Feuille d'activités de la leçon : Dérivées secondes des équations paramétriques Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à déterminer les dérivées secondes et les dérivées d'ordre supérieur d'équations paramétriques en appliquant la règle de dérivation en chaîne.

Question 1

ร‰tant donnรฉes๐‘ฅ=๐‘ก+5๏Šฉ et ๐‘ฆ=๐‘กโˆ’3๐‘ก๏Šจ, dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A9๐‘ก2(3โˆ’๐‘ก)๏Šซ
  • B2(3โˆ’๐‘ก)9๐‘ก๏Šซ
  • C2(3โˆ’๐‘ก)3๐‘ก(2๐‘กโˆ’3)๏Šฉ
  • D2(3โˆ’๐‘ก)๐‘ก
  • E๐‘ก2(3โˆ’๐‘ก)

Question 2

ร‰tant donnรฉes ๐‘ฅ=2๐‘’๏Šจ๏ et ๐‘ฆ=๐‘ก๐‘’๏Šฑ๏Šจ๏, dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A3โˆ’4๐‘ก8๐‘’๏Šฌ๏
  • B2(4๐‘กโˆ’3)
  • C4๐‘กโˆ’38๐‘’๏Šฌ๏
  • D8๐‘’4๐‘กโˆ’3๏Šฌ๏
  • E2(3โˆ’4๐‘ก)

Question 3

ร‰tant donnรฉes ๐‘ฅ=๐‘ก+1๏Šจ et ๐‘ฆ=๐‘’โˆ’1๏, dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A4๐‘ก๐‘’(๐‘กโˆ’1)๏Šฉ๏
  • B๐‘’(๐‘กโˆ’1)๐‘ก๏
  • C๐‘กโˆ’12๐‘ก๏Šจ
  • D๐‘’(๐‘กโˆ’1)4๐‘ก๏๏Šฉ
  • E๐‘’(๐‘กโˆ’1)2๐‘ก๏๏Šฉ

Question 4

Sachant que ๐‘‘๐‘ง๐‘‘๐‘ฅ=5๐‘ฅโˆ’6 et ๐‘‘๐‘ฆ๐‘‘๐‘ฅ=2๐‘ฅโˆ’1๏Šจ, calcule ๐‘‘๐‘ง๐‘‘๐‘ฆ๏Šจ๏Šจ en ๐‘ฅ=1.

Question 5

Dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ sachant que ๐‘ฅ=โˆ’๐‘’๏Šช๏Š et ๐‘ฆ=โˆ’2๐‘›๏Šช.

  • A๐‘’๐‘›(โˆ’8๐‘›+6)๏Šฑ๏Šช๏Š๏Šจ
  • B2๐‘’๐‘›๏Šฑ๏Šช๏Š๏Šฉ
  • Cโˆ’๐‘’๐‘›๏Šฑ๏Šช๏Š๏Šจ
  • D๐‘›2๐‘’(4๐‘›โˆ’3)๏Šจ๏Šฑ๏Šฎ๏Š

Question 6

Sachant que ๐‘ฅ=25๐‘งsec et que โˆš3๐‘ฆ=5๐‘งtan, dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A112
  • B13
  • C16
  • D12

Question 7

Soient ๐‘ฆ=(๐‘ฅ+4)๏€นโˆ’4๐‘ฅโˆ’1๏…๏Šจ et ๐‘ง=(๐‘ฅโˆ’5)(๐‘ฅ+4). Dรฉtermine (2๐‘ฅโˆ’1)๐‘‘๐‘ฆ๐‘‘๐‘ง๏Šฉ๏Šจ๏Šจ.

  • Aโˆ’24๐‘ฅ+24๐‘ฅ+34๏Šจ
  • Bโˆ’72๐‘ฅโˆ’104๐‘ฅ+30๏Šจ
  • Cโˆ’96๐‘ฅ+16๐‘ฅ+120๐‘ฅโˆ’84๐‘ฅ+16๏Šช๏Šฉ๏Šจ
  • Dโˆ’48๐‘ฅ+72๐‘ฅ+44๐‘ฅโˆ’34๏Šฉ๏Šจ

Question 8

Dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ sachant que ๐‘ฅ=6๐‘›ln๏Šซ et ๐‘ฆ=โˆ’8๐‘›๏Šฉ.

  • Aโˆ’2๐‘›25๏Šฉ
  • Bโˆ’8๐‘›5๏Šฉ
  • Cโˆ’4๐‘›5๏Šฉ
  • Dโˆ’12๐‘›5๏Šจ

Question 9

ร‰tant donnรฉes๐‘ฅ=3๐‘ก+1๏Šฉ et ๐‘ฆ=3๐‘กโˆ’๐‘ก๏Šจ, dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A2(1โˆ’3๐‘ก)81๐‘ก๏Šซ
  • B๐‘ก2(1โˆ’3๐‘ก)
  • C2(1โˆ’3๐‘ก)๐‘ก
  • D81๐‘ก2(1โˆ’3๐‘ก)๏Šซ
  • E2(1โˆ’3๐‘ก)9๐‘ก(6๐‘กโˆ’1)๏Šฉ

Question 10

ร‰tant donnรฉes๐‘ฅ=3๐‘ก+1๏Šฉ et ๐‘ฆ=5๐‘กโˆ’๐‘ก๏Šจ, dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A2(1โˆ’5๐‘ก)9๐‘ก(10๐‘กโˆ’1)๏Šฉ
  • B81๐‘ก2(1โˆ’5๐‘ก)๏Šซ
  • C2(1โˆ’5๐‘ก)81๐‘ก๏Šซ
  • D๐‘ก2(1โˆ’5๐‘ก)
  • E2(1โˆ’5๐‘ก)๐‘ก

Question 11

ร‰tant donnรฉes ๐‘ฅ=๐‘’๏Šช๏ et ๐‘ฆ=๐‘ก๐‘’๏Šฑ๏Šช๏, dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A3โˆ’8๐‘ก4๐‘’๏Šง๏Šจ๏
  • B4(8๐‘กโˆ’3)
  • C4๐‘’8๐‘กโˆ’3๏Šง๏Šจ๏
  • D4(3โˆ’8๐‘ก)
  • E8๐‘กโˆ’34๐‘’๏Šง๏Šจ๏

Question 12

ร‰tant donnรฉes ๐‘ฅ=๐‘ก+4๏Šจ et ๐‘ฆ=3๐‘’โˆ’5๏, dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A๐‘กโˆ’12๐‘ก๏Šจ
  • B3๐‘’(๐‘กโˆ’1)2๐‘ก๏๏Šฉ
  • C3๐‘’(๐‘กโˆ’1)4๐‘ก๏๏Šฉ
  • D3๐‘’(๐‘กโˆ’1)๐‘ก๏
  • E4๐‘ก3๐‘’(๐‘กโˆ’1)๏Šฉ๏

Question 13

Sachant que ๐‘‘๐‘ง๐‘‘๐‘ฅ=โˆ’7๐‘ฅ+7 et ๐‘‘๐‘ฆ๐‘‘๐‘ฅ=3๐‘ฅโˆ’1๏Šจ, calcule ๐‘‘๐‘ง๐‘‘๐‘ฆ๏Šจ๏Šจ en ๐‘ฅ=0.

Question 14

Sachant que ๐‘‘๐‘ง๐‘‘๐‘ฅ=โˆ’3๐‘ฅโˆ’8 et ๐‘‘๐‘ฆ๐‘‘๐‘ฅ=โˆ’2๐‘ฅ+1๏Šจ, calcule ๐‘‘๐‘ง๐‘‘๐‘ฆ๏Šจ๏Šจ en ๐‘ฅ=โˆ’1.

Question 15

Sachant que ๐‘ฅ=44๐‘งsec et que โˆš5๐‘ฆ=4๐‘งtan, dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A180
  • B110
  • C140
  • D18

Question 16

Sachant que ๐‘ฅ=88๐‘งsec et que โˆš5๐‘ฆ=68๐‘งtan, dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A980
  • B95
  • C940
  • D98

Question 17

Soient ๐‘ฆ=(โˆ’๐‘ฅ+2)๏€น3๐‘ฅ+2๏…๏Šจ et ๐‘ง=(โˆ’๐‘ฅ+2)(๐‘ฅ+3). Dรฉtermine (โˆ’2๐‘ฅโˆ’1)๐‘‘๐‘ฆ๐‘‘๐‘ง๏Šฉ๏Šจ๏Šจ.

  • Aโˆ’72๐‘ฅโˆ’60๐‘ฅ+18๐‘ฅ+27๐‘ฅ+6๏Šช๏Šฉ๏Šจ
  • B54๐‘ฅโˆ’30๐‘ฅโˆ’8๏Šจ
  • Cโˆ’36๐‘ฅโˆ’54๐‘ฅ+14๐‘ฅ+16๏Šฉ๏Šจ
  • D18๐‘ฅ+18๐‘ฅโˆ’16๏Šจ

Question 18

Sachant que ๐‘ฅ=๐‘กcos et ๐‘ฆ=2๐‘กsin, dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • Aโˆ’2(2๐‘ก2๐‘ก+๐‘ก2๐‘ก)๐‘กsinsincoscossin๏Šฉ
  • Bโˆ’2(2๐‘ก2๐‘ก+๐‘ก2๐‘ก)๐‘กsinsincoscossin
  • Cโˆ’๐‘ก2(2๐‘ก2๐‘ก+๐‘ก2๐‘ก)sinsinsincoscos๏Šฉ
  • D2(2๐‘ก2๐‘ก+๐‘ก2๐‘ก)๐‘กsinsincoscossin๏Šจ
  • E2๐‘ก2๐‘ก+๐‘ก2๐‘ก๐‘ก2๐‘กsinsincoscossincos๏Šจ

Question 19

Sachant que ๐‘ฅ=3๐‘ก+1๏Šจ et ๐‘ฆ=3๐‘ก+5๐‘ก๏Šจ, dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • Aโˆ’5๐‘ก
  • Bโˆ’56๐‘ก(6๐‘ก+5)๏Šจ
  • C536๐‘ก๏Šฉ
  • D5๐‘ก
  • Eโˆ’536๐‘ก๏Šฉ

Question 20

Sachant que ๐‘ฅ=๐‘กโˆ’๐‘กln et ๐‘ฆ=๐‘ก+๐‘กln, dรฉtermine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • Aโˆ’(๐‘กโˆ’1)2๐‘ก๏Šฉ
  • Bโˆ’1๐‘ก(๐‘กโˆ’1)
  • Cโˆ’2๐‘ก(๐‘กโˆ’1)๏Šฉ
  • Dโˆ’2๐‘ก(๐‘กโˆ’1)
  • Eโˆ’2(๐‘กโˆ’1)๏Šจ

Question 21

Sachant que ๐‘ฆ=โˆ’5๐‘ฅโˆ’7๏Šฉ et ๐‘ง=3๐‘ฅ+16๏Šจ, dรฉtermine ๐‘‘๐‘ง๐‘‘๐‘ฆ๏Šจ๏Šจ en ๐‘ฅ=1.

  • A275
  • Bโˆ’275
  • C25
  • Dโˆ’25
  • Eโˆ’52

Question 22

On considรจre la courbe dรฉfinie par lesย รฉquations paramรฉtriques ๐‘ฅ=1+๐œƒsec et ๐‘ฆ=1+๐œƒtan. Dรฉtermine si cette courbe est convexe, concave, ou ni l'un ni l'autre en ๐œƒ=๐œ‹6.

  • Ani l'un ni l'autre
  • Bconvexe
  • Cconcave

Question 23

On considรจre la courbe dรฉfinie par lesย รฉquations paramรฉtriques ๐‘ฅ=๐œƒcos๏Šฉ et ๐‘ฆ=๐œƒsin๏Šฉ. Dรฉtermine si cette courbe est convexe, concave, ou ni l'un ni l'autre en ๐œƒ=๐œ‹6.

  • Aconcave
  • Bni l'un ni l'autre
  • Cconvexe

Question 24

Considรจre la courbe paramรฉtrique d'รฉquations ๐‘ฅ=๐œƒcos et ๐‘ฆ=๐œƒsin. Dรฉtermine si la courbe est convexe, concave ou quelconque en ๐œƒ=๐œ‹6.

  • Aconvexe
  • Bconcave
  • Cquelconque

Question 25

On considรจre la courbe dรฉfinie par lesย รฉquations paramรฉtriques ๐‘ฅ=๐œƒcos et ๐‘ฆ=2๐œƒsin. Dรฉtermine si cette courbe est convexe, concave, ou ni l'un ni l'autre en ๐œƒ=๐œ‹6.

  • Aconvexe
  • Bconcave
  • Cni l'un ni l'autre

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