Feuille d'activités : Déterminer une base et la dimension d'un sous-espace vectoriel engendré

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à vérifier la dépendance linéaire de vecteurs donnés pour déterminer une base et la dimension de leur sous-espace vectoriel engendré.

Q1:

Détermine si les vecteurs suivants forment une base de ℝ et s’ils engendrent cet espace. 103,010,120,000

  • AIls ne forment pas une base de ℝ et ils n’engendrent pas ℝ.
  • BIls ne forment pas une base et ils engendrent ℝ.
  • CIls forment une base de ℝ et ils engendrent ℝ.
  • DIls forment une base deℝ et ils n’engendrent pas ℝ.

Q2:

Considère les vecteurs de la forme suivante : 2𝑡+3𝑠𝑠−𝑡𝑡+𝑠∶𝑠,𝑡∈ℝ.

Cet ensemble est-il un sous-espace de ℝ ? Détermine une base pour ce sous-espace ainsi que sa dimension.

  • Aoui, base : 211,511, dimension : 2.
  • Boui, base : 2−11,311, dimension : 2.
  • Coui, base : 2−11,511, dimension : 2.
  • D non, base : 2−11,311, dimension : 1.
  • Enon, pas de base

Q3:

Considère les vecteurs de la forme suivante : ⎧⎨⎩⎛⎜⎜⎝2𝑡+𝑢𝑡+3𝑢𝑡+𝑠+𝑣𝑢⎞⎟⎟⎠∶𝑠,𝑡,𝑢,𝑣∈ℝ⎫⎬⎭

Cet ensemble est-il un sous-espace de ℝ ? Si oui, détermine une base du sous-espace ainsi que sa dimension.

  • Aoui, base : ⎧⎨⎩⎛⎜⎜⎝0010⎞⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎝2110⎞⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎝1311⎞⎟⎟⎠⎫⎬⎭, dimension : 3.
  • Bnon
  • Coui, base : ⎧⎨⎩⎛⎜⎜⎝0010⎞⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎝2111⎞⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎝1301⎞⎟⎟⎠⎫⎬⎭, dimension : 3.
  • Doui, base : ⎧⎨⎩⎛⎜⎜⎝0011⎞⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎝2110⎞⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎝1301⎞⎟⎟⎠⎫⎬⎭, dimension : 3.
  • Eoui, base : ⎧⎨⎩⎛⎜⎜⎝0010⎞⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎝2110⎞⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎝1301⎞⎟⎟⎠⎫⎬⎭, dimension : 3.

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