Feuille d'activités : Systèmes d'équations ayant un nombre infini de solutions

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer la solution générale d'un système d'équations linéaires qui a un nombre infini de solutions données sous forme d'équation matricielle ou de matrice augmentée.

Q1:

Détermine la solution générale du système linéaire suivant : 0−121−211−45𝑥𝑦𝑧=1−11

  • A 1 − 1 1 + 𝑡 1 2 3
  • B − 3 1 0 + 𝑡 − 1 − 2 − 4
  • C − 3 1 0 + 𝑡 3 2 1
  • D 1 − 1 1 + 𝑡 3 2 1
  • E − 3 1 0 + 𝑡 1 2 3

Q2:

Détermine la solution générale du système linéaire suivant : ⎛⎜⎜⎝10111−1103−1323303⎞⎟⎟⎠𝑥𝑦𝑧𝑤=⎛⎜⎜⎝1243⎞⎟⎟⎠

  • A ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 4 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0 − 1 − 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • B ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 4 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 − 1 − 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • C ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − 1 − 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0 − 1 − 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • D ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − 1 − 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 − 1 − 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • E ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − 1 − 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 − 1 3 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Q3:

Détermine la solution générale du système linéaire suivant : 1−121−203−44𝑥𝑦𝑧=124

  • A 0 − 1 0 + 𝑡 − 4 − 2 1
  • B 1 2 4 + 𝑡 − 4 − 2 1
  • C 0 − 1 0 + 𝑡 1 1 3
  • D 0 − 1 0 + 𝑡 1 − 2 − 4
  • E 1 2 4 + 𝑡 1 − 2 − 4

Q4:

Détermine la solution générale du système linéaire suivant : ⎛⎜⎜⎝1101211210110000⎞⎟⎟⎠𝑥𝑦𝑧𝑤=⎛⎜⎜⎝2−1−30⎞⎟⎟⎠

  • A ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 8 5 0 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • B ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 8 5 0 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 1 − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • C ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − 1 − 3 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 1 − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • D ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − 1 − 3 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 1 1 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • E ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 8 5 0 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 1 1 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Q5:

Détermine la solution générale du système d’équations suivant : ⎛⎜⎜⎝11011−11031123303⎞⎟⎟⎠𝑥𝑦𝑧𝑤=⎛⎜⎜⎝1243⎞⎟⎟⎠

  • A − 𝑠 − 𝑡 𝑠 − 𝑡 𝑠 𝑡 + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 2 − 1 2 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • B ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 𝑠 𝑡 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 2 − 1 2 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • C ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 𝑠 𝑡 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 4 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • D ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑡 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 𝑠 − 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 2 − 1 2 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • E ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑡 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 𝑠 − 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 4 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Q6:

Détermine la solution générale du système linéaire suivant : 1−121−213−45𝑥𝑦𝑧=124

  • A 1 2 4 + 𝑡 1 − 1 − 3
  • B 0 − 1 0 + 𝑡 1 − 1 − 3
  • C 1 2 4 + 𝑡 − 3 − 1 1
  • D 0 − 1 0 + 𝑡 − 3 − 1 1
  • E 0 − 1 0 + 𝑡 − 4 − 2 3

Q7:

Détermine la solution générale du système linéaire suivant : ⎛⎜⎜⎝1101211210110−111⎞⎟⎟⎠𝑥𝑦𝑧𝑤=⎛⎜⎜⎝2−1−31⎞⎟⎟⎠

  • A ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 9 5 0 6 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 1 2 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • B ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 9 5 0 6 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 1 1 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • C ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − 1 − 3 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 1 1 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • D ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − 1 − 3 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 1 − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • E ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 9 5 0 6 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ + 𝑡 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 1 − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Q8:

Détermine la solution générale du système linéaire suivant : ⎛⎜⎜⎝12321021121443302112⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎝117187⎞⎟⎟⎠

  • A ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑢 𝑣 𝑤 𝑤 − 𝑣 − 2 𝑢 − 1 2 𝑢 − 1 2 𝑣 − 𝑤 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 4 7 2 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • B ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑤 − 𝑣 − 2 𝑢 − 1 2 𝑢 − 1 2 𝑣 − 𝑤 𝑢 𝑣 𝑤 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 4 7 2 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • C ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − 1 2 𝑢 − 1 2 𝑣 − 𝑤 𝑤 − 𝑣 − 2 𝑢 𝑢 𝑣 𝑤 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 4 7 2 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • D ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑢 𝑣 𝑤 𝑤 − 𝑣 − 2 𝑢 − 1 2 𝑢 − 1 2 𝑣 − 𝑤 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 7 1 8 7 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • E ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑤 − 𝑣 − 2 𝑢 − 1 2 𝑢 − 1 2 𝑣 − 𝑤 𝑢 𝑣 𝑤 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 7 1 8 7 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Q9:

Détermine l'ensemble solution du système d'équations 7𝑥+14𝑦+15𝑧=22, 2𝑥+4𝑦+3𝑧=5, 3𝑥+6𝑦+10𝑧=13, en donnant ta réponse en fonction d'un paramètre réel 𝑡 si nécessaire.

  • A 𝑥 = 1 − 3 𝑡 , 𝑧 = − 1 , 𝑦 = 2 𝑡
  • B 𝑥 = 1 + 2 𝑡 , 𝑧 = 1 , 𝑦 = − 𝑡
  • C 𝑥 = 1 + 2 𝑡 , 𝑧 = 1 , 𝑦 = − 𝑡
  • D 𝑥 = 1 − 2 𝑡 , 𝑧 = − 1 , 𝑦 = 𝑡
  • E 𝑥 = 1 − 2 𝑡 , 𝑧 = 1 , 𝑦 = 𝑡

Q10:

Détermine l'ensemble solution du système d'équations 3𝑥−𝑦+4𝑧=6, 𝑦+8𝑧=0, −2𝑥+𝑦=−4, en donnant ta réponse en fonction d'un paramètre réel 𝑡 si nécessaire.

  • A 𝑥 = 2 + 4 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = 8 𝑡
  • B 𝑥 = 2 + 3 𝑡 , 𝑧 = 2 𝑡 , 𝑦 = − 8 𝑡
  • C 𝑥 = 2 − 4 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = − 8 𝑡
  • D 𝑥 = 2 − 4 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = 8 𝑡
  • E 𝑥 = 2 + 4 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = − 8 𝑡

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