Feuille d'activités : Théorème des accroissements finis et son interprétation

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser le théorème des accroissements finis.

Q1:

Loรฏc n'est pas convaincu que le thรฉorรจme des accroissements finis soit vrai car, dit-il, la fonction ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = | ๐‘ฅ | a la propriรฉtรฉ que si on prend ๐‘Ž = โˆ’ 2 et ๐‘ = 2 , on obtient ๐‘“ ( ๐‘ ) โˆ’ ๐‘“ ( ๐‘Ž ) ๐‘ โˆ’ ๐‘Ž = 0 , et de plus il n'y a pas de point ๐‘ฅ tel que ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ฅ ) = 0 . Quelle est son erreurโ€‰?

  • ALa fonction devrait รชtre strictement dรฉcroissante sur l'intervalle.
  • BLe thรฉorรจme exige que l'ensemble de dรฉfinition soit un intervalle, ce que โ„ n'est pas.
  • CLa fonction devrait รชtre strictement croissante sur l'intervalle.
  • DLa fonction n'est pas dรฉrivable en ๐‘ฅ = 0 . Le thรฉorรจme nรฉcessite la dรฉrivabilitรฉ sur un intervalle.
  • ELa fonction n'est pas continue. Le thรฉorรจme nรฉcessite la continuitรฉ sur un intervalle.

Q2:

Considรจre l'affirmation que si ๐‘“ est une fonction dรฉrivable sur un intervalle ๐ผ et ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ฅ ) > 0 sur celui-ci, alors ๐‘“ est strictement croissante sur ๐ผ .

Lequel des รฉnoncรฉs suivants est รฉquivalent ร  ce qui prรฉcรจdeโ€‰?

  • ASi ๐‘“ est une fonction dรฉrivable sur un intervalle ๐ผ et ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ฅ ) โ‰ค 0 sur celui-ci, alors ๐‘“ n'est pas strictement croissante sur ๐ผ .
  • BSi ๐‘“ est une fonction dรฉrivable sur un intervalle ๐ผ et n'est pas strictement croissante sur celui-ci, alors ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ฅ ) โ‰ค 0 en tous les points ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ .
  • CSi ๐‘“ est une fonction dรฉrivable sur un intervalle ๐ผ et strictement croissante sur celui-ci, alors ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ฅ ) > 0 pour tous les points ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ .
  • DSi ๐‘“ est dรฉrivable sur un intervalle ๐ผ n'est pas strictement croissante sur celui-ci, alors ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘Ž ) โ‰ค 0 en un certain point ๐‘Ž โˆˆ ๐ผ .
  • ESi ๐‘“ est une fonction dรฉrivable sur un intervalle ๐ผ et strictement croissante sur celui-ci, alors ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘Ž ) > 0 en un certain point ๐‘Ž โˆˆ ๐ผ .

Que cela signifie pour une fonction ๐‘“ de ne pas รชtre strictement croissante sur l'intervalle ๐ผ โ€‰?

  • AIl y a des points ๐‘Ž , ๐‘ โˆˆ ๐ผ tels que ๐‘Ž < ๐‘ mais ๐‘“ ( ๐‘ ) โ‰ค ๐‘“ ( ๐‘Ž ) .
  • BIl y a des points ๐‘Ž , ๐‘ โˆˆ ๐ผ tels que ๐‘Ž < ๐‘ mais ๐‘“ ( ๐‘ ) = ๐‘“ ( ๐‘Ž ) .
  • CIl y a des points ๐‘Ž , ๐‘ โˆˆ ๐ผ tels que ๐‘Ž < ๐‘ mais ๐‘“ ( ๐‘ ) < ๐‘“ ( ๐‘Ž ) .
  • DIl y a un point ๐‘Ž โˆˆ ๐ผ oรน ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘Ž ) โ‰ค 0 .
  • EDรจs que ๐‘Ž , ๐‘ โˆˆ ๐ผ vรฉrifient ๐‘Ž < ๐‘ , alors ๐‘“ ( ๐‘ ) โ‰ค ๐‘“ ( ๐‘Ž ) .

En utilisant l'assertion รฉquivalente au rรฉsultat principal, comment peux-tu utiliser le thรฉorรจme des accroissements finis pour prouver l'assertion รฉquivalenteโ€‰?

  • ASi ๐‘“ est dรฉrivable sur ๐ผ et n'y est pas strictement croissante, alors on prend ๐‘Ž < ๐‘ avec ๐‘“ ( ๐‘Ž ) โฉฝ ๐‘“ ( ๐‘ ) . Par le thรฉorรจme des accroissements finis, on obtient ๐‘ entre ๐‘Ž et ๐‘ oรน ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ ) = ๐‘“ ( ๐‘ ) โˆ’ ๐‘“ ( ๐‘Ž ) ๐‘ โˆ’ ๐‘Ž , alors ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ ) โ‰ค 0 .
  • BIl n'est pas possible de prouver l'assertion ร  l'aide du thรฉorรจme des accroissements finis.
  • CSi ๐‘“ et strictement croissante sur ๐ผ et n'est pas strictement croissante, alors on prend ๐‘Ž < ๐‘ avec ๐‘“ ( ๐‘Ž ) โ‰ฅ ๐‘“ ( ๐‘ ) . Par le thรฉorรจme des accroissements finis, on obtient ๐‘ entre ๐‘Ž et ๐‘ et oรน ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ ) = ๐‘“ ( ๐‘ ) โˆ’ ๐‘“ ( ๐‘Ž ) ๐‘ โˆ’ ๐‘Ž , alors ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ ) โ‰ค 0 .
  • DSi ๐‘“ est dรฉrivable sur ๐ผ et n'est pas strictement croissante, alors on prend ๐‘Ž < ๐‘ avec ๐‘“ ( ๐‘Ž ) โ‰ฅ ๐‘“ ( ๐‘ ) . Par le thรฉorรจme des accroissements finis, on obtient ๐‘ entre ๐‘Ž et ๐‘ oรน ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ ) = ๐‘“ ( ๐‘ ) โˆ’ ๐‘“ ( ๐‘Ž ) ๐‘ โˆ’ ๐‘Ž , alors ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ ) > 0 .
  • ESi ๐‘“ est dรฉrivable sur ๐ผ et n'est pas strictement croissante, alors on prend ๐‘Ž < ๐‘ avec ๐‘“ ( ๐‘Ž ) โ‰ฅ ๐‘“ ( ๐‘ ) . Par le thรฉorรจme des accroissements finis, on obtient ๐‘ entre ๐‘Ž et ๐‘ oรน ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ ) = ๐‘“ ( ๐‘ ) โˆ’ ๐‘“ ( ๐‘Ž ) ๐‘ โˆ’ ๐‘Ž , alors ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ ) = 0 .

Q3:

Considรจre le rรฉsultatโ€‰: si ๐‘“ est dรฉrivable sur un intervalle ๐ผ et ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = 0 ๏Ž˜ , alors ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) = ๐‘ , une constante, pour tout ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ .

Laquelle des affirmations suivantes dit exactement la mรชme chose que le rรฉsultat de la fonction constanteโ€‰?

  • ASi ๐‘“ est une fonction constante sur un intervalle ๐ผ , alors ๐‘“ est dรฉrivable et ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ฅ ) = 0 pour tout ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ .
  • BSi ๐‘“ est dรฉrivable sur un intervalle ๐ผ mais pas une fonction constante, alors ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ฅ ) โ‰  0 pour tout ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ .
  • CSi ๐‘“ est dรฉrivable sur un intervalle ๐ผ et ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘Ž ) โ‰  0 en un certain ๐‘Ž โˆˆ ๐ผ , alors ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) n'est pas une fonction constante.
  • DSi ๐‘“ est dรฉrivable sur un intervalle ๐ผ mais pas une fonction constante, alors ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘Ž ) โ‰  0 en un certain ๐‘Ž โˆˆ ๐ผ .
  • ESi ๐‘“ est dรฉrivable sur un intervalle ๐ผ et ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ฅ ) โ‰  0 pour tout ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ , alors ๐‘“ ( ๐‘ฅ ) n'est pas une fonction constante.

Si ๐‘“ est dรฉrivable sur un intervalle ๐ผ et n'est pas une constante, on a des points ๐‘Ž , ๐‘ โˆˆ ๐ผ avec ๐‘“ ( ๐‘Ž ) โ‰  ๐‘“ ( ๐‘ ) . Comment cela montre que ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ ) โ‰  0 en un certain point ๐‘ โˆˆ ๐ผ โ€‰?

  • Aparce que ๐‘“ ( ๐‘ ) โˆ’ ๐‘“ ( ๐‘Ž ) ๐‘ โˆ’ ๐‘Ž โ‰  0 et par le thรฉorรจme des accroissements finis, il y a un point ๐‘ tel que ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ ) = ๐‘“ ( ๐‘ ) โˆ’ ๐‘“ ( ๐‘Ž ) ๐‘ โˆ’ ๐‘Ž
  • Bcar si ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ฅ ) = 0 sur ๐ผ , alors ๐‘“ sera une fonction constante
  • Ccar seules les fonctions constantes vรฉrifient ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ฅ ) = 0 partout
  • Dcomme ๐‘“ ( ๐‘ ) โ‰  ๐‘“ ( ๐‘Ž ) signifie que l'un entre ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘Ž ) ou ๐‘“ โ€ฒ ( ๐‘ ) n'est pas nulโ€‰; on peut prendre ๐‘ pour ce point
  • Ecar alors ๐‘“ ( ๐‘ ) โˆ’ ๐‘“ ( ๐‘Ž ) ๐‘ โˆ’ ๐‘Ž โ‰  0 et par le thรฉorรจme des accroissements finis, il y a un point ๐‘ avec ๐‘“ ( ๐‘ ) = ๐‘“ ( ๐‘ ) โˆ’ ๐‘“ ( ๐‘Ž )

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