Feuille d'activités : Théorème des valeurs intermédiaires

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

Q1:

La fonction 𝐹(𝑥)=1𝑥+3 satisfait à 𝐹(1)<3 et 𝐹(1)>3. Mais il n'y a pas de 𝑥 entre 1 et 1 où 𝐹(𝑥)=3. Pourquoi cela n'enfreint pas le théorème des valeurs intermédiaires?

  • ACar la fonction n'est pas définie sur tout l'intervalle [1;1].
  • BCar le théorème des valeurs intermédiaires ne s'applique que sur l'intervalle ]0;+[.
  • CCar le théorème des valeurs intermédiaires ne s'applique que dans les cas où 𝐹(𝑥)=0, non pas 𝐹(𝑥)=3.
  • DCar la fonction 𝐹 n'est pas continue sur son ensemble de définition.
  • ECar le théorème des valeurs intermédiaires ne s'applique qu'aux fonctions polynômes.

Q2:

La figure est la courbe représentative de 𝑓 sur l'intervalle [0,16] avec la droite en pointillés d'équation 𝑦=30.

𝑓(0)<30 et 𝑓(16)>30, mais 𝑓(𝑥)30 partout sur [0,16]. Pourquoi cela ne contredit pas le théorème de la valeur intermédiaire?

  • Acar le théorème des valeurs intermédiaires s'applique seulement aux fonctions polynômes
  • Bcar le théorème des valeurs intermédiaires s'applique seulement aux fonctions avec 𝑓(𝑥)<0 en une certaine valeur
  • Ccar le théorème des valeurs intermédiaires s'applique seulement là où 𝑓(𝑥)=0 mais pas là où 𝑓(𝑥)=30
  • Dcar la fonction n'est pas continue en 𝑥=8
  • Ecar la fonction n'est pas définie sur l'intervalle entier [0,16]

Q3:

Soit 𝑓(𝑥)=3𝑥. Selon le théorème des valeurs intermédiaires, lequel des intervalles suivants doit contenir une solution de 𝑓(𝑥)=0?

  • A[2;3]
  • B[3;2]
  • C[1;2]
  • D[0;1]
  • E[2;1]

Q4:

Kenza étudie la fonction définie par 𝑓(𝑥)=16𝑥3𝑥10. Premièrement, elle veut prouver qu'il existe une racine entre 5 et 6. Elle sait que la fonction est continue et a calculé 𝑓(5)=4,17, au centième près, et 𝑓(6)=8.

Explique comment les calculs de Kenza peuvent être utilisés pour prouver qu'une racine existe entre 5 et 6.

  • AComme il y a un changement de signe entre les valeurs de 𝑓(5) et 𝑓(6), et comme la fonction est continue, alors il existe au moins une racine entre 5 et 6.
  • BComme il y a un changement de signe entre les valeurs de 𝑓(5) et 𝑓(6), et que la fonction est continue, alors il existe exactement une racine entre 5 et 6.
  • CComme il y a un changement de signe entre les valeurs de 𝑓(5) et 𝑓(6), alors il existe au moins une racine entre 5 et 6, peu importe si la fonction est continue ou non.
  • DComme la valeur de la fonction croît entre les valeurs de 𝑓(5) et 𝑓(6), alors il existe exactement une racine entre 5 et 6, peu importe si la fonction est continue ou non.
  • EComme la valeur de la fonction décroît entre les valeurs de 𝑓(5) et 𝑓(6), et que la fonction est continue, alors il existe au moins une racine entre 5 et 6.

Kenza décide d'arrondir la racine au dixième près en utilisant l'interpolation linéaire, qui utilise les propriétés des triangles semblables. Elle trace la figure suivante.

Kenza utilise la figure pour former l'équation 𝑥5|𝑓(5)|=6𝑥|𝑓(6)| qu'elle peut résoudre pour déterminer la première approximation de la racine. Calcule la valeur de 𝑥 au millième près.

Kenza utilise ensuite la première approximation pour affiner l'intervalle comprenant la racine, puis répète ce processus avec ce nouvel intervalle. Continue ce processus pour déterminer la valeur de la racine au dixième près.

Q5:

Si 𝑓(𝑥) est continue sur [0;3], 𝑓(0)>0, et que 𝑓(3)>0, pouvons-nous utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour conclure que 𝑓(𝑥) n'a pas de zéro sur l'intervalle [0;3]?

  • ANon
  • BOui

Q6:

Considère un polynôme 𝑃(𝑥).

Sachant que 𝑃(2)=22 et 𝑃(4)=1, laquelle des conclusions suivantes pouvez-vous tirer au sujet des zéros de 𝑃?

  • A𝑃(𝑥)0 pour tout 𝑥2, donc il n'y a pas de zéro ici.
  • BIl y a un zéro sur l'intervalle ]2;4[.
  • COn ne peut rien conclure.
  • DIl n'y a pas un zéro sur l'intervalle [2;4].
  • E𝑃(𝑥)>0 pour 𝑥2, donc il n'y a pas de zéro ici.

Sachant que lim𝑃(𝑥)=; que pouvez-vous conclure sur les zéros de 𝑃 sur l'intervalle ];2[?

  • AIl y a exactement un zéro sur cet intervalle.
  • BOn ne peut rien conclure.
  • CIl y a au moins un zéro sur cet intervalle.
  • DIl n'y a pas de zéro sur cet intervalle.
  • EIl y a deux zéros sur cet intervalle.

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