Feuille d'activités de la leçon : Racines 𝑛-ièmes de l’unité Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à utiliser la formule de Moivre pour trouver les racines 𝑛-ièmes de l'unité tout en explorant leurs propriétés.

Q1:

ร‰cris une expression gรฉnรฉrale des racines de ๐‘ง=1๏Š, en donnant ta rรฉponse sous la forme trigonomรฉtrique.

  • Acossin๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜๐‘›๏‰+๐‘–๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜๐‘›๏‰
  • Bsincos๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜๐‘›๏‰+๐‘–๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜๐‘›๏‰
  • Ccossin(2๐œ‹๐‘˜๐‘›)+๐‘–(2๐œ‹๐‘˜๐‘›)
  • Dcossin๏€ผ2๐œ‹๐‘›๐‘˜๏ˆ+๐‘–๏€ผ2๐œ‹๐‘›๐‘˜๏ˆ
  • E((2๐œ‹๐‘˜)+๐‘–(2๐œ‹๐‘˜))cossin๏Š

Q2:

Dรฉtermine les racines cinquiรจmes de l'unitรฉ.

  • A1, ๐‘’๏Žก๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Žฃ๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žฃ๏‘ฝ๏Žค, ๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žก๏‘ฝ๏Žค
  • Bโˆ’1, ๐‘’๏Šซ๏Ž„๏ƒ, ๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žก๏ƒ, ๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žข๏ƒ, ๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ
  • C1, ๐‘’๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Žก๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Žฃ๏‘ฝ๏Žค๏ƒ
  • D1, ๐‘’๏Šซ๏Ž„๏ƒ, ๐‘’๏Šง๏Šฆ๏Ž„๏ƒ, ๐‘’๏Šง๏Šซ๏Ž„๏ƒ, ๐‘’๏Šจ๏Šฆ๏Ž„๏ƒ
  • Eโˆ’1, ๐‘’๏Žก๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Žฃ๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Žฅ๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Žง๏‘ฝ๏Žค๏ƒ

Quelle est la valeur de leur sommeโ€‰?

Q3:

Soit ๐œ” une racine ๐‘›-iรจme de l'unitรฉ

Laquelle des relations suivantes est correcte entre ๐œ”๏Šฑ๏Šง et ๐œ”โ€‰?

  • A๐œ”=โˆ’๐œ”๏Šฑ๏Šง
  • B๐œ”=(๐œ”)๏Šฑ๏Šง
  • C๐œ”=๐œ”๏Šฑ๏Šง
  • D๐œ”=โˆ’(๐œ”)๏Šฑ๏Šง

Exprime ๐œ”๏Šฑ๏Šง en fonction des puissances positives de ๐œ”.

  • A๐œ”
  • B๐œ”๏Š๏Šฑ๏Šง
  • Cโˆ’๐œ”
  • D๐œ”๏Š๏Šฐ๏Šง
  • E๐œ”๏‘ƒ๏Žก

Q4:

Soit ๐œ” l'une des racines cinquiรจmes de l'unitรฉ. Laquelle des expressions suivantes est รฉgale ร  ๐œ”๏Šฑ๏Šฉโ€‰?

  • A๐œ”๏Šจ
  • B1๐œ”๏Šจ
  • Cโˆ’๐œ”๏Šฉ
  • D๐œ”๏Šฎ
  • E๐œ”๏Šฑ๏Šง๏Šซ

Q5:

Dรฉtermine les racines cubiques de l'unitรฉ.

  • A1, cossin(๐œ‹)+๐‘–(๐œ‹), cossin(2๐œ‹)+๐‘–(2๐œ‹)
  • B1, cossin๏€ป๐œ‹3๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹3๏‡, cossin๏€ปโˆ’๐œ‹3๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹3๏‡
  • C1, sincos๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ, sincos๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ
  • D1, cossin๏€ผ2๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ, cossin๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ
  • E1, cossin๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ, cossin๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ

Dรฉtermine les solutions de ๐‘ง=1๏Šฌ.

  • A1, cossin๏€ผ2๐œ‹6๏ˆ+๐‘–๏€ผ2๐œ‹6๏ˆ, cossin๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ, โˆ’1, cossin๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ, cossin๏€ผโˆ’2๐œ‹6๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹6๏ˆ
  • B1, cossin(๐œ‹)โˆ’๐‘–(๐œ‹), cossin(2๐œ‹)โˆ’๐‘–(2๐œ‹), โˆ’1, cossin(4๐œ‹)+๐‘–(4๐œ‹), cossin(5๐œ‹)+๐‘–(5๐œ‹)
  • C1, cossin๏€ป๐œ‹6๏‡โˆ’๐‘–๏€ป๐œ‹6๏‡, cossin๏€ป๐œ‹3๏‡โˆ’๐‘–๏€ป๐œ‹3๏‡, โˆ’1, cossin๏€ปโˆ’๐œ‹3๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹3๏‡, cossin๏€ปโˆ’๐œ‹6๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹6๏‡
  • D1, cossin๏€ป๐œ‹6๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹6๏‡, cossin๏€ป๐œ‹3๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹3๏‡, โˆ’1, cossin๏€ปโˆ’๐œ‹3๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹3๏‡, cossin๏€ปโˆ’๐œ‹6๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹6๏‡
  • E1, cossin๏€ผ2๐œ‹6๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ2๐œ‹6๏ˆ, cossin๏€ผ2๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ, โˆ’1, cossin๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ, cossin๏€ผโˆ’2๐œ‹6๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹6๏ˆ

Quelle est la relation entre les racines cubiques et les racines 6e de l'unitรฉโ€‰?

  • A1 est le seul รฉlรฉment commun entre les racines cubiques de l'unitรฉ et les racines 6e de l'unitรฉ.
  • BToutes les racines cubiques de l'unitรฉ sont รฉgalement des racines 6e de l'unitรฉ.
  • CToutes les racines cubiques de l'unitรฉ et leurs conjuguรฉs sont รฉgalement des racines 6e de l'unitรฉ.
  • DLes racines cubiques de l'unitรฉ divisรฉes par 2 sont les racines 6e de l'unitรฉ.
  • EIl n'y a pas d'รฉlรฉment commun entre les racines cubiques de l'unitรฉ et les racines 6e de l'unitรฉ.

Q6:

Deux polygones rรฉguliers sont inscrits dans le mรชme cercle oรน le premier possรจde 1โ€Žโ€‰โ€Ž731 cรดtรฉs et le second a 4โ€Žโ€‰โ€Ž039. Si les deux polygones ont au moins un sommet en commun, combien de sommets au total coรฏnciderontโ€‰?

Q7:

Si ๐œ” est une racine primitive 6e de l'unitรฉ, laquelle des expressions suivantes est รฉquivalente ร  ๐œ”+๐œ”+๐œ”๏Šจ๏Šฉโ€‰?

  • A1โˆ’๐œ”โˆ’๐œ”๏Šช๏Šซ
  • B1
  • C๐œ”+๐œ”+๐œ”๏Šช๏Šซ๏Šฌ
  • D12๏€น๐œ”+๐œ”+๐œ”๏…๏Šจ๏Šช๏Šฌ
  • Eโˆ’๏€น1+๐œ”+๐œ”๏…๏Šช๏Šซ

Q8:

Combien parmi les racines 8e de l'unitรฉ sont aussi des racines 12e de l'unitรฉโ€‰?

Q9:

Pour combien de paires (๐‘Ž;๐‘) de nombres rรฉels la relation (๐‘Ž+๐‘๐‘–)=๐‘Žโˆ’๐‘๐‘–๏Šจ๏Šฆ๏Šจ๏Šฆ est-elle vรฉrifiรฉeโ€‰?

Q10:

Quelle est l'expression gรฉnรฉrale des racines 10e de l'unitรฉ sous forme trigonomรฉtriqueโ€‰?

  • A((2๐œ‹๐‘˜)+๐‘–(2๐œ‹๐‘˜))cossin๏Šง๏Šฆ
  • Bcossin๏€ฝ10๐œ‹๐‘˜2๏‰+๐‘–๏€ฝ10๐œ‹๐‘˜2๏‰
  • Ccossin(10๐œ‹๐‘˜)+๐‘–(10๐œ‹๐‘˜)
  • Dsincos๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜10๏‰+๐‘–๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜10๏‰
  • Ecossin๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜10๏‰+๐‘–๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜10๏‰

En utilisant leur expression gรฉnรฉrale, identifie la racine 10e de l'unitรฉ qui correspond ร  ๐‘˜=3.

  • Acossin(30๐œ‹)+๐‘–(30๐œ‹)
  • Bcossin๏€ผโˆ’3๐œ‹5๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’3๐œ‹5๏ˆ
  • Ccossin๏€ผโˆ’3๐œ‹10๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’3๐œ‹10๏ˆ
  • Dcossin๏€ผ3๐œ‹5๏ˆ+๐‘–๏€ผ3๐œ‹5๏ˆ
  • Ecossin๏€ผ3๐œ‹5๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ3๐œ‹5๏ˆ

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