Feuille d'activités : Opérations avec des nombres complexes sous forme trigonométrique

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à effectuer des calculs avec des nombres complexes sous forme trigonométrique.

Q1:

Γ‰tant donnΓ©s 𝑧 = 2 0 ο€» πœ‹ 2 + 𝑖 πœ‹ 2  1 c o s s i n et 𝑧 = 4 ο€» πœ‹ 6 + 𝑖 πœ‹ 6  2 c o s s i n , dΓ©termine 𝑧 𝑧 1 2 sous la forme trigonomΓ©trique.

  • A 5 ο€Ό 2 πœ‹ 3 + 𝑖 2 πœ‹ 3  c o s s i n
  • B 8 0 ο€» πœ‹ 3 + 𝑖 πœ‹ 3  c o s s i n
  • C 5 ο€» πœ‹ 2 + 𝑖 πœ‹ 2  c o s s i n
  • D 5 ο€» πœ‹ 3 + 𝑖 πœ‹ 3  c o s s i n
  • E 1 6 ο€» πœ‹ 3 + 𝑖 πœ‹ 3  c o s s i n

Q2:

Que devons-nous faire pour multiplier deux nombres complexes sous forme trigonomΓ©trique ?

  • Aajouter leurs modules et multiplier leurs arguments
  • Bajouter leurs modules et ajouter leurs arguments
  • Cmultiplier leurs modules et multiplier leurs arguments
  • Dmultiplier leurs modules et ajouter leurs arguments
  • Emultiplier leurs modules et soustraire leurs arguments

Q3:

Γ‰tant donnΓ©s 𝑧 = 2 ο€» πœ‹ 6 + 𝑖 πœ‹ 6   c o s s i n et 𝑧 = 1 √ 3 ο€» πœ‹ 3 + 𝑖 πœ‹ 3   c o s s i n , dΓ©termine 𝑧 𝑧   .

  • A 2 √ 3 3 ο€Ό 1 1 πœ‹ 6 + 𝑖 1 1 πœ‹ 6  c o s s i n
  • B ο€Ώ 2 + 1 √ 3  ο€» πœ‹ 2 + 𝑖 πœ‹ 2  c o s s i n
  • C ο€Ώ 2 + 1 √ 3  ο€Ό 1 1 πœ‹ 6 + 𝑖 1 1 πœ‹ 6  c o s s i n
  • D 2 √ 3 3 ο€» πœ‹ 2 + 𝑖 πœ‹ 2  c o s s i n
  • E 2 √ 3 3 ο€» πœ‹ 2 + 𝑖 πœ‹ 2  c o s s i n  

Q4:

Quel est l'argument du produit de 𝑧 = π‘Ÿ ( πœƒ + 𝑖 πœƒ ) 1 c o s s i n et 𝑧 = 𝑠 ( πœ‘ + 𝑖 πœ‘ ) 2 c o s s i n  ?

  • A π‘Ÿ 𝑠
  • B πœƒ Γ— πœ‘
  • C π‘Ÿ + 𝑠
  • D πœƒ + πœ‘
  • E π‘Ÿ πœƒ + 𝑠 πœ‘

Q5:

ConsidΓ¨re le nombre complexe 𝑧 = 1 + √ 3 𝑖 .

Calcule le module de 𝑧 .

DΓ©termine l'argument principal de 𝑧 .

  • A πœ‹ 3
  • B 2 πœ‹ 3
  • C √ 1 0
  • D πœ‹ 6
  • E2

Par consΓ©quent, utilise les propriΓ©tΓ©s de la multiplication sur les nombres complexes sous forme exponentielle pour dΓ©termine le module et l'argument de 𝑧  .

  • Amodule = √ 3 , argument= πœ‹
  • Bmodule = √ 1 0 , argument = πœ‹ 2
  • Cmodule = 8, argument = πœ‹
  • Dmodule = 8, argument = πœ‹ 2
  • Emodule = √ 1 0 , argument = πœ‹

Ainsi, dΓ©termine la valeur de 𝑧  .

Q6:

Sachant que 𝑧 = 3 ο€Ό 1 1 πœ‹ 6 + 𝑖 1 1 πœ‹ 6  c o s s i n , Γ©cris 1 𝑧 sous forme exponentielle.

  • A 1 𝑧 = 𝑒 ο‘½ οŽ₯ 
  • B 1 𝑧 = 1 3 𝑒   ο‘½ οŽ₯ 
  • C 1 𝑧 = 3 𝑒   ο‘½ οŽ₯ 
  • D 1 𝑧 = 1 3 𝑒 ο‘½ οŽ₯ 

Q7:

Sachant que 𝑧 = ο€Ό 7 πœ‹ 6  + 𝑖 ο€Ό 7 πœ‹ 6  c o s s i n , dΓ©termine 1 𝑧 .

  • A s i n c o s ο€Ό 5 πœ‹ 6  + 𝑖 ο€Ό 5 πœ‹ 6 
  • B c o s s i n ο€Ό 7 πœ‹ 6  + 𝑖 ο€Ό 7 πœ‹ 6 
  • C c o s s i n ο€» πœ‹ 6  + 𝑖 ο€» πœ‹ 6 
  • D c o s s i n ο€Ό 5 πœ‹ 6  + 𝑖 ο€Ό 5 πœ‹ 6 

Q8:

Sachant que 𝑧 = 1 6 ( 4 5 + 𝑖 4 5 )  ∘ ∘  c o s s i n et 𝑧 = 2 ( βˆ’ 2 8 5 βˆ’ 𝑖 2 8 5 )  ∘ ∘  s i n c o s , calcule 𝑧 𝑧   .

  • A 3 2 ( 1 2 0 + 𝑖 1 2 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • B 8 ( 6 0 + 𝑖 6 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 3 2 ( 6 0 + 𝑖 6 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • D 8 ( 1 2 0 + 𝑖 1 2 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • E 8 ( 0 + 𝑖 0 ) c o s s i n ∘ ∘

Q9:

Sachant que 𝑍 = 5 ( 5 πœƒ + 𝑖 5 πœƒ )  c o s s i n , 𝑍 = 4 πœƒ + 𝑖 4 πœƒ  c o s s i n , t a n πœƒ = 4 3 et πœƒ ∈  0 ; πœ‹ 2  , dΓ©termine 𝑍 𝑍   .

  • A 3 5 + 4 5 𝑖
  • B 4 + 3 𝑖
  • C 4 5 + 3 5 𝑖
  • D 3 + 4 𝑖

Q10:

Γ‰tant donnΓ©s 𝑍 = 9 ( 3 πœƒ + 𝑖 3 πœƒ )  c o s s i n , 𝑍 = 4 ( 5 πœƒ + 𝑖 5 πœƒ )  c o s s i n , avec s i n πœƒ = 1 2 , oΓΉ πœƒ ∈  πœ‹ 2 ; πœ‹  , dΓ©termine 𝑍 𝑍   .

  • A 9 4 ο€Ό 2 πœ‹ 3 + 𝑖 2 πœ‹ 3  c o s s i n
  • B 3 6 ο€» πœ‹ 3 + 𝑖 πœ‹ 3  c o s s i n
  • C 3 6 ο€Ό 2 πœ‹ 3 + 𝑖 2 πœ‹ 3  c o s s i n
  • D 9 4 ο€» πœ‹ 3 + 𝑖 πœ‹ 3  c o s s i n
  • E 9 4 ο€» πœ‹ 3 + 𝑖 πœ‹ 3  s i n c o s

Q11:

Γ‰tant donnΓ©s 𝑧 = 1 2 βˆ’ √ 3 2 𝑖  et 𝑧 = 2 √ 3 + 2 𝑖  , dΓ©termine 𝑧 𝑧   sous la forme exponentielle.

  • A 𝑧 𝑧 = 4 𝑒     ο‘½ 
  • B 𝑧 𝑧 = 1 4 𝑒     ο‘½ 
  • C 𝑧 𝑧 = 𝑒     ο‘½ 
  • D 𝑧 𝑧 = 1 4 𝑒     ο‘½ 
  • E 𝑧 𝑧 = 1 4 𝑒    ο‘½ οŽ₯

Q12:

Simplifie 4 ( 9 0 + 𝑖 9 0 ) Γ— 5 ( 8 0 + 𝑖 8 0 ) Γ— 4 ( 4 5 + 𝑖 4 5 ) c o s s i n c o s s i n c o s s i n ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ , en donnant le rΓ©sultat sous forme trigonomΓ©trique.

  • A 8 0 ( 1 2 5 + 𝑖 1 2 5 ) c o s s i n ∘ ∘
  • B 1 3 ( 2 1 5 + 𝑖 2 1 5 ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 8 0 ( 2 1 5 + 𝑖 2 1 5 ) s i n c o s ∘ ∘
  • D 8 0 ( 2 1 5 + 𝑖 2 1 5 ) c o s s i n ∘ ∘

Q13:

Γ‰tant donnΓ©s 𝑧 = 5 ( 2 π‘Ž + 𝑖 2 π‘Ž )  c o s s i n et 𝑧 = 1 4 ( 4 π‘Ž + 𝑖 4 π‘Ž )  c o s s i n , dΓ©termine 𝑧 𝑧   .

  • A 5 4 ο€Ή 8 π‘Ž + 𝑖 8 π‘Ž  c o s s i n  
  • B 2 1 4 ( 6 π‘Ž + 𝑖 6 π‘Ž ) c o s s i n
  • C 2 1 4 ο€Ή 8 π‘Ž + 𝑖 8 π‘Ž  c o s s i n  
  • D 5 4 ( 6 π‘Ž + 𝑖 6 π‘Ž ) c o s s i n
  • E 2 0 ( ( βˆ’ 2 π‘Ž ) + 𝑖 ( βˆ’ 2 π‘Ž ) ) c o s s i n

Q14:

On sait que 𝑧 = 6 ( 4 πœƒ + 𝑖 4 πœƒ ) 1 c o s s i n et 𝑧 = 1 3 ( 2 πœƒ + 𝑖 2 πœƒ ) 2 s i n c o s , oΓΉ 0 < πœƒ < 9 0 ∘ . DΓ©termine la forme trigonomΓ©trique de 𝑧 𝑧 1 2 .

  • A 2 ( 2 πœƒ + 𝑖 2 πœƒ ) c o s s i n
  • B 2 ( ( 9 0 βˆ’ 2 πœƒ ) + 𝑖 ( 9 0 βˆ’ 2 πœƒ ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 1 9 3 ( ( 9 0 + 2 πœƒ ) + 𝑖 ( 9 0 + 2 πœƒ ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • D 2 ( ( 9 0 + 2 πœƒ ) + 𝑖 ( 9 0 + 2 πœƒ ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • E 1 9 3 ( 2 πœƒ + 𝑖 2 πœƒ ) c o s s i n

Q15:

Γ‰tant donnΓ©s 𝑧 = 2 ( 5 π‘Ž + 𝑖 5 π‘Ž )  c o s s i n et 𝑧 = 4 ( 3 π‘Ž βˆ’ 𝑖 3 π‘Ž )  s i n c o s , dΓ©termine 𝑧 𝑧   .

  • A 8 ( ( 2 7 0 βˆ’ 8 π‘Ž ) + 𝑖 ( 2 7 0 βˆ’ 8 π‘Ž ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • B 6 ( ( 9 0 + 8 π‘Ž ) + 𝑖 ( 9 0 + 8 π‘Ž ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 6 ( ( 9 0 βˆ’ 8 π‘Ž ) + 𝑖 ( 9 0 βˆ’ 8 π‘Ž ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • D 8 ( ( 2 7 0 + 8 π‘Ž ) + 𝑖 ( 2 7 0 + 8 π‘Ž ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • E 8 ( 8 π‘Ž + 𝑖 8 π‘Ž ) c o s s i n

Q16:

Si 𝑧 = βˆ’ 1 √ 2 βˆ’ 𝑖  et 𝑧 = βˆ’ 1 2 + √ 2 𝑖  , est-il vrai que 𝑧 = 𝑧     ?

  • Aoui
  • Bnon

Q17:

Sachant que 𝑧 = 5 ο€Ό 5 πœ‹ 6 + 𝑖 5 πœ‹ 6   c o s s i n et 𝑧 = 4 ( 1 8 0 + 𝑖 1 8 0 )  ∘ ∘ c o s s i n , dΓ©termine 𝑧 𝑧   .

  • A 2 0 ( 3 0 + 𝑖 3 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • B 9 ( 3 3 0 + 𝑖 3 3 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 9 ( 3 3 0 βˆ’ 𝑖 3 3 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • D 2 0 ( 3 3 0 + 𝑖 3 3 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • E 2 0 ο€Ί 3 3 0 + 𝑖 3 3 0  c o s s i n  ∘  ∘

Q18:

Γ‰tant donnΓ©s 𝑧 = 2 ( ( 5 π‘Ž βˆ’ 2 𝑏 ) + 𝑖 ( 5 π‘Ž βˆ’ 2 𝑏 ) )  c o s s i n et 𝑧 = 4 ( ( 4 π‘Ž βˆ’ 3 𝑏 ) + 𝑖 ( 4 π‘Ž βˆ’ 3 𝑏 ) )  c o s s i n , calcule 𝑧 𝑧   .

  • A 8 ( ( 2 0 π‘Ž + 6 𝑏 ) + 𝑖 ( 2 0 π‘Ž + 6 𝑏 ) ) c o s s i n
  • B 6 ( ( 9 π‘Ž βˆ’ 5 𝑏 ) + 𝑖 ( 9 π‘Ž βˆ’ 5 𝑏 ) ) c o s s i n
  • C 6 ( ( 2 0 π‘Ž + 6 𝑏 ) + 𝑖 ( 2 0 π‘Ž + 6 𝑏 ) ) c o s s i n
  • D 8 ( ( 9 π‘Ž βˆ’ 5 𝑏 ) + 𝑖 ( 9 π‘Ž βˆ’ 5 𝑏 ) ) c o s s i n
  • E 1 2 ( ( π‘Ž + 𝑏 ) + 𝑖 ( π‘Ž + 𝑏 ) ) c o s s i n

Q19:

Γ‰tant donnΓ©s 𝑧 = βˆ’ 1 5 0 βˆ’ 𝑖 1 5 0  ∘ ∘ s i n c o s et 𝑧 = 2 ( 1 2 0 βˆ’ 𝑖 1 2 0 )  ∘ ∘ s i n c o s , dΓ©termine 𝑧 𝑧   .

  • A 2 ( 2 7 0 + 𝑖 2 7 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • B 3 ( 1 5 0 + 𝑖 1 5 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 3 ( 2 7 0 + 𝑖 2 7 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • D 2 ( 1 5 0 + 𝑖 1 5 0 ) c o s s i n ∘ ∘

Q20:

Si 𝑧  = 6 ( c o s 2 2 5 ∘ + 𝑖 s i n 2 2 5 ∘ ) , 𝑧  = c o s 9 0 ∘ + 𝑖 s i n 9 0 ∘ et 𝑧  = c o s 2 7 0 ∘ + 𝑖 s i n 2 7 0 ∘ , quelle est la forme exponentielle de ( 𝑧  𝑧  𝑧  )   ?

  • A 3 6 𝑒  ο‘½  
  • B 6 𝑒 ο‘½  
  • C 6 𝑒  ο‘½  
  • D 3 6 𝑒 ο‘½  
  • E 3 6 𝑒  ο‘½  

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