Feuille d'activités : Applications de l'intégrale indéfinie

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer l'équation d'une courbe à partir de la fonction qui donne le coefficient directeur de sa tangente.

Q1:

La dérivée d’une fonction en un point de coordonnées (𝑥;𝑦) est égale à 6𝑒+2. Que vaut 𝑓(𝑥) sachant que 𝑓(5)=1ln?

  • A 6 𝑒 + 2 𝑥 2 9 2 5 l n
  • B 6 𝑒 + 2 𝑥 2 5 + 1 l n
  • C 6 𝑒 + 2 𝑥 + 2 5 + 3 1 l n
  • D 6 𝑒 + 2 𝑥 + 1 + 2 5 l n

Q2:

Une courbe passe par (0,1) et la tangente en le point (𝑥,𝑦) a pour pente 6𝑥8𝑥+1. Quelle est l'équation de la courbe?

  • A 𝑦 = 1 3 2 8 𝑥 + 1 + 3 1 3 2
  • B 𝑦 = 1 4 8 𝑥 + 1 + 3 4
  • C 𝑦 = 3 1 6 8 𝑥 + 1 + 1 3 1 6
  • D 𝑦 = 1 4 8 𝑥 + 1 + 5 4

Q3:

Le coefficient directeur de la tangente à une courbe est égal à 6𝑥+6𝑥sincos en toute abscisse 𝑥0;𝜋3. Le minimum local de la courbe est égal à 4629. Détermine l’équation de la courbe.

  • A 𝑦 = 1 6 6 𝑥 + 1 6 6 𝑥 8 9 2 1 8 s i n c o s
  • B 𝑦 = 1 6 6 𝑥 + 1 6 6 𝑥 9 5 2 1 8 s i n c o s
  • C 𝑦 = 1 6 6 𝑥 1 6 6 𝑥 9 5 2 1 8 s i n c o s
  • D 𝑦 = 1 6 6 𝑥 1 6 6 𝑥 8 9 2 1 8 s i n c o s

Q4:

Détermine l'équation d'une courbe qui passe par le point (0,0) et qui, pour chaque point (𝑎,𝑏) de la courbe, la pente de la tangente en ce point est 3𝑥𝑥.

  • A 𝑦 = 6 2 𝑥 3
  • B 𝑦 = 2 7 𝑥 6 2
  • C 𝑦 = 6 2 𝑥 9
  • D 𝑦 = 8 𝑥 1 9

Q5:

Le coefficient directeur de la tangente à une courbe passant par le point de coordonnées (9;4) vaut 𝑥(5𝑥+3). Détermine l’équation de la tangente en ce point lorsque 𝑥 vaut 1.

  • A 𝑦 8 𝑥 + 5 4 0 = 0
  • B 𝑥 + 4 2 5 5 + 8 𝑦 = 0
  • C 𝑦 + 8 𝑥 + 5 2 4 = 0
  • D 𝑥 + 4 2 5 5 8 𝑦 = 0

Q6:

La dérivée en un point de coordonnées (𝑥;𝑦) d’une fonction a pour expression 5𝑥2𝑥. Détermine l’équation de la courbe représentative sachant qu’elle passe par le point de coordonnées (𝑒,5𝑒+3).

  • A 5 𝑥 2 | 𝑥 | + 5 l n
  • B 1 0 𝑒 + 5 𝑥 2 | 𝑥 | + 1 l n
  • C 5 𝑥 + 5 2 | 𝑥 | l n
  • D 5 𝑥 2 | 𝑥 | + 1 l n

Q7:

Le coefficient directeur en le point (𝑥,𝑦) sur la courbe d'une fonction est ddsincos𝑦𝑥=4𝜋𝜋𝑥+5𝜋𝜋𝑥. Détermine l’équation de la courbe si elle contient le point de coordonnées (1,2).

  • A 𝑦 = 5 𝜋 𝑥 4 𝜋 𝑥 + 6 s i n c o s
  • B 𝑦 = 5 𝜋 𝜋 𝑥 + 4 𝜋 𝜋 𝑥 + 6 s i n c o s
  • C 𝑦 = 5 𝜋 𝑥 + 4 𝜋 𝑥 + 6 s i n c o s
  • D 𝑦 = 5 𝜋 𝑥 + 4 𝜋 𝑥 2 s i n c o s

Q8:

La dérivée seconde d'une fonction est égale à 273𝑥+8sin. La courbe représentative de la fonction passe par le point 𝜋6,4𝜋3+𝜋9+6 et la pente de la tangente en ce point est 8+4𝜋3. Détermine l'équation de la courbe.

  • A 𝑦 = 4 𝑥 8 𝑥 + 9 3 𝑥 + 3 s i n
  • B 𝑦 = 4 𝑥 8 𝑥 + 3 3 𝑥 + 3 s i n
  • C 𝑦 = 4 𝑥 8 𝑥 + 3 3 𝑥 3 s i n
  • D 𝑦 = 4 𝑥 8 𝑥 + 9 3 𝑥 3 s i n

Q9:

Détermine l’équation de la courbe dont la tangente en toute abscisse 𝑥 a pour coefficient directeur 5𝑥2sin et qui passe par l’origine du repère.

  • A 𝑦 = 5 𝑥 5 𝑥 s i n
  • B 𝑦 = 5 3 𝑥 2 s i n
  • C 𝑦 = 5 𝑥 2 c o s
  • D 𝑦 = 5 2 𝑥 5 2 𝑥 s i n

Q10:

Une courbe passe par les points de coordonnées 𝜋4,8 et 3𝜋4,6. Détermine l’équation de la courbe sachant que la dérivée a pour expression 7(𝑥)csc.

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 𝑥 + 1 c o t
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 𝑥 + 1 c o t
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 𝑥 + 1 c s c
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 𝑥 + 1 t a n
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 𝑥 + 1 c s c

Q11:

Le coefficient directeur en le point (𝑥,𝑦) sur la courbe d'une function est égal à 3𝑒. Que vaut 𝑓(3), sachant que 𝑓(5)=9?

  • A 9 1 2 𝑒 + 1 2 𝑒
  • B 9 1 8 𝑒 + 1 2 𝑒
  • C 9 1 2 𝑒 + 1 2 𝑒
  • D 9 1 8 𝑒 + 1 2 𝑒

Q12:

La dérivée d’une fonction en le point de coordonnées (𝑥,𝑦) vaut 3𝑒, et 𝑓(0)=3. Calcule 𝑓(3).

  • A 4 + 3 𝑒
  • B 4 + 1 𝑒
  • C 4 + 9 𝑒
  • D 4 + 1 𝑒

Q13:

Un courbe passe par le point de coordonnées (1,8) et la normale en tout point de coordonnées (𝑥;𝑦) a pour coefficient directeur 89𝑥. Quelle est l’équation de la courbe?

  • A 𝑦 = 8 𝑥 + 9 2 𝑥 + 2 3 2
  • B 𝑦 = 1 9 | 8 9 𝑥 | + 8 l n
  • C 𝑦 = 8 𝑥 9 2 𝑥 + 9 2
  • D 𝑦 = 1 9 | 8 9 𝑥 | + 8 l n

Q14:

La dérivée en un point de coordonnées (𝑥,𝑓(𝑥)) d’une fonction 𝑓 a pour expression 45𝑒+4𝑥. Que vaut 𝑓(4𝑒) si l’on sait que 𝑓(𝑒)=9?

  • A 1 0 + 1 1 1 𝑒 l n
  • B l n 1 1 𝑒 1 0
  • C 4 1 6 𝑒 6 6 5 l n
  • D 6 4 𝑒 5 1 0 + 4 1 6 𝑒 l n

Q15:

Détermine l'équation de la courbe sachant que le coefficient directeur de la normale à la courbe est égal à 2𝑥2 et la courbe passe par le point de coordonnées (1,6).

  • A 𝑦 = 2 𝑥 2 + 6
  • B 𝑦 = 1 2 2 𝑥 2 + 6
  • C 𝑦 = 1 4 2 𝑥 2 + 6
  • D 𝑦 = 2 2 𝑥 2 + 6
  • E 𝑦 = 1 3 2 𝑥 2 + 6

Q16:

Détermine l’équation de la courbe passant par le point de coordonnées (2,1) et dont la tangente admet pour coefficient directeur 11𝑥 en l’abscisse 𝑥.

  • A 𝑦 = 1 1 𝑥 + 9
  • B 𝑦 = 1 1 3 𝑥 + C
  • C 𝑦 = 1 1 3 𝑥 8 5 3
  • D 𝑦 = 1 1 3 𝑥 + 4 7 3

Q17:

Détermine le minimum local d'une courbe étant donné que son gradient est dd𝑦𝑥=𝑥+3𝑥18 et que le maximum local est 21.

Q18:

Le coefficient directeur de la tangente à une courbe est donné par dd𝑦𝑥=𝑥14𝑥+45. Le maximum local vaut 9. Détermine l’équation de la courbe ainsi que la valeur du minimum local, s’il existe.

  • A 𝑦 = 𝑥 3 7 𝑥 + 4 5 𝑥 , 9
  • B 𝑦 = 𝑥 5 𝑥 + 9 , 5 4 5 3
  • C 𝑦 = 𝑥 9 𝑥 + 4 5 , 5
  • D 𝑦 = 𝑥 3 7 𝑥 + 4 5 𝑥 2 4 8 3 , 5 3

Q19:

Le taux de variation des ventes pour une usine est inversement proportionnel au temps, exprimé en semaines. Les ventes de l’usine après 2 semaines et 4 semaines sont respectivement de 118 unités et 343 unités. Calcule les ventes de l’usine après 8 semaines.

Q20:

Le coefficient directeur en le point (𝑥,𝑦) sur la courbe d'une fonction est ddsincos𝑦𝑥=𝑥𝑥. Détermine l'équation de la courbe si elle contient le point de coordonnées 𝜋3,7.

  • A 𝑦 = 1 4 2 𝑥 + 5 5 8 c o s
  • B 𝑦 = 1 2 2 𝑥 + 2 7 4 c o s
  • C 𝑦 = 1 4 2 𝑥 + 5 7 8 c o s
  • D 𝑦 = 1 4 2 𝑥 + 5 5 8 c o s
  • E 𝑦 = 1 2 2 𝑥 + 2 9 4 c o s

Q21:

Détermine l'équation de la courbe vérifiant 𝑦=65𝑥cos et dont l'équation de la tangente en (0,5) est 𝑦=𝑥+5.

  • A 𝑦 = 𝑥 6 2 5 5 𝑥 + 1 3 1 2 5 c o s
  • B 𝑦 = 𝑥 + 6 2 5 5 𝑥 + 1 3 1 2 5 c o s
  • C 𝑦 = 5 𝑥 6 2 5 5 𝑥 + 1 3 1 2 5 c o s
  • D 𝑦 = 𝑥 + 6 5 5 𝑥 + 1 9 5 c o s

Q22:

Une courbe passe par (0,1) et la tangente en le point (𝑥,𝑦) a pour pente 𝑥3𝑥+4. Quelle est l'équation de la courbe?

  • A 𝑦 = 1 2 7 3 𝑥 + 4 + 1 9 2 7
  • B 𝑦 = 1 9 3 𝑥 + 4 + 1 9
  • C 𝑦 = 2 9 3 𝑥 + 4 7 9
  • D 𝑦 = 1 9 3 𝑥 + 4 + 1 7 9

Q23:

Si le taux de variation de l'aire 𝐴 d'une plaque métallique en fonction du temps dû à un chauffage est donné par la relation dd𝐴𝑡=0,036𝑡+0,038𝑡, où l'aire 𝐴 est en mètres carrés, et le temps 𝑡 est en minutes, sachant que 𝐴=67m lorsque 𝑡=8minutes, calcule, au centième près, l'aire de la plaque juste avant le chauffage.

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