Feuille d'activités : Formules trigonométriques d'addition et de soustraction

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déduire les identités trigonométriques de somme et de différence d'angle, graphiquement ou en utilisant le cercle unité, et les utiliser pour déterminer des valeurs trigonométriques.

Q1:

Sachant que sincoscossinsin60306030=𝜃, détermine la valeur de 𝜃 en degrés.

  • A 1 3 5
  • B 3 0
  • C 9 0
  • D 6 0
  • E 4 0

Q2:

Sachant que cos𝜃=57, 3𝜋2𝜃2𝜋, et cos𝜑=23, 0𝜑𝜋2, détermine la valeur exacte de cos(𝜑𝜃).

  • A 5 2 + 2 4 2 2 1
  • B 5 7 + 4 3 2 1
  • C 5 7 + 4 3 2 1
  • D 5 2 2 4 2 2 1
  • E 5 7 4 3 2 1

Q3:

Simplifie tantantantan(1182𝑋)+(32+2𝑋)1(1182𝑋)(32+2𝑋).

  • A 3
  • B 3 3
  • C 3
  • D 3 3

Q4:

Évalue tantantantan1+.

  • A 3
  • B 3
  • C 3 3
  • D 3 3

Q5:

Évalue tancotcottan16+7617616.

  • A 3 3
  • B 3
  • C 3
  • D 3 3

Q6:

Calcule sin(𝜃+𝜑) sachant que sin𝜃=2425, avec 270<𝜃<360, et que cos𝜑=45, avec 180<𝜑<270 .

  • A 1 1 7 1 2 5
  • B 5 3
  • C 3 5
  • D 1 1 7 1 2 5
  • E 3 5

Q7:

Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝐴 et 𝐵 sont des angles aigus, avec sin𝐴=45 et cos𝐵=35. Sans utiliser de calculatrice, détermine la valeur de cos𝐶.

  • A 1 5
  • B 7 2 5
  • C 1 6 2 5
  • D 1 5
  • E 1 6 2 5

Q8:

Considérons les deux figures suivantes, chacune montrant deux points sur le cercle unité.

Comment la figure de droite est-elle obtenue à partir de la figure de gauche?

  • Apar rotation d'angle 𝛽𝛼 par rapport à l'origine
  • Bpar rotation d'angle 𝛽 par rapport à l'origine
  • Cpar rotation d'angle 𝛼 par rapport à l'origine
  • Dpar rotation d'angle 𝛼 par rapport à l'origine
  • Epar rotation d'angle 𝛽 par rapport à l'origine

Que peux-tu dire à propos des triangles 𝑂𝑀𝑁 et 𝑂𝑀𝑁?

  • AIls sont différents.
  • BIls sont semblables.
  • CIls sont superposables.
  • DIls sont isocèles.
  • EIls sont équilatéraux.

Détermine les coordonnées de𝑀, 𝑁, 𝑀 et 𝑁.

  • A 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s i n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s i n , 𝑀 ( 0 , 1 ) , 𝑁 ( ( 𝛼 𝛽 ) , ( 𝛼 𝛽 ) ) s i n c o s
  • B 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s i n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s i n , 𝑀 ( 0 , 1 ) , 𝑁 ( ( 𝛼 𝛽 ) , ( 𝛼 𝛽 ) ) c o s s i n
  • C 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) s i n c o s , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) s i n c o s , 𝑀 ( 1 , 0 ) , 𝑁 ( ( 𝛼 𝛽 ) , ( 𝛼 𝛽 ) ) c o s s i n
  • D 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) s i n c o s , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) s i n c o s , 𝑀 ( 0 , 1 ) , 𝑁 ( ( 𝛼 𝛽 ) , ( 𝛼 𝛽 ) ) s i n c o s
  • E 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s i n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s i n , 𝑀 ( 1 , 0 ) , 𝑁 ( ( 𝛼 𝛽 ) , ( 𝛼 𝛽 ) ) c o s s i n

Calcule les longueurs de 𝑀𝑁et 𝑀𝑁.

  • A 𝑀 𝑁 = 2 , 𝑀 𝑁 = 2 + 2 ( 𝛼 𝛽 ) c o s
  • B 𝑀 𝑁 = 2 , 𝑀 𝑁 = 2 2 ( 𝛼 𝛽 ) c o s
  • C 𝑀 𝑁 = 2 , 𝑀 𝑁 = 2 2 ( 𝛼 𝛽 ) c o s
  • D 𝑀 𝑁 = 2 2 𝛼 𝛽 2 𝛼 𝛽 c o s c o s s i n s i n , 𝑀 𝑁 = 2 + 2 ( 𝛼 𝛽 ) c o s
  • E 𝑀 𝑁 = 2 2 𝛼 𝛽 2 𝛼 𝛽 c o s c o s s i n s i n , 𝑀 𝑁 = 2 2 ( 𝛼 𝛽 ) c o s

Utilise ce que tu as trouvé dans les questions précédentes pour déterminer une expression pour cos(𝛼𝛽).

  • A c o s c o s c o s s i n s i n ( 𝛼 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 𝛼 𝛽
  • B c o s c o s c o s s i n s i n ( 𝛼 𝛽 ) = 1 2 𝛼 𝛽 1 2 𝛼 𝛽
  • C c o s c o s c o s s i n s i n ( 𝛼 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 𝛼 𝛽
  • D c o s s i n s i n c o s c o s ( 𝛼 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 𝛼 𝛽
  • E c o s c o s c o s s i n s i n ( 𝛼 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽

Q9:

Calcule sin(𝐴𝐵) sachant que sin𝐴=513, avec 270<𝐴<360, et que cos𝐵=45, avec 0<𝐵<90.

  • A 5 6 6 5
  • B 1 6 6 5
  • C 6 5 5 6
  • D 1 6 6 5
  • E 5 6 6 5

Q10:

𝐴 𝐵 𝐶 est un triangle tel que cos𝐴=35 et sin𝐵=45. Détermine sin𝐶 sans utiliser une calculatrice.

  • A 1
  • B0
  • C 2 5 2 4
  • D 2 4 2 5

Q11:

Calcule sin(𝛼𝛽) sachant que sin𝛼=45 avec 90<𝛼<180 et cos𝛽=35 avec 180<𝛽<270.

  • A 2 4 2 5
  • B 2 5 2 4
  • C0
  • D 2 4 2 5

Q12:

Détermine sin(𝐴+𝐵) sachant que cos𝐴=45 et tan𝐵=34, 𝐴 et 𝐵 sont deux angles aigus positifs.

  • A 2 4 2 5
  • B0
  • C 2 5 2 4
  • D 2 4 2 5

Q13:

Calcule csc(𝐴+𝐵) sachant que sin𝐴=45, avec 90<𝐴<180, et que cos𝐵=513, avec 180<𝐵<270.

  • A 6 5 1 6
  • B 1 6 6 5
  • C 5 6 6 5
  • D 5 6 6 5
  • E 1 6 6 5

Q14:

Calcule sin(𝜃𝜑), sachant que sin𝜃=45270<𝜃<360, et que cos𝜑=45180<𝜑<270.

  • A 7 2 5
  • B1
  • C 7 2 5
  • D 1

Q15:

Calcule csc(𝜃𝜑), sachant que cos𝜃=725 et cos𝜑=35𝜃 et 𝜑 sont des angles aigus.

  • A 4 5
  • B 4 4 1 2 5
  • C 4 4 1 2 5
  • D 1 2 5 4 4
  • E 4 5

Q16:

Sachant que tan𝜃=34, 𝜃 est un angle aigu positif, détermine sin(𝜃+60) sans utiliser de calculatrice.

  • A 3 5
  • B 3 4 3 1 0
  • C 3 + 4 3 1 0
  • D 3 + 4 3 5

Q17:

Laquelle des expressions suivantes correspond à 21+3?

  • A s i n 1 5
  • B 4 1 5 c o s
  • C t a n 1 5
  • D 4 1 5 s i n

Q18:

Étant donnés tan𝐴=512, 0<𝐴<90, et tan𝐵=43, 90<𝐵<180, détermine sin(𝐴𝐵).

  • A 6 3 6 5
  • B 6 5 6 3
  • C 3 3 6 5
  • D 3 3 6 5

Q19:

Calcule csc(𝜃+𝜑), sachant que cos𝜃=35 et cos𝜑=35, 𝜃 et 𝜑 sont des angles aigus.

  • A 2 4 2 5
  • B 2 4 2 5
  • C 2 5 2 4
  • D0

Q20:

Étant donnés sin𝐴=35 et cos𝐵=1213, 𝐴 et 𝐵 sont deux angles aigus positifs, détermine sin(𝐴+𝐵).

  • A 1 6 6 5
  • B 5 6 6 5
  • C 6 5 5 6
  • D 1 6 6 5

Q21:

Calcule sin(𝑋𝑌) sachant que 25𝑋+7=0cos avec 90<𝑋<180 et cos𝑌=45 avec 270<𝑌<360.

  • A 3 5
  • B 3 5
  • C 1 1 7 1 2 5
  • D 5 3

Q22:

Étant donnés sin𝐴=25169, 180<𝐴<270, et tan𝐵=43, 90<𝐵<180, calcule sin(𝐴𝐵).

  • A 6 3 6 5
  • B 3 3 6 5
  • C 3 3 6 5
  • D 6 5 6 3

Q23:

Détermine la valeur de sin(𝐵2𝐴) sachant que tan𝐴=43𝐴0;𝜋2 et que tan𝐵=247𝐵𝜋;3𝜋2.

  • A 3 3 6 6 2 5
  • B 4 4 1 2 5
  • C 3 3 6 6 2 5
  • D 4 4 1 2 5

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