Feuille d'activités : Applications de l'intégrale indéfinie

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer l'équation d'une courbe à partir de la fonction qui donne le coefficient directeur de sa tangente.

Q1:

La dérivée d’une fonction en un point de coordonnées (𝑥;𝑦) est égale à 6𝑒+2. Que vaut 𝑓(𝑥) sachant que 𝑓(5)=1ln?

  • A6𝑒+2𝑥2925ln
  • B6𝑒+2𝑥25+1ln
  • C6𝑒+2𝑥+25+31ln
  • D6𝑒+2𝑥+1+25ln

Q2:

L'aire 𝐴 d'une lame varie au rythme de dd𝐴𝑡=𝑒 cm2/s, à partir d'une valeur de 60 cm2. Donne une expression exacte pour déterminer l'aire de la lame après 30 secondes.

  • A107𝑒+4107 cm2
  • B107𝑒+4307 cm2
  • C𝑒+59 cm2
  • D107𝑒+4107 cm2

Q3:

Une courbe passe par (0,1) et la tangente en le point (𝑥,𝑦) a pour pente 6𝑥8𝑥+1. Quelle est l'équation de la courbe?

  • A𝑦=1328𝑥+1+3132
  • B𝑦=148𝑥+1+34
  • C𝑦=3168𝑥+1+1316
  • D𝑦=148𝑥+1+54

Q4:

Le coefficient directeur de la tangente à une courbe est égal à 6𝑥+6𝑥sincos en toute abscisse 𝑥0;𝜋3. Le minimum local de la courbe est égal à 4629. Détermine l’équation de la courbe.

  • A𝑦=166𝑥+166𝑥89218sincos
  • B𝑦=166𝑥+166𝑥95218sincos
  • C𝑦=166𝑥166𝑥95218sincos
  • D𝑦=166𝑥166𝑥89218sincos

Q5:

Détermine l'équation d'une courbe qui passe par le point (0,0) et qui, pour chaque point (𝑎,𝑏) de la courbe, la pente de la tangente en ce point est 3𝑥𝑥.

  • A𝑦=62𝑥3
  • B𝑦=27𝑥62
  • C𝑦=62𝑥9
  • D𝑦=8𝑥19

Q6:

Le coefficient directeur de la tangente à une courbe passant par le point de coordonnées (9;4) vaut 𝑥(5𝑥+3). Détermine l’équation de la tangente en ce point lorsque 𝑥 vaut 1.

  • A𝑦8𝑥+540=0
  • B𝑥+4255+8𝑦=0
  • C𝑦+8𝑥+524=0
  • D𝑥+42558𝑦=0

Q7:

La dérivée en un point de coordonnées (𝑥;𝑦) d’une fonction a pour expression 5𝑥2𝑥. Détermine l’équation de la courbe représentative sachant qu’elle passe par le point de coordonnées (𝑒,5𝑒+3).

  • A5𝑥2|𝑥|+5ln
  • B10𝑒+5𝑥2|𝑥|+1ln
  • C5𝑥+52|𝑥|ln
  • D5𝑥2|𝑥|+1ln

Q8:

Le coefficient directeur en le point (𝑥,𝑦) sur la courbe d'une fonction est ddsincos𝑦𝑥=4𝜋𝜋𝑥+5𝜋𝜋𝑥. Détermine l’équation de la courbe si elle contient le point de coordonnées (1,2).

  • A𝑦=5𝜋𝑥4𝜋𝑥+6sincos
  • B𝑦=5𝜋𝜋𝑥+4𝜋𝜋𝑥+6sincos
  • C𝑦=5𝜋𝑥+4𝜋𝑥+6sincos
  • D𝑦=5𝜋𝑥+4𝜋𝑥2sincos

Q9:

La dérivée seconde d'une fonction est égale à 273𝑥+8sin. La courbe représentative de la fonction passe par le point 𝜋6,4𝜋3+𝜋9+6 et la pente de la tangente en ce point est 8+4𝜋3. Détermine l'équation de la courbe.

  • A𝑦=4𝑥8𝑥+93𝑥+3sin
  • B𝑦=4𝑥8𝑥+33𝑥+3sin
  • C𝑦=4𝑥8𝑥+33𝑥3sin
  • D𝑦=4𝑥8𝑥+93𝑥3sin

Q10:

Détermine l’équation de la courbe dont la tangente en toute abscisse 𝑥 a pour coefficient directeur 5𝑥2sin et qui passe par l’origine du repère.

  • A𝑦=5𝑥5𝑥sin
  • B𝑦=53𝑥2sin
  • C𝑦=5𝑥2cos
  • D𝑦=52𝑥52𝑥sin

Q11:

Une courbe passe par les points de coordonnées 𝜋4,8 et 3𝜋4,6. Détermine l’équation de la courbe sachant que la dérivée a pour expression 7(𝑥)csc.

  • A𝑓(𝑥)=7𝑥+1cot
  • B𝑓(𝑥)=7𝑥+1cot
  • C𝑓(𝑥)=7𝑥+1csc
  • D𝑓(𝑥)=7𝑥+1tan
  • E𝑓(𝑥)=7𝑥+1csc

Q12:

Le coefficient directeur en le point (𝑥,𝑦) sur la courbe d'une function est égal à 3𝑒. Que vaut 𝑓(3), sachant que 𝑓(5)=9?

  • A912𝑒+12𝑒
  • B918𝑒+12𝑒
  • C912𝑒+12𝑒
  • D918𝑒+12𝑒

Q13:

La dérivée d’une fonction en le point de coordonnées (𝑥,𝑦) vaut 3𝑒, et 𝑓(0)=3. Calcule 𝑓(3).

  • A4+3𝑒
  • B4+1𝑒
  • C4+9𝑒
  • D4+1𝑒

Q14:

Un courbe passe par le point de coordonnées (1,8) et la normale en tout point de coordonnées (𝑥,𝑦) a pour coefficient directeur 89𝑥. Quelle est l’équation de la courbe?

  • A𝑦=8𝑥92𝑥+92
  • B𝑦=19|89𝑥|+8ln
  • C𝑦=8𝑥+92𝑥+232
  • D𝑦=19|89𝑥|+8ln

Q15:

La dérivée en un point de coordonnées (𝑥,𝑓(𝑥)) d’une fonction 𝑓 a pour expression 45𝑒+4𝑥. Que vaut 𝑓(4𝑒) si l’on sait que 𝑓(𝑒)=9?

  • A10+111𝑒ln
  • Bln11𝑒10
  • C416𝑒665ln
  • D64𝑒510+416𝑒ln

Q16:

Détermine l'équation de la courbe sachant que le coefficient directeur de la normale à la courbe est égal à 2𝑥2 et la courbe passe par le point de coordonnées (1,6).

  • A𝑦=2𝑥2+6
  • B𝑦=122𝑥2+6
  • C𝑦=142𝑥2+6
  • D𝑦=22𝑥2+6
  • E𝑦=132𝑥2+6

Q17:

Détermine l’équation de la courbe passant par le point de coordonnées (2,1) et dont la tangente admet pour coefficient directeur 11𝑥 en l’abscisse 𝑥.

  • A𝑦=11𝑥+9
  • B𝑦=113𝑥+C
  • C𝑦=113𝑥853
  • D𝑦=113𝑥+473

Q18:

Détermine le minimum local d'une courbe étant donné que son gradient est dd𝑦𝑥=𝑥+3𝑥18 et que le maximum local est 21.

Q19:

Le coefficient directeur de la tangente à une courbe est donné par dd𝑦𝑥=𝑥14𝑥+45. Le maximum local vaut 9. Détermine l’équation de la courbe ainsi que la valeur du minimum local, s’il existe.

  • A𝑦=𝑥37𝑥+45𝑥, 9
  • B𝑦=𝑥5𝑥+9, 5453
  • C𝑦=𝑥9𝑥+45, 5
  • D𝑦=𝑥37𝑥+45𝑥2483, 53

Q20:

Le taux de variation des ventes pour une usine est inversement proportionnel au temps, exprimé en semaines. Les ventes de l’usine après 2 semaines et 4 semaines sont respectivement de 118 unités et 343 unités. Calcule les ventes de l’usine après 8 semaines.

Q21:

Le coefficient directeur en le point (𝑥,𝑦) sur la courbe d'une fonction est ddsincos𝑦𝑥=𝑥𝑥. Détermine l'équation de la courbe si elle contient le point de coordonnées 𝜋3,7.

  • A𝑦=142𝑥+558cos
  • B𝑦=122𝑥+274cos
  • C𝑦=142𝑥+578cos
  • D𝑦=142𝑥+558cos
  • E𝑦=122𝑥+294cos

Q22:

Détermine l’équation de la courbe sachant que le coefficient directeur de la tangente à la courbe en son point (𝑥,𝑦) est cossec𝑥9𝑥 et qu'elle passe par le point de coordonnées 𝜋4,22.

  • A𝑦=𝑥9𝑥+9sintan
  • B𝑦=𝑥9𝑥122sintan
  • C𝑦=𝑥9𝑥+22+17sintan
  • D𝑦=𝑥9𝑥9sintan

Q23:

Détermine l'équation de la courbe vérifiant 𝑦=65𝑥cos et dont l'équation de la tangente en (0,5) est 𝑦=𝑥+5.

  • A𝑦=5𝑥6255𝑥+13125cos
  • B𝑦=𝑥6255𝑥+13125cos
  • C𝑦=𝑥+655𝑥+195cos
  • D𝑦=𝑥+6255𝑥+13125cos

Q24:

Une courbe passe par (0,1) et la tangente en le point (𝑥,𝑦) a pour pente 𝑥3𝑥+4. Quelle est l'équation de la courbe?

  • A𝑦=1273𝑥+4+1927
  • B𝑦=193𝑥+4+19
  • C𝑦=293𝑥+479
  • D𝑦=193𝑥+4+179

Q25:

Si le taux de variation de l'aire 𝐴 d'une plaque métallique en fonction du temps dû à un chauffage est donné par la relation dd𝐴𝑡=0,036𝑡+0,038𝑡, où l'aire 𝐴 est en mètres carrés, et le temps 𝑡 est en minutes, sachant que 𝐴=67m lorsque 𝑡=8minutes, calcule, au centième près, l'aire de la plaque juste avant le chauffage.

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