Feuille d'activités : Intégrer avec la décomposition en éléments simples avec des diviseurs du premier degré répétés

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser la décomposition en éléments simples pour des fonctions rationnelles avec des diviseurs du premier degré répétés pour évaluer leur intégrale.

Q1:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑥+4𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥+3)𝑥d.

  • A34|𝑥−1|+12|𝑥+1|−14|𝑥+3|+𝐾lnlnln
  • B431|𝑥−1|+121|𝑥+1|−141|𝑥+3|+𝐾lnlnln
  • C23|𝑥−1|+12|𝑥+1|−14|𝑥+3|+𝐾lnlnln
  • D43|𝑥−1|+14|𝑥+1|−14|𝑥+3|+𝐾lnlnln
  • E43|𝑥−1|+12|𝑥+1|+14|𝑥+3|+𝐾lnlnln

Q2:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 6𝑥+7(𝑥+2)𝑥d.

  • A6|𝑥+2|+5(𝑥+2)+𝐾ln
  • B6|𝑥+2|+5|𝑥+2|+𝐾lnln
  • C6|𝑥+2|+5(𝑥+2)+𝐾ln
  • D3|𝑥+2|−4(𝑥+2)+𝐾ln
  • E6|𝑥+2|−5(𝑥+2)+𝐾ln

Q3:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 1(𝑥−1)𝑥d.

  • A14|||𝑥+1𝑥−1|||−𝑥2(𝑥−1)+𝐾ln
  • B14|||𝑥+1𝑥−1|||+𝑥2(𝑥−1)+𝐾ln
  • C14|(𝑥+1)(𝑥−1)|−𝑥2(𝑥−1)+𝐾ln
  • D14|||𝑥+1𝑥−1|||−1𝑥−1+𝐾ln
  • E12|||𝑥+1𝑥−1|||−𝑥2(𝑥−1)+𝐾ln

Q4:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑥(𝑥−1)(𝑥+2𝑥+1)𝑥d.

  • A12||(𝑥−1)(𝑥+1)||+12𝑥+2+𝐾ln
  • B14||(𝑥−1)(𝑥+1)||−12𝑥+2+𝐾ln
  • C14||(𝑥−1)(𝑥+1)||+12𝑥+2+𝐾ln
  • D14||(𝑥−1)(𝑥+1)||+1𝑥+1+𝐾ln
  • E14|||(𝑥−1)(𝑥+1)|||+12𝑥+2+𝐾ln

Q5:

Utilise la décomposition en éléments simples pour déterminer une expression analytique pour l'intégrale 3𝑡−9𝑡+8𝑡(𝑡−2)𝑡.d

  • A2(𝑥)+(𝑥−2)+1𝑥−2−1lnln
  • B2(𝑥)+(2−𝑥)−1𝑥−2lnln
  • C2(𝑥)+(𝑥−2)−1𝑥−2−1lnln
  • D2(𝑥)+(2−𝑥)+1𝑥−2−1lnln
  • E2(𝑥)+(2−𝑥)−1𝑥−2−1lnln

Q6:

Considère la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥−𝑒) qui est définie sur ℝ⧵{𝑒}.

Détermine une primitive 𝐹 de 𝑓 telle que 𝐹(0)=2. Que vaut 𝐹(2𝑒) ?

  • A𝐹(𝑥)=(|𝑥−𝑒|)−𝑒𝑒−𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=2.
  • B𝐹(𝑥)=(|𝑥−𝑒|)−𝑒𝑒−𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=0.
  • C𝐹(𝑥)=(|𝑥−𝑒|)−𝑥𝑒−𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=−1.
  • D𝐹(𝑥)=(|𝑥−𝑒|)+𝑒𝑒−𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=0.
  • E𝐹(𝑥)=(|𝑥−𝑒|)+𝑒𝑒−𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=2.

Est-il possible de déterminer une primitive 𝐺 qui vérifie 𝐺(0)=2, où 𝐺(2𝑒)=1 ? Si oui, que vaut 𝐺(𝑥) ?

  • AOui, 𝐺(𝑥)=(𝑒−𝑥)+𝑒𝑒−𝑥𝑥<𝑒,(𝑥−𝑒)+𝑒𝑒−𝑥+1𝑥>𝑒.lniflnif
  • Bnon

Ce que tu as trouvé ci-dessus semble aller à l’encontre du résultat selon lequel deux primitives doivent différer par une fonction constante, car 𝐺−𝐹 n'est pas une fonction constante. Pourquoi n'y a-t-il pas de contradiction ?

  • Acar 𝐺−𝐹 est constante ; elle vaut 0 sur ]−∞;𝑒[ et 1 sur ]𝑒;+∞[
  • Bparce que ce résultat suppose que l'ensemble de définition est un intervalle
  • Cparce que ce résultat ne se produit que parfois ; parfois il échoue
  • Dparce que ce résultat nécessite des conditions supplémentaires sur les primitives
  • Ecar ni 𝐹 ni 𝐺 n'est dérivable ; ce résultat s'applique uniquement aux fonctions dérivables

Q7:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑥+4(𝑥+6)(𝑥−1)𝑥d.

  • A271|𝑥−6|+571|𝑥+1|+𝐾lnln
  • B27|𝑥+6|+57|𝑥−1|+𝐾lnln
  • C27|𝑥−1|+57|𝑥+6|+𝐾lnln
  • D27|𝑥+6|−57|𝑥−1|+𝐾lnln
  • E−27|𝑥+6|−57|𝑥−1|+𝐾lnln

Q8:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 1𝑥(𝑥+2)𝑥d.

  • A12|||𝑥𝑥+2|||+𝐶ln
  • Bln√𝑥(𝑥+2)+𝐶
  • Cln|𝑥||𝑥+2|
  • Dln||𝑥𝑥+2||+𝐶
  • E12√𝑥(𝑥+2)+𝐶ln

Q9:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑥+4𝑥(𝑥+1)𝑥d.

  • A−32−412−332lnlnln
  • B−32−412+332lnlnln
  • C−32+412+332lnlnln
  • D32+412+332lnlnln
  • E−32−414+334lnlnln

Q10:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 1𝑡+𝑡−2𝑡𝑡d.

  • A−12|𝑡|+16|𝑡+2|+13|𝑡−1|+𝐾lnlnln
  • B−12|𝑡|+16|𝑡−2|+16|𝑡+1|+𝐾lnlnln
  • C−12|𝑡|+16|𝑡+2|−13|𝑡−1|+𝐾lnlnln
  • D−12|𝑡|−16|𝑡+2|+13|𝑡−1|+𝐾lnlnln
  • E12|𝑡|+16|𝑡+2|+13|𝑡−1|+𝐾lnlnln

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