Feuille d'activités : Représenter des nombres complexes sous forme trigonométrique

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à représenter un nombre complexe sous forme trigonométrique, calculer le module et l'argument et l'utiliser pour modifier la forme d'un nombre complexe.

Q1:

DΓ©termine la forme trigonomΓ©trique du nombre complexe 𝑍 reprΓ©sentΓ© sur le plan complexe.

  • A4ο€»ο€»πœ‹3+π‘–ο€»πœ‹3cossin
  • Bβˆ’4ο€»ο€»πœ‹3+π‘–ο€»πœ‹3cossin
  • C4ο€»ο€»βˆ’πœ‹3+π‘–ο€»βˆ’πœ‹3cossin
  • Dβˆ’4ο€»ο€»βˆ’πœ‹3+π‘–ο€»βˆ’πœ‹3cossin

Q2:

Donne la forme algΓ©brique du nombre complexe 125πœ‹6+𝑖5πœ‹6cossin.

  • A6√3βˆ’6𝑖
  • Bβˆ’6√3+6𝑖
  • C6βˆ’6√3𝑖
  • Dβˆ’6βˆ’6√3𝑖

Q3:

Calcule le module du nombre complexe 1+𝑖.

  • A2
  • B4
  • C√2
  • D1
  • E√3

DΓ©termine l'argument du nombre complexe 1+𝑖.

  • Aπœ‹4
  • Bπœ‹2
  • Cπœ‹
  • Dβˆ’πœ‹4
  • Eβˆ’πœ‹2

Puis, Γ©cris le nombre complexe 1+𝑖 sous la forme trigonomΓ©trique.

  • A2ο€»πœ‹4+π‘–πœ‹4cossin
  • B2ο€»πœ‹2+π‘–πœ‹2cossin
  • C√2ο€»πœ‹2+π‘–πœ‹2cossin
  • D√2(πœ‹+π‘–πœ‹)cossin
  • E√2ο€»πœ‹4+π‘–πœ‹4cossin

Q4:

Considère la figure.

Lequel des Γ©noncΓ©s suivants dΓ©crit correctement la relation entre π‘Ž,π‘Ÿ, et πœƒβ€‰?

  • Aπ‘Ž=π‘Ÿπœƒsin
  • Bπ‘Ž=πœƒπ‘Ÿcos
  • Cπ‘Ž=πœƒπ‘Ÿsin
  • Dπ‘Ž=π‘Ÿπœƒcos
  • Eπ‘Ž=π‘Ÿπœƒtan

Lequel des Γ©noncΓ©s suivants dΓ©crit correctement la relation entre 𝑏,π‘Ÿ, et πœƒβ€‰?

  • A𝑏=πœƒπ‘Ÿcos
  • B𝑏=π‘Ÿπœƒtan
  • C𝑏=π‘Ÿπœƒsin
  • D𝑏=π‘Ÿπœƒcos
  • E𝑏=πœƒπ‘Ÿsin

Puis, exprime 𝑧 en fonction de π‘Ÿ et πœƒ.

  • A𝑧=π‘Ÿπœƒ+π‘–πœƒπ‘Ÿcossin
  • B𝑧=π‘Ÿπœƒ+π‘Ÿπ‘–πœƒcossin
  • C𝑧=πœƒπ‘Ÿ+π‘–πœƒπ‘Ÿcossin
  • D𝑧=π‘Ÿπœƒ+π‘Ÿπ‘–πœƒsincos
  • E𝑧=πœƒπ‘Ÿ+π‘–πœƒπ‘Ÿsincos

Q5:

Sur le plan complexe on reprΓ©sente le nombre complexe 𝑧.

Γ‰cris 𝑧 sous forme algΓ©brique.

  • A5+3𝑖
  • Bβˆ’(3+5𝑖)
  • C3βˆ’5𝑖
  • D3+5𝑖
  • E5βˆ’3𝑖

Convertis 𝑧 sous forme trigonomΓ©trique, en arrondissant au centiΓ¨me prΓ¨s.

  • A√34(1,03βˆ’π‘–1,03)cossin
  • B34(1,03+𝑖1,03)cossin
  • C√8(1,03+𝑖1,03)cossin
  • D√34(1,03+𝑖1,03)cossin
  • E8(1,03βˆ’π‘–1,03)cossin

Q6:

Exprime le nombre complexe 𝑍=4𝑖 sous la forme trigonomΓ©trique.

  • A𝑍=4ο€»ο€»βˆ’πœ‹2+π‘–ο€»βˆ’πœ‹2cossin
  • B𝑍=4ο€»ο€»βˆ’πœ‹2ο‡βˆ’π‘–ο€»βˆ’πœ‹2cossin
  • C𝑍=4ο€»ο€»πœ‹2ο‡βˆ’π‘–ο€»πœ‹2cossin
  • D𝑍=4ο€»ο€»πœ‹2+π‘–ο€»πœ‹2cossin

Q7:

Γ‰tant donnΓ© 𝑍=√3+𝑖, dΓ©termine la forme trigonomΓ©trique de 𝑍.

  • A211πœ‹6+𝑖11πœ‹6cossin
  • B217πœ‹6+𝑖17πœ‹6cossin
  • C1311πœ‹6+𝑖11πœ‹6cossin
  • D27πœ‹3+𝑖7πœ‹3cossin
  • E211πœ‹6βˆ’π‘–11πœ‹6cossin

Q8:

Simplifie 6βˆ’6π‘–βˆ’2𝑖, en donnant ta rΓ©ponse sous formes algΓ©brique et trigonomΓ©trique.

  • Aβˆ’3+3𝑖, 3√2ο€Όο€Ό3πœ‹4+𝑖3πœ‹4cossin
  • B3βˆ’3𝑖, 3√2ο€»ο€»βˆ’πœ‹4+π‘–ο€»βˆ’πœ‹4cossin
  • Cβˆ’3βˆ’3𝑖, 3√2ο€Όο€Όβˆ’3πœ‹4+π‘–ο€Όβˆ’3πœ‹4cossin
  • D3+3𝑖, 3√2ο€»ο€»πœ‹4+π‘–ο€»πœ‹4cossin

Q9:

Simplifie βˆ’5+5√3π‘–βˆ’βˆš3βˆ’π‘–, en donnant ta rΓ©ponse sous les formes algΓ©brique et trigonomΓ©trique.

  • Aβˆ’5𝑖, 5ο€»ο€»βˆ’πœ‹2+π‘–ο€»βˆ’πœ‹2cossin
  • Bβˆ’5𝑖, 5(πœ‹+π‘–πœ‹)cossin
  • C5𝑖, 5(0+𝑖0)cossin
  • D5𝑖, 5ο€»ο€»πœ‹2+π‘–ο€»πœ‹2cossin

Q10:

Γ‰tant donnΓ© π‘βˆ’2=(𝑍+2)𝑖, dΓ©termine la forme trigonomΓ©trique du nombre complexe 𝑍.

  • A2ο€»ο€»πœ‹2+π‘–ο€»πœ‹2cossin
  • B2(0+𝑖0)cossin
  • C2ο€»ο€»βˆ’πœ‹2+π‘–ο€»βˆ’πœ‹2cossin
  • D2(πœ‹+π‘–πœ‹)cossin

Q11:

Sachant que 𝑍=(6π‘–βˆ’6)(4+3𝑖)(1+2𝑖), exprime le nombre complexe 𝑍 sous la forme de π‘₯+𝑦𝑖, puis dΓ©termine sa forme trigonomΓ©trique.

  • A6βˆ’6𝑖, 6√2ο€»ο€»βˆ’πœ‹4+π‘–ο€»βˆ’πœ‹4cossin
  • B6+6𝑖, ο€»ο€»πœ‹4+π‘–ο€»πœ‹4cossin
  • C6βˆ’6𝑖, ο€»ο€»βˆ’πœ‹4+π‘–ο€»βˆ’πœ‹4cossin
  • D6+6𝑖, 6√2ο€»ο€»πœ‹4+π‘–ο€»πœ‹4cossin

Q12:

Simplifie βˆ’7+4√3+ο€»βˆ’7√3βˆ’4𝑖7+4𝑖, en donnant ta rΓ©ponse sous les formes algΓ©brique et trigonomΓ©trique.

  • Aβˆ’1βˆ’βˆš3𝑖, 2ο€Όο€Όβˆ’2πœ‹3+π‘–ο€Όβˆ’2πœ‹3cossin
  • B1+√3𝑖, 2ο€»ο€»πœ‹3+π‘–ο€»πœ‹3cossin
  • Cβˆ’1+√3𝑖, 2ο€Όο€Ό2πœ‹3+𝑖2πœ‹3cossin
  • D1βˆ’βˆš3𝑖, 2ο€»ο€»βˆ’πœ‹3+π‘–ο€»βˆ’πœ‹3cossin

Q13:

On sait que |𝑍|=9 et que l’argument principal de 𝑍 est πœƒ=πœ‹6. Exprime 𝑍 sous forme trigonomΓ©trique.

  • A𝑍=9ο“ο€»πœ‹6+π‘–ο€»πœ‹6ο‡οŸsincos
  • B𝑍=9ο€»πœ‹6+π‘–ο€»πœ‹6sincos
  • C𝑍=9ο€»πœ‹6+π‘–ο€»πœ‹6cossin
  • D𝑍=9ο“ο€»πœ‹6ο‡βˆ’π‘–ο€»πœ‹6ο‡οŸcossin
  • E𝑍=9ο“ο€»πœ‹6+π‘–ο€»πœ‹6ο‡οŸcossin

Q14:

Sachant que |𝑍|=8 et qu’un argument de 𝑍 est πœƒ=360∘, dΓ©termine le nombre 𝑍 sous sa forme trigonomΓ©trique.

  • A𝑍=8[2πœ‹+𝑖2πœ‹]cossin
  • B𝑍=8[2πœ‹+𝑖2πœ‹]sincos
  • C𝑍=82πœ‹+𝑖2πœ‹cossin
  • D𝑍=8πœ‹+π‘–πœ‹cossin
  • E𝑍=8[πœ‹+π‘–πœ‹]cossin

Q15:

Sachant que |𝑍|=5 et que l’argument de 𝑍 est πœƒ=2πœ‹+2π‘›πœ‹ oΓΉ π‘›βˆˆβ„€, exprime 𝑍 sous forme trigonomΓ©trique.

  • A𝑍=5(4πœ‹+𝑖4πœ‹)cossin
  • B𝑍=5(2πœ‹+𝑖2πœ‹)sincos
  • C𝑍=5(2πœ‹+𝑖2πœ‹)cossin
  • D𝑍=10(2πœ‹+𝑖2πœ‹)sincos
  • E𝑍=10(2πœ‹+𝑖2πœ‹)cossin

Q16:

Soit 𝑍 le nombre complexe de module |𝑍|=3 et d'argument πœƒ=πœ‹3. Exprime 𝑍 sous forme algΓ©brique.

  • A𝑍=βˆ’3√32+32𝑖
  • B𝑍=3√32+32𝑖
  • C𝑍=32βˆ’3√32𝑖
  • D𝑍=βˆ’32βˆ’3√32𝑖
  • E𝑍=32+3√32𝑖

Q17:

Soit 𝑍 le nombre complexe de module |𝑍|=12 et d'argument πœƒ=120∘. Γ‰cris la forme algΓ©brique de 𝑍.

  • A𝑍=βˆ’6βˆ’6√3𝑖
  • B𝑍=6βˆ’6√3𝑖
  • C𝑍=βˆ’6√3βˆ’6𝑖
  • D𝑍=βˆ’6+6√3𝑖
  • E𝑍=6√3βˆ’6𝑖

Q18:

Soit 𝑧 le nombre complexe de module |𝑧|=5 et d'argument πœƒ=270∘. Γ‰cris la forme algΓ©brique de 𝑧.

  • A𝑧=5
  • B𝑧=βˆ’5
  • C𝑧=5𝑖
  • D𝑧=βˆ’5𝑖
  • E𝑧=5+5𝑖

Q19:

Γ‰tant donnΓ© 𝑍=7[(βˆ’58)+𝑖(βˆ’58)]cossin∘∘, exprime 𝑍 sous forme algΓ©brique en arrondissant les parties rΓ©elle et imaginaire au centiΓ¨me prΓ¨s.

  • A𝑍=5,94+3,71𝑖
  • B𝑍=3,71βˆ’5,94𝑖
  • C𝑍=βˆ’5,94+5,94𝑖
  • D𝑍=βˆ’3,71+5,94𝑖

Q20:

Γ‰tant donnΓ© 𝑍=πœƒβˆ’π‘–πœƒsincos avec πœƒβˆˆο“0;πœ‹2, dΓ©termine l’argument principal de 𝑍.

  • Aπœƒ
  • B𝑝𝑖+πœƒ
  • Cπ‘π‘–βˆ’πœƒ
  • Dπœƒβˆ’π‘π‘–2
  • E2π‘π‘–βˆ’πœƒ

Q21:

DΓ©termine cosπœ‹6.

  • A√33
  • B3√33
  • C√32
  • D12
  • E2√32

DΓ©termine sinπœ‹6.

  • A2√32
  • B√33
  • C12
  • D√32
  • E3√33

Puis, exprime le nombre complexe 10ο€»πœ‹6+π‘–πœ‹6cossin sous forme algΓ©brique.

  • A10√33+5𝑖
  • B5+5𝑖
  • C5+10√33𝑖
  • D5+5√3𝑖
  • E5√3+5𝑖

Q22:

Γ‰tant donnΓ© 𝑍=6ο€Όο€Ό3πœ‹4+𝑖3πœ‹4cossin, calcule |𝑍|.

Q23:

DΓ©termine le module et l'argument principal du nombre 𝑍=βˆ’41(30+𝑖30)cossin∘∘.

  • A|𝑍|=√41, argument principal 150∘
  • B|𝑍|=41, argument principal βˆ’150∘
  • C|𝑍|=√41, argument principal βˆ’150∘
  • D|𝑍|=41, argument principal 150∘

Q24:

DΓ©termine le module et l'argument principal du nombre 𝑍=βˆ’37ο€Όο€Ό5πœ‹3οˆβˆ’π‘–ο€Ό5πœ‹3sincos.

  • A|𝑍|=37, argument principal πœƒ=βˆ’πœ‹6
  • B|𝑍|=√37, argument principal πœƒ=βˆ’πœ‹6
  • C|𝑍|=37, argument principal πœƒ=πœ‹6
  • D|𝑍|=√37, argument principal πœƒ=πœ‹6

Q25:

DΓ©termine le module et l'argument principal du nombre 𝑍=16+16𝑖305tan∘.

  • A|𝑍|=16305csc∘, argument principal πœƒ=235∘
  • B|𝑍|=16305cos∘, argument principal πœƒ=βˆ’55∘
  • C|𝑍|=16305sec∘, argument principal πœƒ=235∘
  • D|𝑍|=16305sec∘, argument principal πœƒ=βˆ’55∘

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