Feuille d'activités : Série de Maclaurin

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à représenter des fonctions exponentielles et trigonométriques sous forme de séries entières, déterminer le développement au voisinage de zéro et le rayon de convergence de la série.

Q1:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par 𝑓 ( π‘₯ ) = 𝑒  .

DΓ©termine 𝑓 ( π‘₯ )  .

  • A 𝑒 π‘₯  l n
  • B 𝑒   
  • C 𝑒 π‘₯    l n
  • D 𝑒 
  • E l n π‘₯

DΓ©termine 𝑓 ( π‘₯ ) (  ) , oΓΉ 𝑓 (  ) reprΓ©sente la dΓ©rivΓ©e d'ordre 𝑛 de 𝑓 par rapport Γ  π‘₯ .

  • A 𝑒 
  • B 𝑒 π‘₯ + 𝑒 ( βˆ’ 1 ) ( 𝑛 βˆ’ 2 ) ! π‘₯        (    ) l n pour 𝑛 > 1
  • C ( βˆ’ 1 ) ( 𝑛 βˆ’ 2 ) ! π‘₯  (    ) pour 𝑛 > 1
  • D 𝑒   
  • E 𝑒 π‘₯ + 𝑒 ( βˆ’ 1 ) ( 𝑛 βˆ’ 2 ) ! π‘₯    (    ) l n pour 𝑛 > 1

Ensuite, dΓ©termine la dΓ©rivΓ©e de la sΓ©rie entiΓ¨re de 𝑒  .

  • A 𝑒 = ο„š 𝑓 ( π‘Ž ) ( π‘₯ βˆ’ π‘Ž ) 𝑛 !   ∞    (  ) 
  • B 𝑒 = ο„š π‘₯ 𝑛 !   ∞    
  • C 𝑒 = ο„š π‘₯ 𝑛 !   ∞    
  • D 𝑒 = ο„š 𝑒 𝑛 !   ∞    
  • E 𝑒 = ο„š 𝑓 ( π‘Ž ) ( π‘₯ βˆ’ π‘Ž ) 𝑛 !   ∞    (  ) 

Quel est le rayon de convergence 𝑅 de la sΓ©rie entiΓ¨re de 𝑒   ?

  • A 𝑅 = + + ∞
  • B 𝑅 = 1 0 0
  • C 𝑅 = 1
  • D 𝑅 = 𝑒
  • EElle ne converge pas.

Q2:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par 𝑓 ( π‘₯ ) = π‘₯ s i n .

Quelles sont les quatre premiΓ¨res dΓ©rivΓ©es de 𝑓 en fonction de π‘₯  ?

  • A 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ s i n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s et 𝑓 ( π‘₯ ) = π‘₯ ( οŠͺ ) s i n
  • B 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s i n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s et 𝑓 ( π‘₯ ) = π‘₯ ( οŠͺ ) s i n
  • C 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s i n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s et 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ ( οŠͺ ) s i n
  • D 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s i n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s et 𝑓 ( π‘₯ ) = π‘₯ ( οŠͺ ) s i n
  • E 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ s i n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s et 𝑓 ( π‘₯ ) = π‘₯ ( οŠͺ ) s i n

Γ‰cris la forme gΓ©nΓ©rale de la dΓ©rivΓ©e d'ordre 𝑛 de 𝑓 en fonction de π‘₯ .

  • A 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) s i n
  • B 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) s i n
  • C 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) c o s
  • D 𝑓 ( π‘₯ ) = ( π‘₯ + 𝑛 πœ‹ ) (  ) s i n
  • E 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) c o s

Enfin, dΓ©rive la sΓ©rie entiΓ¨re de s i n π‘₯ .

  • A  ∞       ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ 𝑛 !
  • B  ∞       ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 ) !
  • C  ∞         ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 + 1 ) !
  • D  ∞            ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 + 1 ) !
  • E  ∞      ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ 𝑛 !

Quel est le rayon 𝑅 de convergence de la sΓ©rie entiΓ¨re de s i n π‘₯  ?

  • A 𝑅 = + + ∞
  • B 𝑅 = 2 πœ‹
  • C 𝑅 = πœ‹
  • D 𝑅 = 1
  • E 𝑅 = πœ‹ 2

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