Fiche d'activités de la leçon : Taux de variation liés Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser des taux de variation liés pour résoudre des problèmes concrets.

Q1:

Si 𝑉 est le volume d’un cube d’arête 𝑥 se dilatant au cours du temps, détermine une expression de dd𝑉𝑡.

  • A3𝑥
  • B𝑥
  • C3𝑥𝑥𝑡dd
  • D𝑥𝑥𝑡dd
  • E𝑥𝑥𝑡dd

Q2:

Un triangle admet deux côtés, de longueurs 𝑎 et 𝑏, formant un angle 𝜃. Son aire est donnée par 𝐴=12𝑎𝑏𝜃sin. On suppose que 𝑎=4, 𝑏=5, et que la mesure de l’angle 𝜃 croît à la vitesse de 0,6 rad/s. Quel est le taux d’accroissement de l’aire lorsque 𝜃=𝜋3?

Q3:

Sachant qu'un missile de masse 26 tonnes est en train de brûler du carburant selon un taux constant de 80 kg/s, détermine la masse du missile 25 secondes après le décollage.

Q4:

Un missile, approchant la fin de son parcours, consomme son carburant selon un taux de 80 kg/s. Sa masse à vide est de 7 tonnes et que sa masse actuelle est de 9 tonnes. Combien de temps cela lui prendra-t-il pour consommer le reste de son carburant?

Q5:

L'aire d'un disque circulaire croît selon 15 cm2/s. Quel est le taux de croissance de son rayon lorsque celui vaut 6 cm? Utilise 𝜋=227 pour simplifier ta réponse.

  • A7660 cm/s
  • B71320 cm/s
  • C7220 cm/s
  • D71320 cm/s

Q6:

Une particule se déplace le long de la courbe d’équation 6𝑦+2𝑥2𝑥+5𝑦13=0. Si le taux de variation de son abscisse 𝑥 par rapport au temps lorsqu’elle passe par le point (1;3) est 2, alors calcule le taux de variation de son ordonnée 𝑦 par rapport au temps au même point.

  • A823
  • B1241
  • C136
  • D207

Q7:

Un ballon sphérique gonflé à l’hélium a une fuite selon un débit de 48 cm3/s. Quel est le taux de variation de l’aire du ballon lorsque le rayon vaut 41 cm?

  • A4841 cm2/s
  • B9641 cm2/s
  • C4841 cm2/s
  • D1241 cm2/s

Q8:

Un objet se déplace le long d’une courbe d’équation 𝑦=5𝑥. On a dd𝑥𝑡=3 en 𝑦=5. Que vaut dd𝑦𝑡 à cet instant?

  • A32
  • B32
  • C3
  • D12

Q9:

À un instant donné, le rayon d’un cercle augmente selon un taux de 17 cm/min et son aire augmente selon un taux de 85𝜋 cm2/min. Détermine le rayon du cercle à cet instant.

Q10:

La hauteur d’un cylindre a même longueur que son diamètre de base. Le cylindre s’étend de sorte que le taux de variation de son aire est 32𝜋 cm2/s en fonction du temps. Calcule le taux de variation de son rayon lorsque sa base mesure 18 cm.

  • A427 cm/s
  • B845 cm/s
  • C827 cm/s
  • D29 cm/s

Q11:

Une surface fine métallique a la forme d’un trapèze isocèle. Ses côtés parallèles sont de 𝑥 cm et 3𝑥 cm, et un de ses angles mesure 45. La surface rétrécit en préservant sa forme. Calcule le taux de variation de son aire par rapport à 𝑥 lorsque sa hauteur est de 3 cm.

  • A12 cm2/cm
  • B12 cm2/cm
  • C6 cm2/cm
  • D6 cm2/cm

Q12:

Un tuyau d'eau, 𝐴𝐵, a une longueur de 5 mètres et est placé avec son extrémité 𝐴 sur un sol horizontal, s'appuyant contre le bord d'un mur vertical de longueur 3 mètres en le point 𝐷. Sachant que cette extrémité 𝐴 glisse le long du mur à 85 m/min, détermine la vitesse à laquelle l'extrémité 𝐵 glisse jusqu'à ce qu'elle atteigne le sol.

  • A12125 m/min
  • B96125 m/min
  • C96125 m/min
  • D192125 m/min

Q13:

Soient [𝐴𝐶) et [𝐵𝐶) deux routes perpendiculaires, telles que 𝐴𝐶=13m et 𝐵𝐶=66m. Une personne commence à marcher de 𝐴 vers 𝐶 avec une vitesse constante de 1 m/s, et une autre personne commence à marcher de 𝐵 vers 𝐶 avec une vitesse constante de 7 m/s. Détermine le taux de variation de la distance entre elles après 6 secondes.

Q14:

À la fin d’une course de 500 mètres, un participant court de manière rectiligne à une vitesse de 3,5 m/s. Une caméra est placée à 3 mètres de la ligne d’arrivée, de sorte à être perpendiculaire à la piste et sur le même plan horizontal que le coureur. Détermine le taux de variation de la mesure de l’angle selon lequel la caméra se tourne pour filmer le coureur lorsqu’il est à 6 mètres de la ligne d’arrivée.

  • A307 rad/s
  • B730 rad/s
  • C715 rad/s
  • D1415 rad/s

Q15:

La longueur d’un rectangle augmente à la vitesse de 15 cm/s , et sa largeur de 13 cm/s. Détermine la vitesse d’évolution de l’aire du rectangle lorsque la longueur et la largeur valent respectivement 25 cm et 12 cm.

Q16:

Un homme tire vers lui une voiture à l’aide d’une poulie à corde attachée à 24 m au-dessus du sol. S’il tire la corde avec une vitesse de 4 m/min, alors quelle sera la vitesse de la voiture lorsqu’elle sera à 10 m de lui?

  • A2013 m/min
  • B135 m/min
  • C133 m/min
  • D525 m/min

Q17:

Deux bateaux quittent un port en même temps. Le premier prend la direction de l’est à la vitesse de 30 km/h. Le second part en direction du sud à 40 km/h. Quel est le taux de variation de la distance les séparant 5 heures après le départ?

Q18:

Une pièce métallique rectangulaire a une longueur qui surpasse la largeur de 45 cm. Sous l’effet du froid, elle rétrécit. Sa longueur reste supérieure à la largeur de 45 cm. Sachant que la longueur diminue selon un taux de 0,026 cm/s au moment où la largeur vaut 90 cm, détermine le taux de variation de l’aire à cet instant.

Q19:

Une surface fine métallique est de forme rectangulaire, avec une longueur mesurant 35 de la diagonale. La surface rétrécit à cause du froid en préservant sa forme et le rapport entre ses dimensions. À un certain instant, la longueur de sa diagonale et l’aire diminuent aux vitesses respectives de1,5 cm/min et 36 cm2/min. Calcule l’aire de la surface à cet instant-là.

Q20:

Les côtés adjacents à l’angle droit d’un triangle ont initialement une longueur 7 cm et 1 cm. Le premier côté diminue ensuite selon un taux de 1 cm/min tandis que le second côté augmente selon un taux de 5 cm/min. À quel taux l'aire du triangle évolue-t-elle après 6 minutes?

  • A48 cm2/min
  • B17 cm2/min
  • C6 cm2/min
  • D13 cm2/min

Q21:

Un objet rectangulaire s’étend tout en conservant ses dimensions relatives. La longueur surpasse de 6 cm la largeur. La hauteur est 2 fois plus grande que la largeur. Détermine les dimensions de l’objet lorsque son volume augmente de 0,3 cm3/min et que sa largeur augmente de 0,01 cm/min.

  • A2 cm, 8 cm, 4 cm
  • B1 cm, 7 cm, 2 cm
  • C4 cm, 10 cm, 8 cm
  • D3 cm, 9 cm, 6 cm

Q22:

Un récipient cylindrique circulaire droit a une hauteur intérieure de 5 cm et un rayon de base intérieur de 6 cm. Une barre métallique de 16 cm de long est placée à l'intérieur du récipient. Si la vitesse à laquelle la tige glisse loin du bord du récipient est 3 cm/s, détermine la vitesse à laquelle la tige glisse sur la base du récipient au moment où elle touche la paroi du récipient.

  • A3613 cm/s
  • B134 cm/s
  • C6112 cm/s
  • D54 cm/s

Q23:

Dans un circuit électrique fermé, 𝑉 est la différence de potentiel mesurée en volts, 𝐼 est l'intensité du courant mesurée en ampères et 𝑅 est la résistance mesurée en ohms. Si la différence de potentiel augmente à 6 volts par seconde, et que l'intensité du courant diminue à 12 A/s, alors détermine le taux de variation de la résistance quand 𝑉=20volts et 𝐼=5ampères.

  • A85 Ω/s
  • B45 Ω/s
  • C58 Ω/s
  • D54 Ω/s

Q24:

Le volume d'une masse de gaz connue, à température constante, diminue à une vitesse constante de 9 cm3/s. Si sa pression est inversement proportionnelle au volume et que la pression est égale à 2‎ ‎200 gp/cm2 lorsque le volume est égal à 250 cm3, calcule le taux de variation de la pression par rapport au temps lorsque le volume de gaz est égal à 100 cm3.

  • A198 gp/cm2/s
  • B49‎ ‎500 gp/cm2/s
  • C3965 gp/cm2/s
  • D495 gp/cm2/s

Q25:

Un point se déplace sur la courbe représentative de 𝑓(𝑥)=𝑥+2. Son abscisse 𝑥 évolue à la vitesse de 915 cm/s. Calcule le taux de variation de la distance entre ce point et celui de coordonnées (1;0) lorsque 𝑥=3.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.