Feuille d'activités : Calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à calculer le produit scalaire de deux vecteurs et en déduire s'ils sont orthogonaux, colinéaires ou non colinéaires.

Q1:

Si ⃗𝐴 et ⃗𝐡 sont deux vecteurs orthogonaux, alors ⃗𝐴⋅⃗𝐡=.

Q2:

Si le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est Γ©gal Γ  zΓ©ro, que peut-on dire Γ  propos des deux vecteurs ?

  • AIls sont colinΓ©aires et de mΓͺme sens.
  • BIls sont colinΓ©aires et de sens opposΓ©s.
  • CIls sont de mΓͺme norme et de sens opposΓ©s.
  • DIls sont orthogonaux.
  • ECela ne renseigne en rien sur les deux vecteurs.

Q3:

Pour les vecteurs unitaires βƒ—πš€, βƒ—πš₯ et βƒ—π‘˜, que vaut βƒ—πš€β‹…βƒ—πš€β€‰?

Q4:

Sachant que ⃗𝐴=ο€βˆ’6βˆ’35 et ⃗𝐡=7βˆ’4βˆ’1, dΓ©termine ⃗𝐴⋅⃗𝐡.

Q5:

ConsidΓ¨re les points 𝐴, 𝐡 et 𝐢 dont les coordonnΓ©es sont respectivement (2,βˆ’4,βˆ’2), (βˆ’2,3,3) et (4,2,5). DΓ©termine 𝐴𝐡⋅𝐴𝐢.

Q6:

Pour quelle valeur de π‘˜ les vecteurs ⃗𝐴=7βˆ’7π‘˜βˆ’6 et ⃗𝐡=7βˆ’3π‘˜ο sont-ils orthogonaux ?

  • Aβˆ’4915
  • B4915
  • Cβˆ’73
  • Dβˆ’715

Q7:

Sachant que 𝐴𝐡𝐢𝐷 est un carrΓ© de cΓ΄tΓ© 33, dΓ©termine 𝐴𝐡⋅𝐢𝐴.

Q8:

Calcule (1;2;3;4)β‹…(2;0;1;3).

Q9:

Sachant que ⃗𝑒=5βƒ—πš€βˆ’7βƒ—πš₯+7βƒ—π‘˜ et ⃗𝑀=βˆ’7βƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯βˆ’5βƒ—π‘˜, dΓ©termine ⃗𝑒⋅⃗𝑀.

Q10:

Sachant que les vecteurs ⃗𝑒 et ⃗𝑀 sont unitaires et orthogonaux, calcule ο€Ή3βƒ—π‘’βˆ’βƒ—π‘€ο…β‹…ο€Ήβˆ’2⃗𝑒+⃗𝑀.

Q11:

DΓ©termine la relation entre les vecteurs ⃗𝐴=(βˆ’3;7;βˆ’8) et ⃗𝐡=(βˆ’6;βˆ’1;βˆ’1).

  • Aorthogonaux
  • Bautre
  • CcolinΓ©aires

Q12:

Si ⃗𝑉=βˆ’3βƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯βˆ’βƒ—π‘˜ et οƒͺπ‘Š=6βƒ—πš€+4βƒ—πš₯+2βƒ—π‘˜, alors calcule ⃗𝑉⋅οƒͺπ‘Š.

  • Aβˆ’72
  • B72
  • C784
  • D28
  • Eβˆ’28

Q13:

Γ‰tant donnΓ©s ⃗𝐴=0βˆ’31 et ⃗𝐡=βˆ’2βƒ—πš€βˆ’βƒ—πš₯βˆ’4βƒ—π‘˜, calcule ⃗𝐴⋅⃗𝐡.

  • Aβˆ’24
  • B14
  • Cβˆ’8
  • Dβˆ’1

Q14:

Sachant que ⃗𝐴=βˆ’3βƒ—πš€βˆ’5βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜, ⃗𝐡=βˆ’5βƒ—πš€βˆ’3βƒ—πš₯βˆ’3βƒ—π‘˜, ⃗𝐢=βˆ’2βƒ—πš€βˆ’βƒ—πš₯+4βƒ—π‘˜, et que ⃗𝐴+π‘šβƒ—π΅ο† est colinΓ©aire au vecteur ⃗𝐢, dΓ©termine π‘š.

  • Aβˆ’15
  • B7
  • C15
  • Dβˆ’7

Q15:

Si ⃗𝐴=βˆ’3βƒ—πš€+3βƒ—πš₯+4π‘šβƒ—π‘˜, ⃗𝐡=βˆ’4βƒ—πš€βˆ’6βƒ—πš₯βˆ’7βƒ—π‘˜ et βƒ—π΄βŸ‚βƒ—π΅, dΓ©termine la valeur de π‘š.

  • Aβˆ’314
  • B174
  • C1514
  • D32

Q16:

DΓ©termine π‘š, sachant que le produit scalaire des deux vecteurs ⃗𝐴=π‘šβƒ—πš€βˆ’6βƒ—πš₯βˆ’6βƒ—π‘˜ et ⃗𝐡=βˆ’2βƒ—πš€+8βƒ—πš₯βˆ’4βƒ—π‘˜ est Γ©gal Γ  27.

Q17:

Pour les vecteurs unitaires βƒ—πš€, βƒ—πš₯ et βƒ—π‘˜, que vaut βƒ—π‘˜β‹…βƒ—π‘˜β€‰?

Q18:

Pour les vecteurs unitaires βƒ—πš€, βƒ—πš₯ et βƒ—π‘˜, que vaut βƒ—πš₯β‹…βƒ—π‘˜β€‰?

Q19:

Si ⃗𝐴=2βƒ—πš€βˆ’5βƒ—πš₯βˆ’3βƒ—π‘˜ et ⃗𝐡=βˆ’4βƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯βˆ’βƒ—π‘˜, alors dΓ©termine ⃗𝐴⋅⃗𝐡.

  • A22
  • Bβˆ’56
  • C42
  • D5

Q20:

Soient ⃗𝑉=(5;1;βˆ’2) et οƒͺπ‘Š=(4;βˆ’4;3). Calcule ⃗𝑉⋅οƒͺπ‘Š.

Q21:

Γ‰tant donnΓ©s ⃗𝐴=3βƒ—πš€+2βƒ—πš₯βˆ’3βƒ—π‘˜, ⃗𝐡=2βƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯βˆ’βƒ—π‘˜ et ⃗𝐢=2βƒ—πš€βˆ’βƒ—πš₯βˆ’3βƒ—π‘˜, dΓ©termine 2βƒ—πΆβˆ’ο’2⃗𝐴⋅2⃗𝐡+4βƒ—πΆο†οžβƒ—π΅.

  • Aβˆ’244βƒ—πš€+246βƒ—πš₯+118βƒ—π‘˜
  • B248βƒ—πš€βˆ’248βƒ—πš₯βˆ’124βƒ—π‘˜
  • Cβˆ’246βƒ—πš€+247βƒ—πš₯+121βƒ—π‘˜
  • Dβƒ—πš₯βˆ’2βƒ—π‘˜

Q22:

Pour les vecteurs unitaires βƒ—πš€, βƒ—πš₯ et βƒ—π‘˜, que vaut βƒ—π‘˜β‹…βƒ—πš€β€‰?

Q23:

Γ‰tant donnΓ©s 5⃗𝑒=βˆ’10βƒ—πš€βˆ’15βƒ—πš₯+10βƒ—π‘˜ et 4βƒ—π‘Ÿ=βˆ’8βƒ—πš€+12βƒ—πš₯βˆ’4βƒ—π‘˜, dΓ©termine 4⃗𝑒⋅4βƒ—π‘Ÿ.

  • Aβˆ’140
  • Bβˆ’2240
  • Cβˆ’7
  • Dβˆ’112

Q24:

Supposons que ⃗𝐴=ο€βˆ’127, ‖‖⃗𝐡‖‖=13 et l'angle entre les deux vecteurs est de 135∘. DΓ©termine ⃗𝐴⋅⃗𝐡 au centiΓ¨me prΓ¨s.

  • A67,55
  • Bβˆ’67,55
  • C95,53
  • Dβˆ’26,00

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