Feuille d'activités : Systèmes d'équations ayant un nombre infini de solutions

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer la solution générale d'un système d'équations linéaires qui a un nombre infini de solutions données sous forme d'équation matricielle ou de matrice augmentée.

Q1:

Détermine la solution générale du système linéaire suivant : 0−121−211−45𝑥𝑦𝑧=1−11.

  • A−310+𝑡−1−2−4
  • B−310+𝑡123
  • C−310+𝑡321
  • D1−11+𝑡321
  • E1−11+𝑡123

Q2:

Détermine la solution générale du système linéaire suivant : ⎛⎜⎜⎝10111−1103−1323303⎞⎟⎟⎠𝑥𝑦𝑧𝑤=⎛⎜⎜⎝1243⎞⎟⎟⎠.

  • A⎛⎜⎜⎝1243⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝1−1−10⎞⎟⎟⎠
  • B⎛⎜⎜⎝2−1−10⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝0−1−11⎞⎟⎟⎠
  • C⎛⎜⎜⎝2−1−10⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝1−1−10⎞⎟⎟⎠
  • D⎛⎜⎜⎝2−1−10⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝1−133⎞⎟⎟⎠
  • E⎛⎜⎜⎝1243⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝0−1−11⎞⎟⎟⎠

Q3:

Détermine la solution générale du système linéaire suivant : 1−121−203−44𝑥𝑦𝑧=124.

  • A0−10+𝑡1−2−4
  • B124+𝑡−4−21
  • C124+𝑡1−2−4
  • D0−10+𝑡113
  • E0−10+𝑡−4−21

Q4:

Détermine la solution générale du système linéaire suivant : ⎛⎜⎜⎝1101211210110000⎞⎟⎟⎠𝑥𝑦𝑧𝑤=⎛⎜⎜⎝2−1−30⎞⎟⎟⎠.

  • A⎛⎜⎜⎝−8505⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝−1110⎞⎟⎟⎠
  • B⎛⎜⎜⎝−8505⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝011−1⎞⎟⎟⎠
  • C⎛⎜⎜⎝−8505⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝1110⎞⎟⎟⎠
  • D⎛⎜⎜⎝2−1−30⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝−1110⎞⎟⎟⎠
  • E⎛⎜⎜⎝2−1−30⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝011−1⎞⎟⎟⎠

Q5:

Détermine la solution générale du système d’équations suivant : ⎛⎜⎜⎝11011−11031123303⎞⎟⎟⎠𝑥𝑦𝑧𝑤=⎛⎜⎜⎝1243⎞⎟⎟⎠.

  • A−𝑠−𝑡𝑠−𝑡𝑠𝑡+⎛⎜⎜⎜⎜⎝32−1200⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • B⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝑡12𝑠−12𝑡𝑠−12𝑠−12𝑡⎞⎟⎟⎟⎟⎠+⎛⎜⎜⎜⎜⎝32−1200⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • C⎛⎜⎜⎜⎜⎝−12𝑠−12𝑡12𝑠−12𝑡𝑠𝑡⎞⎟⎟⎟⎟⎠+⎛⎜⎜⎝1243⎞⎟⎟⎠
  • D⎛⎜⎜⎜⎜⎝−12𝑠−12𝑡12𝑠−12𝑡𝑠𝑡⎞⎟⎟⎟⎟⎠+⎛⎜⎜⎜⎜⎝32−1200⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • E⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝑡12𝑠−12𝑡𝑠−12𝑠−12𝑡⎞⎟⎟⎟⎟⎠+⎛⎜⎜⎝1243⎞⎟⎟⎠

Q6:

Détermine la solution générale du système linéaire suivant : 1−121−213−45𝑥𝑦𝑧=124.

  • A0−10+𝑡−4−23
  • B124+𝑡−3−11
  • C0−10+𝑡1−1−3
  • D0−10+𝑡−3−11
  • E124+𝑡1−1−3

Q7:

Détermine la solution générale du système linéaire suivant : ⎛⎜⎜⎝1101211210110−111⎞⎟⎟⎠𝑥𝑦𝑧𝑤=⎛⎜⎜⎝2−1−31⎞⎟⎟⎠.

  • A⎛⎜⎜⎝−9506⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝−1210⎞⎟⎟⎠
  • B⎛⎜⎜⎝2−1−31⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝−1110⎞⎟⎟⎠
  • C⎛⎜⎜⎝−9506⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝011−1⎞⎟⎟⎠
  • D⎛⎜⎜⎝2−1−31⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝011−1⎞⎟⎟⎠
  • E⎛⎜⎜⎝−9506⎞⎟⎟⎠+𝑡⎛⎜⎜⎝−1110⎞⎟⎟⎠

Q8:

Détermine la solution générale du système linéaire suivant : ⎛⎜⎜⎝12321021121443302112⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎝117187⎞⎟⎟⎠.

  • A⎛⎜⎜⎜⎜⎝−12𝑢−12𝑣−𝑤𝑤−𝑣−2𝑢𝑢𝑣𝑤⎞⎟⎟⎟⎟⎠+⎛⎜⎜⎜⎜⎝472000⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • B⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝑤−𝑣−2𝑢−12𝑢−12𝑣−𝑤𝑢𝑣𝑤⎞⎟⎟⎟⎟⎠+⎛⎜⎜⎜⎝1171870⎞⎟⎟⎟⎠
  • C⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝑢𝑣𝑤𝑤−𝑣−2𝑢−12𝑢−12𝑣−𝑤⎞⎟⎟⎟⎟⎠+⎛⎜⎜⎜⎜⎝472000⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • D⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝑢𝑣𝑤𝑤−𝑣−2𝑢−12𝑢−12𝑣−𝑤⎞⎟⎟⎟⎟⎠+⎛⎜⎜⎜⎝1171870⎞⎟⎟⎟⎠
  • E⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝑤−𝑣−2𝑢−12𝑢−12𝑣−𝑤𝑢𝑣𝑤⎞⎟⎟⎟⎟⎠+⎛⎜⎜⎜⎜⎝472000⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Q9:

Détermine l'ensemble solution du système d'équations 7𝑥+14𝑦+15𝑧=22, 2𝑥+4𝑦+3𝑧=5, 3𝑥+6𝑦+10𝑧=13, en donnant ta réponse en fonction d'un paramètre réel 𝑡 si nécessaire.

  • A𝑥=1−3𝑡, 𝑧=−1, 𝑦=2𝑡
  • B𝑥=1+2𝑡, 𝑧=1, 𝑦=−𝑡
  • C𝑥=1+2𝑡, 𝑧=1, 𝑦=−𝑡
  • D𝑥=1−2𝑡, 𝑧=−1, 𝑦=𝑡
  • E𝑥=1−2𝑡, 𝑧=1, 𝑦=𝑡

Q10:

Détermine l'ensemble solution du système d'équations 3𝑥−𝑦+4𝑧=6, 𝑦+8𝑧=0, −2𝑥+𝑦=−4, en donnant ta réponse en fonction d'un paramètre réel 𝑡 si nécessaire.

  • A𝑥=2+4𝑡, 𝑧=𝑡, 𝑦=8𝑡
  • B𝑥=2+3𝑡, 𝑧=2𝑡, 𝑦=−8𝑡
  • C𝑥=2−4𝑡, 𝑧=𝑡, 𝑦=−8𝑡
  • D𝑥=2−4𝑡, 𝑧=𝑡, 𝑦=8𝑡
  • E𝑥=2+4𝑡, 𝑧=𝑡, 𝑦=−8𝑡

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