Fiche d'activités de la leçon : Théorème des accroissements finis et son interprétation Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser le théorème des accroissements finis.

Q1:

Raphaël n'est pas convaincu que le théorème des accroissements finis soit vrai car, dit-il, la fonction 𝑓(𝑥)=|𝑥| a la propriété que si on prend 𝑎=2 et 𝑏=2, on obtient 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎=0, et de plus il n'y a pas de point 𝑥 tel que 𝑓(𝑥)=0. Quelle est son erreur?

  • ALa fonction n'est pas dérivable en 𝑥=0. Le théorème nécessite la dérivabilité sur un intervalle.
  • BLe théorème exige que l'ensemble de définition soit un intervalle, ce que n'est pas.
  • CLa fonction n'est pas continue. Le théorème nécessite la continuité sur un intervalle.
  • DLa fonction devrait être strictement croissante sur l'intervalle.
  • ELa fonction devrait être strictement décroissante sur l'intervalle.

Q2:

La formule de valeur moyenne peut-elle s'appliquer à la fonction définie par 𝑓(𝑥)=2𝑥4𝑥+7 sur l'intervalle [0;5]?

  • AOui
  • BNon

Q3:

Pour la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥4𝑥, détermine toutes les valeurs possibles de 𝑐 qui vérifient le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [2;2].

  • A𝑥=0, 𝑥=2
  • B𝑥=2, 𝑥=2
  • C𝑥=23, 𝑥=23
  • D𝑥=23
  • E𝑥=23

Q4:

Pour la fonction définie par 𝑓(𝑥)=(𝑥1), détermine toutes les valeurs possibles de 𝑐 qui vérifient le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [0;2].

Q5:

Une pierre est lâchée depuis une hauteur de 81 ft. Sa position 𝑡 secondes après avoir chuté jusqu'à ce qu'elle touche le sol est donnée par la fonction définie par 𝑠(𝑡)=16𝑡+81.

Détermine combien de temps il faudra à la pierre pour toucher le sol.

  • A0 s
  • B32 s
  • C8116 s
  • D922 s
  • E94 s

Calcule la vitesse moyenne, 𝑣moy, de la pierre du point de lâcher jusqu'à ce qu'elle touche le sol.

Détermine l'instant 𝑡 selon le théorème de la valeur moyenne lorsque la vitesse instantanée de la pierre est égale à 𝑣moy.

  • A94 s
  • B89 s
  • C49 s
  • D0 s
  • E98 s

Q6:

Considère l'affirmation que si 𝑓 est une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 et 𝑓(𝑥)>0 sur celui-ci, alors 𝑓 est strictement croissante sur 𝐼.

Lequel des énoncés suivants est équivalent à ce qui précède?

  • ASi 𝑓 est une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 et strictement croissante sur celui-ci, alors 𝑓(𝑎)>0 en un certain point 𝑎𝐼.
  • BSi 𝑓 est une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 et 𝑓(𝑥)0 sur celui-ci, alors 𝑓 n'est pas strictement croissante sur 𝐼.
  • CSi 𝑓 est une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 et strictement croissante sur celui-ci, alors 𝑓(𝑥)>0 pour tous les points 𝑥𝐼.
  • DSi 𝑓 est une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 et n'est pas strictement croissante sur celui-ci, alors 𝑓(𝑥)0 en tous les points 𝑥𝐼.
  • ESi 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 n'est pas strictement croissante sur celui-ci, alors 𝑓(𝑎)0 en un certain point 𝑎𝐼.

Que cela signifie pour une fonction 𝑓 de ne pas être strictement croissante sur l'intervalle 𝐼?

  • AIl y a des points 𝑎,𝑏𝐼 tels que 𝑎<𝑏 mais 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎).
  • BIl y a des points 𝑎,𝑏𝐼 tels que 𝑎<𝑏 mais 𝑓(𝑏)<𝑓(𝑎).
  • CDès que 𝑎,𝑏𝐼 vérifient 𝑎<𝑏, alors 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎).
  • DIl y a un point 𝑎𝐼𝑓(𝑎)0.
  • EIl y a des points 𝑎,𝑏𝐼 tels que 𝑎<𝑏 mais 𝑓(𝑏)=𝑓(𝑎).

En utilisant l'assertion équivalente au résultat principal, comment peux-tu utiliser le théorème des accroissements finis pour prouver l'assertion équivalente?

  • ASi 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et n'est pas strictement croissante, alors on prend 𝑎<𝑏 avec 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏). Par le théorème des accroissements finis, on obtient 𝑐 entre 𝑎 et 𝑏𝑓(𝑐)=𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎, alors 𝑓(𝑐)>0.
  • BIl n'est pas possible de prouver l'assertion à l'aide du théorème des accroissements finis.
  • CSi 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et n'y est pas strictement croissante, alors on prend 𝑎<𝑏 avec 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏). Par le théorème des accroissements finis, on obtient 𝑐 entre 𝑎 et 𝑏𝑓(𝑐)=𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎, alors 𝑓(𝑐)0.
  • DSi 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et n'est pas strictement croissante, alors on prend 𝑎<𝑏 avec 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏). Par le théorème des accroissements finis, on obtient 𝑐 entre 𝑎 et 𝑏𝑓(𝑐)=𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎, alors 𝑓(𝑐)=0.
  • ESi 𝑓 et strictement croissante sur 𝐼 et n'est pas strictement croissante, alors on prend 𝑎<𝑏 avec 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏). Par le théorème des accroissements finis, on obtient 𝑐 entre 𝑎 et 𝑏 et où 𝑓(𝑐)=𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎, alors 𝑓(𝑐)0.

Q7:

Considère le résultat: si 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 et 𝑓(𝑥)=0, alors 𝑓(𝑥)=𝑐, une constante, pour tout 𝑥𝐼.

Laquelle des affirmations suivantes dit exactement la même chose que le résultat de la fonction constante?

  • ASi 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 et 𝑓(𝑥)0 pour tout 𝑥𝐼, alors 𝑓(𝑥) n'est pas une fonction constante.
  • BSi 𝑓 est une fonction constante sur un intervalle 𝐼, alors 𝑓 est dérivable et 𝑓(𝑥)=0 pour tout 𝑥𝐼.
  • CSi 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 et 𝑓(𝑎)0 en un certain 𝑎𝐼, alors 𝑓(𝑥) n'est pas une fonction constante.
  • DSi 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 mais pas une fonction constante, alors 𝑓(𝑎)0 en un certain 𝑎𝐼.
  • ESi 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 mais pas une fonction constante, alors 𝑓(𝑥)0 pour tout 𝑥𝐼.

Si 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 et n'est pas une constante, on a des points 𝑎,𝑏𝐼 avec 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏). Comment cela montre que 𝑓(𝑐)0 en un certain point 𝑐𝐼?

  • Aparce que 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎0 et par le théorème des accroissements finis, il y a un point 𝑐 tel que 𝑓(𝑐)=𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎
  • Bcomme 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎) signifie que l'un entre 𝑓(𝑎) ou 𝑓(𝑏) n'est pas nul; on peut prendre 𝑐 pour ce point
  • Ccar seules les fonctions constantes vérifient 𝑓(𝑥)=0 partout
  • Dcar alors 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎0 et par le théorème des accroissements finis, il y a un point 𝑐 avec 𝑓(𝑐)=𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)
  • Ecar si 𝑓(𝑥)=0 sur 𝐼, alors 𝑓 sera une fonction constante

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