Feuille d'activités de la leçon : Existence d’une limite Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à déterminer si la limite d'une fonction en une certaine valeur existe.

Question 1

Calcule, si elle existe, lim𝑓(𝑥) pour 𝑓(𝑥)=15𝑥15𝑥<15,𝑥15𝑥15.sisi

  • ALa limite existe et vaut 210.
  • BLa limite existe et vaut 15.
  • CLa limite n’existe pas car, bien que lim𝑓(𝑥) et lim𝑓(𝑥) existent, elles sont différentes.
  • DLa limite n’existe pas car, bien que lim𝑓(𝑥) existe, lim𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • ELa limite n’existe pas car, bien que lim𝑓(𝑥) existe, lim𝑓(𝑥) n’existe pas.

Question 2

Calcule, si elle existe, lim𝑓(𝑥) pour 𝑓(𝑥)=𝑥4,𝑥<1,20,𝑥>1.

  • ALa limite n’existe pas car 𝑓(1)𝑓(1).
  • BLa limite n’existe pas car 𝑓(1) n’existe pas.
  • CLa limite existe et vaut 20.
  • DLa limite existe et vaut 20.

Question 3

Calcule, si elle existe, lim𝑓(𝑥) pour 𝑓(𝑥)=2622𝑥𝑥<4,𝑥2𝑥4𝑥>4.sisi

  • ALa limite existe et vaut 5.
  • BLa limite n’existe pas car limlim𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).
  • CLa limite n’existe pas car lim𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • DLa limite n’existe pas car lim𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • ELa limite existe et vaut 139.

Question 4

Calcule, si elle existe, lim𝑓(𝑥) pour 𝑓(𝑥)=𝑥|𝑥+7|3.

  • A La limite n’existe pas car lim𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • B La limite n’existe pas car lim𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • C La limite existe et vaut 9.
  • D La limite existe et vaut 3.
  • E La limite n’existe pas car limlim𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).

Question 5

Étant donnée la fonction définie par 𝑓(𝑥)=4+𝑥+3𝑥|𝑥+3|,3<𝑥<0,2𝑥+4,0<𝑥<2, détermine lim𝑓(𝑥).

Question 6

Discute l'existence de lim𝑓(𝑥) sachant que 𝑓(𝑥)=16𝑥+|𝑥2|2𝑥𝑥<2,𝑥+5𝑥>2.sisi

  • ALa limite existe et vaut 33.
  • BLa limite existe et vaut 22.
  • CLa limite n’existe pas, car limlim𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).
  • DLa limite n’existe pas, car lim𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • ELa limite n’existe pas, car lim𝑓(𝑥) n’existe pas.

Question 7

Détermine lim𝑓(𝑥) sachant que 𝑓(𝑥)=5𝑥+3,𝑥<1,2𝑥,1<𝑥<5,𝑥+4,𝑥>5.

Question 8

Discute l’existence de lim𝑓(𝑥) pour 𝑓(𝑥)=3𝑥,𝜋2<𝑥<0,3𝑥+1,0<𝑥<3,𝑥27𝑥3,𝑥>3.cos

  • Alim𝑓(𝑥) n’existe pas car limlim𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).
  • Blim𝑓(𝑥) existe et vaut 3.
  • Clim𝑓(𝑥) n’existe pas car, bien que lim𝑓(𝑥) existe, lim𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • Dlim𝑓(𝑥) n’existe pas car, bien que lim𝑓(𝑥) existe, lim𝑓(𝑥) n’existe pas.

Question 9

On sait que la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑎𝑥+𝑏𝑥5𝑥+6,𝑥<2,6𝑥,𝑥>2 admet une limite en 𝑥=2. Déduis-en les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

  • A𝑎=12, 𝑏=28
  • B𝑎=16, 𝑏=36
  • C𝑎=16, 𝑏=28
  • D𝑎=8, 𝑏=12

Question 10

Pour la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+22𝑥<3;5𝑥10𝑥152𝑥4𝑥6𝑥>3;sisi calcule lim𝑓(𝑥).

  • A52
  • B52
  • C54
  • D5

Question 11

On pose 𝑓(𝑥)=𝑥+7𝑥𝑥. Détermine lim𝑓(𝑥).

  • A7
  • B0
  • CLa limite n’existe pas.
  • D7

Question 12

On pose 𝑓(𝑥)=2𝑥|𝑥4|+5. Discute l’existence de lim𝑓(𝑥).

  • A La limite n’existe pas car limlim𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).
  • B La limite existe et vaut 3.
  • C La limite existe et vaut 13.

Question 13

Que peut-on dire de lim𝑓(𝑥) pour la fonction 𝑓(𝑥)=7𝑥|𝑥|+9,𝑥<0,4|𝑥|𝑥+5,𝑥>0?

  • Alim𝑓(𝑥) existe et vaut 9.
  • Blim𝑓(𝑥) existe et vaut 1.
  • Clim𝑓(𝑥) n'existe pas car lim𝑓(𝑥) existe, mais lim𝑓(𝑥) n'existe pas.
  • Dlim𝑓(𝑥) existe et vaut 9.
  • Elim𝑓(𝑥) n'existe pas car lim𝑓(𝑥) existe, mais lim𝑓(𝑥) n'existe pas.

Question 14

On pose 𝑓(𝑥)=4𝑥+2,𝑥<1,𝑥+3𝑥+6,1<𝑥<5,4𝑥+30,𝑥>5. Calcule lim𝑓(𝑥), si elle existe.

Question 15

Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏, sachant que lim𝑓(𝑥) et lim𝑓(𝑥) existent, étant donnée la fonction définie par 𝑓(𝑥)=7𝑥9,𝑥<1,𝑎𝑥+𝑏,1<𝑥<5,8𝑥6,𝑥>5.

  • A𝑎=5, 𝑏=21
  • B𝑎=37, 𝑏=53
  • C𝑎=37, 𝑏=21
  • D𝑎=5, 𝑏=11
  • E𝑎=27, 𝑏=11

Question 16

On pose 𝑓(𝑥)=𝑥1𝑥1𝑥<1,𝑥18𝑥+4𝑥+4𝑥1𝑥>1.sisi Calcule, si elle existe, lim𝑓(𝑥)?

  • A La limite existe et vaut 85.
  • B La limite n’existe pas car limlim𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).
  • C La limite existe et vaut 0.
  • D La limite existe et vaut 67.

Question 17

Discute l’existence de lim𝑓(𝑥) sachant que 𝑓(𝑥)=|𝑥2|+3,2<𝑥<3,𝑥+6𝑥27𝑥3𝑥,3<𝑥<9.

  • Alim𝑓(𝑥) existe et vaut 4.
  • Blim𝑓(𝑥) n’existe pas car limlim𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).
  • Clim𝑓(𝑥) n’existe pas car, bien que lim𝑓(𝑥) existe, lim𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • Dlim𝑓(𝑥) n’existe pas car, bien que lim𝑓(𝑥) existe, lim𝑓(𝑥) n’existe pas.

Question 18

La figure montre la représentation graphique de la fonction 𝑓(𝑥)=2𝜋𝑥𝑥>0;0,5𝑥0.sin

Quelle est l'abscisse 𝑥 du point 𝐴? Donne ta réponse sous forme de fraction.

  • A1314
  • B1213
  • C1225
  • D1415
  • E1415

Quelle est l'abscisse 𝑥 du point 𝐵? Donne ta réponse sous forme de fraction.

  • A1227
  • B1325
  • C1225
  • D1327
  • E1213

En définissant l'abscisse 𝑥 de 𝐴 ci-dessus comme 𝑎, donne une formule de la suite 𝑎, 𝑛1, avec 𝐵=(𝑎;0,5).

  • A𝑎=1212𝑛+1
  • B𝑎=144325𝑛+444325
  • C𝑎=144325𝑛+1213
  • D𝑎=1212𝑛+1
  • E𝑎=1212𝑛+13

Que t'indique l'évaluation de 𝑓(𝑎) avec 𝑎 précédemment obtenue sur une valeur possible de lim𝑓(𝑥)?

Que t'indique l’évaluation de 𝑓(𝑎) avec 𝑎=1𝑛 sur une valeur possible de lim𝑓(𝑥)?

Que peut-on donc conclure à propos de lim𝑓(𝑥)?

  • AOn ne peut rien conclure.
  • Blim𝑓(𝑥)=1
  • COn conclut que lim𝑓(𝑥)=0,5.
  • Dlim𝑓(𝑥)=1
  • EOn conclut que la limite unilatérale n'existe pas.

Quelle loi des limites est utilisée pour prouver que lim𝑓(𝑥)=0,5?

  • ALa limite du quotient de fonctions est le quotient des limites des fonctions données si elles existent et si le dénominateur est non nul.
  • BLa limite d'une différence de fonctions est la différence des limites des fonctions données si elles existent.
  • CLa limite du produit de fonctions est le produit des limites des fonctions données si elles existent.
  • DLa limite d'une somme de fonctions est la somme des limites des fonctions données si elles existent.
  • ELa limite d'une fonction constante quand 𝑥 converge vers tout point est la constante elle-même.

Que peut-on dire de lim𝑓(𝑥)?

  • AElle n'existe pas car lim𝑓(𝑥) n'existe pas.
  • BElle existe pour certains points de la droite numérique et pas pour d'autres points.
  • CElle existe et vaut parfois 0,5 et parfois 0.
  • DElle existe et est égale à 0,5 car elle est égale à lim𝑓(𝑥).
  • EElle existe et vaut toute valeur que l'on souhaite.

Question 19

Étudie l’existence de lim[(𝑓+𝑔)(𝑥)], 𝑓(𝑥)=𝑥+8𝑥<1,𝑥6𝑥1sisi et 𝑔(𝑥)=6𝑥+𝑥𝑥<1,9𝑥𝑥1.sisi

  • Alim[(𝑓+𝑔)(𝑥)] existe et vaut 9.
  • Blim[(𝑓+𝑔)(𝑥)] existe et vaut 5.
  • Clim[(𝑓+𝑔)(𝑥)] n’existe pas car, bien que lim[(𝑓+𝑔)(𝑥)] existe, lim[(𝑓+𝑔)(𝑥)] n’existe pas.
  • Dlim[(𝑓+𝑔)(𝑥)] n’existe pas car, bien que lim[(𝑓+𝑔)(𝑥)] existe, lim[(𝑓+𝑔)(𝑥)] n’existe pas.
  • Elim[(𝑓+𝑔)(𝑥)] existe et vaut 4.

Question 20

Étudie l'existence de lim𝑓(𝑥), sachant que 𝑓(𝑥)=202𝑥+𝑥|𝑥|,6<𝑥<2,5(𝑥2)𝑥+22,2<𝑥<14.

  • ALa limite n’existe pas car limlim𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).
  • BLa limite existe et vaut 24.
  • CLa limite existe et vaut 5.
  • DLa limite existe et vaut 20.
  • ELa limite existe et vaut 0.

Question 21

Étant donnée 𝑓(𝑥)=8𝑥12𝑥+5𝑥3,𝑥<12,4𝑥1,𝑥>12,détermine lim𝑓(𝑥).

  • A1
  • BLa limite n'existe pas.
  • C0
  • D67

Question 22

Discute l'existence de lim𝑓(𝑥) étant donnée 𝑓(𝑥)=9𝑥|6𝑥3|6𝑥+3,𝑥<12,|3𝑥+2|,𝑥>12.

  • ALa limite existe et est égale à 72.
  • BLa limite existe et est égale à 72.
  • CLa limite existe et est égale à 112.
  • DLa limite existe et est égale à 112.
  • ELa limite n'existe pas car limlim𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).

Question 23

On pose: 𝑓(𝑥)=3𝑥2𝑥<1,𝑥+3𝑥21<𝑥<0,𝑥2𝑥>0.sisisi Calcule lim𝑓(𝑥) et lim𝑓(𝑥), si elles existent.

  • Alim𝑓(𝑥)=2, lim𝑓(𝑥)=3.
  • Blimnexistepas𝑓(𝑥), lim𝑓(𝑥)=2.
  • Clim𝑓(𝑥)=5, limnexistepas𝑓(𝑥).
  • Dlim𝑓(𝑥)=4, lim𝑓(𝑥)=4.

Question 24

Discute l'existence de lim𝑓(𝑥) étant donnée la fonction définie par 𝑓(𝑥)=20𝑥8𝑥2<𝑥<3,14𝑥+33𝑥<4.sisi

  • ALa limite n'existe pas puisquelim𝑓(𝑥) n'existe pas.
  • BLa limite n'existe pas puisquelim𝑓(𝑥) n'existe pas.
  • CLa limite existe et vaut6.
  • DLa limite existe et vaut0.
  • ELa limite n'existe pas puisquelimlim𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).

Question 25

Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏 qui permettent d’avoir lim𝑓(𝑥)=18, 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏,𝑥<2,𝑎𝑥𝑏,𝑥>2.

  • A𝑎=6, 𝑏=6
  • B𝑎=6, 𝑏=6
  • C𝑎=6, 𝑏=6
  • D𝑎=6, 𝑏=6

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