Feuille d'activités : Déterminer si une fonction est dérivable

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer si une fonction est dérivable et identifier la relation entre la dérivabilité de la fonction et sa continuité.

Q1:

On pose 𝑓 ( 𝑥 ) = 5 𝑎 + 𝑏 𝑥 𝑥 < 2 , 5 𝑥 = 2 , 𝑎 𝑥 3 𝑏 𝑥 > 2 . s i s i s i Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏 pour que 𝑓 soit continue en 𝑥 = 2 . Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en ce point?

  • A 𝑎 = 4 , 𝑏 = 1 , dérivable en 𝑥 = 2
  • B 𝑎 = 5 , 𝑏 = 5 , dérivable en 𝑥 = 2
  • C 𝑎 = 4 , 𝑏 = 1 , n’est pas dérivable en 𝑥 = 2
  • D 𝑎 = 5 , 𝑏 = 5 , n’est pas dérivable en 𝑥 = 2

Q2:

Étudie la dérivabilité de la fonction 𝑓 en 𝑥 = 1 , 𝑓 ( 𝑥 ) = ( 6 𝑥 6 ) | 6 𝑥 6 | .

  • ALa fonction n’est pas dérivable en 𝑥 = 1 car 𝑓 est discontinue en ce point.
  • BLa fonction n’est pas dérivable en ce point car 𝑓 ( 1 ) 𝑓 ( 1 ) .
  • CLa fonction est dérivable en 𝑥 = 1 car 𝑓 est continue en ce point.
  • DLa fonction est dérivable en ce point car 𝑓 ( 1 ) = 𝑓 ( 1 ) .

Q3:

Que peut-on dire de la dérivabilité de la fonction définie par 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 4 𝑥 + 4 en 𝑥 = 2 ?

  • A La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) est dérivable en 𝑥 = 2 .
  • B La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) n’est pas dérivable en 𝑥 = 2 car 𝑓 est discontinue en ce point.
  • C La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) n’est pas dérivable en 𝑥 = 2 car 𝑓 ( 2 ) n’est pas définie.
  • D La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) est continue mais non dérivable en 𝑥 = 2 car 𝑓 ( 2 ) 𝑓 ( 2 ) .

Q4:

>Calcule les valeurs de 𝑎 et 𝑏 rendant la fonction 𝑓 dérivable en 𝑥 = 1 , 𝑓 ( 𝑥 ) = 9 𝑥 + 5 𝑥 < 1 , 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 4 𝑥 1 . s i s i

  • A 𝑎 = 1 0 , 𝑏 = 8
  • B 𝑎 = 1 8 , 𝑏 = 0
  • C 𝑎 = 4 , 𝑏 = 1
  • D 𝑎 = 9 , 𝑏 = 9

Q5:

Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏 sachant que la fonction 𝑓 est dérivable en 𝑥 = 1 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 4 𝑥 1 , 2 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 > 1 . s i s i

  • A 𝑎 = 1 , 𝑏 = 5
  • B 𝑎 = 3 , 𝑏 = 6
  • C 𝑎 = 4 , 𝑏 = 5
  • D 𝑎 = 1 , 𝑏 = 5

Q6:

On pose 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑎 𝑥 + 8 𝑥 4 𝑥 < 1 , 4 𝑥 = 1 , 𝑎 + 𝑏 𝑥 𝑥 > 1 . s i s i s i Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏 qui rendent 𝑓 continue en 𝑥 = 1 . Dans ce cas, que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en ce point?

  • A 𝑎 = 1 0 , 𝑏 = 6 , 𝑓 est dérivable en 𝑥 = 1
  • B 𝑎 = 8 , 𝑏 = 4 , 𝑓 est dérivable en 𝑥 = 1
  • C 𝑎 = 1 0 , 𝑏 = 6 , 𝑓 n’est pas dérivable en 𝑥 = 1
  • D 𝑎 = 8 , 𝑏 = 4 , 𝑓 n’est pas dérivable en 𝑥 = 1

Q7:

On pose 𝑓 ( 𝑥 ) = 8 𝑥 8 𝑥 < 2 , 𝑎 𝑥 𝑥 2 . s i s i Étudie la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥 = 2 .

  • A 𝑎 = 3 , 𝑓 est dérivable en 𝑥 = 2
  • B 𝑎 = 3 , 𝑓 est dérivable en 𝑥 = 2
  • C 𝑎 = 3 , 𝑓 n’est pas dérivable en 𝑥 = 2
  • D 𝑎 = 3 , 𝑓 n’est pas dérivable en 𝑥 = 2

Q8:

Étudie la dérivabilité de la fonction 𝑓 en 𝑥 = 1 , 𝑓 ( 𝑥 ) = 8 𝑥 7 𝑥 + 3 2 𝑥 < 1 , 4 𝑥 1 𝑥 3 . s i s i

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) n’est pas dérivable en 𝑥 = 1 car 𝑓 ( 𝑥 ) est discontinue en 𝑥 = 1 .
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) est continue mais non dérivable en 𝑥 = 1 car 𝑓 ( 1 ) 𝑓 ( 1 ) .
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) est discontinue mais dérivable en 𝑥 = 1 car 𝑓 ( 1 ) = 𝑓 ( 1 ) .
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) est dérivable en 𝑥 = 1 .

Q9:

On pose 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 9 𝑥 4 , 𝑥 + 3 𝑥 > 4 . s i s i Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥 = 4 ?

  • ALa fonction n’est pas continue mais elle est dérivable en 𝑥 = 4 car l i m l i m 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 4 ) .
  • BLa fonction est continue et dérivable en 𝑥 = 4 car l i m l i m 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 4 ) .
  • CLa fonction n’est pas continue, donc elle n’est pas dérivable en 𝑥 = 4 .
  • DLa fonction est continue mais non dérivable en 𝑥 = 4 car 𝑓 ( 4 ) 𝑓 ( 4 ) .

Q10:

On considère la fonction définie par 𝑓 ( 𝑥 ) = 8 𝑥 + 7 𝑥 0 , 𝑎 2 𝑥 𝑥 > 0 . s i s i Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥 = 0 ?

  • A 𝑎 = 7 , dérivable en 𝑥 = 0
  • B 𝑎 = 7 , non dérivable en 𝑥 = 0
  • C 𝑎 = 7 , non dérivable en 𝑥 = 0
  • D 𝑎 = 7 , dérivable en 𝑥 = 0

Q11:

Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏 , puis étudie la dérivabilité de la fonction 𝑓 en 𝑥 = 1 sachant que 𝑓 est continue et définie par 𝑓 ( 𝑥 ) = 9 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 4 𝑥 < 1 , 1 1 𝑥 = 1 , 𝑎 + 𝑏 𝑥 𝑥 > 1 . @ i f @ i f @ i f

  • A 𝑎 = 2 , 𝑏 = 9 , et 𝑓 @NotDif en 𝑥 = 1 .
  • B 𝑎 = 2 , 𝑏 = 9 , et 𝑓 @Dif en 𝑥 = 1 .
  • C 𝑎 = 2 , 𝑏 = 9 , et 𝑓 @Dif en 𝑥 = 1 .
  • D 𝑎 = 2 , 𝑏 = 9 , et 𝑓 not differentiable en 𝑥 = 1 .
  • E 𝑎 = 8 , 𝑏 = 4 , et 𝑓 @NotDif en 𝑥 = 1 .

Q12:

Que peut-on dire de la dérivabilité de la fonction définie par 𝑓 ( 𝑥 ) = 9 𝑥 + 8 𝑥 + 7 en 𝑥 = 2 ?

  • A La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) n’est pas dérivable en 𝑥 = 2 car 𝑓 ( 2 ) n’existe pas.
  • B La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) n’est pas dérivable en 𝑥 = 2 car 𝑓 ( 2 ) n’est pas définie.
  • C La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) n’est pas dérivable en 𝑥 = 2 car 𝑓 n’est pas continue.
  • D La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) est dérivable en 𝑥 = 2 .

Q13:

Étudie la dérivabilité de la fonction 𝑓 at 𝑥 = 4 , 𝑓 ( 𝑥 ) = 6 𝑥 + 7 𝑥 4 4 𝑥 < 1 , 2 𝑥 1 𝑥 1 . s i s i

  • A La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) n’est pas dérivable en 𝑥 = 4 car 𝑓 ( 𝑥 ) n’est pas continue en 𝑥 = 4 .
  • B La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) est continue, mais n’est pas dérivable en 𝑥 = 4 car 𝑓 ( 4 ) 𝑓 ( 4 ) .
  • C La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) n’est pas continue, elle est dérivable en 𝑥 = 4 car 𝑓 ( 4 ) = 𝑓 ( 4 ) .
  • DLa fonction 𝑓 ( 𝑥 ) est dérivable en 𝑥 = 4 .

Q14:

On pose 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 7 𝑥 < 1 , 2 𝑥 5 𝑥 1 . s i s i Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥 = 1 ?

  • A La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) n'est pas dérivable en 𝑥 = 1 car 𝑓 est discontinue en 𝑥 = 1 .
  • B La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) est continue mais non dérivable en 𝑥 = 1 car 𝑓 ( 1 ) 𝑓 ( 1 ) .
  • C La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) n'est pas dérivable en 𝑥 = 1 car 𝑓 ( 1 ) n'est pas définie.
  • D La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) est dérivable en 𝑥 = 1 .
  • E La fonction 𝑓 ( 𝑥 ) est discontinue mais dérivable en 𝑥 = 1 car 𝑓 ( 1 ) = 𝑓 ( 1 ) .

Q15:

On pose 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 1 5 𝑥 1 , 2 𝑥 1 6 𝑥 > 1 . s i s i Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥 = 1 ?

  • ALa fonction n’est pas continue mais dérivable en 𝑥 = 1 car l i m l i m 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 1 ) .
  • BLa fonction est continue mais pas dérivable en 𝑥 = 1 car l i m l i m 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 1 ) .
  • CLa fonction n’est pas continue, donc elle n’est pas dérivable en 𝑥 = 1 .
  • DLa fonction est continue et dérivable en 𝑥 = 1 car 𝑓 ( 1 ) = 𝑓 ( 1 ) .

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