Feuille d'activités : Série de Maclaurin

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à représenter des fonctions exponentielles et trigonométriques sous forme de séries entières, déterminer le développement au voisinage de zéro et le rayon de convergence de la série.

Q1:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=𝑒.

DΓ©termine 𝑓(π‘₯).

  • A𝑒π‘₯ln
  • Bπ‘’ο—οŠ±οŠ§
  • C𝑒
  • Dlnπ‘₯
  • E𝑒π‘₯ο—οŠ±οŠ§ln

DΓ©termine 𝑓(π‘₯)(), oΓΉ 𝑓() reprΓ©sente la dΓ©rivΓ©e d'ordre 𝑛 de 𝑓 par rapport Γ  π‘₯.

  • Aπ‘’ο—οŠ±οŠ
  • B𝑒
  • C𝑒π‘₯+𝑒(βˆ’1)(π‘›βˆ’2)!π‘₯ο—οŠ±οŠο—οŠ±οŠ§οŠ()ln pour 𝑛>1
  • D𝑒π‘₯+𝑒(βˆ’1)(π‘›βˆ’2)!π‘₯ο—ο—οŠ()ln pour 𝑛>1
  • E(βˆ’1)(π‘›βˆ’2)!π‘₯() pour 𝑛>1

Ensuite, dΓ©termine la dΓ©rivΓ©e de la sΓ©rie entiΓ¨re de 𝑒.

  • A𝑒=ο„šπ‘₯𝑛!ο—οŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ§οŠ
  • B𝑒=ο„šπ‘₯𝑛!ο—οŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠ
  • C𝑒=ο„šπ‘’π‘›!ο—οŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠ
  • D𝑒=ο„šπ‘“(π‘Ž)(π‘₯βˆ’π‘Ž)𝑛!ο—οŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ§()
  • E𝑒=ο„šπ‘“(π‘Ž)(π‘₯βˆ’π‘Ž)𝑛!ο—οŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ¦()

Quel est le rayon de convergence 𝑅 de la sΓ©rie entiΓ¨re de 𝑒 ?

  • AElle ne converge pas.
  • B𝑅=𝑒
  • C𝑅=1
  • D𝑅=++∞
  • E𝑅=100

Q2:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=π‘₯sin.

Quelles sont les quatre premiΓ¨res dΓ©rivΓ©es de 𝑓 en fonction de π‘₯ ?

  • A𝑓′(π‘₯)=π‘₯cos, 𝑓′′(π‘₯)=π‘₯sin, 𝑓′′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯cos et 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sin
  • B𝑓′(π‘₯)=βˆ’π‘₯cos, 𝑓′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯sin, 𝑓′′′(π‘₯)=π‘₯cos et 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sin
  • C𝑓′(π‘₯)=π‘₯cos, 𝑓′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯sin, 𝑓′′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯cos et 𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯(οŠͺ)sin
  • D𝑓′(π‘₯)=βˆ’π‘₯cos, 𝑓′′(π‘₯)=π‘₯sin, 𝑓′′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯cos et 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sin
  • E𝑓′(π‘₯)=π‘₯cos, 𝑓′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯sin, 𝑓′′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯cos et 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sin

Γ‰cris la forme gΓ©nΓ©rale de la dΓ©rivΓ©e d'ordre 𝑛 de 𝑓 en fonction de π‘₯.

  • A𝑓(π‘₯)=βˆ’ο€»π‘₯+π‘›πœ‹2()cos
  • B𝑓(π‘₯)=ο€»π‘₯+π‘›πœ‹2()sin
  • C𝑓(π‘₯)=βˆ’ο€»π‘₯+π‘›πœ‹2()sin
  • D𝑓(π‘₯)=(π‘₯+π‘›πœ‹)()sin
  • E𝑓(π‘₯)=ο€»π‘₯+π‘›πœ‹2()cos

Enfin, dΓ©rive la sΓ©rie entiΓ¨re de sinπ‘₯.

  • AοŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠ¨οŠοŠ°οŠ§οŠ¨οŠοŠ°οŠ§ο„š(βˆ’1)π‘₯(2𝑛+1)!
  • BοŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠ¨οŠο„š(βˆ’1)π‘₯(2𝑛)!
  • CοŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠο„š(βˆ’1)π‘₯𝑛!
  • DοŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠ¨οŠοŠ°οŠ§ο„š(βˆ’1)π‘₯(2𝑛+1)!
  • EοŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠ¨οŠοŠο„š(βˆ’1)π‘₯𝑛!

Quel est le rayon 𝑅 de convergence de la sΓ©rie entiΓ¨re de sinπ‘₯ ?

  • A𝑅=++∞
  • B𝑅=πœ‹2
  • C𝑅=2πœ‹
  • D𝑅=1
  • E𝑅=πœ‹

Q3:

DΓ©termine la sΓ©rie de Taylor en zΓ©ro de 𝑓(π‘₯)=110π‘₯+1.

  • AοŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠοŠ±οŠ§ο„š(10)π‘₯
  • BοŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠοŠ±οŠ§ο„š(βˆ’10)π‘₯
  • CοŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠο„š(10)π‘₯
  • DοŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠοŠ°οŠ§ο„š(βˆ’10)π‘₯
  • EοŠ°βˆžοŠοŠ²οŠ¦οŠοŠο„š(βˆ’10)π‘₯

Q4:

DΓ©termine le rayon de convergence de la sΓ©rie de Maclaurin de 𝑓(π‘₯)=110π‘₯+1.

  • A14
  • B12
  • C110
  • D10
  • E1

Q5:

En calculant la sΓ©rie de Taylor en zΓ©ro de 𝑓(π‘₯)=2π‘₯sin et 𝑔(π‘₯)=π‘’οŠ¨ο—, ou Γ  l'aide d'une autre mΓ©thode, dΓ©termine la sΓ©rie de Taylor en zΓ©ro de 𝑓(π‘₯)+𝑔(π‘₯).

  • AοŠ°βˆžο‡οŠ²οŠ¦ο‡ο‡οŠ§οŠ°ο‡οŠ§οŠ°ο‡ο„š2π‘₯ο€Ύ1π‘˜!βˆ’(βˆ’2)π‘₯(1+π‘˜)!
  • BοŠ°βˆžο‡οŠ²οŠ¦ο‡ο‡οŠ§οŠ°ο‡οŠ§οŠ°ο‡ο„š2π‘₯ο€Ύ1π‘˜!βˆ’(βˆ’2)π‘₯(1+2π‘˜)!
  • CοŠ°βˆžο‡οŠ²οŠ¦ο‡ο‡οŠ§οŠ°ο‡οŠ§οŠ°ο‡ο„š(βˆ’2)π‘₯ο€Ύ1π‘˜!βˆ’(2)π‘₯(1+2π‘˜)!
  • DοŠ°βˆžο‡οŠ²οŠ¦ο‡ο‡οŠ§οŠ°ο‡οŠ§οŠ°ο‡ο„š(βˆ’2)π‘₯ο€Ύ1π‘˜!βˆ’(βˆ’2)π‘₯(1+2π‘˜)!
  • EοŠ°βˆžο‡οŠ²οŠ¦ο‡ο‡οŠ§οŠ°ο‡οŠ§οŠ°ο‡ο„š2π‘₯ο€Ύ1π‘˜!βˆ’(2)π‘₯(1+2π‘˜)!

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