Fiche d'activités de la leçon : Intégrer avec la décomposition en éléments simples avec des diviseurs du premier degré répétés Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser la décomposition en éléments simples pour des fonctions rationnelles avec des diviseurs du premier degré répétés pour évaluer leur intégrale.

Q1:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑥+4𝑥+1(𝑥1)(𝑥+1)(𝑥+3)𝑥d.

  • A431|𝑥1|+121|𝑥+1|141|𝑥+3|+𝐾lnlnln
  • B34|𝑥1|+12|𝑥+1|14|𝑥+3|+𝐾lnlnln
  • C23|𝑥1|+12|𝑥+1|14|𝑥+3|+𝐾lnlnln
  • D43|𝑥1|+12|𝑥+1|+14|𝑥+3|+𝐾lnlnln
  • E43|𝑥1|+14|𝑥+1|14|𝑥+3|+𝐾lnlnln

Q2:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 6𝑥+7(𝑥+2)𝑥d.

  • A6|𝑥+2|+5|𝑥+2|+𝐾lnln
  • B6|𝑥+2|5(𝑥+2)+𝐾ln
  • C3|𝑥+2|4(𝑥+2)+𝐾ln
  • D6|𝑥+2|+5(𝑥+2)+𝐾ln
  • E6|𝑥+2|+5(𝑥+2)+𝐾ln

Q3:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 1(𝑥1)𝑥d.

  • A14|(𝑥+1)(𝑥1)|𝑥2(𝑥1)+𝐾ln
  • B14|||𝑥+1𝑥1|||𝑥2(𝑥1)+𝐾ln
  • C14|||𝑥+1𝑥1|||1𝑥1+𝐾ln
  • D12|||𝑥+1𝑥1|||𝑥2(𝑥1)+𝐾ln
  • E14|||𝑥+1𝑥1|||+𝑥2(𝑥1)+𝐾ln

Q4:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑥(𝑥1)(𝑥+2𝑥+1)𝑥d.

  • A14||(𝑥1)(𝑥+1)||12𝑥+2+𝐾ln
  • B14||(𝑥1)(𝑥+1)||+12𝑥+2+𝐾ln
  • C12||(𝑥1)(𝑥+1)||+12𝑥+2+𝐾ln
  • D14|||(𝑥1)(𝑥+1)|||+12𝑥+2+𝐾ln
  • E14||(𝑥1)(𝑥+1)||+1𝑥+1+𝐾ln

Q5:

Utilise la décomposition en éléments simples pour déterminer une expression analytique pour l'intégrale 3𝑡9𝑡+8𝑡(𝑡2)𝑡.d

  • A2(𝑥)+(2𝑥)1𝑥2lnln
  • B2(𝑥)+(2𝑥)1𝑥21lnln
  • C2(𝑥)+(𝑥2)1𝑥21lnln
  • D2(𝑥)+(2𝑥)+1𝑥21lnln
  • E2(𝑥)+(𝑥2)+1𝑥21lnln

Q6:

Considère la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥𝑒) qui est définie sur {𝑒}.

Détermine une primitive 𝐹 de 𝑓 telle que 𝐹(0)=2. Que vaut 𝐹(2𝑒)?

  • A𝐹(𝑥)=(|𝑥𝑒|)+𝑒𝑒𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=0.
  • B𝐹(𝑥)=(|𝑥𝑒|)𝑥𝑒𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=1.
  • C𝐹(𝑥)=(|𝑥𝑒|)𝑒𝑒𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=0.
  • D𝐹(𝑥)=(|𝑥𝑒|)𝑒𝑒𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=2.
  • E𝐹(𝑥)=(|𝑥𝑒|)+𝑒𝑒𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=2.

Est-il possible de déterminer une primitive 𝐺 qui vérifie 𝐺(0)=2, 𝐺(2𝑒)=1? Si oui, que vaut 𝐺(𝑥)?

  • AOui, 𝐺(𝑥)=(𝑒𝑥)+𝑒𝑒𝑥𝑥<𝑒,(𝑥𝑒)+𝑒𝑒𝑥+1𝑥>𝑒.lniflnif
  • Bnon

Ce que tu as trouvé ci-dessus semble aller à l’encontre du résultat selon lequel deux primitives doivent différer par une fonction constante, car 𝐺𝐹 n'est pas une fonction constante. Pourquoi n'y a-t-il pas de contradiction?

  • Aparce que ce résultat suppose que l'ensemble de définition est un intervalle
  • Bcar 𝐺𝐹 est constante; elle vaut 0 sur ];𝑒[ et 1 sur ]𝑒;+[
  • Cparce que ce résultat ne se produit que parfois; parfois il échoue
  • Dcar ni 𝐹 ni 𝐺 n'est dérivable; ce résultat s'applique uniquement aux fonctions dérivables
  • Eparce que ce résultat nécessite des conditions supplémentaires sur les primitives

Q7:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑥+4(𝑥+6)(𝑥1)𝑥d.

  • A27|𝑥+6|57|𝑥1|+𝐾lnln
  • B271|𝑥6|+571|𝑥+1|+𝐾lnln
  • C27|𝑥+6|+57|𝑥1|+𝐾lnln
  • D27|𝑥1|+57|𝑥+6|+𝐾lnln
  • E27|𝑥+6|57|𝑥1|+𝐾lnln

Q8:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 1𝑥(𝑥+2)𝑥d.

  • A12|||𝑥𝑥+2|||+𝐶ln
  • Bln𝑥(𝑥+2)+𝐶
  • Cln|𝑥||𝑥+2|
  • Dln||𝑥𝑥+2||+𝐶
  • E12𝑥(𝑥+2)+𝐶ln

Q9:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 𝑥+4𝑥(𝑥+1)𝑥d.

  • A32+412+332lnlnln
  • B32+412+332lnlnln
  • C32412332lnlnln
  • D32412+332lnlnln
  • E32414+334lnlnln

Q10:

Utilise la décomposition en éléments simples pour évaluer 1𝑡+𝑡2𝑡𝑡d.

  • A12|𝑡|16|𝑡+2|+13|𝑡1|+𝐾lnlnln
  • B12|𝑡|+16|𝑡+2|+13|𝑡1|+𝐾lnlnln
  • C12|𝑡|+16|𝑡+2|+13|𝑡1|+𝐾lnlnln
  • D12|𝑡|+16|𝑡2|+16|𝑡+1|+𝐾lnlnln
  • E12|𝑡|+16|𝑡+2|13|𝑡1|+𝐾lnlnln

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