Feuille d'activités : Résoudre des équations trigonométriques avec une identité de duplication

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à résoudre des équations trigonométriques à l'aide de l'identité de duplication.

Q1:

On considère 0 𝜃 < 1 8 0 . Détermine l’ensemble solution de l’équation 2 𝜃 𝜃 𝜃 = 0 s i n c o s s i n .

  • A { 4 5 ; 1 3 5 }
  • B { 0 ; 1 3 5 }
  • C { 4 5 ; 9 0 }
  • D { 0 ; 4 5 }

Q2:

Détermine 𝜃 sachant que s i n c o s 𝜃 = 4 𝜃 , 𝜃 est la mesure principale et positive d’un angle aigu.

Q3:

Détermine la solution générale de l'équation c o s 3 𝑥 = s i n 𝑥 4 .

  • A 𝑥 = 2 𝜋 1 3 + 4 𝑛 𝜋 1 3 , 𝑥 = 2 𝜋 1 1 + 4 𝑛 𝜋 1 1 , 𝑛
  • B 𝑥 = 2 𝜋 1 3 + 2 𝑛 𝜋 1 3 , 𝑥 = 2 𝜋 1 1 + 2 𝑛 𝜋 1 1 , 𝑛
  • C 𝑥 = 𝜋 1 2 + 𝑛 𝜋 3 , 𝑥 = 2 𝜋 1 1 + 8 𝑛 𝜋 1 1 , 𝑛
  • D 𝑥 = 2 𝜋 1 3 + 8 𝑛 𝜋 1 3 , 𝑥 = 2 𝜋 1 1 + 8 𝑛 𝜋 1 1 , 𝑛
  • E 𝑥 = 𝜋 1 2 + 𝑛 𝜋 3 , 𝑥 = 2 𝜋 1 3 + 8 𝑛 𝜋 1 3 , 𝑛

Q4:

Détermine l’ensemble solution de l’équation 2 𝜃 𝜃 = 0 s i n c o s sachant que 𝜃 [ 0 ; 3 6 0 [ .

  • A { 6 0 , 1 2 0 , 1 8 0 , 2 7 0 }
  • B { 3 0 , 1 5 0 , 1 8 0 , 2 7 0 }
  • C { 0 , 9 0 , 1 2 0 , 2 4 0 }
  • D { 0 , 9 0 , 1 8 0 , 2 7 0 }

Q5:

Détermine la solution générale de l’équation: s i n 𝜃 c o s 𝜃 = 2 2 s i n 𝜃 .

  • A 𝑛 𝜋 ; 𝜋 2 + 2 𝑛 𝜋 (où 𝑛 )
  • B 𝑛 𝜋 ; 𝜋 4 + 2 𝑛 𝜋 (où 𝑛 )
  • C 𝑛 𝜋 ; ± 𝜋 2 + 2 𝑛 𝜋 (où 𝑛 )
  • D 𝑛 𝜋 ; ± 𝜋 4 + 2 𝑛 𝜋 (où 𝑛 )
  • E ± 𝜋 4 + 2 𝑛 𝜋 (où 𝑛 )

Q6:

On considère 0 𝜃 < 1 8 0 . Détermine l’ensemble solution de l’équation 2 𝜃 𝜃 + 𝜃 = 0 s i n c o s s i n .

  • A { 0 ; 6 0 }
  • B { 9 0 ; 1 2 0 }
  • C { 0 ; 3 0 }
  • D { 0 ; 1 2 0 }

Q7:

Résous t a n 𝑥 2 = s i n 𝑥 , 0 𝑥 < 2 𝜋 .

  • A 𝑥 0 , 𝜋 2
  • B 𝑥 0 , 𝜋 2 , 3 𝜋 2 , 2 𝜋
  • C 𝑥 0 , 𝜋 4 , 𝜋 , 3 𝜋 4
  • D 𝑥 0 , 𝜋 2 , 3 𝜋 2
  • E 𝑥 0 , 𝜋 4

Q8:

En utilisant les formules de l'arc moitié s i n 𝑥 2 = 1 c o s 𝑥 2 , ou non, résous l'équation s i n 𝑥 2 + c o s 𝑥 = 1 , 0 𝑥 < 2 𝜋 .

  • A 𝑥 = 0 , 1 6 𝜋
  • B 𝑥 = 0 , 1 3 𝜋
  • C 𝑥 = 0 , 1 6 𝜋 , 5 6 𝜋
  • D 𝑥 = 0 , 1 3 𝜋 , 5 3 𝜋
  • E 𝑥 = 0 , 1 3 𝜋 , 5 6 𝜋

Q9:

Détermine l’ensemble solution, en l’inconnue 𝑥 , de l’équation c o s c o s s i n s i n 𝑥 2 𝑥 𝑥 2 𝑥 = 1 2 pour 0 < 𝑥 < 3 6 0 .

  • A { 1 0 , 1 0 0 }
  • B { 1 0 , 1 1 0 }
  • C { 2 0 , 1 1 0 }
  • D { 2 0 , 1 0 0 }

Q10:

Détermine la solution générale de l’équation: c o s s i n c o s 𝜃 𝜃 = 2 2 𝜃 .

  • A 2 𝑛 𝜋 ± 𝜋 2 , 𝜋 4 + 2 𝑛 𝜋 , 𝜋 4 + 𝜋
  • B 2 𝑛 𝜋 ± 𝜋 2 , 𝜋 4 + 2 𝑛 𝜋 , 𝜋 4 + 𝜋 + 2 𝑛 𝜋
  • C 2 𝑛 𝜋 + 𝜋 2 , 𝜋 4 + 2 𝑛 𝜋 , 𝜋 4 + 𝜋 + 2 𝑛 𝜋
  • D 2 𝑛 𝜋 ± 𝜋 2 , 𝜋 4 + 2 𝑛 𝜋 , 𝜋 4 + 𝜋 + 2 𝑛 𝜋
  • E 2 𝑛 𝜋 𝜋 2 , 𝜋 4 + 2 𝑛 𝜋 , 𝜋 4 + 𝜋 + 2 𝑛 𝜋

Q11:

Détermine la valeur de 𝑋 qui rend maximale l’expression s i n c o s c o s s i n 𝑋 6 1 + 𝑋 6 1 , 0 < 𝑋 < 2 𝜋 .

  • A 1 5 1
  • B 2 0 9
  • C 6 1
  • D 2 9

Q12:

Détermine l’ensemble solution, en l’inconnue 𝑥 , de l’équation s i n 𝑥 c o s 3 5 + c o s 𝑥 s i n 3 5 = 2 2 pour 0 < 𝑥 < 3 6 0 .

  • A { 1 0 ; 1 7 0 }
  • B { 8 0 ; 1 7 0 }
  • C { 8 0 ; 1 0 0 }
  • D { 1 0 ; 1 0 0 }

Q13:

Détermine la valeur de 𝑥 sachant que c o s s i n 2 𝑥 = 3 𝑥 et que 𝑥 est la mesure positive d’un angle aigu. Arrondis le résultat au degré près.

Q14:

Détermine la valeur de 𝑋 qui rend maximale l’expression s i n c o s c o s s i n 𝑋 1 2 + 𝑋 1 2 , 0 < 𝑋 < 2 𝜋 .

  • A 1 0 2
  • B 7 8
  • C 1 2
  • D 2 5 8

Q15:

Détermine les valeurs de 𝑋 , sans utiliser la calculatrice, sachant que 𝑋 7 𝜋 6 𝜋 3 = 2 𝜋 3 5 𝜋 6 s i n c o s t a n s i n .

  • A 1 2
  • B 1 1 2
  • C 1 1 2
  • D12

Q16:

Détermine la valeur de 𝐴 sachant que c o s t a n 𝐴 𝐴 = 7 1 2 𝐴 est un triangle aigu. Donne la réponse à la seconde d'arc près.

  • A 3 0 1 5 2 3
  • B 5 4 1 8 5 3
  • C 5 9 4 4 3 7
  • D 3 5 4 1 7

Q17:

Détermine l'ensemble solution de l'équation s i n s i n s i n s i n ( 6 7 + 2 𝜃 ) ( 7 9 + 𝜃 ) + ( 2 3 2 𝜃 ) ( 1 1 𝜃 ) = 1 pour 0 < 𝜃 < 𝜋 2 .

  • A { 3 4 }
  • B { 1 4 6 }
  • C { 9 0 }
  • D { 1 2 }

Q18:

Détermine la valeur de 𝑋 sachant que c o s 2 𝑋 = 3 2 , 2 𝑋 est un angle aigu. Arrondis le résultat à la minute d’arc près.

  • A 2 2 3 0
  • B 3 0
  • C 4 5
  • D 1 5

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