Feuille d'activités : Formule du binôme de Newton

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients du développement algébrique de toute expression binomiale de la forme (a+b)^n.

Q1:

Utilise la formule du binôme de Newton pour déterminer le développement de (1+𝑥).

  • A1+3𝑥+6𝑥+10𝑥+15𝑥
  • B1+4𝑥+6𝑥+4𝑥+4𝑥
  • C1+𝑥
  • D𝑥+4𝑥+4𝑥+𝑥
  • E1+4𝑥+6𝑥+4𝑥+𝑥

Q2:

Développe (7+2𝑥).

  • A𝑥+21𝑥147𝑥+343
  • B8𝑥+84𝑥294𝑥+343
  • C8𝑥+84𝑥+294𝑥+343
  • D𝑥+21𝑥+147𝑥+343

Q3:

Utilise la formule du binôme de Newton pour déterminer la forme développée de (𝑎+2𝑏).

  • A𝑎+8𝑎𝑏+24𝑎𝑏+32𝑎𝑏+64𝑏
  • B𝑎+4𝑎𝑏+6𝑎𝑏+4𝑎𝑏+𝑏
  • C𝑎+8𝑎𝑏+24𝑎𝑏+32𝑎𝑏+16𝑏
  • D𝑎+16𝑏
  • E𝑎+4𝑎𝑏+24𝑎𝑏+32𝑎𝑏+16𝑏

Q4:

Utilise la formule du binôme de Newton pour déterminer la forme développée de (𝑎𝑏).

  • A𝑎+5𝑎𝑏10𝑎𝑏+10𝑎𝑏5𝑎𝑏+𝑏
  • B5𝑎5𝑎𝑏+10𝑎𝑏10𝑎𝑏+5𝑎𝑏𝑏
  • C𝑎5𝑎𝑏10𝑎𝑏10𝑎𝑏5𝑎𝑏𝑏
  • D𝑎+5𝑎𝑏+10𝑎𝑏+10𝑎𝑏+5𝑎𝑏+𝑏
  • E𝑎5𝑎𝑏+10𝑎𝑏10𝑎𝑏+5𝑎𝑏𝑏

Q5:

Détermine le troisième terme dans le développement du binôme 10𝑥+23𝑥.

  • A8003𝑥
  • B8003𝑥
  • C4009𝑥
  • D4009𝑥

Q6:

Considère le développement de 𝑎𝑥+𝑥. Sachant que la constante de ce développement est 720, détermine toutes les valeurs possibles de 𝑎.

  • A2,2
  • B16,16
  • C4,4
  • D8,8

Q7:

Lequel des nombres suivants est égal à 141+2×142+3×143++14×1414?

  • A2
  • B2
  • C14×2
  • D13×2
  • E14×2

Q8:

Détermine les coefficients des termes qui résultent du développement de (𝑥+𝑦).

  • A1,4,6,4,1
  • B1,3,3,1
  • C1,5,10,5,1
  • D1,2,1
  • E1,4,4,1

Q9:

Utilise le théorème du binôme de Newton pour développer (2𝑥3𝑦).

  • A8𝑥12𝑥𝑦+18𝑥𝑦27𝑦
  • B8𝑥+36𝑥𝑦54𝑥𝑦+27𝑦
  • C8𝑥+36𝑥𝑦+54𝑥𝑦+27𝑦
  • D8𝑥36𝑥𝑦54𝑥𝑦27𝑦
  • E8𝑥36𝑥𝑦+54𝑥𝑦27𝑦

Q10:

Développe l'expression (𝑥+2𝑦).

  • A𝑥+2𝑥𝑦+𝑦
  • B𝑥+2𝑥𝑦+𝑦
  • C𝑥+4𝑥𝑦+4𝑦
  • D𝑥+4𝑥𝑦+4𝑦

Q11:

Évalue 3+1+31 en utilisant le théorème du développement binomial.

  • A27
  • B36
  • C12
  • D273
  • E123

Q12:

Développe 6𝑥13𝑥.

  • A36𝑥4𝑥+19𝑥
  • B𝑥2𝑥3+19𝑥
  • C36𝑥+4𝑥+19𝑥
  • D36𝑥12𝑥+1𝑥

Q13:

Développe 𝑥41𝑥.

  • A𝑥20𝑥+160𝑥640𝑥+1280𝑥1024
  • B𝑥20𝑥+160𝑥640𝑥+1280𝑥1024𝑥
  • C𝑥10245𝑥256+5𝑥3258𝑥+54𝑥1𝑥
  • D𝑥5𝑥+10𝑥10𝑥+5𝑥1𝑥

Q14:

Détermine le coefficient du quatrième terme dans le développement de 𝑥+1𝑥.

  • A4
  • B8
  • C14
  • D6

Q15:

Réponds aux questions suivantes pour le développement de (2+𝑘𝑥).

Sachant que le coefficient de 𝑥 est égal à 60 et que 𝑘 est positif, détermine 𝑘.

  • A𝑘=1
  • B𝑘=154
  • C𝑘=2
  • D𝑘=12
  • E𝑘=14

Ainsi, en utilisant ta valeur de 𝑘, calcule le coefficient de 𝑥 dans le développement.

  • A38
  • B12
  • C15
  • D384
  • E3256

Q16:

Réponds aux questions suivantes pour le développement de (13𝑥).

Sachant que le coefficient de 𝑥 est 189, détermine 𝑛.

  • A𝑛=10
  • B𝑛=9
  • C𝑛=7
  • D𝑛=8
  • E𝑛=6

Ainsi, calcule la valeur du coefficient de 𝑥.

Q17:

Considère le développement 𝑥+𝑥 avec les puissances de 𝑥 en ordre décroissant. Quelles sont ses valeurs possibles sachant que le troisième terme de ce développement est égal à 640?

  • A4,4
  • B12
  • C10
  • D2,2

Q18:

Détermine les deux termes du milieu dans le développement de (14𝑥+𝑦).

  • A2744𝑥𝑦, 14𝑥𝑦
  • B196𝑥𝑦, 14𝑥𝑦
  • C196𝑥𝑦, 42𝑥𝑦
  • D588𝑥𝑦, 42𝑥𝑦

Q19:

Détermine 𝑥 sachant que le rapport de ses termes médians dans le développement de (1+𝑥) est de 12.

Q20:

Sachant que (1+𝑐𝑥)=1+6𝑥+𝑎𝑥+𝑎𝑥++𝑎𝑥 et 2𝑎=3𝑎, détermine les valeurs de 𝑛 et 𝑐𝑐0.

  • A𝑛=4, 𝑐=2
  • B𝑛=4, 𝑐=3
  • C𝑛=3, 𝑐=3
  • D𝑛=3, 𝑐=2

Q21:

Développe (5𝑥+4𝑦).

  • A𝑥+16𝑥𝑦+96𝑥𝑦+256𝑥𝑦+256𝑦
  • B625𝑥+500𝑥𝑦+150𝑥𝑦+20𝑥𝑦+𝑦
  • C625𝑥+2000𝑥𝑦+2400𝑥𝑦+1280𝑥𝑦+256𝑦
  • D𝑥+4𝑥𝑦+6𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦

Q22:

Développe 8𝑥74𝑦.

  • A64𝑥28𝑥𝑦+49𝑦16
  • B64𝑥+28𝑥𝑦+49𝑦16
  • C64𝑥112𝑥𝑦+49𝑦
  • D64𝑥+4𝑥𝑦+𝑦16
  • E64𝑥4𝑥𝑦+𝑦16

Q23:

Développe l’expression 𝑥2.

  • A𝑥+32𝑥+6𝑥+22
  • B𝑥+32𝑥6𝑥+22
  • C𝑥32𝑥+6𝑥22
  • D𝑥32𝑥+6𝑥22

Q24:

Détermine le troisième terme dans le développement de (4𝑥+3).

  • A108𝑥
  • B108𝑥
  • C27𝑥
  • D27𝑥

Q25:

Détermine la valeur de 𝑥 qui satisfait 1+9𝑥+9×82×1𝑥+9×8×73×2×1𝑥++𝑥=512.

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