Feuille d'activités : Formule du binôme de Newton

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients du développement algébrique de toute expression binomiale de la forme (a+b)^n.

Q1:

Utilise la formule du binôme de Newton pour déterminer le développement de (1+𝑥).

  • A1+4𝑥+6𝑥+4𝑥+𝑥
  • B1+𝑥
  • C1+4𝑥+6𝑥+4𝑥+4𝑥
  • D𝑥+4𝑥+4𝑥+𝑥
  • E1+3𝑥+6𝑥+10𝑥+15𝑥

Q2:

Développe (7+2𝑥).

  • A−𝑥+21𝑥−147𝑥+343
  • B−8𝑥+84𝑥−294𝑥+343
  • C8𝑥+84𝑥+294𝑥+343
  • D𝑥+21𝑥+147𝑥+343

Q3:

Utilise la formule du binôme de Newton pour déterminer la forme développée de (𝑎+2𝑏).

  • A𝑎+8𝑎𝑏+24𝑎𝑏+32𝑎𝑏+64𝑏
  • B𝑎+4𝑎𝑏+6𝑎𝑏+4𝑎𝑏+𝑏
  • C𝑎+8𝑎𝑏+24𝑎𝑏+32𝑎𝑏+16𝑏
  • D𝑎+16𝑏
  • E𝑎+4𝑎𝑏+24𝑎𝑏+32𝑎𝑏+16𝑏

Q4:

Utilise la formule du binôme de Newton pour déterminer la forme développée de (𝑎−𝑏).

  • A𝑎−5𝑎𝑏+10𝑎𝑏−10𝑎𝑏+5𝑎𝑏−𝑏
  • B𝑎+5𝑎𝑏+10𝑎𝑏+10𝑎𝑏+5𝑎𝑏+𝑏
  • C𝑎+5𝑎𝑏−10𝑎𝑏+10𝑎𝑏−5𝑎𝑏+𝑏
  • D𝑎−5𝑎𝑏−10𝑎𝑏−10𝑎𝑏−5𝑎𝑏−𝑏
  • E5𝑎−5𝑎𝑏+10𝑎𝑏−10𝑎𝑏+5𝑎𝑏−𝑏

Q5:

Détermine le troisième terme dans le développement du binôme 10𝑥+23𝑥.

  • A4009𝑥
  • B4009𝑥
  • C8003𝑥
  • D8003𝑥

Q6:

Lequel des nombres suivants est égal à 141+2×142+3×143+⋯+14×1414?

  • A2
  • B2
  • C14×2
  • D13×2
  • E14×2

Q7:

Détermine les coefficients des termes qui résultent du développement de (𝑥+𝑦).

  • A1;5;10;5;1
  • B1;3;3;1
  • C1;2;1
  • D1;4;4;1
  • E1;4;6;4;1

Q8:

Utilise le théorème du binôme de Newton pour développer (2𝑥−3𝑦).

  • A8𝑥−12𝑥𝑦+18𝑥𝑦−27𝑦
  • B8𝑥+36𝑥𝑦+54𝑥𝑦+27𝑦
  • C8𝑥+36𝑥𝑦−54𝑥𝑦+27𝑦
  • D8𝑥−36𝑥𝑦+54𝑥𝑦−27𝑦
  • E8𝑥−36𝑥𝑦−54𝑥𝑦−27𝑦

Q9:

Développe l'expression (𝑥+2𝑦).

  • A𝑥+2𝑥𝑦+𝑦
  • B𝑥+2𝑥𝑦+𝑦
  • C𝑥+4𝑥𝑦+4𝑦
  • D𝑥+4𝑥𝑦+4𝑦

Q10:

Évalue √3+1+√3−1 en utilisant le théorème du développement binomial.

  • A27
  • B36
  • C12
  • D27√3
  • E12√3

Q11:

Développe 6𝑥−13𝑥.

  • A36𝑥−4𝑥+19𝑥
  • B𝑥−2𝑥3+19𝑥
  • C36𝑥+4𝑥+19𝑥
  • D36𝑥−12𝑥+1𝑥

Q12:

Développe 𝑥4−1𝑥.

  • A𝑥−20𝑥+160𝑥−640𝑥+1280𝑥−1024
  • B𝑥−20𝑥+160𝑥−640𝑥+1280𝑥−1024𝑥
  • C𝑥1024−5𝑥256+5𝑥32−58𝑥+54𝑥−1𝑥
  • D𝑥−5𝑥+10𝑥−10𝑥+5𝑥−1𝑥

Q13:

Réponds aux questions suivantes pour le développement de (2+𝑘𝑥).

Sachant que le coefficient de 𝑥 est égal à 60 et que 𝑘 est positif, détermine 𝑘.

  • A𝑘=√154
  • B𝑘=12
  • C𝑘=14
  • D𝑘=2
  • E𝑘=1

Ainsi, en utilisant ta valeur de 𝑘, calcule le coefficient de 𝑥 dans le développement.

  • A12
  • B3256
  • C15
  • D384
  • E38

Q14:

Sachant que (1+𝑐𝑥)=1+6𝑥+𝑎𝑥+𝑎𝑥+⋯+𝑎𝑥 et 2𝑎=3𝑎, détermine les valeurs de 𝑛 et 𝑐 où 𝑐≠0.

  • A𝑛=4, 𝑐=2
  • B𝑛=4, 𝑐=3
  • C𝑛=3, 𝑐=3
  • D𝑛=3, 𝑐=2

Q15:

Développe (5𝑥+4𝑦).

  • A𝑥+16𝑥𝑦+96𝑥𝑦+256𝑥𝑦+256𝑦
  • B625𝑥+500𝑥𝑦+150𝑥𝑦+20𝑥𝑦+𝑦
  • C625𝑥+2000𝑥𝑦+2400𝑥𝑦+1280𝑥𝑦+256𝑦
  • D𝑥+4𝑥𝑦+6𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦

Q16:

Développe l’expression 𝑥−√2.

  • A𝑥+3√2𝑥+6𝑥+2√2
  • B−𝑥+3√2𝑥−6𝑥+2√2
  • C𝑥−3√2𝑥+6𝑥−2√2
  • D𝑥−3√2𝑥+6𝑥−2√2

Q17:

Détermine le troisième terme dans le développement de (4𝑥+3).

  • A108𝑥
  • B108𝑥
  • C27𝑥
  • D27𝑥

Q18:

Détermine la valeur de 𝑥 qui satisfait 1+9𝑥+9×82×1𝑥+9×8×73×2×1𝑥+⋯+𝑥=512.

Q19:

Utilise la formule du binôme pour déterminer le développement de 𝑎−𝑏2.

  • A𝑎−3𝑎𝑏2−3𝑎𝑏4−𝑏8
  • B𝑎−3𝑎𝑏2+3𝑎𝑏4+𝑏8
  • C𝑎+3𝑎𝑏2+3𝑎𝑏4+𝑏8
  • D𝑎−3𝑎𝑏8+3𝑎𝑏8−𝑏8
  • E𝑎−3𝑎𝑏2+3𝑎𝑏4−𝑏8

Q20:

Utilise la formule du binôme pour développer 𝑥2+𝑦3.

  • A𝑥16+𝑥𝑦6+𝑥𝑦6+2𝑥𝑦9+𝑦81
  • B𝑥16+𝑥𝑦2+𝑥𝑦6+2𝑥𝑦27+𝑦81
  • C𝑥16+𝑥𝑦6+𝑥𝑦36+2𝑥𝑦27+𝑦81
  • D𝑥16+𝑥𝑦6+𝑥𝑦6+2𝑥𝑦27+𝑦81
  • E𝑥16+𝑥𝑦24+𝑥𝑦36+𝑥𝑦54+𝑦81

Q21:

Utilise la formule du binôme pour développer 2𝑥3−4𝑦5.

  • A16𝑥81+128𝑥𝑦135−128𝑥𝑦75+512𝑥𝑦375−256𝑦625
  • B16𝑥81−128𝑥𝑦135+128𝑥𝑦75−128𝑥𝑦375+256𝑦625
  • C16𝑥81−128𝑥𝑦135+128𝑥𝑦75+512𝑥𝑦375+256𝑦625
  • D16𝑥81−128𝑥𝑦135+128𝑥𝑦75−512𝑥𝑦375+256𝑦625
  • E16𝑥81+128𝑥𝑦135+128𝑥𝑦75+512𝑥𝑦375+256𝑦625

Q22:

Développe 9+√𝑥+9−√𝑥.

  • A−36√𝑥
  • B36√𝑥+2𝑥+162
  • C−36𝑥
  • D2𝑥+162
  • E2𝑥+162

Q23:

Développe (4−𝑥)(4+𝑥).

  • A𝑥+32𝑥+256
  • B𝑥−32𝑥+256
  • C𝑥−8𝑥+16
  • D𝑥+8𝑥+16

Q24:

Développe 10+√𝑥+10−√8.

  • A𝑥+30𝑥+300𝑥+1008
  • B−𝑥−300√𝑥−30𝑥−616√2+240
  • C−𝑥−30𝑥−300𝑥−992
  • D𝑥+300√𝑥+30𝑥−616√2+2240
  • E60𝑥+2000

Q25:

Utilise la formule du binôme de Newton pour développer 𝑥−2𝑥+1𝑥+2𝑥+1+2𝑥.

  • A𝑥+4𝑥+6𝑥+4𝑥+1
  • B𝑥−4𝑥+6𝑥−4𝑥+1
  • C𝑥+4𝑥+6𝑥+4𝑥+1
  • D𝑥−4𝑥+6𝑥−4𝑥+1

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