Feuille d'activités : Décomposer P(x)/Q(x) où Q(x) présente des facteurs linéaires répétés

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à décomposer une fraction rationnelle dont le dénominateur possède des facteurs linéaires répétés en fractions partielles.

Q1:

Détermine 𝐴 et 𝐵 de sorte que 2 𝑥 ( 𝑥 3 ) = 𝐴 𝑥 3 + 𝐵 ( 𝑥 3 ) 2 2 .

  • A 𝐴 = 2 , 𝐵 = 6
  • B 𝐴 = 6 , 𝐵 = 2
  • C 𝐴 = 2 , 𝐵 = 6
  • D 𝐴 = 2 , 𝐵 = 6
  • E 𝐴 = 2 , 𝐵 = 6

Q2:

Exprime 𝑥 2 ( 𝑥 + 2 ) ( 𝑥 + 1 ) 2 2 en éléments simples.

  • A 2 𝑥 + 2 1 ( 𝑥 + 1 ) 2
  • B 1 𝑥 + 2 + 2 𝑥 + 1 1 ( 𝑥 + 1 ) 2
  • C 2 𝑥 + 2 + 1 ( 𝑥 + 1 ) 2
  • D 2 𝑥 + 2 1 𝑥 + 1 1 ( 𝑥 + 1 ) 2
  • E 2 𝑥 + 2 1 𝑥 + 1 1 ( 𝑥 + 1 ) 2

Q3:

Détermine la décomposition en éléments simples de 𝑥 + 𝑥 + 1 𝑥 ( 𝑥 3 ) ( 𝑥 + 1 ) .

  • A 1 4 ( 𝑥 + 1 ) + 1 1 6 ( 𝑥 + 1 ) + 1 3 𝑥 + 1 3 4 8 ( 𝑥 3 )
  • B 3 2 ( 𝑥 + 1 ) + 1 1 6 ( 𝑥 + 1 ) + 1 3 𝑥 7 1 2 ( 𝑥 3 )
  • C 1 4 ( 𝑥 + 1 ) + 1 1 6 ( 𝑥 + 1 ) 1 3 𝑥 7 1 2 ( 𝑥 3 )
  • D 1 4 ( 𝑥 + 1 ) + 1 1 6 ( 𝑥 + 1 ) 1 3 𝑥 + 1 3 4 8 ( 𝑥 3 )
  • E 3 2 ( 𝑥 + 1 ) + 1 1 6 ( 𝑥 + 1 ) 1 3 𝑥 + 1 3 4 8 ( 𝑥 3 )

Q4:

Considère l'expression rationnelle 𝑅 = 5 𝑥 3 1 𝑥 + 3 9 ( 𝑥 4 ) ( 𝑥 + 1 ) 2 2 . La stratégie suivante permet de l'écrire comme somme d'éléments simples.

Quelle est la valeur de 𝑅 ( 𝑥 4 ) 2 lorsque 𝑥 = 4 ? Notons-la 𝑎 .

Ainsi, 𝑅 = 𝑎 ( 𝑥 4 ) + 𝑆 2 . Que vaut 𝑆 ? Donne la forme factorisée et simplifiée.

  • A 𝑆 = 5 ( 𝑥 2 ) ( 𝑥 4 ) ( 𝑥 + 1 )
  • B 𝑆 = ( 𝑥 2 ) ( 𝑥 4 ) ( 𝑥 + 1 ) 2
  • C 𝑆 = ( 𝑥 2 ) ( 𝑥 4 ) ( 𝑥 + 1 )
  • D 𝑆 = 5 ( 𝑥 2 ) ( 𝑥 4 ) ( 𝑥 + 1 ) 2
  • E 𝑆 = 5 ( 𝑥 + 2 ) ( 𝑥 4 ) ( 𝑥 + 1 ) 2

Répète la première étape avec ( 𝑥 4 ) 𝑆 et ( 𝑥 + 1 ) 𝑆 pour déterminer 𝑏 et 𝑐 de sorte que 𝑆 = 𝑏 ( 𝑥 4 ) + 𝑐 ( 𝑥 + 1 ) . Quelle est finalement la décomposition en éléments simples de 𝑅 ?

  • A 3 𝑥 + 1 + 1 𝑥 4 2 ( 𝑥 4 ) 2
  • B 3 𝑥 + 1 2 𝑥 4 1 ( 𝑥 4 ) 2
  • C 3 𝑥 + 1 + 2 𝑥 4 1 ( 𝑥 4 ) 2
  • D 3 𝑥 + 1 + 2 𝑥 4 + 1 ( 𝑥 4 ) 2
  • E 3 𝑥 + 1 1 𝑥 4 + 2 ( 𝑥 4 ) 2

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