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Feuille d'activités : Utiliser la courbe représentative d'une fonction pour déterminer sa réciproque

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser un graphique pour déterminer la réciproque d'une fonction et explorer la symétrie entre la courbe représentative d'une fonction et celle de sa réciproque.

Q1:

Mehdi cherche une réciproque pour 𝑓 ( 𝑥 ) = − 2 − ( 𝑥 − 4 ) 2 . Il commence avec la parabole d'équation 𝑦 = − 2 − ( 𝑥 − 4 ) 2 . Puis, il l'a réfléchie par rapport à la droite d'équation 𝑦 = 𝑥 pour obtenir la parabole d'équation 𝑥 = − 2 − ( 𝑦 − 4 ) 2 .

Complète le travail de Mehdi en déterminant la réciproque 𝑓 − 1 dont la courbe est la courbe en trait plein donnée.

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 − √ 𝑥 − 2 − 1
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 + √ − 𝑥 − 2 − 1
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 − √ 𝑥 + 2 − 1
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 − √ − 𝑥 − 2 − 1
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 + √ 𝑥 − 2 − 1

Q2:

La courbe suivante est celle de la fonction 𝑓 ( 𝑥 ) = 6 𝑥 + 8 𝑥 + 1 2 , avec son maximum en 1 3 , 9 , et minimum en ( − 3 , − 1 ) , et nulle en − 4 3 comme indiqué sur la figure.

Détermine une expression pour la fonction réciproque 𝑓 − 1 lorsque 𝑓 est restreinte à l'intervalle − 4 3 < 𝑥 ⩽ 1 3 .

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 + √ − 𝑥 + 8 𝑥 + 9 𝑥 − 1 2
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 1 6 𝑥 + 8 − 1 2
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 + √ − 𝑥 + 8 𝑥 + 9 − 1 2
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 − √ − 𝑥 + 8 𝑥 + 9 𝑥 − 1 2
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 − √ − 𝑥 + 8 𝑥 + 9 − 1 2

Quel est l'ensemble de définition de 𝑓 − 1 dans ce cas ?

  • A 0 < 𝑥 ⩽ 9
  • B − 1 ⩽ 𝑥 ⩽ 9
  • C − 1 < 𝑥 ⩽ 9
  • D − 4 3 < 𝑥 ⩽ 1 3
  • E 0 ⩽ 𝑥 ⩽ 9

Q3:

Les courbes représentatives de 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 𝑏 3 et sa réciproque 𝑓 ( 𝑥 ) − 1 se croisent en trois points, dont l'un a pour coordonnées 4 5 , 4 5 .

Détermine la valeur de 𝑏 .

  • A 6 4 1 2 5
  • B 1 6 4 1 2 5
  • C 4 5
  • D 3 6 1 2 5
  • E − 4 5

Détermine l'abscisse 𝑥 du point 𝐴 indiqué sur la figure.

  • A 3 6 1 2 5
  • B 4 5
  • C 6 4 1 2 5
  • D 1 6 4 1 2 5
  • E − 4 5

Détermine l'abscisse 𝑥 du point 𝐵 indiqué sur la figure.

  • A 8 2 5
  • B − 2 − √ 1 3 5
  • C √ 1 3 − 2 5
  • D 3 6 1 2 5
  • E 1 3

Q4:

La courbe suivante représente 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 − 1 .

Laquelle parmi les suivantes représente la réciproque 𝑓 ( 𝑥 ) − 1  ?

  • A (c)
  • B (b)
  • C (a)

Q5:

Considère les deux figures suivantes.

La première figure montre la courbe de 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 3 et une tangente à la courbe avec un coefficient directeur égal à 1. Cette tangente rencontre la courbe en un point d'abscisse 𝑥 égale à 1 √ 3 .

La seconde figure montre les courbes représentatives de 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 𝑏 3 ainsi que sa réciproque 𝑔 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 − 𝑏 ) − 1 1 3 . Les courbes se croisent dans le troisième quadrant et se touchent dans le premier quadrant.

Quelle est la valeur de 𝑏  ?

  • A 𝑏 = − 2 √ 3 9
  • B 𝑏 = 4 √ 3 9
  • C 𝑏 = − 4 √ 3 9
  • D 𝑏 = 2 √ 3 9
  • E 𝑏 = − 1 √ 3

Quelles sont les abscisses 𝑥 des deux points d'intersection des courbes dans la seconde figure ?

  • A 1 √ 3 et − 2 √ 3
  • B 1 √ 3 et − 5 √ 3
  • C 1 √ 3 et − √ 3 9
  • D √ 3 et − 1 √ 3
  • E √ 3 et − 5 √ 3

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