Feuille d'activités : Formules trigonométriques d'addition et de soustraction

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déduire les identités trigonométriques de somme et de différence d'angle, graphiquement ou en utilisant le cercle unité, et les utiliser pour déterminer des valeurs trigonométriques.

Q1:

Sachant que sincoscossinsin60306030=𝜃, détermine la valeur de 𝜃 en degrés.

Q2:

Simplifie tantantantan(1182𝑋)+(32+2𝑋)1(1182𝑋)(32+2𝑋).

  • A3
  • B33
  • C3
  • D33

Q3:

Évalue tantantantan1+.

  • A3
  • B3
  • C33
  • D33

Q4:

Évalue tancotcottan16+7617616.

  • A33
  • B3
  • C3
  • D33

Q5:

Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝐴 et 𝐵 sont des angles aigus, avec sin𝐴=45 et cos𝐵=35. Sans utiliser de calculatrice, détermine la valeur de cos𝐶.

  • A15
  • B725
  • C1625
  • D15
  • E1625

Q6:

Considérons les deux figures suivantes, chacune montrant deux points sur le cercle unité.

Comment la figure de droite est-elle obtenue à partir de la figure de gauche?

  • Apar rotation d'angle 𝛽 par rapport à l'origine
  • Bpar rotation d'angle 𝛼 par rapport à l'origine
  • Cpar rotation d'angle 𝛽 par rapport à l'origine
  • Dpar rotation d'angle 𝛽𝛼 par rapport à l'origine
  • Epar rotation d'angle 𝛼 par rapport à l'origine

Que peux-tu dire à propos des triangles 𝑂𝑀𝑁 et 𝑂𝑀𝑁?

  • AIls sont superposables.
  • BIls sont semblables.
  • CIls sont équilatéraux.
  • DIls sont différents.
  • EIls sont isocèles.

Détermine les coordonnées de𝑀, 𝑁, 𝑀 et 𝑁.

  • A𝑀(𝛽;𝛽)sincos, 𝑁(𝛼;𝛼)sincos, 𝑀(0;1), 𝑁((𝛼𝛽);(𝛼𝛽))sincos
  • B𝑀(𝛽;𝛽)cossin, 𝑁(𝛼;𝛼)cossin, 𝑀(1;0), 𝑁((𝛼𝛽);(𝛼𝛽))cossin
  • C𝑀(𝛽;𝛽)sincos, 𝑁(𝛼;𝛼)sincos, 𝑀(1;0), 𝑁((𝛼𝛽);(𝛼𝛽))cossin
  • D𝑀(𝛽;𝛽)cossin, 𝑁(𝛼;𝛼)cossin, 𝑀(0;1), 𝑁((𝛼𝛽);(𝛼𝛽))cossin
  • E𝑀(𝛽;𝛽)cossin, 𝑁(𝛼;𝛼)cossin, 𝑀(0;1), 𝑁((𝛼𝛽);(𝛼𝛽))sincos

Calcule les longueurs de [𝑀𝑁]et [𝑀𝑁].

  • A[𝑀𝑁]=2, [𝑀𝑁]=22(𝛼𝛽)cos
  • B[𝑀𝑁]=22𝛼𝛽2𝛼𝛽coscossinsin, [𝑀𝑁]=2+2(𝛼𝛽)cos
  • C[𝑀𝑁]=22𝛼𝛽2𝛼𝛽coscossinsin, [𝑀𝑁]=22(𝛼𝛽)cos
  • D[𝑀𝑁]=2, [𝑀𝑁]=2+2(𝛼𝛽)cos
  • E[𝑀𝑁]=2, [𝑀𝑁]=22(𝛼𝛽)cos

Utilise ce que tu as trouvé dans les questions précédentes pour déterminer une expression pour cos(𝛼𝛽).

  • Acossinsincoscos(𝛼𝛽)=𝛼𝛽𝛼𝛽
  • Bcoscoscossinsin(𝛼𝛽)=𝛼𝛽𝛼𝛽
  • Ccoscoscossinsin(𝛼𝛽)=𝛼𝛽+𝛼𝛽
  • Dcoscoscossinsin(𝛼𝛽)=12𝛼𝛽12𝛼𝛽
  • Ecoscoscossinsin(𝛼𝛽)=𝛼𝛽𝛼𝛽

Q7:

𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que cos𝐴=35 et sin𝐵=45. Détermine sin𝐶 sans utiliser une calculatrice.

  • A1
  • B0
  • C2524
  • D2425

Q8:

Détermine sin(𝐴+𝐵) sachant que cos𝐴=45 et tan𝐵=34, 𝐴 et 𝐵 sont deux angles aigus positifs.

  • A2425
  • B0
  • C2524
  • D2425

Q9:

Calcule csc(𝜃𝜑), sachant que cos𝜃=725 et cos𝜑=35𝜃 et 𝜑 sont des angles aigus.

  • A45
  • B44125
  • C44125
  • D12544
  • E45

Q10:

Sachant que tan𝜃=34, 𝜃 est un angle aigu positif, détermine sin(𝜃+60) sans utiliser de calculatrice.

  • A35
  • B34310
  • C3+4310
  • D3+435

Q11:

Laquelle des expressions suivantes correspond à 21+3?

  • Asin15
  • B415cos
  • Ctan15
  • D415sin

Q12:

Calcule csc(𝜃+𝜑), sachant que cos𝜃=35 et cos𝜑=35, 𝜃 et 𝜑 sont des angles aigus.

  • A2425
  • B2425
  • C2524
  • D0

Q13:

Étant donnés sin𝐴=35 et cos𝐵=1213, 𝐴 et 𝐵 sont deux angles aigus positifs, détermine sin(𝐴+𝐵).

  • A1665
  • B5665
  • C6556
  • D1665

Q14:

Étant données tan𝐴=724 et tan𝐵=34, 𝐴 et 𝐵 sont des angles aigus positifs, détermine sin(𝐴+𝐵).

  • A44125
  • B44125
  • C54
  • D45

Q15:

Calcule cos(𝜃𝜙) sachant que cos𝜃=45 et cos𝜙=35𝜃 et 𝜙 sont deux angles aigus.

  • A2524
  • B2425
  • C2425
  • D0

Q16:

Calcule cos(𝜃+𝜑) sachant que cos𝜃=1517 et cos𝜑=513, 𝜃 et 𝜑 sont des angles aigus.

  • A21221
  • B171221
  • C21221
  • D22121
  • E171221

Q17:

Sachant que sin𝐴=35 et cos𝐵=45, 𝐴 et 𝐵 sont deux angles aigus positifs, détermine cos(𝐴+𝐵).

  • A257
  • B725
  • C725
  • D1

Q18:

Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝐴 et 𝐵 sont des angles aigus, où sin𝐴=45 et cos𝐵=1213. Sans utiliser de calculatrice, détermine la valeur de cos𝐶.

  • A6516
  • B5665
  • C1665
  • D5665

Q19:

Sachant que sin𝜃=45, 𝜃 est un angle aigu positif, détermine cos(150𝜃) sans utiliser une calculatrice.

  • A33+410
  • B33+410
  • C33+45
  • D35

Q20:

Évalue tan(𝑥𝑦) sachant que tantantantan𝑥𝑦1+𝑥𝑦=37.

Q21:

Détermine tan(𝐴𝐵) sachant que cos𝐴=513 et cos𝐵=35𝐴 et 𝐵 sont deux angles aigus positifs.

  • A6316
  • B5633
  • C5633
  • D1663
  • E89

Q22:

Détermine la valeur de tan(𝐴𝐵) sachant que sin𝐴=1517 et sin𝐵=45𝐴 et 𝐵 sont deux angles aigus positifs.

  • A7736
  • B1384
  • C8413
  • D1112
  • E7736

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