Feuille d'activités : Intégrales curvilignes de champs de vecteurs

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer l'intégrale curviligne d'un champ de vecteurs le long d'une courbe orientée différentiable par morceaux dans le plan.

Q1:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d pour le champ vectoriel βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) et la courbe 𝐢 , oΓΉ βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = βƒ— 𝚀 βˆ’ βƒ— πš₯ , 𝐢 ∢ π‘₯ = 3 𝑑 , 𝑦 = 2 𝑑 et 0 β©½ 𝑑 β©½ 1 .

Q2:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d pour le champ vectoriel βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = 𝑦 βƒ— 𝚀 βˆ’ π‘₯ βƒ— πš₯ + 𝑧 βƒ— π‘˜ et la courbe 𝐢 π‘₯ = 𝑑 : c o s , 𝑦 = 𝑑 s i n , 𝑧 = 𝑑 , 0 β©½ 𝑑 β©½ 2 πœ‹ .

  • A 2 πœ‹ ( πœ‹ βˆ’ 1 ) 
  • B 2 πœ‹ 
  • C 2 πœ‹ ( πœ‹ + 1 )
  • D 2 πœ‹ ( πœ‹ βˆ’ 1 )
  • E 2 πœ‹ ( πœ‹ + 1 ) 

Q3:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d pour le champ vectoriel βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) et la courbe 𝐢 , oΓΉ βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ βƒ— 𝚀 βˆ’ 𝑦 βƒ— πš₯ , 𝐢 ∢ π‘₯ = 𝑑 c o s , 𝑦 = 𝑑 s i n et 0 β©½ 𝑑 β©½ 2 πœ‹ .

Q4:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d pour le champ vectoriel βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) et la courbe 𝐢 , oΓΉ βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = ο€Ή π‘₯ + 𝑦  βƒ— 𝚀   , 𝐢 ∢ π‘₯ = 2 + 𝑑 c o s , 𝑦 = 𝑑 s i n et 0 β©½ 𝑑 β©½ 2 πœ‹ .

Q5:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d pour le champ vectoriel βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) et la courbe 𝐢 , avec βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = ο€Ή π‘₯ βˆ’ 𝑦  βƒ— 𝚀 + ο€Ή π‘₯ βˆ’ 𝑦  βƒ— πš₯    ; 𝐢 π‘₯ = 𝑑 : c o s , 𝑦 = 𝑑 s i n , 0 β©½ 𝑑 β©½ 2 πœ‹ .

  • A0
  • B βˆ’ 2 πœ‹
  • C 2 3 + 2 πœ‹
  • D 2 πœ‹
  • E βˆ’ ο€Ό 2 3 + 2 πœ‹ 

Q6:

Supposons que 𝐢  soit le chemin d'Γ©quation βƒ— π‘Ÿ ( 𝑑 ) = ( 𝑑 , 𝑑 )  pour 0 ≀ 𝑑 ≀ 1 , que 𝐢  soit le chemin d'Γ©quation βƒ— π‘Ÿ ( 𝑑 ) = ( 1 βˆ’ 𝑑 , 1 βˆ’ 𝑑 )  pour 0 ≀ 𝑑 ≀ 1 , et que βƒ— 𝐹 = π‘₯ βƒ— 𝚀 + ( 𝑦 + 1 ) βƒ— πš₯  l n . Sans calculer les intΓ©grales, laquelle des assertions suivantes est vraie ?

  • A ο„Έ βƒ— 𝐹 β‹… βƒ— π‘Ÿ = ο„Έ βƒ— 𝐹 β‹… βƒ— π‘Ÿ     d d
  • B ο„Έ βƒ— 𝐹 β‹… βƒ— π‘Ÿ < ο„Έ βƒ— 𝐹 β‹… βƒ— π‘Ÿ     d d
  • C ο„Έ βƒ— 𝐹 β‹… βƒ— π‘Ÿ > ο„Έ βƒ— 𝐹 β‹… βƒ— π‘Ÿ     d d

Q7:

Soit 𝑃 l'arc d'un cercle unitΓ© dans le plan π‘₯ 𝑦 allant dans le sens direct de ( 0 , 1 ) Γ  ( 1 , 0 ) . DΓ©termine la valeur exacte de l'intΓ©grale curviligne du champ vectoriel βƒ— 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = 3 π‘₯ 𝑒 βƒ— 𝚀 + 2 𝑦 𝑧 𝑒 βƒ— πš₯ + 𝑦 𝑒 βƒ— π‘˜                     sur 𝑃 .

  • A 1 βˆ’ 𝑒
  • B 1 βˆ’ 2 𝑒
  • C 1 + 𝑒
  • D 𝑒 βˆ’ 1
  • E 1 + 2 𝑒

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