Feuille d'activités : Opérations avec des nombres complexes sous forme trigonométrique

Entraînement

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à effectuer des calculs avec des nombres complexes sous forme trigonométrique.

Q1:

Étant donnés 𝑧 = 2 0 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 1 c o s s i n et 𝑧 = 4 𝜋 6 + 𝑖 𝜋 6 2 c o s s i n , détermine 𝑧 𝑧 1 2 sous la forme trigonométrique.

  • A 5 2 𝜋 3 + 𝑖 2 𝜋 3 c o s s i n
  • B 8 0 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 c o s s i n
  • C 5 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 c o s s i n
  • D 5 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 c o s s i n
  • E 1 6 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 c o s s i n

Q2:

Que devons-nous faire pour multiplier deux nombres complexes sous forme trigonométrique ?

  • Aajouter leurs modules et multiplier leurs arguments
  • Bajouter leurs modules et ajouter leurs arguments
  • Cmultiplier leurs modules et multiplier leurs arguments
  • Dmultiplier leurs modules et ajouter leurs arguments
  • Emultiplier leurs modules et soustraire leurs arguments

Q3:

Étant donnés 𝑧 = 2 𝜋 6 + 𝑖 𝜋 6 c o s s i n et 𝑧 = 1 √ 3 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 c o s s i n , détermine 𝑧 𝑧 .

  • A 2 √ 3 3 1 1 𝜋 6 + 𝑖 1 1 𝜋 6 c o s s i n
  • B 2 + 1 √ 3 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 c o s s i n
  • C 2 + 1 √ 3 1 1 𝜋 6 + 𝑖 1 1 𝜋 6 c o s s i n
  • D 2 √ 3 3 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 c o s s i n
  • E 2 √ 3 3 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 c o s s i n

Q4:

Quel est l'argument du produit de 𝑧 = 𝑟 ( 𝜃 + 𝑖 𝜃 ) 1 c o s s i n et 𝑧 = 𝑠 ( 𝜑 + 𝑖 𝜑 ) 2 c o s s i n  ?

  • A 𝑟 𝑠
  • B 𝜃 × 𝜑
  • C 𝑟 + 𝑠
  • D 𝜃 + 𝜑
  • E 𝑟 𝜃 + 𝑠 𝜑

Q5:

Considère le nombre complexe 𝑧 = 1 + √ 3 𝑖 .

Calcule le module de 𝑧 .

Détermine l'argument principal de 𝑧 .

  • A 𝜋 3
  • B 2 𝜋 3
  • C √ 1 0
  • D 𝜋 6
  • E2

Par conséquent, utilise les propriétés de la multiplication sur les nombres complexes sous forme exponentielle pour détermine le module et l'argument de 𝑧 .

  • Amodule = √ 3 , argument= 𝜋
  • Bmodule = √ 1 0 , argument = 𝜋 2
  • Cmodule = 8, argument = 𝜋
  • Dmodule = 8, argument = 𝜋 2
  • Emodule = √ 1 0 , argument = 𝜋

Ainsi, détermine la valeur de 𝑧 .

Q6:

Sachant que 𝑧 = 3 1 1 𝜋 6 + 𝑖 1 1 𝜋 6 c o s s i n , écris 1 𝑧 sous forme exponentielle.

  • A 1 𝑧 = 𝑒
  • B 1 𝑧 = 1 3 𝑒
  • C 1 𝑧 = 3 𝑒
  • D 1 𝑧 = 1 3 𝑒

Q7:

Sachant que 𝑧 = 7 𝜋 6 + 𝑖 7 𝜋 6 c o s s i n , détermine 1 𝑧 .

  • A s i n c o s 5 𝜋 6 + 𝑖 5 𝜋 6
  • B c o s s i n 7 𝜋 6 + 𝑖 7 𝜋 6
  • C c o s s i n 𝜋 6 + 𝑖 𝜋 6
  • D c o s s i n 5 𝜋 6 + 𝑖 5 𝜋 6

Q8:

Sachant que 𝑧 = 1 6 ( 4 5 + 𝑖 4 5 ) ∘ ∘ c o s s i n et 𝑧 = 2 ( − 2 8 5 − 𝑖 2 8 5 ) ∘ ∘ s i n c o s , calcule 𝑧 𝑧 .

  • A 3 2 ( 1 2 0 + 𝑖 1 2 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • B 8 ( 6 0 + 𝑖 6 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 3 2 ( 6 0 + 𝑖 6 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • D 8 ( 1 2 0 + 𝑖 1 2 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • E 8 ( 0 + 𝑖 0 ) c o s s i n ∘ ∘

Q9:

Sachant que 𝑍 = 5 ( 5 𝜃 + 𝑖 5 𝜃 ) c o s s i n , 𝑍 = 4 𝜃 + 𝑖 4 𝜃 c o s s i n , t a n 𝜃 = 4 3 et 𝜃 ∈ 0 ; 𝜋 2 , détermine 𝑍 𝑍 .

  • A 3 5 + 4 5 𝑖
  • B 4 + 3 𝑖
  • C 4 5 + 3 5 𝑖
  • D 3 + 4 𝑖

Q10:

Étant donnés 𝑍 = 9 ( 3 𝜃 + 𝑖 3 𝜃 ) c o s s i n , 𝑍 = 4 ( 5 𝜃 + 𝑖 5 𝜃 ) c o s s i n , avec s i n 𝜃 = 1 2 , où 𝜃 ∈ 𝜋 2 ; 𝜋 , détermine 𝑍 𝑍 .

  • A 9 4 2 𝜋 3 + 𝑖 2 𝜋 3 c o s s i n
  • B 3 6 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 c o s s i n
  • C 3 6 2 𝜋 3 + 𝑖 2 𝜋 3 c o s s i n
  • D 9 4 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 c o s s i n
  • E 9 4 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 s i n c o s

Q11:

Étant donnés 𝑧 = 1 2 − √ 3 2 𝑖 et 𝑧 = 2 √ 3 + 2 𝑖 , détermine 𝑧 𝑧 sous la forme exponentielle.

  • A 𝑧 𝑧 = 4 𝑒
  • B 𝑧 𝑧 = 1 4 𝑒
  • C 𝑧 𝑧 = 𝑒
  • D 𝑧 𝑧 = 1 4 𝑒
  • E 𝑧 𝑧 = 1 4 𝑒

Q12:

Simplifie 4 ( 9 0 + 𝑖 9 0 ) × 5 ( 8 0 + 𝑖 8 0 ) × 4 ( 4 5 + 𝑖 4 5 ) c o s s i n c o s s i n c o s s i n ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ , en donnant le résultat sous forme trigonométrique.

  • A 8 0 ( 1 2 5 + 𝑖 1 2 5 ) c o s s i n ∘ ∘
  • B 1 3 ( 2 1 5 + 𝑖 2 1 5 ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 8 0 ( 2 1 5 + 𝑖 2 1 5 ) s i n c o s ∘ ∘
  • D 8 0 ( 2 1 5 + 𝑖 2 1 5 ) c o s s i n ∘ ∘

Q13:

Étant donnés 𝑧 = 5 ( 2 𝑎 + 𝑖 2 𝑎 ) c o s s i n et 𝑧 = 1 4 ( 4 𝑎 + 𝑖 4 𝑎 ) c o s s i n , détermine 𝑧 𝑧 .

  • A 5 4 8 𝑎 + 𝑖 8 𝑎 c o s s i n
  • B 2 1 4 ( 6 𝑎 + 𝑖 6 𝑎 ) c o s s i n
  • C 2 1 4 8 𝑎 + 𝑖 8 𝑎 c o s s i n
  • D 5 4 ( 6 𝑎 + 𝑖 6 𝑎 ) c o s s i n
  • E 2 0 ( ( − 2 𝑎 ) + 𝑖 ( − 2 𝑎 ) ) c o s s i n

Q14:

On sait que 𝑧 = 6 ( 4 𝜃 + 𝑖 4 𝜃 ) 1 c o s s i n et 𝑧 = 1 3 ( 2 𝜃 + 𝑖 2 𝜃 ) 2 s i n c o s , où 0 < 𝜃 < 9 0 ∘ . Détermine la forme trigonométrique de 𝑧 𝑧 1 2 .

  • A 2 ( 2 𝜃 + 𝑖 2 𝜃 ) c o s s i n
  • B 2 ( ( 9 0 − 2 𝜃 ) + 𝑖 ( 9 0 − 2 𝜃 ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 1 9 3 ( ( 9 0 + 2 𝜃 ) + 𝑖 ( 9 0 + 2 𝜃 ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • D 2 ( ( 9 0 + 2 𝜃 ) + 𝑖 ( 9 0 + 2 𝜃 ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • E 1 9 3 ( 2 𝜃 + 𝑖 2 𝜃 ) c o s s i n

Q15:

Étant donnés 𝑧 = 2 ( 5 𝑎 + 𝑖 5 𝑎 ) c o s s i n et 𝑧 = 4 ( 3 𝑎 − 𝑖 3 𝑎 ) s i n c o s , détermine 𝑧 𝑧 .

  • A 8 ( ( 2 7 0 − 8 𝑎 ) + 𝑖 ( 2 7 0 − 8 𝑎 ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • B 6 ( ( 9 0 + 8 𝑎 ) + 𝑖 ( 9 0 + 8 𝑎 ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 6 ( ( 9 0 − 8 𝑎 ) + 𝑖 ( 9 0 − 8 𝑎 ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • D 8 ( ( 2 7 0 + 8 𝑎 ) + 𝑖 ( 2 7 0 + 8 𝑎 ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • E 8 ( 8 𝑎 + 𝑖 8 𝑎 ) c o s s i n

Q16:

Si 𝑧 = − 1 √ 2 − 𝑖 et 𝑧 = − 1 2 + √ 2 𝑖 , est-il vrai que 𝑧 = 𝑧  ?

  • Aoui
  • Bnon

Q17:

Sachant que 𝑧 = 5 5 𝜋 6 + 𝑖 5 𝜋 6 c o s s i n et 𝑧 = 4 ( 1 8 0 + 𝑖 1 8 0 ) ∘ ∘ c o s s i n , détermine 𝑧 𝑧 .

  • A 2 0 ( 3 0 + 𝑖 3 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • B 9 ( 3 3 0 + 𝑖 3 3 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 9 ( 3 3 0 − 𝑖 3 3 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • D 2 0 ( 3 3 0 + 𝑖 3 3 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • E 2 0 3 3 0 + 𝑖 3 3 0 c o s s i n ∘ ∘

Q18:

Étant donnés 𝑧 = 2 ( ( 5 𝑎 − 2 𝑏 ) + 𝑖 ( 5 𝑎 − 2 𝑏 ) ) c o s s i n et 𝑧 = 4 ( ( 4 𝑎 − 3 𝑏 ) + 𝑖 ( 4 𝑎 − 3 𝑏 ) ) c o s s i n , calcule 𝑧 𝑧 .

  • A 8 ( ( 2 0 𝑎 + 6 𝑏 ) + 𝑖 ( 2 0 𝑎 + 6 𝑏 ) ) c o s s i n
  • B 6 ( ( 9 𝑎 − 5 𝑏 ) + 𝑖 ( 9 𝑎 − 5 𝑏 ) ) c o s s i n
  • C 6 ( ( 2 0 𝑎 + 6 𝑏 ) + 𝑖 ( 2 0 𝑎 + 6 𝑏 ) ) c o s s i n
  • D 8 ( ( 9 𝑎 − 5 𝑏 ) + 𝑖 ( 9 𝑎 − 5 𝑏 ) ) c o s s i n
  • E 1 2 ( ( 𝑎 + 𝑏 ) + 𝑖 ( 𝑎 + 𝑏 ) ) c o s s i n

Q19:

Étant donnés 𝑧 = − 1 5 0 − 𝑖 1 5 0 ∘ ∘ s i n c o s et 𝑧 = 2 ( 1 2 0 − 𝑖 1 2 0 ) ∘ ∘ s i n c o s , détermine 𝑧 𝑧 .

  • A 2 ( 2 7 0 + 𝑖 2 7 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • B 3 ( 1 5 0 + 𝑖 1 5 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 3 ( 2 7 0 + 𝑖 2 7 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • D 2 ( 1 5 0 + 𝑖 1 5 0 ) c o s s i n ∘ ∘

Q20:

Si 𝑧 = 6 ( c o s 2 2 5 ∘ + 𝑖 s i n 2 2 5 ∘ ) , 𝑧 = c o s 9 0 ∘ + 𝑖 s i n 9 0 ∘ et 𝑧 = c o s 2 7 0 ∘ + 𝑖 s i n 2 7 0 ∘ , quelle est la forme exponentielle de ( 𝑧 𝑧 𝑧 )  ?

  • A 3 6 𝑒
  • B 6 𝑒
  • C 6 𝑒
  • D 3 6 𝑒
  • E 3 6 𝑒

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