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Feuille d'activités de la leçon : Programmation linéaire Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à déterminer la solution optimale d'un système d'inéquations linéaires ayant une fonction objectif et plusieurs contraintes.

Q1:

Détermine les valeurs de 𝑥 et 𝑦 qui maximisent la quantité 𝑝=5𝑥+2𝑦. Donne la réponse sous la forme de coordonnées (𝑥;𝑦).

  • A(0;8)
  • B(7;8)
  • C(7;0)
  • D(3;0)

Q2:

En utilisant la programmation linéaire, détermine le minimum et le maximum de la fonction définie par 𝑝=4𝑥3𝑦 pour 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦9 et 𝑦5 .

  • ALe minimum est 27 et le maximum est 1.
  • BLe minimum est 15 et le maximum est 1.
  • CLe minimum est 27 et le maximum est 15.
  • DLe minimum est 0 et le maximum est 9.

Q3:

Un restaurant de fruits de mer vend deux types de poisson cuits : morue et anguille. Le restaurant ne vend pas moins de 40 poissons par jour mais n’utilise pas plus de 30 morues et pas plus de 45 anguilles. Le prix d’une morue est de 6 LE et celui d’une anguille est de 8 LE. Soit 𝑥 la quantité de morue achetée chaque jour, et 𝑦 la quantité d’anguille. Étant donné que le gérant du restaurant veut minimiser le prix total 𝑝 du poisson, énonce la fonction d’objectif et les inégalités qui aideront le gérant du restaurant à décider du nombre de poissons à acheter.

  • A𝑥0 , 𝑦0 , 𝑥+𝑦40 , 𝑥<30 , 𝑦<45 , 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • B𝑥0 , 𝑦0 , 𝑥+𝑦>40 , 𝑥30 , 𝑦45 , 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • C𝑥0 , 𝑦0 , 𝑥+𝑦40 , 𝑥30 , 𝑦45 , 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • D𝑥0 , 𝑦0 , 𝑥+𝑦40 , 𝑥30 , 𝑦45 , 𝑝>6𝑥+8𝑦
  • E𝑥0 , 𝑦0 , 𝑥+𝑦40 , 𝑥30 , 𝑦45 , 𝑝=6𝑥+8𝑦

Q4:

Un confiseur vend le sachet de guimauves à 5 LE et le sachet de bonbons gélifiés à 6 LE. Un enfant veut acheter les deux types de bonbons et a des restrictions sur la quantité qu'il peut acheter qui sont représentées sur la figure, où 𝑥 représente le nombre de sachets de guimauves, et 𝑦 celui de sachets de bonbons gélifiés. Quel est le prix le plus bas possible dans cette situation?

Q5:

Complète ce qui suit: les inéquations linéaires ou les restrictions sur les variables d’un problème de programmation linéaire sont appelées les .

  • Avaleurs minimales
  • Bfonctions objectifs
  • Ccontraintes
  • Dvaleurs maximales
  • Evaleurs optimales

Q6:

Considère les inéquations de contraintes suivantes en les inconnues positives 𝑥, 𝑥 et 𝑥: 𝑥𝑥+𝑥10;𝑥+𝑥+𝑥1;𝑥+2𝑥+𝑥7.Détermine les valeurs maximales et minimales de 𝑧=2𝑥+𝑥 sous les contraintes données.

  • Aminimum: 1, maximum: 14
  • Bminimum: 1, maximum: 7
  • Cminimum: 0, maximum: 14
  • Dminimum: 0, maximum: 7

Q7:

Détermine la valeur maximale de la fonction objectif définie par 𝑝=2𝑥+6𝑦 étant données les contraintes 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦6, 3𝑥+𝑦9 et 𝑥+2𝑦8.

Q8:

Dans un atelier, deux ouvriers produisent deux types de bureaux en fer : le type A et le type B. L'un des ouvriers fabrique les bureaux et l'autre les peint au pistolet. Il faut au premier ouvrier 4 heures pour fabriquer un bureau de type A et 3 heures pour fabriquer un bureau de type B. Il faut au second ouvrier 3 heures pour peindre un bureau de type A et 4 heures pour peindre un bureau de type B. La première personne travaille au moins 5 heures par jour, et l'autre au maximum 7 heures par jour. Si l'atelier réalise un profit de 60 LE pour chaque bureau (de l'un ou l'autre type), alors détermine la fonction objective et les inéquations nécessaires pour calculer le nombre de bureaux de chaque type à produire chaque jour afin de maximiser le profit 𝑝.

  • A𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦>5, 3𝑥+4𝑦<7, 𝑝60𝑥+60𝑦
  • B𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦5, 3𝑥+4𝑦7, 𝑝=60𝑥+60𝑦
  • C𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦5, 3𝑥+4𝑦7, 𝑝=60𝑥+60𝑦
  • D𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦5, 3𝑥+4𝑦7, 𝑝60𝑥+60𝑦
  • E𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦<5, 3𝑥+4𝑦>7, 𝑝=60𝑥+60𝑦

Q9:

Un agriculteur peut améliorer la qualité de sa production s’il utilise au moins 18 unités de composés à base d'azote et au moins 6 unités de composés de phosphate. Il peut utiliser deux types d'engrais: A et B. Le coût et le contenu de chaque engrais sont indiqués dans le tableau.

EngraisNombre d'unités de composés à base d'azote par kilogrammeNombre d'unités de composés de phosphate par kilogrammeCoût pour chaque kilogramme (LE)
A32170
B61120

Étant donné que le graphique représente les contraintes dans cette situation, calcule le coût le plus bas que l'agriculteur peut payer pour l'engrais tout en fournissant des quantités suffisantes des deux composés.

Q10:

Une petite entreprise teint ses chemises de couleur solide ou teinte, et elles veulent décider du nombre de chemises de chaque couleur à préparer pour une vente à venir. Ils ont un budget de 240 $. L'achat de chaque chemise coûte 2 $. Cela coûte 0,50 $ pour teindre une chemise avec une couleur solide et 1,50 $ pour produire une chemise avec couleur teinte. Ils ont seulement 8 heures pour préparer toutes chemises, et cela prend 2 minutes pour teindre une chemise avec couleur solide et 10 minutes pour teindre une chemise avec couleur teinte.

Ils veulent maximiser leurs profits, sachant qu’ils peuvent vendre des chemises avec couleur solide à 8 $ chacun et des chemises avec couleur teinte à 10 $ chacun.

Soit 𝑥 le nombre de chemises avec couleur solide et 𝑦 le nombre de chemises avec couleur teinte. Lequel des graphiques suivants indique la région possible?

  • A
  • B
  • C
  • D

Donne la fonction d'objectif.

  • A𝑓(𝑥;𝑦)=2𝑥+1,5𝑦+240
  • B𝑓(𝑥;𝑦)=2𝑥+10𝑦480
  • C𝑓(𝑥;𝑦)=8𝑥+10𝑦
  • D𝑓(𝑥;𝑦)=2,5𝑥+3,5𝑦240
  • E𝑓(𝑥;𝑦)=2𝑥+1,5𝑦

Combien de chemises de chaque type l'entreprise devrait-elle produire pour maximiser ses profits?

  • A0 chemises de couleur solide et 48 chemises de couleur teinte
  • B89 chemises de couleur solide et 69 chemises de couleur teinte
  • C69 chemises de couleur solide et 40 chemises de couleur teinte
  • D40 chemises de couleur solide et 40 chemises de couleur teinte
  • E48 chemises de couleur solide et 0 chemises de couleur teinte

Cette leçon comprend 17 questions additionnelles et 157 variantes de questions additionnelles pour les abonnés.

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