Feuille d'activités : Application géométrique et physique des vecteurs

Entraînement

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser des vecteurs et des opérations pour résoudre des problèmes.

Q1:

On pose ⃗ 𝑣 = 1 7 ⃗ 𝚤 et ⃗ 𝑣 = 8 ⃗ 𝚤 les vecteurs vitesses des particules 𝐴 et 𝐵 . Détermine le vecteur vitesse ⃗ 𝑣 du point 𝐵 par rapport au point 𝐴 .

  • A 2 5 ⃗ 𝚤
  • B 9 ⃗ 𝚤
  • C − 2 5 ⃗ 𝚤
  • D − 9 ⃗ 𝚤

Q2:

Les forces ⃗ 𝐹 = − 4 ⃗ 𝚤 + 6 ⃗ 𝚥 N , ⃗ 𝐹 = − 9 ⃗ 𝚤 + 4 ⃗ 𝚥 N et ⃗ 𝐹 = − 4 ⃗ 𝚤 − 3 ⃗ 𝚥 N agissent sur une particule, où ⃗ 𝚤 and ⃗ 𝚥 sont deux vecteurs unitaires perpendiculaires. Détermine l'intensité de la résultante des forces 𝑅 et sa direction 𝜃 à la minute d'arc près.

  • A 𝑅 = 1 3 √ 2 N , 𝜃 = 1 1 2 2 3 ′ ∘
  • B 𝑅 = 3 3 8 N , 𝜃 = 1 1 2 2 3 ′ ∘
  • C 𝑅 = 2 √ 6 N , 𝜃 = 1 5 7 3 7 ′ ∘
  • D 𝑅 = 1 3 √ 2 N , 𝜃 = 1 5 7 3 7 ′ ∘

Q3:

On considère le rectangle 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 dont les sommets sont les points 𝐴 ( − 6 , − 7 ) , 𝐵 ( 0 , 2 ) , 𝐶 ( 6 , − 2 ) et 𝐷 ( 0 , − 1 1 ) . Calcule son aire à l’aide de vecteurs.

Q4:

Si ⃗ 𝑣 = − 7 6 ⃗ 𝚤 et ⃗ 𝑣 = − 5 ⃗ 𝚤 , détermine ⃗ 𝑣 .

  • A − 7 1 ⃗ 𝚤
  • B 8 1 ⃗ 𝚤
  • C − 8 1 ⃗ 𝚤
  • D 7 1 ⃗ 𝚤

Q5:

Une force d’intensité 12 N agit sur un livre, celui-ci étant posé sur un plan horizontal. L’intensité de la force de frottement entre le livre et le plan est de 5 N. On note ⃗ 𝑒 le vecteur unitaire dans le sens du mouvement du livre. Détermine la force résultante agissant sur le livre.

  • A 1 2 ⃗ 𝑒 N
  • B 1 7 ⃗ 𝑒 N
  • C 5 ⃗ 𝑒 N
  • D 7 ⃗ 𝑒 N

Q6:

Les forces ⃗ 𝐹 = − 1 0 ⃗ 𝚤 − 7 ⃗ 𝚥 , ⃗ 𝐹 = 𝑎 ⃗ 𝚤 − ⃗ 𝚥 et ⃗ 𝐹 = 5 ⃗ 𝚤 + ( 𝑏 − 1 0 ) ⃗ 𝚥 agissent sur une particule, où ⃗ 𝚤 et ⃗ 𝚥 sont deux vecteurs unitaires orthogonaux. Sachant que la résultante des forces est ⃗ 𝑅 = − 1 3 ⃗ 𝚤 − 3 ⃗ 𝚥 , détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏 .

  • A 𝑎 = 2 , 𝑏 = 1 5
  • B 𝑎 = − 8 , 𝑏 = − 5
  • C 𝑎 = − 8 , 𝑏 = 5
  • D 𝑎 = − 8 , 𝑏 = 1 5
  • E 𝑎 = − 2 8 , 𝑏 = − 5

Q7:

La résultante des forces ⃗ 𝐹 = − 4 ⃗ 𝚤 + 2 ⃗ 𝚥 N , ⃗ 𝐹 = 5 ⃗ 𝚤 − 7 ⃗ 𝚥 N et ⃗ 𝐹 = 2 ⃗ 𝚤 + 9 ⃗ 𝚥 N forment un angle 𝜃 avec l ’ a x e d e s a b s c i s s e s . Détermine l’intensité 𝑅 de la résultante ainsi que la valeur de t a n 𝜃 .

  • A 𝑅 = 7 N , t a n 𝜃 = 4 3
  • B 𝑅 = 5 N , t a n 𝜃 = 3 4
  • C 𝑅 = 7 N , t a n 𝜃 = 3 4
  • D 𝑅 = 5 N , t a n 𝜃 = 4 3
  • E 𝑅 = 5 N , t a n 𝜃 = − 4 3

Q8:

Étant données ⃗ 𝐹 = 8 ⃗ 𝚤 − 5 ⃗ 𝚥 , ⃗ 𝐹 = − 1 5 ⃗ 𝚤 − 5 ⃗ 𝚥 et leur résultante ⃗ 𝑅 = − 𝑎 ⃗ 𝚤 − 𝑏 ⃗ 𝚥 , détermine les valeurs de 𝑎 et 𝑏 .

  • A 𝑎 = 7 , 𝑏 = 0
  • B 𝑎 = − 2 3 , 𝑏 = 1 0
  • C 𝑎 = − 7 , 𝑏 = 1 0
  • D 𝑎 = 7 , 𝑏 = 1 0
  • E 𝑎 = 7 , 𝑏 = − 1 0

Q9:

Tous les côtés du losange 𝑂 𝐵 𝐶 𝐴 sont de longueur 5. Suppose que s i n 𝐴 𝑂 𝐵 = 3 4 et 𝐴 𝐵 > 𝑂 𝐶 . Utilise le produit vectoriel pour calculer les longueurs des deux diagonales.

  • A 𝑂 𝐶 = 4 , 1 1 , 𝐴 𝐵 = 3 , 2 7
  • B 𝑂 𝐶 = 1 , 8 4 , 𝐴 𝐵 = 4 , 0 8
  • C 𝑂 𝐶 = 1 6 , 9 3 , 𝐴 𝐵 = 2 6 , 5 4
  • D 𝑂 𝐶 = 4 , 1 1 , 𝐴 𝐵 = 9 , 1 1

Q10:

Soit 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 un carré dont les sommets 𝐴 , 𝐵 et 𝐶 ont pour coordonnées respectives ( 1 , − 8 ) , ( 3 , − 1 0 ) et ( 5 , − 8 ) . En utilisant des vecteurs, détermine les coordonnées du sommet 𝐷 et l’aire du carré.

  • A 𝐷 ( 9 , − 2 6 ) , aire = 1 6
  • B 𝐷 ( 1 , 1 0 ) , aire = 3 4 0
  • C 𝐷 ( 7 , − 1 0 ) , aire = 8
  • D 𝐷 ( 3 , − 6 ) , aire = 8

Q11:

On considère les vecteurs ⃗ 𝐴 = − 2 7 et ⃗ 𝐵 = 3 − 8 . Détermine l’aire du parallélogramme dont les côtés consécutifs sont représentés par ⃗ 𝐴 et ⃗ 𝐵 .

Q12:

Le trapèze 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 a pour sommets 𝐴 ( 4 , 1 4 ) , 𝐵 ( 4 , − 4 ) , 𝐶 ( − 1 2 , − 4 ) et 𝐷 ( − 1 2 , 9 ) . Sachant que 𝐴 𝐵 ⫽ 𝐷 𝐶 et 𝐴 𝐵 ⟂ 𝐶 𝐵 , calcule l'aire de ce trapèze.

Q13:

Soit 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 un rectangle tel que les coordonnées des points 𝐴 , 𝐵 et 𝐶 sont respectivement ( − 1 8 ; − 2 ) , ( − 1 8 ; − 3 ) et ( − 8 ; 𝑘 ) . Utilise les vecteurs pour déterminer la valeur de 𝑘 et les coordonnées du point 𝐷 .

  • A 𝑘 = − 2 , 𝐷 ( − 2 8 , − 2 )
  • B 𝑘 = − 2 , 𝐷 ( − 8 , − 2 )
  • C 𝑘 = − 1 , 𝐷 ( − 2 8 , − 2 )
  • D 𝑘 = − 3 , 𝐷 ( − 8 , − 2 )
  • E 𝑘 = − 1 , 𝐷 ( − 8 , − 3 )

Q14:

Soit le triangle 𝐴 𝐵 𝐶 tel que 𝐴 𝐵 = 7 c m , 𝐵 𝐶 = 5 6 c m et 𝐴 𝐵 𝐶 = 1 2 0 ∘ . Utilise les vecteurs pour calculer la longueur de [ 𝐴 𝐶 ] .

  • A 1 1 √ 7 c m
  • B 7 √ 5 7 c m
  • C 2 √ 7 9 8 c m
  • D 7 √ 7 3 c m

Q15:

Sur la figure donnée, ( 𝐴 𝐵 ) et ( 𝐶 𝐷 ) sont des droites parallèles. Cependant, ( 𝑋 𝑌 ) n'est pas parallèle à ( 𝐴 𝐵 ) ou ( 𝐶 𝐷 ) . Sachant que 𝐸 ∈ [ 𝐴 𝐵 ] , 𝐹 ∈ [ 𝐶 𝐷 ] et 𝑍 ∈ [ 𝑋 𝑌 ] , détermine si 𝑌 𝑍 et 𝑋 𝑍 sont de même sens, de sens opposés ou de directions différentes.

  • Adirections différentes
  • Bmême sens
  • Csens opposés

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