Feuille d'activités de la leçon : Racines 𝑛-ièmes de l'unité Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à utiliser la formule de Moivre pour trouver les racines 𝑛-ièmes de l'unité tout en explorant leurs propriétés.

Q1:

Si ๐œ” est une racine primitive 6e de l'unitรฉ, laquelle des expressions suivantes est รฉquivalente ร  ๐œ”+๐œ”+๐œ”๏Šจ๏Šฉโ€‰?

  • A1โˆ’๐œ”โˆ’๐œ”๏Šช๏Šซ
  • B1
  • C๐œ”+๐œ”+๐œ”๏Šช๏Šซ๏Šฌ
  • D12๏€น๐œ”+๐œ”+๐œ”๏…๏Šจ๏Šช๏Šฌ
  • Eโˆ’๏€น1+๐œ”+๐œ”๏…๏Šช๏Šซ

Q2:

Laquelle, parmi les suivantes, est l'expression gรฉnรฉrale des racines de ๐‘ง=1๏Š sous la forme exponentielleโ€‰?

  • A๐‘’๏Žก๏‘ฝ๏‘ƒ๏‘€๏ƒ
  • B๐‘’๏Ž„๏‡๏Š๏ƒ
  • C๐‘›๐‘’๏Šจ๏Ž„๏‡๏ƒ
  • D๐‘’๏Žก๏‘ฝ๏‘€๏‘ƒ๏ƒ
  • E๐‘’๏Šจ๏Ž„๏‡๏Š๏ƒ

Q3:

Lequel des nombres suivants est l'une des racines 8e de l'unitรฉ sous la forme cartรฉsienneโ€‰?

  • Aโˆš2โˆ’โˆš2๐‘–
  • Bโˆ’12โˆ’โˆš32๐‘–
  • Cโˆš32โˆ’12๐‘–
  • D2โˆš2+2โˆš2๐‘–
  • Eโˆš22โˆ’โˆš22๐‘–

Q4:

Soit ๐œ” une racine ๐‘›-iรจme de l'unitรฉ. Quand peut-on dรฉfinir ๐œ” comme une racine ๐‘›-iรจme primitive de l'unitรฉโ€‰?

  • ALorsque c'est une racine ๐‘š-iรจme de l'unitรฉ pour un certain ๐‘š<๐‘›.
  • BLorsque c'est une racine ๐‘š-iรจme de l'unitรฉ, oรน ๐‘š๐‘› est un nombre premier.
  • CSeulement lorsque ๐‘› est un nombre premier.
  • DSeulement lorsque ๐‘› est un nombre pair.
  • ELorsque ce n'est pas une racine ๐‘š-iรจme de l'unitรฉ pour un certain ๐‘š<๐‘›.

Q5:

Soit ๐œ” l'une des racines cinquiรจmes de l'unitรฉ. Laquelle des expressions suivantes est รฉgale ร  ๐œ”๏Šฑ๏Šฉโ€‰?

  • A๐œ”๏Šจ
  • B1๐œ”๏Šจ
  • Cโˆ’๐œ”๏Šฉ
  • D๐œ”๏Šฎ
  • E๐œ”๏Šฑ๏Šง๏Šซ

Q6:

Soit ๐œ” une racine ๐‘›-iรจme de l'unitรฉ et ๐‘˜ un entier positif. Laquelle parmi les suivantes n'est pas une expression รฉquivalente ร  ๐œ”๏Šฑ๏‡โ€‰?

  • A๏€น๐œ”๏…๏‡
  • B๐œ”๏Š๏Šฑ๏‡
  • C๐œ”๏Š๏Šฐ๏‡
  • D1๐œ”๏‡
  • E๏€น๐œ”๏…๏‡๏Šฑ๏Šง

Q7:

Soit ๐œ” une racine ๐‘›-iรจme de l'unitรฉ, oรน ๐‘› est un entier pair. Laquelle des expressions suivantes est รฉquivalente ร  โˆ’๐œ”๏‡โ€‰?

  • A๐œ”๏‡๏Šฐ๏‘ƒ๏Žฃ
  • B๐œ”๏‡๏Šฐ๏Š
  • C๐œ”๏‡๏Šฐ๏‘ƒ๏Žก
  • D(๐œ”)๏Šฑ๏‡
  • E๐œ”๏Šฑ๏‡

Q8:

Lequel parmi les nombres suivants n'est pas l'une des racines cubiques de l'unitรฉโ€‰?

  • A1
  • Bcossin๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ
  • Ccossin๏€ผ2๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ
  • Dcossin๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ
  • Ecossin๏€ป๐œ‹3๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹3๏‡

Q9:

Combien parmi les racines 8e de l'unitรฉ sont aussi des racines 12e de l'unitรฉโ€‰?

Q10:

Quelle est l'expression gรฉnรฉrale des racines 10e de l'unitรฉ sous forme trigonomรฉtriqueโ€‰?

  • A((2๐œ‹๐‘˜)+๐‘–(2๐œ‹๐‘˜))cossin๏Šง๏Šฆ
  • Bcossin๏€ฝ10๐œ‹๐‘˜2๏‰+๐‘–๏€ฝ10๐œ‹๐‘˜2๏‰
  • Ccossin(10๐œ‹๐‘˜)+๐‘–(10๐œ‹๐‘˜)
  • Dsincos๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜10๏‰+๐‘–๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜10๏‰
  • Ecossin๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜10๏‰+๐‘–๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜10๏‰

En utilisant leur expression gรฉnรฉrale, identifie la racine 10e de l'unitรฉ qui correspond ร  ๐‘˜=3.

  • Acossin(30๐œ‹)+๐‘–(30๐œ‹)
  • Bcossin๏€ผโˆ’3๐œ‹5๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’3๐œ‹5๏ˆ
  • Ccossin๏€ผโˆ’3๐œ‹10๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’3๐œ‹10๏ˆ
  • Dcossin๏€ผ3๐œ‹5๏ˆ+๐‘–๏€ผ3๐œ‹5๏ˆ
  • Ecossin๏€ผ3๐œ‹5๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ3๐œ‹5๏ˆ

Cette leçon comprend 21 questions additionnelles et 50 variantes de questions additionnelles pour les abonnés.

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