Feuille d'activités : Taux de variation liés

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser des taux de variation liés pour résoudre des problèmes concrets.

Q1:

Si 𝑉 ( 𝑡 ) est le volume d’un cube d’arête 𝑥 ( 𝑡 ) se dilatant au cours du temps, détermine une expression de 𝑉 ( 𝑡 ) .

  • A 3 𝑥 ( 𝑡 )
  • B 𝑥 ( 𝑡 ) 𝑥 ( 𝑡 )
  • C 𝑥 ( 𝑡 ) 𝑥 ( 𝑡 )
  • D 3 𝑥 ( 𝑡 ) 𝑥 ( 𝑡 )
  • E 𝑥 ( 𝑡 )

Q2:

Un triangle admet deux côtés, de longueurs 𝑎 et 𝑏 , formant un angle 𝜃 . Son aire est donnée par 𝐴 = 1 2 𝑎 𝑏 𝜃 s i n . On suppose que 𝑎 = 4 , 𝑏 = 5 , et que la mesure de l’angle 𝜃 croît à la vitesse de 0,6 rad/s. Quel est le taux d’accroissement de l’aire lorsque 𝜃 = 𝜋 3 ?

Q3:

Sachant qu'un missile de masse 26 tonnes est en train de brûler du carburant selon un taux constant de 80 kg/s, détermine la masse du missile 25 secondes après le décollage.

Q4:

Un missile, approchant la fin de son parcours, consomme son carburant selon un taux de 80 kg/s. Sa masse à vide est de 7 tonnes et que sa masse actuelle est de 9 tonnes. Combien de temps cela lui prendra-t-il pour consommer le reste de son carburant?

Q5:

L'aire d'un disque circulaire croît selon 1 5 cm2/s. Quel est le taux de croissance de son rayon lorsque celui vaut 6 cm? Utilise 𝜋 = 2 2 7 pour simplifier ta réponse.

  • A 7 2 2 0 cm/s
  • B 7 1 3 2 0 cm/s
  • C 7 6 6 0 cm/s
  • D 7 1 3 2 0 cm/s

Q6:

Une particule se déplace le long de la courbe d’équation 6 𝑦 + 2 𝑥 2 𝑥 + 5 𝑦 1 3 = 0 2 2 . Le taux de variation de son abscisse par rapport au temps lorsqu’elle passe par le point ( 1 ; 3 ) est de 2. Calcule le taux de variation de son ordonnée par rapport au temps au même point.

  • A 1 3 6
  • B 2 0 7
  • C 8 2 3
  • D 1 2 4 1

Q7:

Un ballon sphérique gonflé à l’hélium a une fuite selon un débit de 48 cm3/s. Quel est le taux de variation de l’aire du ballon lorsque le rayon vaut 41 cm?

  • A 4 8 4 1 cm2/s
  • B 4 8 4 1 cm2/s
  • C 1 2 4 1 cm2/s
  • D 9 6 4 1 cm2/s

Q8:

Un objet se déplace le long d’une courbe d’équation 𝑦 = 5 𝑥 . On a 𝑑 𝑥 𝑑 𝑡 = 3 / u n i t é s s e c o n d e en 𝑦 = 5 . Que vaut 𝑑 𝑦 𝑑 𝑡 à cet instant?

  • A 3 2 / u n i t é s s e c o n d e
  • B 1 2 / u n i t é s s e c o n d e
  • C 3 / u n i t é s s e c o n d e
  • D 3 2 / u n i t é s s e c o n d e

Q9:

À un instant donné, le rayon d’un cercle augmente selon un taux de 17 cm/min et son aire augmente selon un taux de 8 5 𝜋 cm2/min. Détermine le rayon du cercle à cet instant.

Q10:

La hauteur d’un cylindre a même longueur que son diamètre de base. Le cylindre s’étend de sorte que le taux de variation de son aire est 3 2 𝜋 cm2/s en fonction du temps. Calcule le taux de variation de son rayon lorsque sa base mesure 18 cm.

  • A 2 9 cm/s
  • B 8 2 7 cm/s
  • C 8 4 5 cm/s
  • D 4 2 7 cm/s

Q11:

Une surface fine métallique a la forme d’un trapèze isocèle. Ses côtés parallèles sont de 𝑥 cm et 3 𝑥 cm, et un de ses angles mesure 4 5 . La surface rétrécit en préservant sa forme. Calcule le taux de variation de son aire par rapport à 𝑥 lorsque sa hauteur est de 3 cm.

  • A 6 cm2/cm
  • B 12 cm2/cm
  • C 6 cm2/cm
  • D 1 2 cm2/cm

Q12:

Lors d’une course de 500 mètres, un participant court en ligne droite. Une caméra est placée à 3 mètres de la ligne d’arrivée, perpendiculairement à la piste et sur un même plan horizontal que le coureur. Détermine le taux de variation de la mesure de l’angle avec lequel la caméra se tourne pour filmer le coureur lorsqu’il est à 6 mètres de la ligne d’arrivée, sachant qu’il court à 3,5 m/s.

  • A 7 1 5 rad/s
  • B 3 0 7 rad/s
  • C 1 4 1 5 rad/s
  • D 7 3 0 rad/s

Q13:

Un homme tire vers lui une voiture à l’aide d’une poulie à corde attachée à 24 m au-dessus du sol. S’il tire la corde avec une vitesse de 4 m/min, alors quelle sera la vitesse de la voiture lorsqu’elle sera à 10 m de lui?

  • A 1 3 5 m/min
  • B 2 0 1 3 m/min
  • C 1 3 3 m/min
  • D 5 2 5 m/min

Q14:

Deux bateaux quittent un port en même temps. Le premier prend la direction de l’est à la vitesse de 30 km/h. Le second part en direction du sud à 40 km/h. Quel est le taux de variation de la distance les séparant 5 heures après le départ?

Q15:

Une pièce métallique rectangulaire a une longueur qui surpasse la largeur de 45 cm. Sous l’effet du froid, elle rétrécit. Sa longueur reste supérieure à la largeur de 45 cm. Sachant que la longueur diminue selon un taux de 0,026 cm/s au moment où la largeur vaut 90 cm, détermine le taux de variation de l’aire à cet instant.

Q16:

Une surface fine métallique est de forme rectangulaire, avec une longueur mesurant 3 5 de la diagonale. La surface rétrécit à cause du froid en préservant sa forme et le rapport entre ses dimensions. À un certain instant, la longueur de sa diagonale et l’aire diminuent aux vitesses respectives de1,5 cm/min et 36 cm2/min. Calcule l’aire de la surface à cet instant-là.

Q17:

Les côtés adjacents à l’angle droit d’un triangle ont initialement une longueur 7 cm et 1 cm. Le premier côté diminue ensuite selon un taux de 1 cm/min tandis que le second côté augmente selon un taux de 5 cm/min. À quel taux l'aire du triangle évolue-t-elle après 6 minutes?

  • A 6 cm2/min
  • B 17 cm2/min
  • C 48 cm2/min
  • D 1 3 cm2/min

Q18:

Un objet rectangulaire s’étend tout en conservant ses dimensions relatives. La longueur surpasse de 6 cm la largeur. La hauteur est 2 fois plus grande que la largeur. Détermine les dimensions de l’objet lorsque son volume augmente de 0,3 cm3/min et que sa largeur augmente de 0,01 cm/min.

  • A 3 cm, 9 cm, 6 cm
  • B 2 cm, 8 cm, 4 cm
  • C 4 cm, 10 cm, 8 cm
  • D 1 cm, 7 cm, 2 cm

Q19:

Un point se déplace sur la courbe représentative de 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 2 . Son abscisse 𝑥 évolue à la vitesse de 9 1 5 cm/s. Calcule le taux de variation de la distance entre ce point et celui de coordonnées ( 1 , 0 ) lorsque 𝑥 = 3 .

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