Feuille d'activités : Intégrer avec la décomposition en éléments simples avec des diviseurs du premier degré répétés

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser la décomposition en éléments simples pour des fonctions rationnelles avec des diviseurs du premier degré répétés pour évaluer leur intégrale.

Q1:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑥 + 4 𝑥 + 1 ( 𝑥 − 1 ) ( 𝑥 + 1 ) ( 𝑥 + 3 ) 𝑥 d .

  • A 2 3 | 𝑥 − 1 | + 1 2 | 𝑥 + 1 | − 1 4 | 𝑥 + 3 | + 𝐾 l n l n l n
  • B 4 3 | 𝑥 − 1 | + 1 2 | 𝑥 + 1 | + 1 4 | 𝑥 + 3 | + 𝐾 l n l n l n
  • C 4 3 | 𝑥 − 1 | + 1 4 | 𝑥 + 1 | − 1 4 | 𝑥 + 3 | + 𝐾 l n l n l n
  • D 3 4 | 𝑥 − 1 | + 1 2 | 𝑥 + 1 | − 1 4 | 𝑥 + 3 | + 𝐾 l n l n l n
  • E 4 3 1 | 𝑥 − 1 | + 1 2 1 | 𝑥 + 1 | − 1 4 1 | 𝑥 + 3 | + 𝐾 l n l n l n

Q2:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 6 𝑥 + 7 ( 𝑥 + 2 ) 𝑥 d .

  • A 6 | 𝑥 + 2 | + 5 ( 𝑥 + 2 ) + 𝐾 l n
  • B 6 | 𝑥 + 2 | + 5 | 𝑥 + 2 | + 𝐾 l n l n
  • C 6 | 𝑥 + 2 | − 5 ( 𝑥 + 2 ) + 𝐾 l n
  • D 6 | 𝑥 + 2 | + 5 ( 𝑥 + 2 ) + 𝐾 l n
  • E 3 | 𝑥 + 2 | − 4 ( 𝑥 + 2 ) + 𝐾 l n

Q3:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 1 ( 𝑥 − 1 ) 𝑥 d .

  • A 1 4 | ( 𝑥 + 1 ) ( 𝑥 − 1 ) | − 𝑥 2 ( 𝑥 − 1 ) + 𝐾 l n
  • B 1 2 | | | 𝑥 + 1 𝑥 − 1 | | | − 𝑥 2 ( 𝑥 − 1 ) + 𝐾 l n
  • C 1 4 | | | 𝑥 + 1 𝑥 − 1 | | | + 𝑥 2 ( 𝑥 − 1 ) + 𝐾 l n
  • D 1 4 | | | 𝑥 + 1 𝑥 − 1 | | | − 𝑥 2 ( 𝑥 − 1 ) + 𝐾 l n
  • E 1 4 | | | 𝑥 + 1 𝑥 − 1 | | | − 1 𝑥 − 1 + 𝐾 l n

Q4:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑥 ( 𝑥 − 1 ) ( 𝑥 + 2 𝑥 + 1 ) 𝑥 d .

  • A 1 2 | | ( 𝑥 − 1 ) ( 𝑥 + 1 ) | | + 1 2 𝑥 + 2 + 𝐾 l n
  • B 1 4 | | ( 𝑥 − 1 ) ( 𝑥 + 1 ) | | − 1 2 𝑥 + 2 + 𝐾 l n
  • C 1 4 | | | ( 𝑥 − 1 ) ( 𝑥 + 1 ) | | | + 1 2 𝑥 + 2 + 𝐾 l n
  • D 1 4 | | ( 𝑥 − 1 ) ( 𝑥 + 1 ) | | + 1 2 𝑥 + 2 + 𝐾 l n
  • E 1 4 | | ( 𝑥 − 1 ) ( 𝑥 + 1 ) | | + 1 𝑥 + 1 + 𝐾 l n

Q5:

Utilise la décomposition en éléments simples pour déterminer une expression analytique pour l'intégrale 3 𝑡 − 9 𝑡 + 8 𝑡 ( 𝑡 − 2 ) 𝑡 . d

  • A 2 ( 𝑥 ) + ( 𝑥 − 2 ) − 1 𝑥 − 2 − 1 l n l n
  • B 2 ( 𝑥 ) + ( 2 − 𝑥 ) − 1 𝑥 − 2 l n l n
  • C 2 ( 𝑥 ) + ( 2 − 𝑥 ) + 1 𝑥 − 2 − 1 l n l n
  • D 2 ( 𝑥 ) + ( 2 − 𝑥 ) − 1 𝑥 − 2 − 1 l n l n
  • E 2 ( 𝑥 ) + ( 𝑥 − 2 ) + 1 𝑥 − 2 − 1 l n l n

Q6:

Considère la fonction 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ( 𝑥 − 𝑒 ) qui est définie sur ℝ ⧵ { 𝑒 } .

Détermine une primitive 𝐹 de 𝑓 telle que 𝐹 ( 0 ) = 2 . Que vaut 𝐹 ( 2 𝑒 )  ?

  • A 𝐹 ( 𝑥 ) = ( | 𝑥 − 𝑒 | ) + 𝑒 𝑒 − 𝑥 l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = 2 .
  • B 𝐹 ( 𝑥 ) = ( | 𝑥 − 𝑒 | ) − 𝑒 𝑒 − 𝑥 l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = 0 .
  • C 𝐹 ( 𝑥 ) = ( | 𝑥 − 𝑒 | ) − 𝑒 𝑒 − 𝑥 l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = 2 .
  • D 𝐹 ( 𝑥 ) = ( | 𝑥 − 𝑒 | ) + 𝑒 𝑒 − 𝑥 l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = 0 .
  • E 𝐹 ( 𝑥 ) = ( | 𝑥 − 𝑒 | ) − 𝑥 𝑒 − 𝑥 l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = − 1 .

Est-il possible de déterminer une primitive 𝐺 qui vérifie 𝐺 ( 0 ) = 2 , où 𝐺 ( 2 𝑒 ) = 1  ? Si oui, que vaut 𝐺 ( 𝑥 )  ?

  • AOui, 𝐺 ( 𝑥 ) = ( 𝑒 − 𝑥 ) + 𝑒 𝑒 − 𝑥 𝑥 < 𝑒 , ( 𝑥 − 𝑒 ) + 𝑒 𝑒 − 𝑥 + 1 𝑥 > 𝑒 . l n i f l n i f
  • Bnon

Ce que tu as trouvé ci-dessus semble aller à l’encontre du résultat selon lequel deux primitives doivent différer par une fonction constante, car 𝐺 − 𝐹 n'est pas une fonction constante. Pourquoi n'y a-t-il pas de contradiction ?

  • Aparce que ce résultat ne se produit que parfois ; parfois il échoue
  • Bcar ni 𝐹 ni 𝐺 n'est dérivable ; ce résultat s'applique uniquement aux fonctions dérivables
  • Cparce que ce résultat suppose que l'ensemble de définition est un intervalle
  • Dparce que ce résultat nécessite des conditions supplémentaires sur les primitives
  • Ecar 𝐺 − 𝐹 est constante ; elle vaut 0 sur ] − ∞ ; 𝑒 [ et 1 sur ] 𝑒 ; + ∞ [

Q7:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑥 + 4 ( 𝑥 + 6 ) ( 𝑥 − 1 ) 𝑥 d .

  • A − 2 7 | 𝑥 + 6 | − 5 7 | 𝑥 − 1 | + 𝐾 l n l n
  • B 2 7 | 𝑥 + 6 | − 5 7 | 𝑥 − 1 | + 𝐾 l n l n
  • C 2 7 | 𝑥 − 1 | + 5 7 | 𝑥 + 6 | + 𝐾 l n l n
  • D 2 7 | 𝑥 + 6 | + 5 7 | 𝑥 − 1 | + 𝐾 l n l n
  • E 2 7 1 | 𝑥 − 6 | + 5 7 1 | 𝑥 + 1 | + 𝐾 l n l n

Q8:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 1 𝑥 ( 𝑥 + 2 ) 𝑥 d .

  • A l n | | 𝑥 𝑥 + 2 | | + 𝐶
  • B l n √ 𝑥 ( 𝑥 + 2 ) + 𝐶
  • C 1 2 | | | 𝑥 𝑥 + 2 | | | + 𝐶 l n
  • D l n | 𝑥 | | 𝑥 + 2 |
  • E 1 2 √ 𝑥 ( 𝑥 + 2 ) + 𝐶 l n

Q9:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑥 + 4 𝑥 ( 𝑥 + 1 ) 𝑥 d .

  • A 3 2 + 4 1 2 + 3 3 2 l n l n l n
  • B − 3 2 + 4 1 2 + 3 3 2 l n l n l n
  • C − 3 2 − 4 1 2 − 3 3 2 l n l n l n
  • D − 3 2 − 4 1 2 + 3 3 2 l n l n l n
  • E − 3 2 − 4 1 4 + 3 3 4 l n l n l n

Q10:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 1 𝑡 + 𝑡 − 2 𝑡 𝑡 d .

  • A − 1 2 | 𝑡 | − 1 6 | 𝑡 + 2 | + 1 3 | 𝑡 − 1 | + 𝐾 l n l n l n
  • B 1 2 | 𝑡 | + 1 6 | 𝑡 + 2 | + 1 3 | 𝑡 − 1 | + 𝐾 l n l n l n
  • C − 1 2 | 𝑡 | + 1 6 | 𝑡 + 2 | − 1 3 | 𝑡 − 1 | + 𝐾 l n l n l n
  • D − 1 2 | 𝑡 | + 1 6 | 𝑡 + 2 | + 1 3 | 𝑡 − 1 | + 𝐾 l n l n l n
  • E − 1 2 | 𝑡 | + 1 6 | 𝑡 − 2 | + 1 6 | 𝑡 + 1 | + 𝐾 l n l n l n

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