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Feuille d'activités : Opérations avec des nombres complexes sous forme trigonométrique

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à effectuer des calculs avec des nombres complexes sous forme trigonométrique.

Q1:

Étant donnés 𝑧 = 2 0 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 1 c o s s i n et 𝑧 = 4 𝜋 6 + 𝑖 𝜋 6 2 c o s s i n , détermine 𝑧 𝑧 1 2 sous la forme trigonométrique.

  • A 5 2 𝜋 3 + 𝑖 2 𝜋 3 c o s s i n
  • B 8 0 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 c o s s i n
  • C 5 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 c o s s i n
  • D 5 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 c o s s i n
  • E 1 6 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 c o s s i n

Q2:

Sachant que 𝑧 = 1 6 ( 4 5 + 𝑖 4 5 ) 1 ∘ ∘ 2 c o s s i n et 𝑧 = 2 ( − 2 8 5 − 𝑖 2 8 5 ) 2 ∘ ∘ 2 s i n c o s , calcule 𝑧 𝑧 1 2 .

  • A 3 2 ( 1 2 0 + 𝑖 1 2 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • B 8 ( 6 0 + 𝑖 6 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 3 2 ( 6 0 + 𝑖 6 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • D 8 ( 1 2 0 + 𝑖 1 2 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • E 8 ( 0 + 𝑖 0 ) c o s s i n ∘ ∘

Q3:

Simplifie 4 ( 9 0 + 𝑖 9 0 ) × 5 ( 8 0 + 𝑖 8 0 ) × 4 ( 4 5 + 𝑖 4 5 ) c o s s i n c o s s i n c o s s i n ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ , en donnant le résultat sous forme trigonométrique.

  • A 8 0 ( 1 2 5 + 𝑖 1 2 5 ) c o s s i n ∘ ∘
  • B 1 3 ( 2 1 5 + 𝑖 2 1 5 ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 8 0 ( 2 1 5 + 𝑖 2 1 5 ) s i n c o s ∘ ∘
  • D 8 0 ( 2 1 5 + 𝑖 2 1 5 ) c o s s i n ∘ ∘

Q4:

Étant donnés 𝑧 = 5 ( 2 𝑎 + 𝑖 2 𝑎 ) 1 c o s s i n et 𝑧 = 1 4 ( 4 𝑎 + 𝑖 4 𝑎 ) 2 c o s s i n , détermine 𝑧 𝑧 1 2 .

  • A 5 4 8 𝑎 + 𝑖 8 𝑎 c o s s i n 2 2
  • B 2 1 4 ( 6 𝑎 + 𝑖 6 𝑎 ) c o s s i n
  • C 2 1 4 8 𝑎 + 𝑖 8 𝑎 c o s s i n 2 2
  • D 5 4 ( 6 𝑎 + 𝑖 6 𝑎 ) c o s s i n
  • E 2 0 ( ( − 2 𝑎 ) + 𝑖 ( − 2 𝑎 ) ) c o s s i n

Q5:

Que devons-nous faire pour multiplier deux nombres complexes sous forme trigonométrique ?

  • Aajouter leurs modules et multiplier leurs arguments
  • Bajouter leurs modules et ajouter leurs arguments
  • Cmultiplier leurs modules et multiplier leurs arguments
  • Dmultiplier leurs modules et ajouter leurs arguments
  • Emultiplier leurs modules et soustraire leurs arguments

Q6:

On sait que 𝑧 = 6 ( 4 𝜃 + 𝑖 4 𝜃 ) 1 c o s s i n et 𝑧 = 1 3 ( 2 𝜃 + 𝑖 2 𝜃 ) 2 s i n c o s , où 0 < 𝜃 < 9 0 ∘ . Détermine la forme trigonométrique de 𝑧 𝑧 1 2 .

  • A 2 ( 2 𝜃 + 𝑖 2 𝜃 ) c o s s i n
  • B 2 ( ( 9 0 − 2 𝜃 ) + 𝑖 ( 9 0 − 2 𝜃 ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 1 9 3 ( ( 9 0 + 2 𝜃 ) + 𝑖 ( 9 0 + 2 𝜃 ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • D 2 ( ( 9 0 + 2 𝜃 ) + 𝑖 ( 9 0 + 2 𝜃 ) ) c o s s i n ∘ ∘
  • E 1 9 3 ( 2 𝜃 + 𝑖 2 𝜃 ) c o s s i n

Q7:

Sachant que 𝑍 = 5 ( 5 𝜃 + 𝑖 5 𝜃 ) 1 c o s s i n , 𝑍 = 4 𝜃 + 𝑖 4 𝜃 2 c o s s i n , t a n 𝜃 = 4 3 et 𝜃 ∈ 0 , 𝜋 2 , détermine 𝑍 𝑍 1 2 .

  • A 3 5 + 4 5 𝑖
  • B 4 + 3 𝑖
  • C 4 5 + 3 5 𝑖
  • D 3 + 4 𝑖

Q8:

Si 𝑧 = 2 1 0 + 𝑖 2 1 0 1 ∘ ∘ c o s s i n , 𝑧 = 3 ( 1 3 5 + 𝑖 1 3 5 ) 2 ∘ ∘ c o s s i n et 𝑧 = 4 ( 1 3 5 + 𝑖 1 3 5 ) 3 ∘ ∘ c o s s i n , quelle est la forme exponentielle de ( 𝑧 𝑧 𝑧 ) 1 2 3 4  ?

  • A 𝑒 2 𝜋 3 𝑖
  • B 1 2 𝑒 2 𝜋 3 𝑖
  • C 2 0 7 3 6 𝑒 5 𝜋 3 𝑖
  • D 2 0 7 3 6 𝑒 2 𝜋 3 𝑖

Q9:

Étant donnés et , détermine .

  • A
  • B
  • C
  • D
  • E

Q10:

Si 𝑧 = − 1 √ 2 − 𝑖 1 et 𝑧 = − 1 2 + √ 2 𝑖 2 , est-il vrai que 𝑧 = 𝑧 2 1 2  ?

  • Aoui
  • Bnon

Q11:

Étant donnés 𝑍 = 9 ( 3 𝜃 + 𝑖 3 𝜃 ) 1 c o s s i n , 𝑍 = 4 ( 5 𝜃 + 𝑖 5 𝜃 ) 2 c o s s i n , avec s i n 𝜃 = 1 2 , où 𝜃 ∈ 𝜋 2 , 𝜋 , détermine 𝑍 𝑍 1 2 .

  • A 9 4 2 𝜋 3 + 𝑖 2 𝜋 3 c o s s i n
  • B 3 6 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 c o s s i n
  • C 3 6 2 𝜋 3 + 𝑖 2 𝜋 3 c o s s i n
  • D 9 4 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 c o s s i n
  • E 9 4 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 s i n c o s

Q12:

Sachant que 𝑧 = 3 1 1 𝜋 6 + 𝑖 1 1 𝜋 6 c o s s i n , écris 1 𝑧 sous forme exponentielle.

  • A 1 𝑧 = 𝑒 𝜋 6 𝑖
  • B 1 𝑧 = 1 3 𝑒 1 1 𝜋 6 𝑖
  • C 1 𝑧 = 3 𝑒 1 1 𝜋 6 𝑖
  • D 1 𝑧 = 1 3 𝑒 𝜋 6 𝑖

Q13:

Étant donnés 𝑧 = 2 𝜋 6 + 𝑖 𝜋 6 1 c o s s i n et 𝑧 = 1 √ 3 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 2 c o s s i n , détermine 𝑧 𝑧 1 2 .

  • A 2 √ 3 3 1 1 𝜋 6 + 𝑖 1 1 𝜋 6 c o s s i n
  • B 2 + 1 √ 3 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 c o s s i n
  • C 2 + 1 √ 3 1 1 𝜋 6 + 𝑖 1 1 𝜋 6 c o s s i n
  • D 2 √ 3 3 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 c o s s i n
  • E 2 √ 3 3 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 c o s s i n 2 2

Q14:

Étant donnés 𝑧 = 5 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 1 c o s s i n et 𝑧 = √ 2 5 𝜋 6 + 𝑖 5 𝜋 6 2 c o s s i n , détermine 𝑧 𝑧 1 2 .

  • A 5 √ 2 3 𝜋 2 + 𝑖 3 𝜋 2 c o s s i n
  • B 5 + √ 2 7 𝜋 6 + 𝑖 7 𝜋 6 c o s s i n
  • C 5 + √ 2 3 𝜋 2 + 𝑖 3 𝜋 2 c o s s i n
  • D 5 √ 2 7 𝜋 6 + 𝑖 7 𝜋 6 c o s s i n
  • E 5 √ 2 7 𝜋 6 + 𝑖 7 𝜋 6 c o s s i n 2 2

Q15:

Sachant que 𝑧 = 5 5 𝜋 6 + 𝑖 5 𝜋 6 1 c o s s i n et 𝑧 = 4 ( 1 8 0 + 𝑖 1 8 0 ) 2 ∘ ∘ c o s s i n , détermine 𝑧 𝑧 1 2 .

  • A 2 0 ( 3 0 + 𝑖 3 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • B 9 ( 3 3 0 + 𝑖 3 3 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 9 ( 3 3 0 − 𝑖 3 3 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • D 2 0 ( 3 3 0 + 𝑖 3 3 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • E 2 0 3 3 0 + 𝑖 3 3 0 c o s s i n 2 ∘ 2 ∘

Q16:

Étant donnés 𝑧 = 2 ( ( 5 𝑎 − 2 𝑏 ) + 𝑖 ( 5 𝑎 − 2 𝑏 ) ) 1 c o s s i n et 𝑧 = 4 ( ( 4 𝑎 − 3 𝑏 ) + 𝑖 ( 4 𝑎 − 3 𝑏 ) ) 2 c o s s i n , calcule 𝑧 𝑧 1 2 .

  • A 8 ( ( 2 0 𝑎 + 6 𝑏 ) + 𝑖 ( 2 0 𝑎 + 6 𝑏 ) ) c o s s i n
  • B 6 ( ( 9 𝑎 − 5 𝑏 ) + 𝑖 ( 9 𝑎 − 5 𝑏 ) ) c o s s i n
  • C 6 ( ( 2 0 𝑎 + 6 𝑏 ) + 𝑖 ( 2 0 𝑎 + 6 𝑏 ) ) c o s s i n
  • D 8 ( ( 9 𝑎 − 5 𝑏 ) + 𝑖 ( 9 𝑎 − 5 𝑏 ) ) c o s s i n
  • E 1 2 ( ( 𝑎 + 𝑏 ) + 𝑖 ( 𝑎 + 𝑏 ) ) c o s s i n

Q17:

Sachant que 𝑧 = 7 𝜋 6 + 𝑖 7 𝜋 6 c o s s i n , détermine 1 𝑧 .

  • A s i n c o s 5 𝜋 6 + 𝑖 5 𝜋 6
  • B c o s s i n 7 𝜋 6 + 𝑖 7 𝜋 6
  • C c o s s i n 𝜋 6 + 𝑖 𝜋 6
  • D c o s s i n 5 𝜋 6 + 𝑖 5 𝜋 6

Q18:

Étant donnés 𝑧 = − 1 5 0 − 𝑖 1 5 0 1 ∘ ∘ s i n c o s et 𝑧 = 2 ( 1 2 0 − 𝑖 1 2 0 ) 2 ∘ ∘ s i n c o s , détermine 𝑧 𝑧 1 2 .

  • A 2 ( 2 7 0 + 𝑖 2 7 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • B 3 ( 1 5 0 + 𝑖 1 5 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • C 3 ( 2 7 0 + 𝑖 2 7 0 ) c o s s i n ∘ ∘
  • D 2 ( 1 5 0 + 𝑖 1 5 0 ) c o s s i n ∘ ∘

Q19:

Étant donnés 𝑧 = 1 2 − √ 3 2 𝑖 1 et 𝑧 = 2 √ 3 + 2 𝑖 2 , détermine 𝑧 𝑧 1 2 sous la forme exponentielle.

  • A 𝑧 𝑧 = 4 𝑒 1 2 𝑖 3 𝜋 2
  • B 𝑧 𝑧 = 1 4 𝑒 1 2 𝑖 5 𝜋 3
  • C 𝑧 𝑧 = 𝑒 1 2 𝑖 3 𝜋 2
  • D 𝑧 𝑧 = 1 4 𝑒 1 2 𝑖 3 𝜋 2
  • E 𝑧 𝑧 = 1 4 𝑒 1 2 𝑖 𝜋 6

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