Feuille d'activités : Déterminer si une fonction est dérivable

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer si une fonction est dérivable et identifier la relation entre la dérivabilité de la fonction et sa continuité.

Q1:

On pose 𝑓(𝑥)=5𝑎+𝑏𝑥,𝑥<2,5,𝑥=2,𝑎𝑥3𝑏,𝑥>2. Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏 pour que 𝑓 soit continue en 𝑥=2. Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en ce point?

  • A𝑎=4, 𝑏=1, n’est pas dérivable en 𝑥=2
  • B𝑎=5, 𝑏=5, n’est pas dérivable en 𝑥=2
  • C𝑎=4, 𝑏=1, dérivable en 𝑥=2
  • D𝑎=5, 𝑏=5, dérivable en 𝑥=2

Q2:

Discute la continuité et la dérivabilité de la fonction 𝑓 en 𝑥=0 étant donnée 𝑓(𝑥)=9𝑥6𝑥<0,𝑥9𝑥6𝑥0.sisi

  • ALa fonction n’est pas continue, donc elle n’est pas dérivable en 𝑥=0.
  • BLa fonction est continue mais elle n’est pas dérivable en 𝑥=0.
  • CLa fonction n'est pas continue mais est dérivable en 𝑥=0.
  • DLa fonction est continue et dérivable en 𝑥=0.

Q3:

Étudie la dérivabilité de la fonction 𝑓(𝑥) en 𝑥=1, 𝑓(𝑥)=(6𝑥6)|6𝑥6|.

  • ALa fonction n’est pas dérivable en 𝑥=1 car 𝑓(𝑥) est discontinue en ce point.
  • BLa fonction n’est pas dérivable en ce point car 𝑓(1)𝑓(1).
  • CLa fonction est dérivable en 𝑥=1 car 𝑓(𝑥) est continue en ce point.
  • DLa fonction est dérivable en ce point car 𝑓(1)=𝑓(1).

Q4:

Que peut-on dire de la dérivabilité de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+4𝑥+4 en 𝑥=2?

  • ALa fonction 𝑓(𝑥) est continue mais non dérivable en 𝑥=2 car 𝑓(2)𝑓(2).
  • BLa fonction 𝑓(𝑥) n’est pas dérivable en 𝑥=2 car 𝑓(2) n’est pas définie.
  • CLa fonction 𝑓(𝑥) est dérivable en 𝑥=2.
  • DLa fonction 𝑓(𝑥) n’est pas dérivable en 𝑥=2 car 𝑓 est discontinue en ce point.

Q5:

Discute la dérivabilité de 𝑓(𝑥)=4𝑥+1𝑥 en 𝑥=7.

  • ALa fonction est dérivable en 𝑥=7 car 𝑓(7) existe.
  • BLa fonction n’est pas dérivable en 𝑥=7 car 𝑓(𝑥) n'est pas continue en ce point.
  • CLa fonction est dérivable en 𝑥=7 car 𝑓(7) existe.
  • DLa fonction n’est pas dérivable en 𝑥=7 car 𝑓(7) n'existe pas.

Q6:

On pose 𝑓(𝑥)=4𝑐+𝑚𝑥,𝑥<1,𝑐𝑥4𝑚,𝑥1. Si 𝑓(1)=12 et que 𝑓 est continue en 𝑥=1, détermine les valeurs de 𝑚 et 𝑐. Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en ce point?

  • A𝑚=12, 𝑐=6, dérivable en 𝑥=1
  • B𝑚=12, 𝑐=6, non dérivable en 𝑥=1
  • C𝑚=4, 𝑐=4, non dérivable en 𝑥=1
  • D𝑚=4, 𝑐=4, dérivable en 𝑥=1

Q7:

>Calcule les valeurs de 𝑎 et 𝑏 rendant la fonction 𝑓 dérivable en 𝑥=1, 𝑓(𝑥)=9𝑥+5𝑥<1,𝑎𝑥+𝑏𝑥4𝑥1.sisi

  • A𝑎=10, 𝑏=8
  • B𝑎=18, 𝑏=0
  • C𝑎=9, 𝑏=9
  • D𝑎=4, 𝑏=1

Q8:

Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏 sachant que la fonction 𝑓 est dérivable en 𝑥=1𝑓(𝑥)=𝑥+4,𝑥1,2𝑎𝑥𝑏,𝑥>1.

  • A𝑎=4, 𝑏=5
  • B𝑎=1, 𝑏=5
  • C𝑎=1, 𝑏=5
  • D𝑎=3, 𝑏=6

Q9:

On pose 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+8𝑥4,𝑥<1,4,𝑥=1,𝑎+𝑏𝑥,𝑥>1. Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏 qui rendent 𝑓 continue en 𝑥=1. Dans ce cas, que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en ce point?

  • A𝑎=8, 𝑏=4, 𝑓 est dérivable en 𝑥=1
  • B𝑎=8, 𝑏=4, 𝑓 n’est pas dérivable en 𝑥=1
  • C𝑎=10, 𝑏=6, 𝑓 est dérivable en 𝑥=1
  • D𝑎=10, 𝑏=6, 𝑓 n’est pas dérivable en 𝑥=1

Q10:

On pose 𝑓(𝑥)=8𝑥8𝑥<2,𝑎𝑥𝑥2.sisi Étudie la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥=2.

  • A𝑎=3, 𝑓 n’est pas dérivable en 𝑥=2
  • B𝑎=3, 𝑓 est dérivable en 𝑥=2
  • C𝑎=3, 𝑓 est dérivable en 𝑥=2
  • D𝑎=3, 𝑓 n’est pas dérivable en 𝑥=2

Q11:

Étudie la dérivabilité de la fonction 𝑓 en 𝑥=1, 𝑓(𝑥)=8𝑥7𝑥+3,2𝑥<1,4𝑥,1𝑥3.

  • A𝑓(𝑥) est discontinue mais dérivable en 𝑥=1 car 𝑓(1)=𝑓(1).
  • B𝑓(𝑥) est continue mais non dérivable en 𝑥=1 car 𝑓(1)𝑓(1).
  • C𝑓(𝑥)est dérivable en 𝑥=1.
  • D𝑓(𝑥) n’est pas dérivable en 𝑥=1 car 𝑓(𝑥) est discontinue en 𝑥=1.

Q12:

On pose 𝑓(𝑥)=𝑥9,𝑥4,𝑥+3,𝑥>4. Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥=4?

  • ALa fonction n’est pas continue, donc elle n’est pas dérivable en 𝑥=4.
  • BLa fonction n’est pas continue mais elle est dérivable en 𝑥=4 car limlim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)=𝑓(4).
  • CLa fonction est continue et dérivable en 𝑥=4 car limlim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)=𝑓(4).
  • DLa fonction est continue mais non dérivable en 𝑥=4 car 𝑓(4)𝑓(4).

Q13:

On considère la fonction définie par 𝑓(𝑥)=8𝑥+7𝑥0,𝑎2𝑥𝑥>0.sisi Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥=0?

  • A𝑎=7, non dérivable en 𝑥=0
  • B𝑎=7, dérivable en 𝑥=0
  • C𝑎=7, dérivable en 𝑥=0
  • D𝑎=7, non dérivable en 𝑥=0

Q14:

Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏, puis étudie la dérivabilité de la fonction 𝑓 en 𝑥=1, sachant que 𝑓 est continue et définie par 𝑓(𝑥)=9𝑥+𝑎𝑥+4𝑥<1,11𝑥=1,𝑎+𝑏𝑥𝑥>1.sisisi

  • A𝑎=2, 𝑏=9 et 𝑓(𝑥) est non dérivable en 𝑥=1.
  • B𝑎=2, 𝑏=9 et 𝑓(𝑥) est non dérivable en 𝑥=1.
  • C𝑎=2, 𝑏=9 et 𝑓(𝑥) est dérivable en 𝑥=1.
  • D𝑎=2, 𝑏=9 et 𝑓(𝑥) est dérivable en 𝑥=1.
  • E𝑎=8, 𝑏=4 et 𝑓(𝑥) est non dérivable en 𝑥=1.

Q15:

Que peut-on dire de la dérivabilité de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=9𝑥+8𝑥+7 en 𝑥=2?

  • A La fonction 𝑓(𝑥) n’est pas dérivable en 𝑥=2 car 𝑓 n’est pas continue.
  • B La fonction 𝑓(𝑥) n’est pas dérivable en 𝑥=2 car 𝑓(2) n’existe pas.
  • C La fonction 𝑓(𝑥) est dérivable en 𝑥=2.
  • D La fonction 𝑓(𝑥) n’est pas dérivable en 𝑥=2 car 𝑓(2) n’est pas définie.

Q16:

Étudie la dérivabilité de la fonction 𝑓 at 𝑥=4, 𝑓(𝑥)=6𝑥+7𝑥4,4𝑥<1,2𝑥,1𝑥1.

  • ALa fonction 𝑓(𝑥) n’est pas dérivable en 𝑥=4 car 𝑓(𝑥) n’est pas continue en 𝑥=4.
  • BLa fonction 𝑓(𝑥) n’est pas continue, elle est dérivable en 𝑥=4 car 𝑓(4)=𝑓(4).
  • CLa fonction 𝑓(𝑥) est continue, mais n’est pas dérivable en 𝑥=4 car 𝑓(4)𝑓(4).
  • DLa fonction 𝑓(𝑥) est dérivable en 𝑥=4.

Q17:

On pose 𝑓(𝑥)=4𝑥7𝑥<1,2𝑥5𝑥1.sisiQue peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥=1?

  • A La fonction 𝑓(𝑥) n'est pas dérivable en 𝑥=1 car 𝑓 est discontinue en 𝑥=1.
  • B La fonction 𝑓(𝑥) n'est pas dérivable en 𝑥=1 car 𝑓(1) n'est pas définie.
  • C La fonction 𝑓(𝑥) est continue mais non dérivable en 𝑥=1 car 𝑓(1)𝑓(1).
  • D La fonction 𝑓(𝑥) est dérivable en 𝑥=1.
  • E La fonction 𝑓(𝑥) est discontinue mais dérivable en 𝑥=1 car 𝑓(1)=𝑓(1).

Q18:

On pose 𝑓(𝑥)=12𝑥6𝑥<2,𝑎𝑥+6𝑥2.sisiDétermine la valeur de 𝑎 pour que 𝑓 soit continue en 𝑥=2. Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en ce point?

  • A𝑎=3, dérivable en 𝑥=2
  • B𝑎=12, n’est pas dérivable en 𝑥=2
  • C𝑎=3, n’est pas dérivable en 𝑥=2
  • D𝑎=12, dérivable en 𝑥=2

Q19:

Étudie la dérivabilité de la fonction 𝑓 en 𝑥=8 sachant que 𝑓(𝑥)=6𝑥9𝑥8,6𝑥+6𝑥8<𝑥5.sisi

  • A𝑓(𝑥) est continue mais non dérivable en 𝑥=8 car 𝑓(8)𝑓(8).
  • B𝑓(𝑥) est dérivable en 𝑥=8 car 𝑓(𝑥) est continue en 𝑥=8 .
  • C𝑓(𝑥) n’est pas continue mais dérivable en 𝑥=8 car 𝑓(8)=𝑓(8).
  • D𝑓(𝑥) n’est pas dérivable en 𝑥=8 car 𝑓(8) n’est pas définie.
  • E𝑓(𝑥) n’est pas dérivable en 𝑥=8 car 𝑓(𝑥) n'est pas continue en 𝑥=8.

Q20:

On pose 𝑓(𝑥)=𝑥15,𝑥1,2𝑥16,𝑥>1. Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥=1?

  • ALa fonction n’est pas continue, donc elle n’est pas dérivable en 𝑥=1.
  • BLa fonction n’est pas continue mais dérivable en 𝑥=1 car limlim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)=𝑓(1).
  • CLa fonction est continue et dérivable en 𝑥=1 car 𝑓(1)=𝑓(1).
  • DLa fonction est continue mais pas dérivable en 𝑥=1 car limlim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)=𝑓(1).

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