Fiche d'activités de la leçon : La méthode de la masse négative Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à résoudre des problèmes sur la méthode de la masse négative.

Q1:

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 une lame rectangulaire homogène telle que 𝐴𝐵=37cm et 𝐴𝐷=23cm. Deux points 𝐸 et 𝐹 appartiennet au segment 𝐵𝐷 tels que 𝐵𝐹=10cm et 𝐷𝐸=15cm. On y perce un trou de rayon 5 cm en 𝐹 et un autre de rayon 4 cm en 𝐸. Détermine les coordonnées du point 𝑁 appartenant au segment 𝐴𝐵 auquel on peut suspendre la lame de manière que 𝐴𝐵 soit horizontal lorsque la lame pend en équilibre. Deuxièmement, détermine les coordonnées du point 𝐾 appartenant au segment 𝐴𝐷 auquel on peut suspendre la lame de manière que 𝐴𝐷 soit horizontal lorsque la lame pend en équilibre. Donne le résultat au centième près, si c'est nécessaire.

  • A𝑁(23;58,86), 𝐾(50,81;37)
  • B𝑁(23;36,76), 𝐾(10,32;37)
  • C𝑁(23;19,19), 𝐾(11,07;37)
  • D𝑁(23;237), 𝐾(24,62;37)

Q2:

Un fil métallique homogène de 135 cm de longueur est roulé autour de cinq côtés d'un hexagone régulier 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. Détermine la distance entre le centre de gravité du fil et le centre de l'hexagone.

  • A27310 cm
  • B27104 cm
  • C274712 cm
  • D275710 cm

Q3:

Une surface métallique uniforme est de la forme d'un rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 dans lequel 𝐴𝐵=64cm et 𝐵𝐶=240cm. Le coin 𝐴𝐵𝐸, 𝐸 est le milieu de 𝐴𝐷, a été coupé. La surface résultante 𝐴𝐶𝐷𝐸 a été suspendue librement à partir du sommet 𝐶. Détermine, à la minute d'arc près, la mesure de l'angle formé par le côté 𝐶𝐵 lorsque la surface est suspendue dans sa position d'équilibre.

  • A1657
  • B733
  • C8224
  • D736

Q4:

Soit une lame rectangulaire homogène 𝐴𝐵𝐶𝐷 de côtés 𝐴𝐵=24cm et 𝐵𝐶=11cm. On la coupe par une ligne droite à partir du point 𝐸 sur le côté 𝐵𝐶 jusqu'au point 𝐹 sur le côté 𝐵𝐴, divisant la lame en la lame triangulaire 𝐵𝐸𝐹 et la lame pentagonale 𝐴𝐹𝐸𝐶𝐷. Lorsque 𝐴𝐹𝐸𝐶𝐷 repose sur son bord 𝐶𝐸, elle est sur le point de basculer autour du point 𝐸. Sachant que 𝐵𝐸=6cm, calcule la distance 𝐵𝐹.

  • A11 cm
  • B112 cm
  • C22 cm
  • D227 cm

Q5:

Une planche homogène ayant la forme d'un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 a le côté de 363 cm. Ses diagonales se coupent en le point 𝑁. On extrait le triangle 𝑁𝐵𝐶 de la planche, et la partie restante est suspendue à un point 𝐸 sur 𝐴𝐵. Sachant que lorsque l'objet est suspendu en position d'équilibre, 𝐴𝐵 est horizontal, calcule la longueur 𝐴𝐸.

  • A6056 cm
  • B8476 cm
  • C6058 cm
  • D8478 cm

Q6:

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle équilatéral de côté 82 cm. Lorsque trois masses égales sont placées aux sommets du triangle, le centre de masse du système est le point 𝐺. Si la masse au sommet 𝐶 est éliminée, alors le centre de masse du système est le point 𝐺. Détermine les coordonnées du centre de masse de chacun des deux systèmes 𝐺 et 𝐺.

  • A𝐺41;8233, 𝐺412;8233
  • B𝐺41;8233, 𝐺412;4132
  • C𝐺41;4133, 𝐺412;4132
  • D𝐺41;4133, 𝐺412;8233

Q7:

La figure illustre une surface carrée uniforme de côté 18 cm. Elle est divisée en neuf carrés superposables. Étant donné que le carré 𝐶 a été découpé et collé sur le carré 𝐴, détermine les coordonnées du centre de gravité de la surface obtenue.

  • A6910;8110
  • B233;9
  • C253;9
  • D698;818

Q8:

La figure ci-dessous représente une lame homogène 𝐴𝐵𝐶 de laquelle on extrait un triangle 𝐺𝐵𝐶. On sait que 𝐴𝐵𝐶 était un triangle équilatéral de côté 93 cm et de centre de masse le point 𝐺. Détermine les coordonnées du nouveau centre de masse de la lame qui en résulte. Arrondis la réponse au centième près, si cela est nécessaire.

  • A(46,5;35,8)
  • B(46,5;33,56)
  • C(33,56;46,5)
  • D(35,8;46,5)

Q9:

Soit une lame rectangulaire homogène 𝐴𝐵𝐶𝐷 telle que 𝐴𝐵=56cm et 𝐵𝐶=35cm. Deux points 𝐸 et 𝐹 appartiennent au segment 𝐴𝐵 tels que 𝐴𝐸=𝐵𝐹=14cm. Le triangle 𝑀𝐸𝐹 de centre 𝑀 est extrait de la lame. Détermine les coordonnées du centre de masse de la lame qui en résulte. Si on laisse la lame pendre librement au point 𝐷, alors détermine la tangente de l'angle que 𝐷𝐴 forme avec la verticale, tan𝜃, lorsque la lame suspendue est en état d'équilibre.

  • A28;956, tan𝜃=16895
  • B956;28, tan𝜃=16895
  • C28;956, tan𝜃=95168
  • D956;28, tan𝜃=95168

Q10:

Une lame homogène ayant la forme d'un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de côté 222 cm a une masse d'un kilogramme. Les milieux de 𝐴𝐷, 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 sont respectivement désignés par 𝑇, 𝑁 et 𝐾. Les coins 𝑇𝐴𝑁 et 𝑁𝐵𝐾 ont été pliés afin qu'ils se situent sur la surface de la lame. Des objets de masses 365 g et 294 g ont été respectivement attachés aux points 𝑇 et 𝐾. Détermine les coordonnées du centre de masse du système, en arrondissant ta réponse au centième près, si nécessaire.

  • A(144,61;111,83)
  • B(161,18;106,25)
  • C(105,42;134,17)
  • D(105,42;106,25)

Q11:

On considère un disque circulaire homogène de centre 𝑁 et de rayon 72 cm. Le point 𝐹 est situé à 36 cm du centre. On trace une droite perpendiculaire à 𝐹𝑁 et qui touche le bord du disque en les points 𝑆 et 𝑇. On fait dans le disque deux trous circulaires dont les rayons mesurent 12 cm, de manière que leurs centres appartiennent à 𝑆𝑇 et qu'ils se coupent en le point 𝐹. Détermine la distance 𝑑 entre le point 𝑁 et le centre de masse du solide qui en résulte. Le disque est suspendu librement au point 𝑍, le point où le rayon perpendiculaire à 𝐹𝑁 coupe le bord du disque. Lorsque le disque suspendu est en équilibre, 𝑍𝑁 forme un angle 𝜃 avec la verticale. Détermine tan𝜃.

  • A𝑑=3617cm, tan𝜃=34
  • B𝑑=1217cm, tan𝜃=1102
  • C𝑑=3617cm, tan𝜃=134
  • D𝑑=1217cm, tan𝜃=102

Q12:

Une lame métallique ayant la forme d'un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 a le côté de 28 cm de longueur. On extrait de la lame un disque circulaire de rayon 7 cm et dont le centre est à une distance de 17 cm des deux côtés 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶. Détermine les coordonnées du centre de masse de la lame qui en résulte. On prendra 𝜋=227.

  • A22115;19915
  • B597112;458
  • C454;59756
  • D19930;22130

Q13:

Une lame rectangulaire uniforme 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵=24cm, 𝐵𝐶=48cm se situe dans le premier quadrant du plan cartésien de sorte que 𝐵 est à l'origine et que 𝐶 se situe sur l'axe des 𝑥. Le point 𝑁 se situe sur le côté 𝐴𝐷 avec 𝐷𝑁=32cm. Le triangle 𝑁𝐶𝐷 a été découpé de la lame. Détermine les coordonnées du centre de gravité du système.

  • A1963;10
  • B803;14
  • C523;10
  • D523;28

Q14:

On considère une lame rectangulaire homogène 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵=14cm et 𝐵𝐶=15cm. Sa masse est 𝑚 et son centre 𝑁. On extrait le triangle 𝑁𝐴𝐵 de la lame. Des masses de 3𝑚, 5𝑚, 2𝑚, 2𝑚 et 38𝑚 sont attachées à la lame qui en résulte, respectivement aux points 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝑁. Détermine les coordonnées du centre de masse du système au centième près, si c'est nécessaire.

  • A(9,24;6,49)
  • B(9,69;5,93)
  • C(9,69;3,84)
  • D(2,83;5,93)

Q15:

Une surface carrée uniforme 𝐴𝐵𝐶𝐷 a pour côté 4 cm. Ses diagonales se coupent en 𝑀. Le point 𝐸 est le milieu de 𝐷𝑀. Le triangle 𝐸𝐴𝐷 a été coupé à partir de la surface. Calcule les coordonnées du centre de gravité de la surface restante. La surface a été suspendue librement au point 𝐴. Si l'angle que 𝐴𝐵 forme avec la verticale lorsque la surface est suspendue en sa position d'équilibre est noté 𝜃, détermine tan𝜃.

  • A4121;4721, tan𝜃=4147
  • B4721;4121, tan𝜃=4147
  • C4121;4721, tan𝜃=4741
  • D4721;4121, tan𝜃=4741

Q16:

Soit 𝐴𝐵𝐶 une lame trinagulaire homogène telle que 𝑚𝐵=90, 𝐴𝐵=20cm et 𝐵𝐶=27cm. On y perce un trou ciculaire de rayon 3 cm, ayant comme centre le point d'intersection des médianes du triangle 𝐴𝐵𝐶. Le point 𝐷 appartient au segment 𝐴𝐵 tel que 𝐴𝐷=5cm. On coupe une autre partie allant du point 𝐷, parallèlement à la base 𝐵𝐶, et qui croise 𝐴𝐶 en 𝐸. On extrait le triangle 𝐴𝐷𝐸 . Détermine les coordonnées du centre de masse de la lame qui résulte. Arrondis la réponse au centième près, si c'est nécessaire.

  • A(9,86;14,83)
  • B(9,51;5,92)
  • C(14,83;9,86)
  • D(5,92;9,51)

Q17:

Une surface uniforme 𝐴𝐵𝐶𝐷 est de la forme d'un carré de coté 51 cm. Les points 𝐸 et 𝐹 sont les milieux respectifs de 𝐴𝐵 et 𝐴𝐷. Le coin 𝐴𝐸𝐹 a été plié suivant la droite 𝐸𝐹 de sorte que le point 𝐴 se confonde avec 𝑀, le centre du carré, comme illustré par la figure. Détermine les coordonnées du centre de gravité de la surface sous cette forme.

  • A178;178
  • B1716;1716
  • C8516;8516
  • D1716;1716

Q18:

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 une lame rectangulaire homogène telle que 𝐴𝐵=41cm et 𝐴𝐷=47cm. Deux points 𝐸 et 𝐹 appartiennet au segment 𝐵𝐷 tels que 𝐵𝐹=15cm et 𝐷𝐸=23cm. On y perce un trou de rayon 8 cm en 𝐹 et un autre de rayon 6 cm en 𝐸. Détermine les coordonnées du point 𝑁 appartenant au segment 𝐴𝐵 auquel on peut suspendre la lame de manière que 𝐴𝐵 soit horizontal lorsque la lame pend en équilibre. Deuxièmement, détermine les coordonnées du point 𝐾 appartenant au segment 𝐴𝐷 auquel on peut suspendre la lame de manière que 𝐴𝐷 soit horizontal lorsque la lame pend en équilibre. Donne le résultat au centième près, si c'est nécessaire.

  • A𝑁(47;49,54), 𝐾(104,58;41)
  • B𝑁(47;41,48), 𝐾(20,57;41)
  • C𝑁(47;21,45), 𝐾(22,41;41)
  • D𝑁(47;365,02), 𝐾(50,49;41)

Q19:

Un trou circulaire d'aire 66 cm2 a été fabriqué dans une planche rectangulaire uniforme d'aire 385 cm2. Le centre du trou était à 6 cm à partir du centre de masse d'origine du tableau rectangulaire. Jusqu'où le centre de masse de la planche s'est-il déplacé à la suite de la perforation?

  • A3641 cm
  • B3629 cm
  • C629 cm
  • D641 cm

Q20:

Un forgeron fabrique la figure ci-dessous en extrayant trois demi-cercles de rayon 9 cm d'un plus grand demi-cercle de rayon 27 cm. Supposant qu'il s'agit d'une lame homogène, détermine les coordonnées du centre de masse de la figure.

  • A0;803𝜋
  • B0;162𝜋
  • C0;48𝜋
  • D0;1603𝜋
  • E0;81𝜋

Q21:

Considère une lame de forme carrée 𝐴𝐵𝐶𝐷 de côté 48 cm. On y perce un trou circulaire d'aire 256 cm2. Le centre du trou circulaire appartient à la diagonale 𝐵𝐷 et la divise dans un rapport de 51 du point 𝐵. La lame pend librement au point 𝐴 et atteint un état d'équilibre dans un plan vertical. Sachant que l'angle d'inclinaison du côté 𝐴𝐵 sur la verticale est 𝜃, détermine tan𝜃.

  • A1311
  • B1
  • C4465
  • D1113

Q22:

La figure montre une lame circulaire uniforme de rayon 5,6 cm et de centre 𝑀. Un disque circulaire de rayon 2,4 cm et de centre 𝑁 a été retiré de la lame comme indiqué. Détermine la distance en centimètres entre 𝑀 et le centre de gravité de la lame résultante.

  • A625 cm
  • B1825 cm
  • C925 cm
  • D3625 cm

Q23:

Un disque uniforme a pour rayon 84 cm et un centre 𝑀. Un trou circulaire de rayon 63 cm a été percé dans le disque de telle sorte qu'il est tangent au cercle extérieur du disque en un point 𝑋. Détermine la distance, 𝑑, entre le point 𝑋 et le centre de gravité du disque résultant. Le disque était alors suspendu librement d'un point 𝑍 qui se situe là où le rayon perpendiculaire à 𝑀𝑋 rencontre le bord du disque. Détermine la tangente de l'angle que 𝑍𝑀 forme avec la verticale, tan𝜃, lorsque le disque est suspendu dans sa position d'équilibre.

  • A𝑑=111cm, tan𝜃=289
  • B𝑑=27cm, tan𝜃=14
  • C𝑑=111cm, tan𝜃=928
  • D𝑑=27cm, tan𝜃=4

Q24:

Le tableau suivant montre la distribution d'un système de masses sur une lame homogène.

Masse de la lame 𝑚Masse ajoutée 𝑚Masse réduite 𝑚
Axedesx𝑥𝑥𝑥
Axedesy𝑦𝑦𝑦

Lequel des choix suivants est le centre de masse de ce système?

  • A𝑚𝑥𝑚𝑥+𝑚𝑥𝑚𝑚+𝑚;𝑚𝑦𝑚𝑦+𝑚𝑦𝑚𝑚+𝑚
  • B𝑚𝑥+𝑚𝑥𝑚𝑥𝑚+𝑚𝑚;𝑚𝑦+𝑚𝑦𝑚𝑦𝑚+𝑚𝑚
  • C𝑚𝑥+𝑚𝑥+𝑚𝑥𝑚+𝑚+𝑚;𝑚𝑦+𝑚𝑦+𝑚𝑦𝑚+𝑚+𝑚
  • D𝑚𝑦+𝑚𝑦𝑚𝑦𝑚+𝑚𝑚;𝑚𝑥+𝑚𝑥𝑚𝑥𝑚+𝑚𝑚
  • E𝑚𝑦𝑚𝑦+𝑚𝑦𝑚𝑚+𝑚;𝑚𝑥𝑚𝑥+𝑚𝑥𝑚𝑚+𝑚

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