Feuille d'activités : Intégrales curvilignes de champs de vecteurs

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer l'intégrale curviligne d'un champ de vecteurs le long d'une courbe orientée différentiable par morceaux dans le plan.

Q1:

Calcule 𝑓 𝑟 𝐶 d pour le champ vectoriel 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) et la courbe 𝐶 , 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝚤 𝚥 , 𝐶 𝑥 = 3 𝑡 , 𝑦 = 2 𝑡 et 0 𝑡 1 .

Q2:

Calcule 𝑓 𝑟 d pour le champ vectoriel 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) = 𝑦 𝚤 𝑥 𝚥 + 𝑧 𝑘 et la courbe 𝐶 𝑥 = 𝑡 : c o s , 𝑦 = 𝑡 s i n , 𝑧 = 𝑡 , 0 𝑡 2 𝜋 .

  • A 2 𝜋 ( 𝜋 1 )
  • B 2 𝜋
  • C 2 𝜋 ( 𝜋 + 1 )
  • D 2 𝜋 ( 𝜋 1 )
  • E 2 𝜋 ( 𝜋 + 1 )

Q3:

Calcule pour le champ vectoriel et la courbe , , , et .

Q4:

Calcule 𝑓 𝑟 𝐶 d pour le champ vectoriel 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) et la courbe 𝐶 , 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 + 𝑦 𝚤 2 2 , 𝐶 𝑥 = 2 + 𝑡 c o s , 𝑦 = 𝑡 s i n et 0 𝑡 2 𝜋 .

Q5:

Calcule 𝑓 𝑟 d pour le champ vectoriel 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) et la courbe 𝐶 , avec 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 𝑦 𝚤 + 𝑥 𝑦 𝚥 ; 𝐶 𝑥 = 𝑡 : c o s , 𝑦 = 𝑡 s i n , 0 𝑡 2 𝜋 .

  • A0
  • B 2 𝜋
  • C 2 3 + 2 𝜋
  • D 2 𝜋
  • E 2 3 + 2 𝜋

Q6:

Supposons que 𝐶 soit le chemin d'équation 𝑟 ( 𝑡 ) = ( 𝑡 , 𝑡 ) pour 0 𝑡 1 , que 𝐶 soit le chemin d'équation 𝑟 ( 𝑡 ) = ( 1 𝑡 , 1 𝑡 ) pour 0 𝑡 1 , et que 𝐹 = 𝑥 𝚤 + ( 𝑦 + 1 ) 𝚥 l n . Sans calculer les intégrales, laquelle des assertions suivantes est vraie?

  • A 𝐹 𝑟 = 𝐹 𝑟 d d
  • B 𝐹 𝑟 < 𝐹 𝑟 d d
  • C 𝐹 𝑟 > 𝐹 𝑟 d d

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