Feuille d'activités de la leçon : Existence d’une limite Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à déterminer si la limite d'une fonction en une certaine valeur existe.

Question 1

Calcule, si elle existe, lim→𝑓(𝑥) pour 𝑓(𝑥)=−15𝑥−15𝑥<−15,𝑥−15𝑥⩾−15.sisi

  • ALa limite existe et vaut 210.
  • BLa limite existe et vaut −15.
  • CLa limite n’existe pas car, bien que lim→𝑓(𝑥) et lim→𝑓(𝑥) existent, elles sont différentes.
  • DLa limite n’existe pas car, bien que lim→𝑓(𝑥) existe, lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • ELa limite n’existe pas car, bien que lim→𝑓(𝑥) existe, lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.

Question 2

Calcule, si elle existe, lim→𝑓(𝑥) pour 𝑓(𝑥)=𝑥−4,𝑥<−1,20,𝑥>−1.

  • ALa limite n’existe pas car 𝑓(−1)≠𝑓(−1).
  • BLa limite n’existe pas car 𝑓(−1) n’existe pas.
  • CLa limite existe et vaut 20.
  • DLa limite existe et vaut −20.

Question 3

Calcule, si elle existe, lim→𝑓(𝑥) pour 𝑓(𝑥)=⎧⎪⎨⎪⎩2622−𝑥𝑥<4,√𝑥−2𝑥−4𝑥>4.sisi

  • ALa limite existe et vaut 5.
  • BLa limite n’existe pas car limlim→→𝑓(𝑥)≠𝑓(𝑥).
  • CLa limite n’existe pas car lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • DLa limite n’existe pas car lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • ELa limite existe et vaut 139.

Question 4

Calcule, si elle existe, lim→𝑓(𝑥) pour 𝑓(𝑥)=𝑥|𝑥+7|−3.

  • A La limite n’existe pas car lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • B La limite n’existe pas car lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • C La limite existe et vaut −9.
  • D La limite existe et vaut −3.
  • E La limite n’existe pas car limlim→→𝑓(𝑥)≠𝑓(𝑥).

Question 5

Étant donnée la fonction définie par 𝑓(𝑥)=4+𝑥+3𝑥|𝑥+3|,−3<𝑥<0,2𝑥+4,0<𝑥<2, détermine lim→𝑓(𝑥).

Question 6

Discute l'existence de lim→𝑓(𝑥) sachant que 𝑓(𝑥)=16𝑥+|𝑥−2|2−𝑥𝑥<2,𝑥+5𝑥>2.sisi

  • ALa limite existe et vaut 33.
  • BLa limite existe et vaut −22.
  • CLa limite n’existe pas, car limlim→→𝑓(𝑥)≠𝑓(𝑥).
  • DLa limite n’existe pas, car lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • ELa limite n’existe pas, car lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.

Question 7

Détermine lim→𝑓(𝑥) sachant que 𝑓(𝑥)=5𝑥+3,𝑥<−1,2𝑥,−1<𝑥<5,𝑥+4,𝑥>5.

Question 8

Discute l’existence de lim→𝑓(𝑥) pour 𝑓(𝑥)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩3𝑥,−𝜋2<𝑥<0,3𝑥+1,0<𝑥<3,𝑥−27𝑥−3,𝑥>3.cos

  • Alim→𝑓(𝑥) n’existe pas car limlim→→𝑓(𝑥)≠𝑓(𝑥).
  • Blim→𝑓(𝑥) existe et vaut 3.
  • Clim→𝑓(𝑥) n’existe pas car, bien que lim→𝑓(𝑥) existe, lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • Dlim→𝑓(𝑥) n’existe pas car, bien que lim→𝑓(𝑥) existe, lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.

Question 9

On sait que la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑎𝑥+𝑏𝑥−5𝑥+6,𝑥<2,6𝑥,𝑥>2 admet une limite en 𝑥=2. Déduis-en les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

  • A𝑎=−12, 𝑏=28
  • B𝑎=−16, 𝑏=36
  • C𝑎=−16, 𝑏=28
  • D𝑎=−8, 𝑏=−12

Question 10

Pour la fonction définie par 𝑓(𝑥)=⎧⎨⎩𝑥+22𝑥<3;5𝑥−10𝑥−152𝑥−4𝑥−6𝑥>3;sisi calcule lim→𝑓(𝑥).

  • A−52
  • B52
  • C54
  • D5

Question 11

On pose 𝑓(𝑥)=𝑥+7√𝑥𝑥. Détermine lim→𝑓(𝑥).

  • A7
  • B0
  • CLa limite n’existe pas.
  • D−7

Question 12

On pose 𝑓(𝑥)=2𝑥|𝑥−4|+5. Discute l’existence de lim→𝑓(𝑥).

  • A La limite n’existe pas car limlim→→𝑓(𝑥)≠𝑓(𝑥).
  • B La limite existe et vaut −3.
  • C La limite existe et vaut 13.

Question 13

Que peut-on dire de lim→𝑓(𝑥) pour la fonction 𝑓(𝑥)=7𝑥|𝑥|+9,𝑥<0,4|𝑥|𝑥+5,𝑥>0?

  • Alim→𝑓(𝑥) existe et vaut 9.
  • Blim→𝑓(𝑥) existe et vaut −1.
  • Clim→𝑓(𝑥) n'existe pas car lim→𝑓(𝑥) existe, mais lim→𝑓(𝑥) n'existe pas.
  • Dlim→𝑓(𝑥) existe et vaut −9.
  • Elim→𝑓(𝑥) n'existe pas car lim→𝑓(𝑥) existe, mais lim→𝑓(𝑥) n'existe pas.

Question 14

On pose 𝑓(𝑥)=4𝑥+2,𝑥<1,𝑥+3𝑥+6,1<𝑥<5,4𝑥+30,𝑥>5. Calcule lim→𝑓(𝑥), si elle existe.

Question 15

Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏, sachant que lim→𝑓(𝑥) et lim→𝑓(𝑥) existent, étant donnée la fonction définie par 𝑓(𝑥)=7𝑥−9,𝑥<−1,𝑎𝑥+𝑏,−1<𝑥<5,−8𝑥−6,𝑥>5.

  • A𝑎=−5, 𝑏=−21
  • B𝑎=−37, 𝑏=−53
  • C𝑎=37, 𝑏=21
  • D𝑎=5, 𝑏=−11
  • E𝑎=27, 𝑏=11

Question 16

On pose 𝑓(𝑥)=⎧⎪⎨⎪⎩√𝑥−1𝑥−1𝑥<1,√𝑥−18√𝑥+4√𝑥+4𝑥−1𝑥>1.sisi Calcule, si elle existe, lim→𝑓(𝑥) ?

  • A La limite existe et vaut 85.
  • B La limite n’existe pas car limlim→→𝑓(𝑥)≠𝑓(𝑥).
  • C La limite existe et vaut 0.
  • D La limite existe et vaut 67.

Question 17

Discute l’existence de lim→𝑓(𝑥) sachant que 𝑓(𝑥)=|𝑥−2|+3,−2<𝑥<3,𝑥+6𝑥−27𝑥−3𝑥,3<𝑥<9.

  • Alim→𝑓(𝑥) existe et vaut 4.
  • Blim→𝑓(𝑥) n’existe pas car limlim→→𝑓(𝑥)≠𝑓(𝑥).
  • Clim→𝑓(𝑥) n’existe pas car, bien que lim→𝑓(𝑥) existe, lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.
  • Dlim→𝑓(𝑥) n’existe pas car, bien que lim→𝑓(𝑥) existe, lim→𝑓(𝑥) n’existe pas.

Question 18

La figure montre la représentation graphique de la fonction 𝑓(𝑥)=2𝜋𝑥𝑥>0;0,5𝑥≤0.sin

Quelle est l'abscisse 𝑥 du point 𝐴 ? Donne ta réponse sous forme de fraction.

  • A1314
  • B1213
  • C1225
  • D1415
  • E1415

Quelle est l'abscisse 𝑥 du point 𝐵 ? Donne ta réponse sous forme de fraction.

  • A1227
  • B1325
  • C1225
  • D1327
  • E1213

En définissant l'abscisse 𝑥 de 𝐴 ci-dessus comme 𝑎, donne une formule de la suite 𝑎, 𝑛≥1, avec 𝐵=(𝑎;0,5).

  • A𝑎=1212𝑛+1
  • B𝑎=−144325𝑛+444325
  • C𝑎=−144325𝑛+1213
  • D𝑎=1212𝑛+1
  • E𝑎=1212𝑛+13

Que t'indique l'évaluation de 𝑓(𝑎) avec 𝑎 précédemment obtenue sur une valeur possible de lim→𝑓(𝑥) ?

Que t'indique l’évaluation de 𝑓(𝑎) avec 𝑎=1𝑛 sur une valeur possible de lim→𝑓(𝑥) ?

Que peut-on donc conclure à propos de lim→𝑓(𝑥) ?

  • AOn ne peut rien conclure.
  • Blim→𝑓(𝑥)=−1
  • COn conclut que lim→𝑓(𝑥)=0,5.
  • Dlim→𝑓(𝑥)=1
  • EOn conclut que la limite unilatérale n'existe pas.

Quelle loi des limites est utilisée pour prouver que lim→𝑓(𝑥)=0,5 ?

  • ALa limite du quotient de fonctions est le quotient des limites des fonctions données si elles existent et si le dénominateur est non nul.
  • BLa limite d'une différence de fonctions est la différence des limites des fonctions données si elles existent.
  • CLa limite du produit de fonctions est le produit des limites des fonctions données si elles existent.
  • DLa limite d'une somme de fonctions est la somme des limites des fonctions données si elles existent.
  • ELa limite d'une fonction constante quand 𝑥 converge vers tout point est la constante elle-même.

Que peut-on dire de lim→𝑓(𝑥) ?

  • AElle n'existe pas car lim→𝑓(𝑥) n'existe pas.
  • BElle existe pour certains points de la droite numérique et pas pour d'autres points.
  • CElle existe et vaut parfois 0,5 et parfois 0.
  • DElle existe et est égale à 0,5 car elle est égale à lim→𝑓(𝑥).
  • EElle existe et vaut toute valeur que l'on souhaite.

Question 19

Étudie l’existence de lim→[(𝑓+𝑔)(𝑥)], où 𝑓(𝑥)=𝑥+8𝑥<1,𝑥−6𝑥⩾1sisi et 𝑔(𝑥)=−6𝑥+𝑥𝑥<1,9𝑥𝑥⩾1.sisi

  • Alim→[(𝑓+𝑔)(𝑥)] existe et vaut 9.
  • Blim→[(𝑓+𝑔)(𝑥)] existe et vaut −5.
  • Clim→[(𝑓+𝑔)(𝑥)] n’existe pas car, bien que lim→[(𝑓+𝑔)(𝑥)] existe, lim→[(𝑓+𝑔)(𝑥)] n’existe pas.
  • Dlim→[(𝑓+𝑔)(𝑥)] n’existe pas car, bien que lim→[(𝑓+𝑔)(𝑥)] existe, lim→[(𝑓+𝑔)(𝑥)] n’existe pas.
  • Elim→[(𝑓+𝑔)(𝑥)] existe et vaut 4.

Question 20

Étudie l'existence de lim→𝑓(𝑥), sachant que 𝑓(𝑥)=20−2𝑥+𝑥|𝑥|,−6<𝑥<2,5(𝑥−2)√𝑥+2−2,2<𝑥<14.

  • ALa limite n’existe pas car limlim→→𝑓(𝑥)≠𝑓(𝑥).
  • BLa limite existe et vaut 24.
  • CLa limite existe et vaut 5.
  • DLa limite existe et vaut 20.
  • ELa limite existe et vaut 0.

Question 21

Étant donnée 𝑓(𝑥)=⎧⎪⎨⎪⎩8𝑥−12𝑥+5𝑥−3,𝑥<12,4𝑥−1,𝑥>12,détermine lim→𝑓(𝑥).

  • A1
  • BLa limite n'existe pas.
  • C0
  • D67

Question 22

Discute l'existence de lim→𝑓(𝑥) étant donnée 𝑓(𝑥)=⎧⎨⎩9𝑥−|6𝑥−3|−6𝑥+3,𝑥<12,|3𝑥+2|,𝑥>12.

  • ALa limite existe et est égale à −72.
  • BLa limite existe et est égale à 72.
  • CLa limite existe et est égale à −112.
  • DLa limite existe et est égale à 112.
  • ELa limite n'existe pas car limlim→→𝑓(𝑥)≠𝑓(𝑥).

Question 23

On pose : 𝑓(𝑥)=3𝑥−2𝑥<−1,𝑥+3𝑥−2−1<𝑥<0,𝑥−2𝑥>0.sisisi Calcule lim→𝑓(𝑥) et lim→𝑓(𝑥), si elles existent.

  • Alim→𝑓(𝑥)=−2, lim→𝑓(𝑥)=−3.
  • Blimn’existepas→𝑓(𝑥), lim→𝑓(𝑥)=−2.
  • Clim→𝑓(𝑥)=−5, limn’existepas→𝑓(𝑥).
  • Dlim→𝑓(𝑥)=−4, lim→𝑓(𝑥)=−4.

Question 24

Discute l'existence de lim→𝑓(𝑥) étant donnée la fonction définie par 𝑓(𝑥)=20𝑥−8𝑥2<𝑥<3,14𝑥+33⩽𝑥<4.sisi

  • ALa limite n'existe pas puisquelim→𝑓(𝑥) n'existe pas.
  • BLa limite n'existe pas puisquelim→𝑓(𝑥) n'existe pas.
  • CLa limite existe et vaut6.
  • DLa limite existe et vaut0.
  • ELa limite n'existe pas puisquelimlim→→𝑓(𝑥)≠𝑓(𝑥).

Question 25

Détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏 qui permettent d’avoir lim→𝑓(𝑥)=−18, où 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏,𝑥<2,𝑎𝑥−𝑏,𝑥>2.

  • A𝑎=−6, 𝑏=6
  • B𝑎=6, 𝑏=−6
  • C𝑎=6, 𝑏=6
  • D𝑎=−6, 𝑏=−6

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