Feuille d'activités de la leçon : Équation d'un plan : équation cartésienne et représentation paramétrique Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à déterminer l'équation d'un plan sous différentes formes, telles que l'équation cartésienne et la représentation paramétrique.

Question 1

DΓ©termine l'Γ©quation gΓ©nΓ©rale du plan π‘₯=4+7𝑑+4π‘‘οŠ§οŠ¨, 𝑦=βˆ’3βˆ’4π‘‘οŠ¨, 𝑧=1+3π‘‘οŠ§.

  • Aπ‘₯+4𝑦+7𝑧+16=0
  • Bπ‘₯+12π‘¦βˆ’28𝑧=0
  • C3π‘₯+3π‘¦βˆ’7𝑧+4=0
  • D12π‘₯+4𝑦+7π‘§βˆ’43=0
  • Eπ‘₯βˆ’12𝑦+28π‘§βˆ’16=0

Question 2

Γ‰cris, sous forme rΓ©duite, l'Γ©quation du plan 16π‘₯+2𝑦+8π‘§βˆ’16=0.

  • Aπ‘₯1+𝑦8+𝑧2=16
  • Bπ‘₯16+𝑦2+𝑧8=1
  • Cπ‘₯1+𝑦8+𝑧2=1
  • Dπ‘₯16+𝑦16+𝑧16=1
  • Eπ‘₯16+𝑦2+𝑧8=16

Question 3

Quelle est la longueur du segment de l'axe des 𝑦 coupΓ© par le plan d'Γ©quation 5π‘₯βˆ’4π‘¦βˆ’3𝑧+32=0 ?

  • A18 d'une unitΓ© de longueur
  • B8 unitΓ©s de longueur
  • C32 unitΓ©s de longueur
  • D4 unitΓ©s de longueur

Question 4

DΓ©termine la forme gΓ©nΓ©rale de l'Γ©quation du plan qui coupe les axes de coordonnΓ©es en les points (2,0,0), (0,8,0) et (0,0,4).

  • A4π‘₯+𝑦+2𝑧+8=0
  • Bπ‘₯+4𝑦+2𝑧+7=0
  • C4π‘₯+𝑦+2π‘§βˆ’8=0
  • Dπ‘₯+4𝑦+2𝑧=0

Question 5

Sachant que le plan d'Γ©quation 2π‘₯+6𝑦+2𝑧=18 coupe respectivement les axes des π‘₯, 𝑦 et 𝑧 aux points 𝐴, 𝐡 et 𝐢, calcule l'aire du triangle 𝐴𝐡𝐢.

  • A27√11
  • B2√19
  • C27√112
  • D3√192
  • E3√152

Question 6

DΓ©termine l'Γ©quation gΓ©nΓ©rale du plan qui passe par le point de coordonnΓ©es (8;βˆ’9;βˆ’9), et qui coupe les trois axes du repΓ¨re en des points de mΓͺme valeur.

  • Aπ‘₯+𝑦+𝑧+10=0
  • Bπ‘₯+𝑦+π‘§βˆ’648=0
  • C8π‘₯βˆ’9π‘¦βˆ’9𝑧=0
  • Dπ‘₯+𝑦+π‘§βˆ’10=0
  • E8π‘₯+𝑦+𝑧=0

Question 7

DΓ©termine l'Γ©quation du plan qui coupe les axes du repΓ¨re en les points 𝐴, 𝐡 et 𝐢, sachant que le point d'intersection des mΓ©dianes du triangle 𝐴𝐡𝐢 est le point de coordonnΓ©es (𝑙;π‘š;𝑛).

  • A𝑙π‘₯+π‘šπ‘¦+𝑛𝑧=1
  • Bπ‘₯+𝑦+𝑧=𝑙+π‘š+𝑛
  • C𝑙π‘₯+π‘šπ‘¦+𝑛𝑧=3
  • Dπ‘₯𝑙+π‘¦π‘š+𝑧𝑛=3
  • Eπ‘₯𝑙+π‘¦π‘š+𝑧𝑛=1

Question 8

DΓ©termine l'Γ©quation du plan qui coupent respectivement les axes des π‘₯, 𝑦 et 𝑧 sont βˆ’7, 3 et βˆ’4.

  • Aβˆ’π‘₯4βˆ’π‘¦7βˆ’π‘§4=1
  • Bπ‘₯3βˆ’π‘¦7βˆ’π‘§4=1
  • Cβˆ’π‘₯7βˆ’π‘¦4+𝑧3=1
  • Dβˆ’π‘₯7+𝑦3βˆ’π‘§4=1

Question 9

Quelle est la longueur du segment de l'axe des π‘₯ coupΓ© par le plan d'Γ©quation 6π‘₯+3𝑦+5𝑧=4 ?

  • A43
  • B23
  • C32
  • D45
  • E54

Question 10

Choisis une reprΓ©sentation paramΓ©trique possible du plan d'Γ©quation π‘₯+2π‘¦βˆ’3𝑧=3.

  • Aπ‘₯=3π‘‘οŠ§,𝑦=3π‘‘οŠ¨,𝑧=1+π‘‘βˆ’2π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Bπ‘₯=βˆ’3π‘‘οŠ§,𝑦=3π‘‘οŠ¨,𝑧=𝑑+2π‘‘βˆ’1
  • Cπ‘₯=3π‘‘οŠ§,𝑦=3π‘‘οŠ¨,𝑧=𝑑+2π‘‘βˆ’1
  • Dπ‘₯=3π‘‘οŠ§,𝑦=3π‘‘οŠ¨,𝑧=1βˆ’π‘‘+2π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Eπ‘₯=3π‘‘οŠ§,𝑦=βˆ’3π‘‘οŠ¨,𝑧=𝑑+2π‘‘βˆ’1

Question 11

DΓ©termine l'Γ©quation gΓ©nΓ©rale du plan qui passe par les deux points 𝐴(8,βˆ’7,βˆ’2) et 𝐡(1,βˆ’4,βˆ’1), sachant que la distance entre l'intersection avec l'axe des π‘₯ et l'origine est Γ©gale Γ  la distance entre l'intersection avec l'axe des 𝑦 et l'origine.

  • Aπ‘₯+𝑦+4𝑧+7=0
  • Bβˆ’7π‘₯βˆ’7π‘¦βˆ’74π‘§βˆ’1=0
  • Cβˆ’74π‘₯βˆ’74π‘¦βˆ’7𝑧+1=0
  • D4π‘₯+4𝑦+𝑧+7=0

Question 12

DΓ©termine la reprΓ©sentation paramΓ©trique du plan qui passe par le point 𝐴(1;2;1) et qui contient les vecteurs ⃑𝑑=(1;βˆ’1;2) et ⃑𝑑=(2;βˆ’1;1).

  • Aπ‘₯=1+𝑑+2π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=2+2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=1+2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Bπ‘₯=1+2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=2+2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=1+𝑑+2π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Cπ‘₯=1+𝑑+2π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=1βˆ’π‘‘+2π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=1+2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Dπ‘₯=1+2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=2βˆ’π‘‘βˆ’π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=1+𝑑+2π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Eπ‘₯=1+𝑑+2π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=2βˆ’π‘‘βˆ’π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=1+2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨

Question 13

Laquelle des expressions suivantes est la reprΓ©sentation paramΓ©trique de l’équation du plan qui contient la droite π‘₯+1βˆ’2=π‘¦βˆ’22=π‘§βˆ’54 et le vecteur ⃑𝑑=1;3;1 ?

  • Aπ‘₯=βˆ’1+2𝑑+5π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=2+2𝑑+3π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=βˆ’5+4𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Bπ‘₯=βˆ’1βˆ’2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=2+2𝑑+3π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=βˆ’5+4𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Cπ‘₯=βˆ’1βˆ’2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=βˆ’2+2𝑑+3π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=5+4𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Dπ‘₯=βˆ’1βˆ’2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=2+2𝑑+3π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=5+4𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Eπ‘₯=βˆ’1+2𝑑+5π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=βˆ’2+2𝑑+3π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=5+4𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨

Question 14

DΓ©termine une Γ©quation cartΓ©sienne possible du plan π‘₯=2βˆ’π‘‘+3π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=βˆ’1+𝑑+3π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=βˆ’2βˆ’3𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨.

  • A10π‘₯βˆ’8π‘¦βˆ’6𝑧=βˆ’24
  • B10π‘₯βˆ’8π‘¦βˆ’6𝑧=40
  • C10π‘₯+8π‘¦βˆ’6𝑧=βˆ’40
  • D10π‘₯βˆ’8π‘¦βˆ’6𝑧=24
  • E10π‘₯+8π‘¦βˆ’6𝑧=24

Question 15

Vrai ou faux : On peut Γ©crire les Γ©quations paramΓ©triques d'un plan Γ  l'aide des Γ©quations de deux droites non colinΓ©aires dans le plan.

  • Avrai
  • Bfaux

Question 16

Détermine l'équation paramétrique du plan qui passe par les points 𝐴(1;5;1),𝐡(3;4;3) et 𝐢(2;3;4).

  • Aπ‘₯=1βˆ’2π‘‘βˆ’π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=5+𝑑+2π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=1+3𝑑+2π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Bπ‘₯=2βˆ’2π‘‘βˆ’π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=3+4π‘‘οŠ§,𝑧=4+2𝑑+3π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Cπ‘₯=2+2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=3βˆ’π‘‘+π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=4+2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Dπ‘₯=3βˆ’2π‘‘βˆ’π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=4+π‘‘βˆ’π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=3βˆ’2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Eπ‘₯=βˆ’1βˆ’π‘‘+2π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=βˆ’1+2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=1+3𝑑+2π‘‘οŠ§οŠ¨

Question 17

Un plan passe par le point (7;5;8), qui se situe Γ©galement sur la perpendiculaire tracΓ©e depuis l'origine jusqu'au plan. Laquelle des Γ©quations suivantes est une Γ©quation de ce plan ?

  • Aβˆ’7(π‘₯βˆ’7)+5(𝑦+5)βˆ’8(π‘§βˆ’8)=0
  • Bβˆ’7(π‘₯+7)+5(π‘¦βˆ’5)βˆ’8(𝑧+8)=0
  • C7(π‘₯βˆ’7)βˆ’5(𝑦+5)+8(π‘§βˆ’8)=0
  • D7(π‘₯+7)βˆ’5(π‘¦βˆ’5)+8(𝑧+8)=0
  • E7(π‘₯βˆ’7)+5(π‘¦βˆ’5)+8(π‘§βˆ’8)=0

Question 18

Quels sont les points d'intersection avec les axes des π‘₯,𝑦 et 𝑧 du plan d'Γ©quation π‘₯2βˆ’π‘¦3+𝑧5=1 ?

  • A2, 3 et βˆ’5
  • Bβˆ’2, 3 et 5
  • C2, 3 et 5
  • D2, βˆ’3 et 5
  • E2, βˆ’3 et βˆ’5

Question 19

Vrai ou faux : L'Γ©quation cartΓ©sienne du plan d'Γ©quation π‘₯1+𝑦8+𝑧2=1 est 8π‘₯+𝑦+4π‘§βˆ’8=0.

  • Avrai
  • Bfaux

Question 20

Laquelle des expressions suivantes est la reprΓ©sentation paramΓ©trique de l’équation du plan qui contient les deux droites π‘₯βˆ’1βˆ’2=𝑦+1βˆ’1=π‘§βˆ’13 et π‘₯βˆ’4=π‘¦βˆ’2βˆ’2=𝑧+16 ?

  • Aπ‘₯=1βˆ’2𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=βˆ’1βˆ’π‘‘+3π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=1+3𝑑+2π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Bπ‘₯=1βˆ’2π‘‘βˆ’π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=βˆ’1βˆ’π‘‘+3π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=1+3π‘‘βˆ’2π‘‘οŠ§οŠ¨
  • Cπ‘₯=βˆ’π‘‘+π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=βˆ’4𝑑+π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=βˆ’1βˆ’2π‘‘οŠ§
  • Dπ‘₯=βˆ’π‘‘+π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=2βˆ’π‘‘βˆ’3π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=βˆ’1βˆ’2π‘‘οŠ§
  • Eπ‘₯=1βˆ’2π‘‘βˆ’π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑦=βˆ’1βˆ’π‘‘+3π‘‘οŠ§οŠ¨,𝑧=βˆ’1+3π‘‘οŠ§

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