Feuille d'activités : Méthode de la masse négative

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à résoudre des problèmes sur la méthode de la masse négative.

Q1:

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 une lame rectangulaire homogène telle que 𝐴𝐵=37cm et 𝐴𝐷=23cm. Deux points 𝐸 et 𝐹 appartiennet au segment [𝐵𝐷] tels que 𝐵𝐹=10cm et 𝐷𝐸=15cm. On y perce un trou de rayon 5 cm en 𝐹 et un autre de rayon 4 cm en 𝐸. Détermine les coordonnées du point 𝑁 appartenant au segment [𝐴𝐵] auquel on peut suspendre la lame de manière que [𝐴𝐵] soit horizontal lorsque la lame pend en équilibre. Deuxièmement, détermine les coordonnées du point 𝐾 appartenant au segment [𝐴𝐷] auquel on peut suspendre la lame de manière que [𝐴𝐷] soit horizontal lorsque la lame pend en équilibre. Donne le résultat au centième près, si c'est nécessaire.

  • A 𝑁 ( 2 3 , 5 8 , 8 6 ) , 𝐾 ( 5 0 , 8 1 , 3 7 )
  • B 𝑁 ( 2 3 , 1 9 , 1 9 ) , 𝐾 ( 1 1 , 0 7 , 3 7 )
  • C 𝑁 ( 2 3 , 3 6 , 7 6 ) , 𝐾 ( 1 0 , 3 2 , 3 7 )
  • D 𝑁 ( 2 3 , 2 3 7 ) , 𝐾 ( 2 4 , 6 2 , 3 7 )

Q2:

Un fil métallique homogène de 135 cm de longueur est roulé autour de cinq côtés d'un hexagone régulier 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. Détermine la distance entre le centre de gravité du fil et le centre de l'hexagone.

  • A 2 7 5 7 1 0 cm
  • B 2 7 1 0 4 cm
  • C 2 7 4 7 1 2 cm
  • D 2 7 3 1 0 cm

Q3:

Une surface uniforme est de la forme d'un rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 dans lequel 𝐴𝐵=64cm et 𝐵𝐶=240cm. Le coin 𝐴𝐵𝐸, 𝐸 est le milieu de 𝐴𝐷, a été coupé. La surface résultante 𝐴𝐶𝐷𝐸 a été suspendue librement à partir du sommet 𝐶. Détermine la mesure de l'angle formé par le côté 𝐶𝐵 lorsque la surface est suspendue dans sa position d'équilibre, à la minute d'arc près.

  • A 7 3 3
  • B 7 3 6
  • C 8 2 2 4
  • D 1 6 5 7

Q4:

Soit une lame rectangulaire homogène 𝐴𝐵𝐶𝐷 de côtés 𝐴𝐵=24cm et 𝐵𝐶=11cm. On la coupe par une ligne droite à partir du point 𝐸 sur le côté [𝐵𝐶] jusqu'au point 𝐹 sur le côté [𝐵𝐴], divisant la lame en la lame triangulaire 𝐵𝐸𝐹 et la lame pentagonale 𝐴𝐹𝐸𝐶𝐷. Lorsque 𝐴𝐹𝐸𝐶𝐷 repose sur son bord 𝐶𝐸, elle est sur le point de basculer autour du point 𝐸. Sachant que 𝐵𝐸=6cm, calcule la distance 𝐵𝐹.

  • A 22 cm
  • B 2 2 7 cm
  • C 1 1 2 cm
  • D 11 cm

Q5:

Une planche homogène ayant la forme d'un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 a le côté de 363 cm. Ses diagonales se coupent en le point 𝑁. On extrait le triangle 𝑁𝐵𝐶 de la planche, et la partie restante est suspendue à un point 𝐸 sur [𝐴𝐵]. Sachant que lorsque l'objet est suspendu en position d'équilibre, [𝐴𝐵] est horizontal, calcule la longueur 𝐴𝐸.

  • A 8 4 7 8 cm
  • B 8 4 7 6 cm
  • C 6 0 5 6 cm
  • D 6 0 5 8 cm

Q6:

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle équilatéral de côté 82 cm. Lorsque trois masses égales sont placées aux sommets du triangle, le centre de masse du système est le point 𝐺. Si la masse au sommet 𝐶 est éliminée, alors le centre de masse du système est le point 𝐺. Détermine les coordonnées du centre de masse de chacun des deux systèmes 𝐺 et 𝐺.

  • A 𝐺 4 1 , 8 2 3 3 , 𝐺 4 1 2 , 8 2 3 3
  • B 𝐺 4 1 , 4 1 3 3 , 𝐺 4 1 2 , 4 1 3 2
  • C 𝐺 4 1 , 8 2 3 3 , 𝐺 4 1 2 , 4 1 3 2
  • D 𝐺 4 1 , 4 1 3 3 , 𝐺 4 1 2 , 8 2 3 3

Q7:

La figure illustre une surface carrée uniforme de côté 18 cm. Elle est divisée en neuf carrés superposables. Étant donné que le carré 𝐶 a été découpé et collé sur le carré 𝐴, détermine les coordonnées du centre de gravité de la surface obtenue.

  • A 6 9 8 , 8 1 8
  • B 2 3 3 , 9
  • C 2 5 3 , 9
  • D 6 9 1 0 , 8 1 1 0

Q8:

La figure ci-dessous représente une lame homogène 𝐴𝐵𝐶 de laquelle on extrait un triangle 𝐺𝐵𝐶. On sait que 𝐴𝐵𝐶 était un triangle équilatéral de côté 93 cm et de centre de masse le point 𝐺. Détermine les coordonnées du nouveau centre de masse de la lame qui en résulte. Arrondis la réponse au centième près, si cela est nécessaire.

  • A ( 3 5 , 8 , 4 6 , 5 )
  • B ( 4 6 , 5 , 3 5 , 8 )
  • C ( 3 3 , 5 6 , 4 6 , 5 )
  • D ( 4 6 , 5 , 3 3 , 5 6 )

Q9:

Soit une lame rectangulaire homogène 𝐴𝐵𝐶𝐷 telle que 𝐴𝐵=56cm et 𝐵𝐶=35cm. Deux points 𝐸 et 𝐹 appartiennent au segment [𝐴𝐵] tels que 𝐴𝐸=𝐵𝐹=14cm. Le triangle 𝑀𝐸𝐹 de centre 𝑀 est extrait de la lame. Détermine les coordonnées du centre de masse de la lame qui en résulte. Si on laisse la lame pendre librement au point 𝐷, alors détermine la tangente de l'angle que [𝐷𝐴] forme avec la verticale, tan𝜃, lorsque la lame suspendue est en état d'équilibre.

  • A 9 5 6 , 2 8 , t a n 𝜃 = 9 5 1 6 8
  • B 9 5 6 , 2 8 , t a n 𝜃 = 1 6 8 9 5
  • C 2 8 , 9 5 6 , t a n 𝜃 = 1 6 8 9 5
  • D 2 8 , 9 5 6 , t a n 𝜃 = 9 5 1 6 8

Q10:

Une lame homogène ayant la forme d'un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de côté 222 cm a une masse d'un kilogramme. Les milieux de [𝐴𝐷], [𝐴𝐵] et [𝐵𝐶] sont respectivement désignés par 𝑇, 𝑁 et 𝐾. Les coins 𝑇𝐴𝑁 et 𝑁𝐵𝐾 ont été pliés afin qu'ils se situent sur la surface de la lame. Des objets de masses 365 g et 294 g ont été respectivement attachés aux points 𝑇 et 𝐾. Détermine les coordonnées du centre de masse du système, en arrondissant ta réponse au centième près, si nécessaire.

  • A ( 1 6 1 , 1 8 , 1 0 6 , 2 5 )
  • B ( 1 0 5 , 4 2 , 1 0 6 , 2 5 )
  • C ( 1 0 5 , 4 2 , 1 3 4 , 1 7 )
  • D ( 1 4 4 , 6 1 , 1 1 1 , 8 3 )

Q11:

On considère un disque circulaire homogène de centre 𝑁 et de rayon 72 cm. Le point 𝐹 est situé à 36 cm du centre. On trace une droite perpendiculaire à [𝐹𝑁] et qui touche le bord du disque en les points 𝑆 et 𝑇. On fait dans le disque deux trous circulaires dont les rayons mesurent 12 cm, de manière que leurs centres appartiennent à [𝑆𝑇] et qu'ils se coupent en le point 𝐹. Détermine la distance 𝑑 entre le point 𝑁 et le centre de masse du solide qui en résulte. Le disque est suspendu librement au point 𝑍, le point où le rayon perpendiculaire à [𝐹𝑁] coupe le bord du disque. Lorsque le disque suspendu est en équilibre, [𝑍𝑁] forme un angle 𝜃 avec la verticale. Détermine tan𝜃.

  • A 𝑑 = 1 2 1 7 c m , t a n 𝜃 = 1 1 0 2
  • B 𝑑 = 3 6 1 7 c m , t a n 𝜃 = 1 3 4
  • C 𝑑 = 3 6 1 7 c m , t a n 𝜃 = 3 4
  • D 𝑑 = 1 2 1 7 c m , t a n 𝜃 = 1 0 2

Q12:

Une lame métallique ayant la forme d'un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 a le côté de 28 cm de longueur. On extrait de la lame un disque circulaire de rayon 7 cm et dont le centre est à une distance de 17 cm des deux côtés 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶. Détermine les coordonnées du centre de masse de la lame qui en résulte. On prendra 𝜋=227.

  • A 2 2 1 1 5 , 1 9 9 1 5
  • B 4 5 4 , 5 9 7 5 6
  • C 5 9 7 1 1 2 , 4 5 8
  • D 1 9 9 3 0 , 2 2 1 3 0

Q13:

Une surface rectangulaire uniforme 𝐴𝐵𝐶𝐷 pour laquelle 𝐴𝐵=24cm, 𝐵𝐶=48cm et se situe dans le premier quadrant du plan cartésien de sorte que 𝐵 est l'origine et 𝐶 appartient à l'axe des 𝑥. Le point 𝑁 appartient au côté 𝐴𝐷 avec 𝐷𝑁=32cm. Le triangle 𝑁𝐶𝐷 a été retiré à la surface. Détermine les coordonnées du centre de gravité du système.

  • A 1 9 6 3 , 1 0
  • B 5 2 3 , 1 0
  • C 8 0 3 , 1 4
  • D 5 2 3 , 2 8

Q14:

On considère une lame rectangulaire homogène 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵=14cm et 𝐵𝐶=15cm. Sa masse est 𝑚 et son centre 𝑁. On extrait le triangle 𝑁𝐴𝐵 de la lame. Des masses de 3𝑚, 5𝑚, 2𝑚, 2𝑚 et 38𝑚 sont attachées à la lame qui en résulte, respectivement aux points 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝑁. Détermine les coordonnées du centre de masse du système au centième près, si c'est nécessaire.

  • A ( 9 , 6 9 , 5 , 9 3 )
  • B ( 9 , 6 9 , 3 , 8 4 )
  • C ( 2 , 8 3 , 5 , 9 3 )
  • D ( 9 , 2 4 , 6 , 4 9 )

Q15:

Une surface carrée uniforme 𝐴𝐵𝐶𝐷 a pour côté 4 cm. Ses diagonales se coupent en 𝑀. Le point 𝐸 est le milieu de 𝐷𝑀. Le triangle 𝐸𝐴𝐷 a été coupé à partir de la surface. Calcule les coordonnées du centre de gravité de la surface restante. La surface a été suspendue librement au point 𝐴. Si l'angle que 𝐴𝐵 forme avec la verticale lorsque la surface est suspendue en sa position d'équilibre est noté 𝜃, détermine tan𝜃.

  • A 4 7 2 1 , 4 1 2 1 , t a n 𝜃 = 4 7 4 1
  • B 4 1 2 1 , 4 7 2 1 , t a n 𝜃 = 4 1 4 7
  • C 4 1 2 1 , 4 7 2 1 , t a n 𝜃 = 4 7 4 1
  • D 4 7 2 1 , 4 1 2 1 , t a n 𝜃 = 4 1 4 7

Q16:

Soit 𝐴𝐵𝐶 une lame trinagulaire homogène telle que 𝐵=90, 𝐴𝐵=20cm et 𝐵𝐶=27cm. On y perce un trou ciculaire de rayon 3 cm, ayant comme centre le point d'intersection des médianes du triangle 𝐴𝐵𝐶. Le point 𝐷 appartient au segment [𝐴𝐵] tel que 𝐴𝐷=5cm. On coupe une autre partie allant du point 𝐷, parallèlement à la base [𝐵𝐶], et qui croise [𝐴𝐶] en 𝐸. On extrait le triangle 𝐴𝐷𝐸 . Détermine les coordonnées du centre de masse de la lame qui résulte. Arrondis la réponse au centième près, si c'est nécessaire.

  • A ( 1 4 , 8 3 , 9 , 8 6 )
  • B ( 5 , 9 2 , 9 , 5 1 )
  • C ( 9 , 5 1 , 5 , 9 2 )
  • D ( 9 , 8 6 , 1 4 , 8 3 )

Q17:

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 une lame rectangulaire homogène telle que 𝐴𝐵=41cm et 𝐴𝐷=47cm. Deux points 𝐸 et 𝐹 appartiennet au segment [𝐵𝐷] tels que 𝐵𝐹=15cm et 𝐷𝐸=23cm. On y perce un trou de rayon 8 cm en 𝐹 et un autre de rayon 6 cm en 𝐸. Détermine les coordonnées du point 𝑁 appartenant au segment [𝐴𝐵] auquel on peut suspendre la lame de manière que [𝐴𝐵] soit horizontal lorsque la lame pend en équilibre. Deuxièmement, détermine les coordonnées du point 𝐾 appartenant au segment [𝐴𝐷] auquel on peut suspendre la lame de manière que [𝐴𝐷] soit horizontal lorsque la lame pend en équilibre. Donne le résultat au centième près, si c'est nécessaire.

  • A 𝑁 ( 4 7 , 2 1 , 4 5 ) , 𝐾 ( 2 2 , 4 1 , 4 1 )
  • B 𝑁 ( 4 7 , 3 6 5 , 0 2 ) , 𝐾 ( 5 0 , 4 9 , 4 1 )
  • C 𝑁 ( 4 7 , 4 9 , 5 4 ) , 𝐾 ( 1 0 4 , 5 8 , 4 1 )
  • D 𝑁 ( 4 7 , 4 1 , 4 8 ) , 𝐾 ( 2 0 , 5 7 , 4 1 )

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