Feuille d'activités : Déterminer l'équation cartésienne d'une sphère dans l'espace

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer l'équation d'une sphère étant donné le centre et comment déterminer le centre et le rayon étant donnée l'équation de la sphère.

Q1:

Indique si l’équation 2 𝑥 + 2 𝑦 + 2 𝑧 + 4 𝑥 + 4 𝑦 + 4 𝑧 − 4 4 = 0 représente une sphère. Si oui, détermine son rayon et son centre.

  • AOui, l’équation représente une sphère de rayon 5 et de centre le point de coordonnées ( 1 , 1 , 1 ) .
  • BNon, l’équation ne représente pas une sphère.
  • COui, l’équation représente une sphère de rayon 11 et de centre le point de coordonnées ( − 1 , − 1 , − 1 ) .
  • DOui, l’équation représente une sphère de rayon 5 et de centre le point de coordonnées ( − 1 , − 1 , − 1 ) .
  • EOui, l’équation représente une sphère de rayon 11 et de centre le point de coordonnées ( 1 , 1 , 1 ) .

Q2:

Indique si l’équation 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 2 𝑥 − 2 𝑦 − 8 𝑧 + 1 9 = 0 correspond à une sphère. Si oui, détermine son rayon et son centre.

  • AOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre ( 1 ; − 1 ; − 4 ) .
  • BOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre ( − 1 ; 1 ; 4 ) .
  • COui, l’équation correspond à une sphère de rayon 2 et de centre ( − 1 ; 1 ; 4 ) .
  • DNon, l’équation ne correspond pas à une sphère.
  • E Oui, l’équation correspond à une sphère de rayon 2 et de centre ( 1 ; − 1 ; − 4 ) .

Q3:

Indique si l’équation 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 4 𝑥 − 6 𝑦 − 1 0 𝑧 + 3 7 = 0 correspond à une sphère. Si oui, détermine son rayon et son centre.

  • AOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre le point de coordonnées ( − 2 ; − 3 ; − 5 ) .
  • BNon, l’équation ne correspond pas à une sphère.
  • COui, l’équation correspond à une sphère de rayon 5 et de centre le point de coordonnées ( 2 ; 3 ; 5 ) .
  • DOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre le point de coordonnées ( 2 ; 3 ; 5 ) .
  • EOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 5 et de centre le point de coordonnées ( − 2 ; − 3 ; − 5 ) .

Q4:

Donne l'équation de la sphère de centre ( 1 1 , 8 , − 5 ) et de rayon 3 sous forme standard.

  • A ( 𝑥 + 1 1 ) + ( 𝑦 + 8 ) + ( 𝑧 − 5 ) = 3
  • B ( 𝑥 + 1 1 ) + ( 𝑦 + 8 ) + ( 𝑧 − 5 ) = 9
  • C ( 𝑥 − 1 1 ) + ( 𝑦 − 8 ) + ( 𝑧 + 5 ) = 3
  • D ( 𝑥 − 1 1 ) + ( 𝑦 − 8 ) + ( 𝑧 + 5 ) = 9

Q5:

Indique si l’équation correspond à une sphère 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 1 2 𝑥 + 2 𝑦 − 4 𝑧 + 3 2 = 0 . Si oui, détermine son rayon et son centre.

  • AOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre ( − 6 ; − 1 ; 2 ) .
  • BOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre ( 6 ; 1 ; − 2 ) .
  • COui, l’équation correspond à une sphère de rayon 3 et de centre ( 6 ; 1 ; − 2 ) .
  • DNon, l’équation ne correspond pas à une sphère.
  • EOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 2 et de centre ( − 6 ; − 1 ; 2 ) .

Q6:

Les sphères d’équations 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 9 et ( 𝑥 − 4 ) + ( 𝑦 + 2 ) + ( 𝑧 − 4 ) = 9 se coupent en un cercle. Détermine l’équation du plan contenant ce cercle.

  • A 8 𝑥 − 4 𝑦 + 8 𝑧 − 5 4 = 0
  • B 8 𝑥 − 4 𝑦 + 8 𝑧 − 2 7 = 0
  • C 2 𝑥 − 𝑦 + 2 𝑧 + 9 = 0
  • D 2 𝑥 − 𝑦 + 2 𝑧 − 9 = 0
  • E 2 𝑥 + 2 𝑦 + 2 𝑧 + 9 = 0

Q7:

Détermine le ou les points d’intersection entre la sphère d’équation ( 𝑥 − 3 ) + ( 𝑦 + 1 ) + ( 𝑧 − 3 ) = 9 et la droite d’équation 𝑥 = − 1 + 2 𝑡 , 𝑦 = − 2 − 3 𝑡 , 𝑧 = 3 + 𝑡 .

  • A − 2 + √ 8 7 7 ; − 3 4 + 3 √ 8 7 1 4 ; 4 7 + √ 8 7 1 4 , − 2 − √ 8 7 7 ; − 3 4 − 3 √ 8 7 1 4 ; 4 7 − √ 8 7 1 4
  • B ( 3 ; − 1 ; 3 )
  • C ( − 1 ; − 2 ; 3 )
  • Daucun point d’intersection
  • E − 1 2 7 ; − 1 3 1 4 ; 3 7 1 4 , − 2 7 ; − 4 3 1 4 ; 4 7 1 4

Q8:

On peut montrer que quatre points non coplanaires définissent une sphère. Détermine l’équation de la sphère qui passe par les points de coordonnées ( 0 ; 0 ; 0 ) , ( 0 ; 0 ; 2 ) , ( 1 ; − 4 ; 3 ) et ( 0 ; − 1 ; 3 ) .

  • A 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
  • B ( 𝑥 + 2 ) + ( 𝑦 − 2 ) + ( 𝑧 + 1 ) = 9
  • C ( 𝑥 − 2 ) + ( 𝑦 + 2 ) + ( 𝑧 − 1 ) = 0
  • D ( 𝑥 − 2 ) + ( 𝑦 + 2 ) + ( 𝑧 − 1 ) = 9
  • E ( 𝑥 + 2 ) + ( 𝑦 − 2 ) + ( 𝑧 + 1 ) = 0

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