Feuille d'activités : Intégrales curvilignes de champs de vecteurs

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer l'intégrale curviligne d'un champ de vecteurs le long d'une courbe orientée différentiable par morceaux dans le plan.

Q1:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d pour le champ vectoriel ⃗𝑓(π‘₯,𝑦) et la courbe 𝐢, oΓΉ ⃗𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘¦βƒ—πš€βˆ’π‘₯βƒ—πš₯, 𝐢π‘₯=𝑑:cos, 𝑦=𝑑sin et 0⩽𝑑⩽2πœ‹.

  • Aβˆ’πœ‹2
  • Bπœ‹2
  • C0
  • Dβˆ’2πœ‹
  • E2πœ‹

Q2:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d pour le champ vectoriel ⃗𝑓(π‘₯,𝑦) et la courbe 𝐢, oΓΉ ⃗𝑓(π‘₯,𝑦)=βƒ—πš€βˆ’βƒ—πš₯, 𝐢∢π‘₯=3𝑑, 𝑦=2𝑑 et 0⩽𝑑⩽1.

Q3:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d pour le champ vectoriel ⃗𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=π‘¦βƒ—πš€βˆ’π‘₯βƒ—πš₯+π‘§βƒ—π‘˜ et la courbe 𝐢π‘₯=𝑑:cos, 𝑦=𝑑sin, 𝑧=𝑑, 0⩽𝑑⩽2πœ‹.

  • A2πœ‹(πœ‹+1)
  • B2πœ‹(πœ‹+1)
  • C2πœ‹(πœ‹βˆ’1)
  • D2πœ‹οŠ¨
  • E2πœ‹(πœ‹βˆ’1)

Q4:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d pour le champ vectoriel ⃗𝑓(π‘₯,𝑦) et la courbe 𝐢, oΓΉ ⃗𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘₯βƒ—πš€βˆ’π‘¦βƒ—πš₯, 𝐢π‘₯=𝑑:cos, 𝑦=𝑑sin et 0⩽𝑑⩽2πœ‹.

Q5:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d pour le champ vectoriel ⃗𝑓(π‘₯,𝑦) et la courbe 𝐢, oΓΉ ⃗𝑓(π‘₯,𝑦)=ο€Ήπ‘₯+π‘¦ο…βƒ—πš€οŠ¨οŠ¨, 𝐢π‘₯=2+𝑑:cos, 𝑦=𝑑sin et 0⩽𝑑⩽2πœ‹.

Q6:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d pour le champ vectoriel ⃗𝑓(π‘₯,𝑦) et la courbe 𝐢, avec ⃗𝑓(π‘₯,𝑦)=ο€Ήπ‘₯βˆ’π‘¦ο…βƒ—πš€+ο€Ήπ‘₯βˆ’π‘¦ο…βƒ—πš₯οŠ¨οŠ¨β€‰; 𝐢π‘₯=𝑑:cos, 𝑦=𝑑sin, 0⩽𝑑⩽2πœ‹.

  • Aβˆ’ο€Ό23+2πœ‹οˆ
  • B0
  • C2πœ‹
  • Dβˆ’2πœ‹
  • E23+2πœ‹

Q7:

Supposons que 𝐢 soit le chemin d'Γ©quation βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=(𝑑,𝑑) pour 0≀𝑑≀1, que 𝐢 soit le chemin d'Γ©quation βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=(1βˆ’π‘‘,1βˆ’π‘‘) pour 0≀𝑑≀1, et que ⃗𝐹=π‘₯βƒ—πš€+(𝑦+1)βƒ—πš₯ln. Sans calculer les intΓ©grales, laquelle des assertions suivantes est vraie ?

  • Aο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘Ÿ>ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’οŒ’οŽ οŽ‘dd
  • Bο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘Ÿ<ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’οŒ’οŽ οŽ‘dd
  • Cο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘Ÿ=ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’οŒ’οŽ οŽ‘dd

Q8:

Soit 𝑃 l'arc d'un cercle unitΓ© dans le plan π‘₯𝑦 allant dans le sens direct de (0,1) Γ  (1,0). DΓ©termine la valeur exacte de l'intΓ©grale curviligne du champ vectoriel ⃗𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧)=3π‘₯π‘’βƒ—πš€+2𝑦𝑧𝑒⃗πš₯+π‘¦π‘’βƒ—π‘˜οŠ¨ο—οŠ°ο˜ο™ο—οŠ°ο˜ο™οŠ¨ο—οŠ°ο˜ο™οŽ’οŽ‘οŽ’οŽ‘οŽ’οŽ‘ sur 𝑃.

  • A1+𝑒
  • B1βˆ’2𝑒
  • C1+2𝑒
  • Dπ‘’βˆ’1
  • E1βˆ’π‘’

Q9:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d pour le champ vectoriel ⃗𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=π‘₯βƒ—πš€+𝑦⃗πš₯+π‘§βƒ—π‘˜ et la courbe 𝐢π‘₯=𝑑:cos, 𝑦=𝑑sin, 𝑧=2, 0⩽𝑑⩽2πœ‹.

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