Feuille d'activités de la leçon : Dérivabilité d’une fonction Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à déterminer si une fonction est dérivable, et à identifier la relation entre la dérivabilité d'une fonction et sa continuité.

Q1:

On pose 𝑓(𝑥)=5𝑎+𝑏𝑥,𝑥<2,5,𝑥=2,𝑎𝑥3𝑏,𝑥>2. Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏 pour que 𝑓 soit continue en 𝑥=2. Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en ce point?

  • A𝑎=4, 𝑏=1, n’est pas dérivable en 𝑥=2
  • B𝑎=5, 𝑏=5, n’est pas dérivable en 𝑥=2
  • C𝑎=4, 𝑏=1, dérivable en 𝑥=2
  • D𝑎=5, 𝑏=5, dérivable en 𝑥=2

Q2:

Discute la continuité et la dérivabilité de la fonction 𝑓 en 𝑥=0 étant donnée 𝑓(𝑥)=9𝑥6𝑥<0,𝑥9𝑥6𝑥0.sisi

  • ALa fonction n’est pas continue, donc elle n’est pas dérivable en 𝑥=0.
  • BLa fonction est continue mais elle n’est pas dérivable en 𝑥=0.
  • CLa fonction n'est pas continue mais est dérivable en 𝑥=0.
  • DLa fonction est continue et dérivable en 𝑥=0.

Q3:

Étudie la dérivabilité d'une fonction 𝑓 en 𝑥=4 sachant que 𝑓(𝑥)=8𝑥+7𝑥<4,2𝑥+5𝑥4.sisi

  • A𝑓(𝑥) n'est pas dérivable en 𝑥=4 car 𝑓(4)𝑓(4).
  • B𝑓(𝑥) est dérivable en 𝑥=4 car 𝑓 est continue en 𝑥=4 .
  • C𝑓(𝑥) n'est pas dérivable en 𝑥=4 car 𝑓(4) est indéfinie.
  • D𝑓(𝑥) est dérivable en 𝑥=4 car 𝑓(4)=𝑓(4).

Q4:

Étudie la dérivabilité de la fonction 𝑓(𝑥) en 𝑥=1, 𝑓(𝑥)=(6𝑥6)|6𝑥6|.

  • ALa fonction n’est pas dérivable en 𝑥=1 car 𝑓(𝑥) est discontinue en ce point.
  • BLa fonction n’est pas dérivable en ce point car 𝑓(1)𝑓(1).
  • CLa fonction est dérivable en 𝑥=1 car 𝑓(𝑥) est continue en ce point.
  • DLa fonction est dérivable en ce point car 𝑓(1)=𝑓(1).

Q5:

Discute la dérivabilité de la fonction 𝑓 en 𝑥=1 sachant que 𝑓(𝑥)=2𝑥+8𝑥<1,𝑥+9𝑥1.sisi

  • A𝑓(𝑥) n'est pas dérivable en 𝑥=1 car 𝑓 est discontinue en 𝑥=1.
  • B𝑓(𝑥) est continue mais non dérivable en 𝑥=1 car 𝑓(1)𝑓(1).
  • C𝑓(𝑥) est dérivable en 𝑥=1.
  • D𝑓(𝑥) n'est pas dérivable en 𝑥=1 car 𝑓(1) est indéfinie.
  • E𝑓(𝑥) est discontinue mais non dérivable en 𝑥=1 car 𝑓(1)=𝑓(1).

Q6:

On pose 𝑓(𝑥)=𝑥7𝑥+5𝑥8,3𝑥+4𝑥4𝑥>8.sisi Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥=8?

  • ALa fonction 𝑓(𝑥) n'est pas continue mais dérivable en 𝑥=8 car 𝑓(8)=𝑓(8).
  • BLa fonction 𝑓(𝑥) n'est pas dérivable en 𝑥=8 car 𝑓(8)𝑓(8).
  • CLa fonction 𝑓(𝑥) est dérivable en 𝑥=8 car limlim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥) mais elle n'est pas continue.
  • DLa fonction 𝑓(𝑥) n'est pas dérivable en 𝑥=8 car 𝑓 est discontinue en 𝑓(8).
  • ELa fonction 𝑓(𝑥) est dérivable en 𝑥=8 car 𝑓(8) n'est pas définie.

Q7:

Que peut-on dire de la dérivabilité de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+4𝑥+4 en 𝑥=2?

  • ALa fonction 𝑓(𝑥) est continue mais non dérivable en 𝑥=2 car 𝑓(2)𝑓(2).
  • BLa fonction 𝑓(𝑥) n’est pas dérivable en 𝑥=2 car 𝑓(2) n’est pas définie.
  • CLa fonction 𝑓(𝑥) est dérivable en 𝑥=2.
  • DLa fonction 𝑓(𝑥) n’est pas dérivable en 𝑥=2 car 𝑓 est discontinue en ce point.

Q8:

Discute la dérivabilité de 𝑓(𝑥)=4𝑥+1𝑥 en 𝑥=7.

  • ALa fonction est dérivable en 𝑥=7 car 𝑓(7) existe.
  • BLa fonction n’est pas dérivable en 𝑥=7 car 𝑓(𝑥) n'est pas continue en ce point.
  • CLa fonction est dérivable en 𝑥=7 car 𝑓(7) existe.
  • DLa fonction n’est pas dérivable en 𝑥=7 car 𝑓(7) n'existe pas.

Q9:

On pose 𝑓(𝑥)=4𝑐+𝑚𝑥,𝑥<1,𝑐𝑥4𝑚,𝑥1. Si 𝑓(1)=12 et que 𝑓 est continue en 𝑥=1, détermine les valeurs de 𝑚 et 𝑐. Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en ce point?

  • A𝑚=12, 𝑐=6, dérivable en 𝑥=1
  • B𝑚=12, 𝑐=6, non dérivable en 𝑥=1
  • C𝑚=4, 𝑐=4, non dérivable en 𝑥=1
  • D𝑚=4, 𝑐=4, dérivable en 𝑥=1

Q10:

>Calcule les valeurs de 𝑎 et 𝑏 rendant la fonction 𝑓 dérivable en 𝑥=1, 𝑓(𝑥)=9𝑥+5𝑥<1,𝑎𝑥+𝑏𝑥4𝑥1.sisi

  • A𝑎=10, 𝑏=8
  • B𝑎=18, 𝑏=0
  • C𝑎=9, 𝑏=9
  • D𝑎=4, 𝑏=1

Cette leçon comprend 56 questions additionnelles et 547 variantes de questions additionnelles pour les abonnés.

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