Feuille d'activités : Déterminer les racines de polynômes lorsque l'un d'entre eux est donné en utilisant la substitution ou la division par un monôme

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser la substitution et la division par un monôme pour factoriser un polynôme afin de déterminer toutes ses racines étant donnée l'une d'elles.

Q1:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par 𝑓 ( π‘₯ ) = π‘₯ βˆ’ 6 π‘₯ + 1 4 π‘₯ βˆ’ 3 2 π‘₯ βˆ’ 4 0 οŠͺ   .

Sachant que l'un des zΓ©ros de 𝑓 ( π‘₯ ) est 2 βˆ’ 2 √ 2 , dΓ©termine tous les zΓ©ros de 𝑓 ( π‘₯ ) en utilisant la division synthΓ©tique.

  • A 2 βˆ’ 2 √ 2 , 2 + 2 √ 2 , βˆ’ 1 βˆ’ 3 𝑖 , 1 βˆ’ 3 𝑖
  • B 2 βˆ’ 2 √ 2 , βˆ’ 2 βˆ’ 2 √ 2 , 1 βˆ’ 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖
  • C βˆ’ 2 βˆ’ 2 √ 2 , 2 βˆ’ 2 √ 2 , 1 βˆ’ 3 𝑖 , βˆ’ 1 βˆ’ 3 𝑖
  • D 2 βˆ’ 2 √ 2 , 2 + 2 √ 2 , 1 βˆ’ 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖
  • E 2 βˆ’ 2 √ 2 , 2 + 2 √ 2 , βˆ’ 1 + 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖

Γ‰cris la factorisation linΓ©aire de 𝑓 ( π‘₯ ) .

  • A 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ βˆ’ 2 + 2 √ 2  ο€» π‘₯ βˆ’ 2 βˆ’ 2 √ 2  ( π‘₯ βˆ’ 1 + 3 𝑖 ) ( π‘₯ βˆ’ 1 βˆ’ 3 𝑖 )
  • B 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ + 2 + 2 √ 2  ο€» π‘₯ βˆ’ 2 + 2 √ 2  ( π‘₯ βˆ’ 1 + 3 𝑖 ) ( π‘₯ + 1 + 3 𝑖 )
  • C 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ βˆ’ 2 + 2 √ 2  ο€» π‘₯ βˆ’ 2 βˆ’ 2 √ 2  ( π‘₯ + 1 + 3 𝑖 ) ( π‘₯ βˆ’ 1 + 3 𝑖 )
  • D 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ βˆ’ 2 + 2 √ 2  ο€» π‘₯ + 2 + 2 √ 2  ( π‘₯ βˆ’ 1 + 3 𝑖 ) ( π‘₯ βˆ’ 1 βˆ’ 3 𝑖 )
  • E 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ βˆ’ 2 + 2 √ 2  ο€» π‘₯ βˆ’ 2 βˆ’ 2 √ 2  ( π‘₯ + 1 βˆ’ 3 𝑖 ) ( π‘₯ βˆ’ 1 βˆ’ 3 𝑖 )

Q2:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par 𝑔 ( π‘₯ ) = π‘₯ + 6 π‘₯ + 3 8 π‘₯ + 2 4 π‘₯ + 1 3 6 οŠͺ   .

Sachant que l'une des racines de 𝑔 ( π‘₯ ) est βˆ’ 3 + 5 𝑖 , dΓ©termine toutes les racines de 𝑔 ( π‘₯ ) en utilisant la division synthΓ©tique.

  • A βˆ’ 3 + 5 𝑖 , βˆ’ 3 βˆ’ 5 𝑖 , βˆ’ 2 , 2
  • B 3 + 5 𝑖 , βˆ’ 3 + 5 𝑖 , βˆ’ 2 𝑖 , 2 𝑖
  • C βˆ’ 3 + 5 𝑖 , βˆ’ 3 βˆ’ 5 𝑖 , 2
  • D βˆ’ 3 + 5 𝑖 , βˆ’ 3 βˆ’ 5 𝑖 , βˆ’ 2 𝑖 , 2 𝑖

Γ‰cris la factorisation linΓ©aire de 𝑔 ( π‘₯ ) .

  • A 𝑔 ( π‘₯ ) = ( π‘₯ + 3 βˆ’ 5 𝑖 ) ( π‘₯ + 3 + 5 𝑖 ) ( π‘₯ βˆ’ 2 ) 
  • B 𝑔 ( π‘₯ ) = ( π‘₯ + 3 βˆ’ 5 𝑖 ) ( π‘₯ + 3 + 5 𝑖 ) ( π‘₯ + 2 ) ( π‘₯ βˆ’ 2 )
  • C 𝑔 ( π‘₯ ) = ( π‘₯ βˆ’ 3 βˆ’ 5 𝑖 ) ( π‘₯ + 3 βˆ’ 5 𝑖 ) ( π‘₯ + 2 𝑖 ) ( π‘₯ βˆ’ 2 𝑖 )
  • D 𝑔 ( π‘₯ ) = ( π‘₯ + 3 βˆ’ 5 𝑖 ) ( π‘₯ + 3 + 5 𝑖 ) ( π‘₯ + 2 𝑖 ) ( π‘₯ βˆ’ 2 𝑖 )

Q3:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par β„Ž ( π‘₯ ) = 1 6 π‘₯ βˆ’ 8 8 π‘₯ + 3 1 3 π‘₯ βˆ’ 3 4 8 π‘₯ + 1 1 7 οŠͺ   .

Sachant que l’une des racines de la fonction β„Ž ( π‘₯ ) est multiple de 2 et vaut 3 4 , dΓ©termine toutes les racines de β„Ž ( π‘₯ ) en utilisant la division synthΓ©tique.

  • A 3 4 , 2 βˆ’ 6 𝑖 , 2 + 6 𝑖
  • B 3 4 , βˆ’ 2 βˆ’ 3 𝑖 , βˆ’ 2 + 3 𝑖
  • C 3 4 , βˆ’ 2 βˆ’ 6 𝑖 , βˆ’ 2 + 6 𝑖
  • D 3 4 , 2 βˆ’ 3 𝑖 , 2 + 3 𝑖

Γ‰cris la factorisation linΓ©aire de β„Ž ( π‘₯ ) .

  • A β„Ž ( π‘₯ ) = ( 4 π‘₯ βˆ’ 3 ) ( π‘₯ + 2 + 6 𝑖 ) ( π‘₯ + 2 βˆ’ 6 𝑖 ) 
  • B β„Ž ( π‘₯ ) = ( 4 π‘₯ βˆ’ 3 ) ( π‘₯ βˆ’ 2 + 6 𝑖 ) ( π‘₯ βˆ’ 2 βˆ’ 6 𝑖 ) 
  • C β„Ž ( π‘₯ ) = ( 4 π‘₯ βˆ’ 3 ) ( π‘₯ + 2 + 3 𝑖 ) ( π‘₯ + 2 βˆ’ 3 𝑖 ) 
  • D β„Ž ( π‘₯ ) = ( 4 π‘₯ βˆ’ 3 ) ( π‘₯ βˆ’ 2 + 3 𝑖 ) ( π‘₯ βˆ’ 2 βˆ’ 3 𝑖 ) 

Q4:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par π‘˜ ( π‘₯ ) = βˆ’ 5 π‘₯ + 2 π‘₯ βˆ’ 3 0 π‘₯ βˆ’ 8 8 π‘₯ + 4 0 οŠͺ   .

Sachant que l'une des racines de π‘˜ ( π‘₯ ) est 1 βˆ’ 3 𝑖 , dΓ©termine toutes les racines de π‘˜ ( π‘₯ ) en utilisant la division synthΓ©tique.

  • A 1 βˆ’ 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , 4 , βˆ’ 1 5
  • B 1 βˆ’ 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , 2 , βˆ’ 2 5
  • C 1 βˆ’ 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , βˆ’ 4 , 1 5
  • D 1 βˆ’ 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , βˆ’ 2 , 2 5
  • E 1 βˆ’ 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , 1 , βˆ’ 4 5

Γ‰cris la factorisation linΓ©aire de π‘˜ ( π‘₯ ) .

  • A π‘˜ ( π‘₯ ) = βˆ’ ( π‘₯ βˆ’ 1 + 3 𝑖 ) ( π‘₯ βˆ’ 1 βˆ’ 3 𝑖 ) ( 5 π‘₯ βˆ’ 2 ) ( π‘₯ + 2 )
  • B π‘˜ ( π‘₯ ) = βˆ’ ( π‘₯ βˆ’ 1 + 3 𝑖 ) ( π‘₯ βˆ’ 1 βˆ’ 3 𝑖 ) ( 5 π‘₯ βˆ’ 1 ) ( π‘₯ + 4 )
  • C π‘˜ ( π‘₯ ) = βˆ’ ( π‘₯ βˆ’ 1 + 3 𝑖 ) ( π‘₯ βˆ’ 1 βˆ’ 3 𝑖 ) ( 5 π‘₯ + 1 ) ( π‘₯ βˆ’ 4 )
  • D π‘˜ ( π‘₯ ) = βˆ’ ( π‘₯ βˆ’ 1 + 3 𝑖 ) ( π‘₯ βˆ’ 1 βˆ’ 3 𝑖 ) ( 5 π‘₯ + 2 ) ( π‘₯ βˆ’ 2 )
  • E π‘˜ ( π‘₯ ) = βˆ’ ( π‘₯ βˆ’ 1 + 3 𝑖 ) ( π‘₯ βˆ’ 1 βˆ’ 3 𝑖 ) ( 5 π‘₯ + 4 ) ( π‘₯ βˆ’ 1 )

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