Feuille d'activités : Représenter des nombres complexes sous forme trigonométrique

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à représenter un nombre complexe sous forme trigonométrique, calculer le module et l'argument et l'utiliser pour modifier la forme d'un nombre complexe.

Q1:

DΓ©termine la forme trigonomΓ©trique du nombre complexe 𝑍 reprΓ©sentΓ© sur le plan complexe.

  • A 4 ο€» ο€» πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» πœ‹ 3   c o s s i n
  • B βˆ’ 4 ο€» ο€» πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» πœ‹ 3   c o s s i n
  • C 4 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 3   c o s s i n
  • D βˆ’ 4 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 3   c o s s i n

Q2:

Donne la forme algΓ©brique du nombre complexe 125πœ‹6+𝑖5πœ‹6cossin.

  • A 6 √ 3 βˆ’ 6 𝑖
  • B βˆ’ 6 √ 3 + 6 𝑖
  • C 6 βˆ’ 6 √ 3 𝑖
  • D βˆ’ 6 βˆ’ 6 √ 3 𝑖

Q3:

Calcule le module du nombre complexe 1+𝑖.

  • A2
  • B4
  • C √ 2
  • D1
  • E √ 3

DΓ©termine l'argument du nombre complexe 1+𝑖.

  • A πœ‹ 4
  • B πœ‹ 2
  • C πœ‹
  • D βˆ’ πœ‹ 4
  • E βˆ’ πœ‹ 2

Puis, Γ©cris le nombre complexe 1+𝑖 sous la forme trigonomΓ©trique.

  • A 2 ο€» πœ‹ 4 + 𝑖 πœ‹ 4  c o s s i n
  • B 2 ο€» πœ‹ 2 + 𝑖 πœ‹ 2  c o s s i n
  • C √ 2 ο€» πœ‹ 2 + 𝑖 πœ‹ 2  c o s s i n
  • D √ 2 ( πœ‹ + 𝑖 πœ‹ ) c o s s i n
  • E √ 2 ο€» πœ‹ 4 + 𝑖 πœ‹ 4  c o s s i n

Q4:

Considère la figure.

Lequel des Γ©noncΓ©s suivants dΓ©crit correctement la relation entre π‘Ž,π‘Ÿ, et πœƒβ€‰?

  • A π‘Ž = π‘Ÿ πœƒ s i n
  • B π‘Ž = πœƒ π‘Ÿ c o s
  • C π‘Ž = πœƒ π‘Ÿ s i n
  • D π‘Ž = π‘Ÿ πœƒ c o s
  • E π‘Ž = π‘Ÿ πœƒ t a n

Lequel des Γ©noncΓ©s suivants dΓ©crit correctement la relation entre 𝑏,π‘Ÿ, et πœƒβ€‰?

  • A 𝑏 = πœƒ π‘Ÿ c o s
  • B 𝑏 = π‘Ÿ πœƒ t a n
  • C 𝑏 = π‘Ÿ πœƒ s i n
  • D 𝑏 = π‘Ÿ πœƒ c o s
  • E 𝑏 = πœƒ π‘Ÿ s i n

Puis, exprime 𝑧 en fonction de π‘Ÿ et πœƒ.

  • A 𝑧 = π‘Ÿ πœƒ + 𝑖 πœƒ π‘Ÿ c o s s i n
  • B 𝑧 = π‘Ÿ πœƒ + π‘Ÿ 𝑖 πœƒ c o s s i n
  • C 𝑧 = πœƒ π‘Ÿ + 𝑖 πœƒ π‘Ÿ c o s s i n
  • D 𝑧 = π‘Ÿ πœƒ + π‘Ÿ 𝑖 πœƒ s i n c o s
  • E 𝑧 = πœƒ π‘Ÿ + 𝑖 πœƒ π‘Ÿ s i n c o s

Q5:

Sur le plan complexe on reprΓ©sente le nombre complexe 𝑧.

Γ‰cris 𝑧 sous forme algΓ©brique.

  • A 5 + 3 𝑖
  • B βˆ’ ( 3 + 5 𝑖 )
  • C 3 βˆ’ 5 𝑖
  • D 3 + 5 𝑖
  • E 5 βˆ’ 3 𝑖

Convertis 𝑧 sous forme trigonomΓ©trique, en arrondissant au centiΓ¨me prΓ¨s.

  • A √ 3 4 ( 1 , 0 3 βˆ’ 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s i n
  • B 3 4 ( 1 , 0 3 + 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s i n
  • C √ 8 ( 1 , 0 3 + 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s i n
  • D √ 3 4 ( 1 , 0 3 + 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s i n
  • E 8 ( 1 , 0 3 βˆ’ 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s i n

Q6:

Exprime le nombre complexe 𝑍=4𝑖 sous la forme trigonomΓ©trique.

  • A 𝑍 = 4 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 2   c o s s i n
  • B 𝑍 = 4 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 2  βˆ’ 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 2   c o s s i n
  • C 𝑍 = 4 ο€» ο€» πœ‹ 2  βˆ’ 𝑖 ο€» πœ‹ 2   c o s s i n
  • D 𝑍 = 4 ο€» ο€» πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» πœ‹ 2   c o s s i n

Q7:

Γ‰tant donnΓ© 𝑍=√3+𝑖, dΓ©termine la forme trigonomΓ©trique de 𝑍.

  • A 2  1 1 πœ‹ 6 + 𝑖 1 1 πœ‹ 6  c o s s i n
  • B 2  1 7 πœ‹ 6 + 𝑖 1 7 πœ‹ 6  c o s s i n
  • C 1 3  1 1 πœ‹ 6 + 𝑖 1 1 πœ‹ 6  c o s s i n
  • D 2  7 πœ‹ 3 + 𝑖 7 πœ‹ 3  c o s s i n
  • E 2  1 1 πœ‹ 6 βˆ’ 𝑖 1 1 πœ‹ 6  c o s s i n

Q8:

Simplifie 6βˆ’6π‘–βˆ’2𝑖, en donnant ta rΓ©ponse sous formes algΓ©brique et trigonomΓ©trique.

  • A βˆ’ 3 + 3 𝑖 , 3 √ 2 ο€Ό ο€Ό 3 πœ‹ 4  + 𝑖 ο€Ό 3 πœ‹ 4   c o s s i n
  • B 3 βˆ’ 3 𝑖 , 3 √ 2 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 4   c o s s i n
  • C βˆ’ 3 βˆ’ 3 𝑖 , 3 √ 2 ο€Ό ο€Ό βˆ’ 3 πœ‹ 4  + 𝑖 ο€Ό βˆ’ 3 πœ‹ 4   c o s s i n
  • D 3 + 3 𝑖 , 3 √ 2 ο€» ο€» πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» πœ‹ 4   c o s s i n

Q9:

Simplifie βˆ’5+5√3π‘–βˆ’βˆš3βˆ’π‘–, en donnant ta rΓ©ponse sous les formes algΓ©brique et trigonomΓ©trique.

  • A βˆ’ 5 𝑖 , 5 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 2   c o s s i n
  • B βˆ’ 5 𝑖 , 5 ( πœ‹ + 𝑖 πœ‹ ) c o s s i n
  • C 5 𝑖 , 5 ( 0 + 𝑖 0 ) c o s s i n
  • D 5 𝑖 , 5 ο€» ο€» πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» πœ‹ 2   c o s s i n

Q10:

Γ‰tant donnΓ© π‘βˆ’2=(𝑍+2)𝑖, dΓ©termine la forme trigonomΓ©trique du nombre complexe 𝑍.

  • A 2 ο€» ο€» πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» πœ‹ 2   c o s s i n
  • B 2 ( 0 + 𝑖 0 ) c o s s i n
  • C 2 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 2   c o s s i n
  • D 2 ( πœ‹ + 𝑖 πœ‹ ) c o s s i n

Q11:

Sachant que 𝑍=(6π‘–βˆ’6)(4+3𝑖)(1+2𝑖), exprime le nombre complexe 𝑍 sous la forme de π‘₯+𝑦𝑖, puis dΓ©termine sa forme trigonomΓ©trique.

  • A 6 βˆ’ 6 𝑖 , 6 √ 2 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 4   c o s s i n
  • B 6 + 6 𝑖 , ο€» ο€» πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» πœ‹ 4   c o s s i n
  • C 6 βˆ’ 6 𝑖 , ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 4   c o s s i n
  • D 6 + 6 𝑖 , 6 √ 2 ο€» ο€» πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» πœ‹ 4   c o s s i n

Q12:

Simplifie βˆ’7+4√3+ο€»βˆ’7√3βˆ’4𝑖7+4𝑖, en donnant ta rΓ©ponse sous les formes algΓ©brique et trigonomΓ©trique.

  • A βˆ’ 1 βˆ’ √ 3 𝑖 , 2 ο€Ό ο€Ό βˆ’ 2 πœ‹ 3  + 𝑖 ο€Ό βˆ’ 2 πœ‹ 3   c o s s i n
  • B 1 + √ 3 𝑖 , 2 ο€» ο€» πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» πœ‹ 3   c o s s i n
  • C βˆ’ 1 + √ 3 𝑖 , 2 ο€Ό ο€Ό 2 πœ‹ 3  + 𝑖 ο€Ό 2 πœ‹ 3   c o s s i n
  • D 1 βˆ’ √ 3 𝑖 , 2 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 3   c o s s i n

Q13:

On sait que |𝑍|=9 et que l’argument principal de 𝑍 est πœƒ=πœ‹6. Exprime 𝑍 sous forme trigonomΓ©trique.

  • A 𝑍 = 9  ο€» πœ‹ 6  + 𝑖 ο€» πœ‹ 6   c o s s i n
  • B 𝑍 = 9 ο€» πœ‹ 6  + 𝑖 ο€» πœ‹ 6  s i n c o s
  • C 𝑍 = 9  ο€» πœ‹ 6  βˆ’ 𝑖 ο€» πœ‹ 6   c o s s i n
  • D 𝑍 = 9 ο€» πœ‹ 6  + 𝑖 ο€» πœ‹ 6  c o s s i n
  • E 𝑍 = 9  ο€» πœ‹ 6  + 𝑖 ο€» πœ‹ 6   s i n c o s

Q14:

Sachant que |𝑍|=8 et qu’un argument de 𝑍 est πœƒ=360∘, dΓ©termine le nombre 𝑍 sous sa forme trigonomΓ©trique.

  • A 𝑍 = 8 [ 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ] c o s s i n
  • B 𝑍 = 8 [ 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ] s i n c o s
  • C 𝑍 = 8 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ c o s s i n
  • D 𝑍 = 8 πœ‹ + 𝑖 πœ‹ c o s s i n
  • E 𝑍 = 8 [ πœ‹ + 𝑖 πœ‹ ] c o s s i n

Q15:

Sachant que |𝑍|=5 et que l’argument de 𝑍 est πœƒ=2πœ‹+2π‘›πœ‹ oΓΉ π‘›βˆˆβ„€, exprime 𝑍 sous forme trigonomΓ©trique.

  • A 𝑍 = 5 ( 4 πœ‹ + 𝑖 4 πœ‹ ) c o s s i n
  • B 𝑍 = 5 ( 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ) c o s s i n
  • C 𝑍 = 1 0 ( 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ) c o s s i n
  • D 𝑍 = 1 0 ( 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ) s i n c o s
  • E 𝑍 = 5 ( 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ) s i n c o s

Q16:

Soit 𝑍 le nombre complexe de module |𝑍|=3 et d'argument πœƒ=πœ‹3. Exprime 𝑍 sous forme algΓ©brique.

  • A 𝑍 = βˆ’ 3 √ 3 2 + 3 2 𝑖
  • B 𝑍 = 3 √ 3 2 + 3 2 𝑖
  • C 𝑍 = 3 2 βˆ’ 3 √ 3 2 𝑖
  • D 𝑍 = βˆ’ 3 2 βˆ’ 3 √ 3 2 𝑖
  • E 𝑍 = 3 2 + 3 √ 3 2 𝑖

Q17:

Soit 𝑍 le nombre complexe de module |𝑍|=12 et d'argument πœƒ=120∘. Γ‰cris la forme algΓ©brique de 𝑍.

  • A 𝑍 = βˆ’ 6 βˆ’ 6 √ 3 𝑖
  • B 𝑍 = 6 βˆ’ 6 √ 3 𝑖
  • C 𝑍 = βˆ’ 6 √ 3 βˆ’ 6 𝑖
  • D 𝑍 = βˆ’ 6 + 6 √ 3 𝑖
  • E 𝑍 = 6 √ 3 βˆ’ 6 𝑖

Q18:

Soit 𝑧 le nombre complexe de module |𝑧|=5 et d'argument πœƒ=270∘. Γ‰cris la forme algΓ©brique de 𝑧.

  • A 𝑧 = 5
  • B 𝑧 = βˆ’ 5
  • C 𝑧 = 5 𝑖
  • D 𝑧 = βˆ’ 5 𝑖
  • E 𝑧 = 5 + 5 𝑖

Q19:

Γ‰tant donnΓ© 𝑍=7[(βˆ’58)+𝑖(βˆ’58)]cossin∘∘, exprime 𝑍 sous forme algΓ©brique en arrondissant les parties rΓ©elle et imaginaire au centiΓ¨me prΓ¨s.

  • A 𝑍 = 5 , 9 4 + 3 , 7 1 𝑖
  • B 𝑍 = 3 , 7 1 βˆ’ 5 , 9 4 𝑖
  • C 𝑍 = βˆ’ 5 , 9 4 + 5 , 9 4 𝑖
  • D 𝑍 = βˆ’ 3 , 7 1 + 5 , 9 4 𝑖

Q20:

Γ‰tant donnΓ© 𝑍=πœƒβˆ’π‘–πœƒsincos avec πœƒβˆˆο“0;πœ‹2, dΓ©termine l’argument principal de 𝑍.

  • A πœƒ
  • B 𝑝 𝑖 + πœƒ
  • C 𝑝 𝑖 βˆ’ πœƒ
  • D πœƒ βˆ’ 𝑝 𝑖 2
  • E 2 𝑝 𝑖 βˆ’ πœƒ

Q21:

DΓ©termine cosπœ‹6.

  • A √ 3 3
  • B 3 √ 3 3
  • C √ 3 2
  • D 1 2
  • E 2 √ 3 2

DΓ©termine sinπœ‹6.

  • A 2 √ 3 2
  • B √ 3 3
  • C 1 2
  • D √ 3 2
  • E 3 √ 3 3

Puis, exprime le nombre complexe 10ο€»πœ‹6+π‘–πœ‹6cossin sous forme algΓ©brique.

  • A 1 0 √ 3 3 + 5 𝑖
  • B 5 + 5 𝑖
  • C 5 + 1 0 √ 3 3 𝑖
  • D 5 + 5 √ 3 𝑖
  • E 5 √ 3 + 5 𝑖

Q22:

Γ‰tant donnΓ© 𝑍=6ο€Όο€Ό3πœ‹4+𝑖3πœ‹4cossin, calcule |𝑍|.

Q23:

DΓ©termine le module et l'argument principal du nombre 𝑍=βˆ’41(30+𝑖30)cossin∘∘.

  • A | 𝑍 | = √ 4 1 , argument principal 150∘
  • B | 𝑍 | = 4 1 , argument principal βˆ’150∘
  • C | 𝑍 | = √ 4 1 , argument principal βˆ’150∘
  • D | 𝑍 | = 4 1 , argument principal 150∘

Q24:

DΓ©termine le module et l'argument principal du nombre 𝑍=βˆ’37ο€Όο€Ό5πœ‹3οˆβˆ’π‘–ο€Ό5πœ‹3sincos.

  • A | 𝑍 | = 3 7 , argument principal πœƒ=βˆ’πœ‹6
  • B | 𝑍 | = √ 3 7 , argument principal πœƒ=βˆ’πœ‹6
  • C | 𝑍 | = 3 7 , argument principal πœƒ=πœ‹6
  • D | 𝑍 | = √ 3 7 , argument principal πœƒ=πœ‹6

Q25:

DΓ©termine le module et l'argument principal du nombre 𝑍=16+16𝑖305tan∘.

  • A | 𝑍 | = 1 6 3 0 5 c s c ∘ , argument principal πœƒ=235∘
  • B | 𝑍 | = 1 6 3 0 5 c o s ∘ , argument principal πœƒ=βˆ’55∘
  • C | 𝑍 | = 1 6 3 0 5 s e c ∘ , argument principal πœƒ=235∘
  • D | 𝑍 | = 1 6 3 0 5 s e c ∘ , argument principal πœƒ=βˆ’55∘

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