πš€βˆ’5βƒ—πš₯βˆ’3βƒ—π‘˜ et ⃗𝐡=βˆ’4βƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯βˆ’βƒ—π‘˜, alors dΓ©termine ⃗𝐴⋅⃗𝐡.

Q16:

Γ‰tant donnΓ©s ⃑𝐴=3⃑𝑖+2βƒ‘π‘—βˆ’3βƒ‘π‘˜, ⃑𝐡=2βƒ‘π‘–βˆ’2βƒ‘π‘—βˆ’βƒ‘π‘˜ et ⃑𝐢=2βƒ‘π‘–βˆ’βƒ‘π‘—βˆ’3βƒ‘π‘˜, dΓ©termine 2βƒ‘πΆβˆ’ο’2⃑𝐴⋅2⃑𝐡+4βƒ‘πΆο†οžβƒ‘π΅.

  • Aβˆ’244⃑𝑖+246⃑𝑗+118βƒ‘π‘˜
  • B248βƒ‘π‘–βˆ’248βƒ‘π‘—βˆ’124βƒ‘π‘˜
  • Cβˆ’246⃑𝑖+247⃑𝑗+121βƒ‘π‘˜
  • Dβƒ‘π‘—βˆ’2βƒ‘π‘˜

Q17:

Pour les vecteurs unitaires βƒ—πš€, βƒ—πš₯ et βƒ—π‘˜, que vaut βƒ—π‘˜β‹…βƒ—πš€β€‰?

Q18:

Γ‰tant donnΓ©s 5⃑𝑒=βˆ’10βƒ‘π‘–βˆ’15⃑𝑗+10βƒ‘π‘˜ et 4βƒ‘π‘Ÿ=βˆ’8⃑𝑖+12βƒ‘π‘—βˆ’4βƒ‘π‘˜, dΓ©termine 4⃑𝑒⋅4βƒ‘π‘Ÿ.

Q19:

Supposons que ⃗𝐴=(βˆ’1;2;7), ‖‖⃗𝐡‖‖=13 et l'angle entre les deux vecteurs est de 135∘. DΓ©termine ⃗𝐴⋅⃗𝐡 au centiΓ¨me prΓ¨s.

Q20:

Γ‰tant donnΓ©s ⃗𝐴⋅⃗𝐡=βˆ’2, ⃗𝐴⋅⃗𝐢=3, ⃗𝐴⋅⃗𝐷=3, ⃗𝐡=(βˆ’3;2;βˆ’2), ⃗𝐢=(3;βˆ’3;βˆ’1) et ⃗𝐷=(βˆ’1;2;2), dΓ©termine ⃗𝐴.

  • Aο€Όβˆ’10;βˆ’414;154
  • B(0;0;0)
  • Cο€Ό10;414;βˆ’154
  • Dο€Ό414;βˆ’154;10

Q21:

Γ‰tant donnΓ©es deux vecteurs unitaires ⃗𝐴 et ⃗𝐡 tels que ‖‖⃗𝐴+⃗𝐡‖‖=1, Γ©value ο€Ί6⃗𝐴+4βƒ—π΅ο†βŠ™ο€Ίβˆ’2⃗𝐴+⃗𝐡.

Q22:

Pour les vecteurs unitaires ⃑𝑖, ⃑𝑗, βƒ‘π‘˜, que vaut ⃑𝑗⋅⃑𝑗 ?

Q23:

Soient les vecteurs unitaires ⃑𝑖, ⃑𝑗 et βƒ‘π‘˜. Que vaut ⃑𝑖⋅⃑𝑗 ?

Q24:

Si ⃑𝐴 et ⃑𝐡 sont des vecteurs unitaires, Γ  quel intervalle ⃑𝐴⋅⃑𝐡 appartient-il ?

  • A[βˆ’1,1]
  • B]0,1[
  • C]βˆ’1,1[
  • Dβ„οŠ°

Q25:

Sachant que ⃗𝐴+βƒ—π΅ο†β‹…ο€Ίβƒ—π΄βˆ’βƒ—π΅ο†=57 et ‖‖⃗𝐴‖‖=3‖‖⃗𝐡‖‖, dΓ©termine ‖‖⃗𝐴‖‖ au centiΓ¨me prΓ¨s.

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