Fiche d'activités de la leçon : Intégration par décomposition en éléments simples avec des facteurs du second degré irréductibles répétés Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser la décomposition en éléments simples de fonctions rationnelles avec des facteurs du second degré irréductibles répétés pour évaluer une intégrale.

Q1:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑥𝑥(𝑥+1)d.

  • Alnln|𝑥|12𝑥+1+1(2𝑥+2)+𝐾
  • Blnln|𝑥|𝑥+1+12(𝑥+1)+𝐾
  • Clnln|𝑥|12𝑥+1+1(𝑥+1)+𝐾
  • Dlnln|𝑥|12𝑥+1+1(𝑥+1)+𝐾
  • Elnln|𝑥|12𝑥+11(2𝑥+2)+𝐾

Q2:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 2𝑠+2(𝑠+1)(𝑠1)𝑠d.

  • Atan𝑠(𝑠1)𝑠+1+𝐾
  • Btan𝑠+(𝑠1)(𝑠1)+𝐾
  • Ctan𝑠(𝑠1)(𝑠1)+𝐾
  • Dtan𝑠+(𝑠1)+(𝑠1)+𝐾
  • Etan𝑠+(𝑠+1)+(𝑠+1)+𝐾

Q3:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 8𝑥+8𝑥+2(4𝑥+1)𝑥d.

  • Atan2𝑥14𝑥+1+𝐾
  • Btan2𝑥+14𝑥+1+𝐾
  • Ctan𝑥14𝑥+1+𝐾
  • Dtan2𝑥24𝑥+1+𝐾
  • Etan2𝑥14𝑥+1+𝐾

Q4:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑠+81𝑠(𝑠+9)𝑠d.

  • Aln|𝑠|+18(𝑠+9)+𝐾
  • Bln|𝑠|+9(𝑠+9)+𝐾
  • Cln|𝑠|18(𝑠+9)+𝐾
  • Dln|𝑠|+9(𝑠+9)+𝐾
  • Eln|𝑠|9(𝑠+9)+𝐾

Q5:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝜃4𝜃+2𝜃3𝜃+1(𝜃+1)𝜃d.

  • Atan𝜃+1𝜃+114(𝜃+1)+𝐾
  • Btan𝜃+2𝜃+114(𝜃+1)+𝐾
  • Ctan𝜃+2𝜃+114(𝜃+1)+𝐾
  • Dtan𝜃+2𝜃+1+14(𝜃+1)+𝐾
  • Etan𝜃+2𝜃+11(𝜃+1)+𝐾

Q6:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer (𝑥+1)(3𝑥)+9𝑥+𝑥(9𝑥+1)(𝑥+1)𝑥tand.

  • Atanln(3𝑥)3+|𝑥+1|+1𝑥+1+𝐾
  • B(3𝑥)6|𝑥+1|1𝑥+1+𝐾tanln
  • Ctanln(3𝑥)6+|𝑥+1|+1𝑥+1+𝐾
  • D(3𝑥)6+|𝑥+1|+1𝑥+1+𝐾tanln
  • Etanln(3𝑥)6|𝑥+1|+1𝑥+1+𝐾

Q7:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 2𝑥+4(𝑥+1)(𝑥1)𝑥d.

  • Alntanln𝑥+1+𝑥2|𝑥1|+1𝑥1+𝐾
  • Blntanln𝑥+1+𝑥2|𝑥1|1𝑥1+𝐾
  • C12𝑥+1+𝑥2|𝑥1|1𝑥1+𝐾lntanln
  • Dlntanln𝑥+1+𝑥2|𝑥1|13(𝑥1)+𝐾
  • Elntanln𝑥+1+𝑥+2|𝑥1|1𝑥1+𝐾

Q8:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑥𝑥+2𝑥1𝑥d.

  • A23|𝑥|+13𝑥+𝑥+1+32𝑥+13+𝐾lnlntan
  • B23|𝑥1|+13𝑥+𝑥+132𝑥+13+𝐾lnlntan
  • C23|𝑥1|+16𝑥+𝑥+1+32𝑥+13+𝐾lnlntan
  • D23|𝑥1|+16𝑥+𝑥+132𝑥+13+𝐾lnlntan
  • E23|𝑥1|+16𝑥+𝑥+132𝑥+13+𝐾lnlntan

Q9:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑦+2𝑦+1(𝑦+1)𝑦d.

  • A2𝑦2𝑦+1+𝐾tan
  • Btan𝑦+1𝑦+1+𝐾
  • Ctan𝑦1𝑦+1+𝐾
  • Dtan𝑦1𝑦+1+𝐾
  • Etan𝑦1𝑦+1+𝐾

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