Fiche d'activités de la leçon : Moment d’une force en 3D Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer et interpréter les trois composantes du moment d'une force dans les directions i, j et k.

Q1:

Le moment de la force โƒ‘๐น par rapport ร  l'origine est ๐‘€๏Œฎ, oรน โƒ‘๐น=โƒ‘๐‘–โˆ’2โƒ‘๐‘—โˆ’โƒ‘๐‘˜ et ๐‘€=20โƒ‘๐‘–+27โƒ‘๐‘—โˆ’34โƒ‘๐‘˜๏Œฎ. Sachant que la force passe par un point dont la coordonnรฉe ๐‘ฆ vaut 4, dรฉtermine les coordonnรฉes ๐‘ฅ et ๐‘ง du point.

  • A๐‘ฅ=โˆ’30, ๐‘ง=24
  • B๐‘ฅ=โˆ’19, ๐‘ง=โˆ’8
  • C๐‘ฅ=15, ๐‘ง=12
  • D๐‘ฅ=42, ๐‘ง=28

Q2:

Si la force โƒ‘๐น=๐‘šโƒ‘๐‘–+๐‘›โƒ‘๐‘—โˆ’โƒ‘๐‘˜ agit en un point dont le vecteur position par rapport ร  l'orgine est โƒ‘๐‘Ÿ=14โƒ‘๐‘–โˆ’โƒ‘๐‘—+12โƒ‘๐‘˜, et si les composantes du moment de la force โƒ‘๐น par rapport ร  l'axe des ๐‘ฅ et l'axe des ๐‘ฆ sont respectivement de 73 et 242 unitรฉs de moment, alors dรฉtermine les valeurs de ๐‘š et ๐‘›.

  • A๐‘š=21, ๐‘›=6
  • B๐‘š=20, ๐‘›=โˆ’7
  • C๐‘š=4, ๐‘›=โˆ’20
  • D๐‘š=19, ๐‘›=โˆ’6

Q3:

Les forces โƒ‘๐น=5โˆš673๏ŠงN et โƒ‘๐น=16โˆš569๏ŠจN agissent respectivement le long de ๏ƒซ๐ด๐ต et ๏ƒซ๐ด๐ถ, comme indiquรฉ sur la figure. Sachant que โƒ‘๐‘–, โƒ‘๐‘— et โƒ‘๐‘˜ sont un systรจme de vecteurs unitaires orthogonaux dans les directions respectives de ๐‘ฅ, ๐‘ฆ et ๐‘ง, calcule la somme des moments des forces par rapport au point ๐‘‚ en newton-mรจtres.

  • A640โƒ‘๐‘–+2640โƒ‘๐‘—
  • B2773โƒ‘๐‘–+1626โƒ‘๐‘—
  • C640โƒ‘๐‘–+1626โƒ‘๐‘—
  • D2773โƒ‘๐‘–+2640โƒ‘๐‘—

Q4:

Sur la figure, une force d'intensitรฉ 42 newtons newtons agit le long de la diagonale [๐ธ๐ต] d'un pavรฉ droit de dimensions 18 cm, 18 cm et 9 cm. Dรฉtermine le vecteur moment de la force autour du point ๐‘‡ en newtons-centimรจtres.

  • A252โƒ—๐šฅ+504โƒ—๐‘˜
  • B1134โƒ—๐šคโˆ’378โƒ—๐šฅโˆ’756โƒ—๐‘˜
  • Cโˆ’1134โƒ—๐šค+378โƒ—๐šฅ+756โƒ—๐‘˜
  • Dโˆ’252โƒ—๐šฅโˆ’504โƒ—๐‘˜

Q5:

Si la force โƒ‘๐น, oรน โƒ‘๐น=โˆ’2โƒ‘๐‘–+๐ฟโƒ‘๐‘—โˆ’9โƒ‘๐‘˜, agit en le point ๐ด(4;5;โˆ’2), et si le moment ๐‘€๏Œก de la force par rapport au point ๐ต(โˆ’4;โˆ’4;3) est โˆ’91โƒ‘๐‘–+82โƒ‘๐‘—+2โƒ‘๐‘˜, alors dรฉtermine la valeur de ๐ฟ.

Q6:

Sur la figure, dรฉtermine la somme des vecteurs moments des forces de 86 et 65 newtons par rapport ร  ๐‘‚ en newton-centimรจtre.

  • Aโˆ’867โƒ—๐šค+312โƒ—๐šฅ+220โƒ—๐‘˜
  • Bโˆ’351โƒ—๐šค+312โƒ—๐šฅโˆ’468โƒ—๐‘˜
  • Cโˆ’516โƒ—๐šค+688โƒ—๐‘˜
  • Dโˆ’867โƒ—๐šค+624โƒ—๐šฅ+220โƒ—๐‘˜

Q7:

Si une force โƒ‘๐น=6โƒ‘๐‘–โˆ’7โƒ‘๐‘—โˆ’8โƒ‘๐‘˜ agit en le point ๐ด(5;โˆ’8;11), alors dรฉtermine l'intensitรฉ de la composante du moment de โƒ‘๐น autour de l'axe des ๐‘ฆ.

  • A106 unitรฉs de moment
  • B141 unitรฉs de moment
  • C260 unitรฉs de moment
  • D13 unitรฉs de moment

Q8:

Si la force โƒ—๐น=3โƒ—๐šค+๐‘โƒ—๐šฅ+๐‘โƒ—๐‘˜ agit en le point ๐ด(2;โˆ’14;10), et les deux composantes du moment de โƒ—๐น autour de l'axe des ๐‘ฆ et l'axe des ๐‘ง sont respectivement 12 et 54, alors dรฉtermine les valeurs de ๐‘ et ๐‘.

  • A๐‘=1, ๐‘=โˆ’1
  • B๐‘=48, ๐‘=9
  • C๐‘=6, ๐‘=โˆ’9
  • D๐‘=6, ๐‘=9

Q9:

Si la force โƒ—๐น=๐‘šโƒ—๐šคโˆ’โƒ—๐šฅโˆ’โƒ—๐‘˜ agit en un point ๐ด dont le vecteur position, par rapport ร  l'origine, est โƒ—๐‘Ÿ=โˆ’3โƒ—๐šค+3โƒ—๐šฅโˆ’3โƒ—๐‘˜, et la composante du moment de la force โƒ—๐น autour de l'axe des ๐‘ฆ est 9 unitรฉs de moment, alors dรฉtermine la longueur du segement perpendiculaire tracรฉ de l'origine vers la ligne d'action de โƒ—๐น.

  • Aโˆš19 unitรฉs de longueur
  • B19 unitรฉs de longueur
  • C3 unitรฉs de longueur
  • Dโˆš17 unitรฉs de longueur

Q10:

Sur la figure ci-dessous, une force d'intensitรฉ 23โˆš2 newtons agit en le point ๐ด. Dรฉtermine le vecteur moment de la force par rapport ร  l'origine ๐‘‚ en Nโ‹…m.

  • Aโˆ’92โƒ‘๐‘–+69โƒ‘๐‘—
  • Bโˆ’92โƒ‘๐‘–+55โƒ‘๐‘—
  • Cโˆ’55โƒ‘๐‘–+69โƒ‘๐‘—
  • D92โƒ‘๐‘–โˆ’69โƒ‘๐‘—

Q11:

Une force d'intensitรฉ โƒ—๐น=32โˆš13๏Šงnewtons agit sur le point ๐ต dans la direction de [๐ด๐ต) et une autre force d'intensitรฉ โƒ—๐น=22โˆš61๏Šจnewtons agit en le point ๐ถ dans la direction de [๐ด๐ถ) telles qu'illustrรฉes sur la figure. Si โƒ—๐šค, โƒ—๐šฅ et โƒ—๐‘˜ forment une base orthonormรฉe dans les directions respectives de ๐‘ฅ, ๐‘ฆ et ๐‘ง, dรฉtermine le vecteur somme des moments des forces par rapport au point ๐‘‚ en newton-centimรจtres.

  • A594โƒ—๐šคโˆ’576โƒ—๐šฅ+792โƒ—๐‘˜ Nโ‹…cm
  • B18โƒ—๐šค+594โƒ—๐šฅ+792โƒ—๐‘˜ Nโ‹…cm
  • Cโˆ’576โƒ—๐šค+792โƒ—๐šฅ Nโ‹…cm
  • D18โƒ—๐šค+792โƒ—๐šฅ Nโ‹…cm

Q12:

Sachant qu'une force d'intensitรฉ 6 N agit en le point ๐ถ comme l'indique la figure, dรฉtermine son vecteur moment par rapport au point ๐ด en newton-centimรจtres.

  • Aโˆ’48โˆš3โƒ‘๐‘–+72โƒ‘๐‘—โˆ’48โƒ‘๐‘˜
  • B48โˆš3โƒ‘๐‘–+72โƒ‘๐‘—โˆ’48โƒ‘๐‘˜
  • C72โƒ‘๐‘–โˆ’48โˆš3โƒ‘๐‘—+48โƒ‘๐‘˜
  • Dโˆ’48โˆš3โƒ‘๐‘–โˆ’72โƒ‘๐‘—+48โƒ‘๐‘˜

Q13:

Sur la figure suivante, ๐ด๐ต est une barre fixรฉe ร  un mur vertical en l'extrรฉmitรฉ ๐ด. L'autre extrรฉmitรฉ ๐ต est connectรฉe ร  un cรขble ๐ต๐ถ, oรน ๐ถ est fixรฉ ร  un point diffรฉrent sur le mรชme mur vertical. Si la tension dans le cรขble est d'intensitรฉ 65 N, calcule le moment de la tension par rapport au point ๐ด en newton-mรจtres.

  • A22โƒ‘๐‘–+20โƒ‘๐‘˜
  • B180โƒ‘๐‘–+240โƒ‘๐‘˜
  • C90โƒ‘๐‘–+40โƒ‘๐‘˜
  • D360โƒ‘๐‘–+120โƒ‘๐‘˜

Q14:

Si la force โƒ‘๐น=โˆ’9โƒ‘๐‘–โˆ’4โƒ‘๐‘—โˆ’โƒ‘๐‘˜ agit en le point ๐ด(โˆ’3;2;4), dรฉtermine le moment ๐‘€๏Œก de la force โƒ‘๐น par rapport au point ๐ต(6;7;5), puis calcule la longueur du segment perpendiculaire ๐ฟ de ๐ต vers la ligne d'action de la force.

  • A๏ƒ ๐‘€=โƒ‘๐‘–โˆ’9โƒ‘๐‘˜๏Œก, ๐ฟ=9โˆš437
  • B๏ƒ ๐‘€=โƒ‘๐‘–โˆ’9โƒ‘๐‘˜๏Œก, ๐ฟ=โˆš417
  • C๏ƒ ๐‘€=9โƒ‘๐‘–+18โƒ‘๐‘—+81โƒ‘๐‘˜๏Œก, ๐ฟ=โˆš417
  • D๏ƒ ๐‘€=9โƒ‘๐‘–+18โƒ‘๐‘—+81โƒ‘๐‘˜๏Œก, ๐ฟ=9โˆš437

Q15:

Si une force โƒ‘๐น agit en le point ๐ด(9;โˆ’6;โˆ’1), oรน le moment de โƒ‘๐น par rapport ร  l'origine est รฉgal ร  85โƒ‘๐‘–+90โƒ‘๐‘—+225โƒ‘๐‘˜, dรฉtermine โƒ‘๐น.

  • A9โƒ‘๐‘–+19โƒ‘๐‘—โˆ’11โƒ‘๐‘˜
  • Bโˆ’11โƒ‘๐‘–+19โƒ‘๐‘—+9โƒ‘๐‘˜
  • Cโˆ’11โƒ‘๐‘–+9โƒ‘๐‘—+19โƒ‘๐‘˜
  • D19โƒ‘๐‘–โˆ’11โƒ‘๐‘—+9โƒ‘๐‘˜

Q16:

Sur la figure, si les forces โƒ‘๐น=โˆ’7โƒ‘๐‘–โˆ’โƒ‘๐‘—+3โƒ‘๐‘˜๏Šง et โƒ‘๐น=โˆ’7โƒ‘๐‘–+8โƒ‘๐‘—โˆ’6โƒ‘๐‘˜๏Šจ agissent en le point ๐ด, oรน โƒ‘๐น๏Šง et โƒ‘๐น๏Šจ sont mesurรฉes en newtons, dรฉtermine le vecteur moment de la rรฉsultante par rapport au point ๐‘‚ en newtons-centimรจtres.

  • A224โƒ‘๐‘–โˆ’102โƒ‘๐‘—โˆ’99โƒ‘๐‘˜
  • B231โƒ‘๐‘–โˆ’85โƒ‘๐‘—โˆ’92โƒ‘๐‘˜
  • Cโˆ’99โƒ‘๐‘–โˆ’102โƒ‘๐‘—+224โƒ‘๐‘˜
  • Dโˆ’92โƒ‘๐‘–โˆ’85โƒ‘๐‘—+231โƒ‘๐‘˜

Q17:

Dรฉtermine le moment ๏ƒŸ๐‘€ de la force โƒ‘๐น par rapport ร  l'origine du repรจre, sachant que โƒ‘๐น=โˆ’2โƒ‘๐‘–+โƒ‘๐‘—+โƒ‘๐‘˜, et agit en un point ๐ด dont le vecteur position est โƒ‘๐‘Ÿ=6โƒ‘๐‘–+6โƒ‘๐‘—โˆ’3โƒ‘๐‘˜ par rapport ร  l'origine du repรจre, puis dรฉtermine la longueur ๐ฟ du segment perpendiculaire tracรฉ ร  partir de l'origine jusqu'ร  la ligne d'action de la force โƒ‘๐น.

  • A๏ƒŸ๐‘€=3โƒ‘๐‘–+12โƒ‘๐‘—โˆ’6โƒ‘๐‘˜, ๐ฟ=3โˆš302 unitรฉs de longueur
  • B๏ƒŸ๐‘€=9โƒ‘๐‘–+18โƒ‘๐‘˜, ๐ฟ=3โˆš302 unitรฉs de longueur
  • C๏ƒŸ๐‘€=9โƒ‘๐‘–+18โƒ‘๐‘˜, ๐ฟ=3โˆš142 unitรฉs de longueur
  • D๏ƒŸ๐‘€=3โƒ‘๐‘–+12โƒ‘๐‘—โˆ’6โƒ‘๐‘˜, ๐ฟ=3โˆš142 unitรฉs de longueur

Q18:

Si la force โƒ‘๐น=โˆ’19โƒ‘๐‘–+๐ฟโƒ‘๐‘—+2โƒ‘๐‘˜ agit en le point ๐ด(โˆ’3;5;โˆ’3), et que le moment de โƒ‘๐น par rapport ร  l'origine รฉgale 4โƒ‘๐‘–+63โƒ‘๐‘—+101โƒ‘๐‘˜, alors dรฉtermine la valeur de ๐ฟ.

Q19:

Vrai ou fauxโ€‰: Si la force โƒ‘๐น agit en un point ๐ด, alors son moment en 3D par rapport au point ๐ต est donnรฉ par ๐ต=โƒ‘๐นโˆง๏ƒ ๐ต๐ด.

  • Avrai
  • Bfaux

Q20:

Une force โƒ‘๐น=5โƒ‘๐‘–+2โƒ‘๐‘—+3โƒ‘๐‘˜ agit en le point ๐ด(โˆ’1;4;2). Dรฉtermine le moment de cette force par rapport au point ๐ด.

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