Feuille d'activités : Programmation linéaire

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer la solution optimale d'un système linéaire qui a une fonction d'objectif et des contraintes multiples.

Q1:

Détermine les valeurs de 𝑥 et 𝑦 qui maximisent la quantité 𝑝=5𝑥+2𝑦. Donne la réponse sous la forme de coordonnées (𝑥;𝑦).

  • A(0;8)
  • B(7;8)
  • C(7;0)
  • D(3;0)

Q2:

Détermine la valeur maximale de la fonction objectif définie par 𝑝=2𝑥+6𝑦 étant données les contraintes 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦6, 3𝑥+𝑦9 et 𝑥+2𝑦8.

Q3:

Étant donné le graphique ci-dessous ainsi que 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦7 et 𝑦5, détermine en quel point la fonction 𝑝=3𝑥𝑦 admet son maximum en utilisant la programmation linéaire.

  • A𝐶
  • B𝐴
  • C𝐵
  • D𝐷

Q4:

En utilisant la programmation linéaire, détermine le minimum et le maximum de la fonction définie par 𝑝=4𝑥3𝑦 pour 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦9 et 𝑦5 .

  • ALe minimum est 15 et le maximum est 1.
  • BLe minimum est 0 et le maximum est 9.
  • CLe minimum est 27 et le maximum est 1.
  • DLe minimum est 27 et le maximum est 15.

Q5:

Minimise 𝑧=𝑥+𝑥 sous les contraintes 𝑥+𝑥2, 𝑥+3𝑥20 et 𝑥+𝑥18.

Q6:

Considère les inéquations de contraintes suivantes en les inconnues positives 𝑥, 𝑥 et 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥10;𝑥+𝑥+𝑥2;𝑥+2𝑥+𝑥7.Détermine les valeurs maximales et minimales de 𝑧=𝑥2𝑥+𝑥 sous les contraintes données.

  • Aminimum: 7, maximum: 7
  • Bminimum: 7, maximum: 5
  • Cminimum: 132, maximum: 5
  • Dminimum: 72, maximum: 7
  • Eminimum: 112, maximum: 5

Q7:

Considère les inéquations de contraintes suivantes en les inconnues positives 𝑥, 𝑥 et 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥8;𝑥+𝑥+3𝑥1;𝑥+𝑥+𝑥7.Détermine les valeurs maximales et minimales de 𝑧=𝑥2𝑥3𝑥 sous les contraintes données.

  • Aminimum: 21, maximum: 6
  • Bminimum: 20, maximum: 6
  • Cminimum: 21, maximum: 7
  • Dminimum: 20, maximum: 7

Q8:

Considère les inéquations de contraintes suivantes en les inconnues positives 𝑥, 𝑥 et 𝑥: 𝑥𝑥+𝑥10;𝑥+𝑥+𝑥1;𝑥+2𝑥+𝑥7.Détermine les valeurs maximales et minimales de 𝑧=2𝑥+𝑥 sous les contraintes données.

  • Aminimum: 1, maximum: 14
  • Bminimum: 1, maximum: 7
  • Cminimum: 0, maximum: 14
  • Dminimum: 0, maximum: 7

Q9:

Considère les inéquations de contraintes suivantes en les inconnues positives 𝑥, 𝑥 et 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥10;𝑥+𝑥+𝑥1;𝑥+2𝑥+𝑥7.Détermine les valeurs maximales et minimales de 𝑧=𝑥2𝑥 sous les contraintes données.

  • Aminimum: 72, maximum: 7
  • Bminimum: 7, maximum: 6
  • Cminimum: 132, maximum: 6
  • Dminimum: 7, maximum: 7

Q10:

Considère les inéquations de contraintes suivantes en les inconnues positives 𝑥, 𝑥 et 𝑥: 𝑥𝑥+𝑥10;𝑥+𝑥+𝑥1;𝑥+2𝑥+𝑥7.Détermine les valeurs maximales et minimales de 𝑧=𝑥+2𝑥 sous les contraintes données.

  • Aminimum: 0, maximum: 272
  • Bminimum: 0, maximum: 7
  • Cminimum: 1, maximum: 272
  • Dminimum: 1, maximum: 7

Q11:

Un restaurant de fruits de mer vend deux types de poisson cuits : morue et anguille. Le restaurant ne vend pas moins de 40 poissons par jour mais n’utilise pas plus de 30 morues et pas plus de 45 anguilles. Le prix d’une morue est de 6 LE et celui d’une anguille est de 8 LE. Soit 𝑥 la quantité de morue achetée chaque jour, et 𝑦 la quantité d’anguille. Étant donné que le gérant du restaurant veut minimiser le prix total 𝑝 du poisson, énonce la fonction d’objectif et les inégalités qui aideront le gérant du restaurant à décider du nombre de poissons à acheter.

  • A𝑥0 , 𝑦0 , 𝑥+𝑦40 , 𝑥30 , 𝑦45 , 𝑝>6𝑥+8𝑦
  • B𝑥0 , 𝑦0 , 𝑥+𝑦40 , 𝑥<30 , 𝑦<45 , 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • C𝑥0 , 𝑦0 , 𝑥+𝑦40 , 𝑥30 , 𝑦45 , 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • D𝑥0 , 𝑦0 , 𝑥+𝑦>40 , 𝑥30 , 𝑦45 , 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • E𝑥0 , 𝑦0 , 𝑥+𝑦40 , 𝑥30 , 𝑦45 , 𝑝=6𝑥+8𝑦

Q12:

Un confiseur vend le sachet de guimauves à 5 LE et le sachet de bonbons gélifiés à 6 LE. Un enfant veut acheter les deux types de bonbons et a des restrictions sur la quantité qu'il peut acheter qui sont représentées sur la figure, où 𝑥 représente le nombre de sachets de guimauves, et 𝑦 celui de sachets de bonbons gélifiés. Quel est le prix le plus bas possible dans cette situation?

Q13:

Une petite usine produit deux types de meubles en métal, 𝐴 et 𝐵. Ils peuvent produire au maximum 25 meubles métalliques au total. Le profit du type 𝐴 est de 60 LE et le profit de type 𝐵 est de 40 LE. L’usine vend au moins 2 fois plus du type 𝐴 que du type 𝐵. Indique la fonction d’objectif et les inéquations qui aideront à trouver le profit maximal pour l’usine.

  • A𝐴0 , 𝐵0 , 𝐴+𝐵25 , 𝐴2𝐵 , 𝑝60𝐴+40𝐵
  • B𝐴0 , 𝐵0 , 𝐴+𝐵25 , 𝐴=2𝐵 , 𝑝=60𝐴+40𝐵
  • C𝐴0 , 𝐵0 , 𝐴+𝐵=25 , 𝐴2𝐵 , 𝑝=60𝐴+40𝐵
  • D𝐴0 , 𝐵0 , 𝐴+𝐵25 , 𝐴2𝐵 , 𝑝=60𝐴+40𝐵

Q14:

Une usine d’aliments pour bébés produit deux types d’aliments pour bébés avec des valeurs nutritionnelles différentes. Le premier type, noté 𝑥, coûte 3 LE pour un pot qui contient 3 unités de vitamine A et 2 de vitamine B. Le deuxième type, noté 𝑦, coûte 4 LE pour un pot qui contient 4 unités de vitamine A et 3 de vitamine B. Un enfant a besoin d’au moins 120 unités de vitamine A et de 100 unités de vitamine B pour satisfaire ses besoins nutritionnels. Indiquer la fonction d’objectif et les inéquations de contraintes nécessaires pour déterminer le nombre de pots de chaque type à acheter pour satisfaire les besoins nutritionnels au coût le plus bas possible.

  • A𝑥0 , 𝑦0 , 3𝑥+4𝑦120 , 2𝑥+3𝑦100 , 𝑝=3𝑥+4𝑦
  • B𝑥0 , 𝑦0 , 3𝑥+2𝑦120 , 4𝑥+3𝑦100 , 𝑝=3𝑥+4𝑦
  • C𝑥0 , 𝑦0 , 3𝑥+4𝑦120 , 2𝑥+3𝑦100 , 𝑝3𝑥+4𝑦
  • D𝑥0 , 𝑦0 , 3𝑥+4𝑦120 , 2𝑥+3𝑦100 , 𝑝=3𝑥+4𝑦

Q15:

Une usine d'aliments pour bébés produit deux genres d'aliments avec de différentes valeurs nutritives. Un pot du premier genre contient 2 unités de vitamine A et 4 unités de vitamine B, tandis qu'un pot du deuxième genre contient 4 unités de vitamine A et 2 unités de vitamine B. Chaque enfant a besoin chaque mois d'au moins 100 unités de vitamine A et 140 unités de vitamine B. Le premier genre coûte 6 LE par pot, et le deuxième genre coûte 4 LE par pot. À l'aide du graphique ci-dessous, détermine la fonction objectif, puis détermine le moindre coût possible permettant de fournir à un bébé les éléments nutritifs dont il a besoin chaque mois.

  • A𝑝=6𝑥+4𝑦, et le moindre coût possible est 220 LE.
  • B𝑝=2𝑥+4𝑦, et le moindre coût possible est 100 LE.
  • C𝑝=4𝑥+6𝑦; et le moindre coût possible est 1‎ ‎800 LE.
  • D𝑝=4𝑥+6𝑦, et le moindre coût possible est 420 LE.
  • E𝑝=6𝑥+4𝑦, et le moindre coût possible est 280 LE.

Q16:

Une usine d'aliments pour bébés produit deux types d'aliments pour bébés avec des valeurs nutritionnelles différentes. Un pot du premier type a 4 unités de vitamine A et 2 unités de vitamine B, alors qu'un pot du second type a 2 unités de vitamine A et 3 unités de vitamine B. Chaque enfant a besoin d'au moins 120 unités de vitamine A et 100 unités de vitamine B chaque mois. Le premier type coûte 6 LE par pot tandis que le second coûte 4 LE par pot. À l’aide du graphique ci-dessous, détermine combien de chaque type de pot doit être acheté pour répondre aux besoins mensuels de l’enfant au coût le plus bas possible.

  • Apots du premier type=0, pots du seconde type=60
  • Bpots du premier type=0, pots du seconde type=33
  • Cpots du premier type=20, pots du seconde type=20
  • Dpots du premier type=30, pots du seconde type=0

Q17:

Dans un atelier, deux ouvriers produisent deux types de bureaux en fer : le type A et le type B. L'un des ouvriers fabrique les bureaux et l'autre les peint au pistolet. Il faut au premier ouvrier 4 heures pour fabriquer un bureau de type A et 3 heures pour fabriquer un bureau de type B. Il faut au second ouvrier 3 heures pour peindre un bureau de type A et 4 heures pour peindre un bureau de type B. La première personne travaille au moins 5 heures par jour, et l'autre au maximum 7 heures par jour. Si l'atelier réalise un profit de 60 LE pour chaque bureau (de l'un ou l'autre type), alors détermine la fonction objective et les inéquations nécessaires pour calculer le nombre de bureaux de chaque type à produire chaque jour afin de maximiser le profit 𝑝.

  • A𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦>5, 3𝑥+4𝑦<7, 𝑝60𝑥+60𝑦
  • B𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦5, 3𝑥+4𝑦7, 𝑝=60𝑥+60𝑦
  • C𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦5, 3𝑥+4𝑦7, 𝑝=60𝑥+60𝑦
  • D𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦5, 3𝑥+4𝑦7, 𝑝60𝑥+60𝑦
  • E𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦<5, 3𝑥+4𝑦>7, 𝑝=60𝑥+60𝑦

Q18:

Une usine produit deux types de bureaux en fer: le type A et le type B. Un ouvrier construit les bureaux et un autre les vaporise. Il faut au premier ouvrier 3,5 heures pour fabriquer un bureau de type A et 2 heures pour fabriquer un bureau de type B. Il faut au second ouvrier 4 heures pour vaporiser un bureau de type A et 2 heures pour vaporiser un bureau de type B. Le premier ouvrier travaille au moins 5 heures par jour et le second travaille au maximum 8 heures par jour. Si l'atelier fait un bénéfice de 50 LE pour chaque bureau (de n'importe quel type), détermine combien de bureaux de chaque type il faut produire chaque jour pour maximiser le bénéfice.

  • A0 bureaux de type A, 2 bureaux de type B
  • B2 bureaux de type A, 0 bureaux de type B
  • C0 bureaux de type A, 4 bureaux de type B
  • D4 bureaux de type A, 0 bureaux de type B

Q19:

Deux types de paquets contenant de la nourriture sont disponibles. Le premier contient 4 calories et 6 unités de vitamine C, le second contient 3 calories et 4 unités de vitamine C. Nous avons besoin d’au moins 37 calories et de 22 unités de vitamine C. Le prix du premier paquet est de 6 LE, celui du second de 8 LE. On note par 𝑥 le nombre de paquets du premier type, et par 𝑦 celui du second type. Pose la fonction qui permet de déterminer le coût minimal à l’achat des nutriments nécessaires.

  • A4𝑥+3𝑦37
  • B𝑝=6𝑥+8𝑦
  • C𝑝=6𝑥+4𝑦
  • D𝑝=37𝑥+22𝑦
  • E𝑝<6𝑥+8𝑦

Q20:

Un agriculteur peut améliorer la qualité de sa production s’il utilise au moins 18 unités de composés à base d'azote et au moins 6 unités de composés de phosphate. Il peut utiliser deux types d'engrais: A et B. Le coût et le contenu de chaque engrais sont indiqués dans le tableau.

EngraisNombre d'unités de composés à base d'azote par kilogrammeNombre d'unités de composés de phosphate par kilogrammeCoût pour chaque kilogramme (LE)
A32170
B61120

Étant donné que le graphique représente les contraintes dans cette situation, calcule le coût le plus bas que l'agriculteur peut payer pour l'engrais tout en fournissant des quantités suffisantes des deux composés.

Q21:

Une usine fabrique des chaises et des tables et tente de déterminer le nombre de pièces à produire pour maximiser ses profits.

Ils ont déterminé les contraintes et dessiné la région réalisable comme indiqué, où 𝑥 représente le nombre de chaises et 𝑦 représente le nombre de tables.

S'ils trouvent un acheteur qui accepte de payer des frais leur permettant de percevoir 150 de profit pour chaque chaise et 200 pour chaque table, à quoi peuvent-ils s'attendre comme profit maximum?

S'ils peuvent seulement garantir un bénéfice de 50 par chaise et de 180 par table, combien doivent-ils en produire pour maximiser leur profit?

  • A32 chaises, 0 table
  • B45 chaises, 0 table
  • C38 chaises, 18 tables
  • D18 chaises, 38 tables
  • E0 chaise, 32 tables

Q22:

Une petite entreprise teint ses chemises de couleur solide ou teinte, et elles veulent décider du nombre de chemises de chaque couleur à préparer pour une vente à venir. Ils ont un budget de 240 $. L'achat de chaque chemise coûte 2 $. Cela coûte 0,50 $ pour teindre une chemise avec une couleur solide et 1,50 $ pour produire une chemise avec couleur teinte. Ils ont seulement 8 heures pour préparer toutes chemises, et cela prend 2 minutes pour teindre une chemise avec couleur solide et 10 minutes pour teindre une chemise avec couleur teinte.

Ils veulent maximiser leurs profits, sachant qu’ils peuvent vendre des chemises avec couleur solide à 8 $ chacun et des chemises avec couleur teinte à 10 $ chacun.

Soit 𝑥 le nombre de chemises avec couleur solide et 𝑦 le nombre de chemises avec couleur teinte. Lequel des graphiques suivants indique la région possible?

  • A
  • B
  • C
  • D

Donne la fonction d'objectif.

  • A𝑓(𝑥,𝑦)=2𝑥+1,5𝑦+240
  • B𝑓(𝑥,𝑦)=2𝑥+10𝑦480
  • C𝑓(𝑥,𝑦)=8𝑥+10𝑦
  • D𝑓(𝑥,𝑦)=2,5𝑥+3,5𝑦240
  • E𝑓(𝑥,𝑦)=2𝑥+1,5𝑦

Combien de chemises de chaque type l'entreprise devrait-elle produire pour maximiser ses profits?

  • A0 chemises de couleur solide et 48 chemises de couleur teinte
  • B89 chemises de couleur solide et 69 chemises de couleur teinte
  • C69 chemises de couleur solide et 40 chemises de couleur teinte
  • D40 chemises de couleur solide et 40 chemises de couleur teinte
  • E48 chemises de couleur solide et 0 chemises de couleur teinte

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