Feuille d'activités : Série de Maclaurin

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à représenter des fonctions exponentielles et trigonométriques sous forme de séries entières, déterminer le développement au voisinage de zéro et le rayon de convergence de la série.

Q1:

Considère la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑒.

Détermine 𝑓(𝑥).

  • A𝑒𝑥ln
  • B𝑒
  • C𝑒
  • Dln𝑥
  • E𝑒𝑥ln

Détermine 𝑓(𝑥)(), où 𝑓() représente la dérivée d'ordre 𝑛 de 𝑓 par rapport à 𝑥.

  • A𝑒
  • B𝑒
  • C𝑒𝑥+𝑒(−1)(𝑛−2)!𝑥()ln pour 𝑛>1
  • D𝑒𝑥+𝑒(−1)(𝑛−2)!𝑥()ln pour 𝑛>1
  • E(−1)(𝑛−2)!𝑥() pour 𝑛>1

Ensuite, détermine la dérivée de la série entière de 𝑒.

  • A𝑒=𝑥𝑛!∞
  • B𝑒=𝑥𝑛!∞
  • C𝑒=𝑒𝑛!∞
  • D𝑒=𝑓(𝑎)(𝑥−𝑎)𝑛!∞()
  • E𝑒=𝑓(𝑎)(𝑥−𝑎)𝑛!∞()

Quel est le rayon de convergence 𝑅 de la série entière de 𝑒 ?

  • AElle ne converge pas.
  • B𝑅=𝑒
  • C𝑅=1
  • D𝑅=++∞
  • E𝑅=100

Q2:

Considère la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥sin.

Quelles sont les quatre premières dérivées de 𝑓 en fonction de 𝑥 ?

  • A𝑓′(𝑥)=𝑥cos, 𝑓′′(𝑥)=𝑥sin, 𝑓′′′(𝑥)=−𝑥cos et 𝑓(𝑥)=𝑥()sin
  • B𝑓′(𝑥)=−𝑥cos, 𝑓′′(𝑥)=𝑥sin, 𝑓′′′(𝑥)=−𝑥cos et 𝑓(𝑥)=𝑥()sin
  • C𝑓′(𝑥)=𝑥cos, 𝑓′′(𝑥)=−𝑥sin, 𝑓′′′(𝑥)=−𝑥cos et 𝑓(𝑥)=−𝑥()sin
  • D𝑓′(𝑥)=−𝑥cos, 𝑓′′(𝑥)=−𝑥sin, 𝑓′′′(𝑥)=𝑥cos et 𝑓(𝑥)=𝑥()sin
  • E𝑓′(𝑥)=𝑥cos, 𝑓′′(𝑥)=−𝑥sin, 𝑓′′′(𝑥)=−𝑥cos et 𝑓(𝑥)=𝑥()sin

Écris la forme générale de la dérivée d'ordre 𝑛 de 𝑓 en fonction de 𝑥.

  • A𝑓(𝑥)=−𝑥+𝑛𝜋2()sin
  • B𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()sin
  • C𝑓(𝑥)=(𝑥+𝑛𝜋)()sin
  • D𝑓(𝑥)=−𝑥+𝑛𝜋2()cos
  • E𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()cos

Enfin, dérive la série entière de sin𝑥.

  • A∞(−1)𝑥(2𝑛)!
  • B∞(−1)𝑥(2𝑛+1)!
  • C∞(−1)𝑥(2𝑛+1)!
  • D∞(−1)𝑥𝑛!
  • E∞(−1)𝑥𝑛!

Quel est le rayon 𝑅 de convergence de la série entière de sin𝑥 ?

  • A𝑅=𝜋2
  • B𝑅=𝜋
  • C𝑅=++∞
  • D𝑅=2𝜋
  • E𝑅=1

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