Feuille d'activités : Déterminer l'équation cartésienne d'une sphère dans l'espace

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer l'équation d'une sphère étant donné le centre et comment déterminer le centre et le rayon étant donnée l'équation de la sphère.

Q1:

Indique si l’équation 2𝑥+2𝑦+2𝑧+4𝑥+4𝑦+4𝑧−44=0 représente une sphère. Si oui, détermine son rayon et son centre.

  • ANon, l’équation ne représente pas une sphère.
  • BOui, l’équation représente une sphère de rayon 11 et de centre le point de coordonnées (−1,−1,−1).
  • COui, l’équation représente une sphère de rayon 5 et de centre le point de coordonnées (1,1,1).
  • DOui, l’équation représente une sphère de rayon 11 et de centre le point de coordonnées (1,1,1).
  • EOui, l’équation représente une sphère de rayon 5 et de centre le point de coordonnées (−1,−1,−1).

Q2:

Indique si l’équation 𝑥+𝑦+𝑧+2𝑥−2𝑦−8𝑧+19=0 correspond à une sphère. Si oui, détermine son rayon et son centre.

  • AOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre (−1,1,4).
  • BOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre (1,−1,−4).
  • COui, l’équation correspond à une sphère de rayon 2 et de centre (−1,1,4).
  • DOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 2 et de centre (1,−1,−4).
  • ENon, l’équation ne correspond pas à une sphère.

Q3:

Indique si l’équation 𝑥+𝑦+𝑧−4𝑥−6𝑦−10𝑧+37=0 correspond à une sphère. Si oui, détermine son rayon et son centre.

  • ANon, l’équation ne correspond pas à une sphère.
  • BOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre le point de coordonnées (−2,−3,−5).
  • COui, l’équation correspond à une sphère de rayon 5 et de centre le point de coordonnées (−2,−3,−5).
  • DOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 5 et de centre le point de coordonnées (2,3,5).
  • EOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre le point de coordonnées (2,3,5).

Q4:

Donne l'équation de la sphère de centre (11,8,−5) et de rayon 3 sous forme standard.

  • A(𝑥+11)+(𝑦+8)+(𝑧−5)=9
  • B(𝑥+11)+(𝑦+8)+(𝑧−5)=3
  • C(𝑥−11)+(𝑦−8)+(𝑧+5)=3
  • D(𝑥−11)+(𝑦−8)+(𝑧+5)=9

Q5:

Laquelle des équations suivantes est celle d'une sphère de centre (8,−15,10) et passant par le point de coordonnées (−14,13,−14) ?

  • A(𝑥−8)+(𝑦+15)+(𝑧−10)=56
  • B(𝑥−8)+(𝑦+15)+(𝑧−10)=1844
  • C(𝑥−8)−(𝑦+15)−(𝑧−10)=56
  • D(𝑥−8)−(𝑦+15)−(𝑧−10)=1844

Q6:

Détermine l’équation d’une sphère de centre (0,1,0), sachant qu’elle est tangente à l'un des plans du repère.

  • A𝑥+(𝑦+1)+𝑧=1
  • B𝑥+(𝑦−1)+𝑧=1
  • C𝑥−(𝑦+1)−𝑧=1
  • D𝑥−(𝑦−1)−𝑧=1

Q7:

Étant donnée l'équation d'un cercle (𝑥+5)+(𝑦−12)+(𝑧−2)−289=0, détermine son centre et son rayon.

  • A(5,−12,−2), 289 unités de longueur
  • B(−5,12,2), 17 unités de longueur
  • C(5,−12,−2), 17 unités de longueur
  • D(−5,12,2), 289 unités de longueur

Q8:

Une sphère de rayon 2 est tangente aux trois plans. Sachant que les coordonnées de son centre sont toutes positives, quelle est l’équation de cette sphère ?

  • A(𝑥−4)+(𝑦−4)+(𝑧−4)=4
  • B(𝑥+2)+(𝑦+2)+(𝑧+2)=4
  • C(𝑥−2)+(𝑦−2)+(𝑧−2)=4
  • D(𝑥−2)+(𝑦−2)+(𝑧−2)=2

Q9:

Détermine l'aire de surface de la sphère d'équation 𝑥+𝑦+𝑧−1444=0, en donnant ta réponse en fonction de 𝜋.

  • A2888𝜋
  • B152𝜋
  • C5776𝜋
  • D76𝜋

Q10:

Sachant que 𝐴(0,4,4), et que [𝐴𝐵] est un diamètre de la sphère d'équation (𝑥+2)+(𝑦+1)+(𝑧−1)=38, quelles sont les coordonnées du point 𝐵 ?

  • A(−2,−5,−3)
  • B(4,6,2)
  • C(−4,−6,−2)
  • D(2,5,3)

Q11:

Détermine l'équation de la sphère concentrique avec une sphère d'équation 𝑥+𝑦+𝑧+𝑥−5𝑦+4𝑧=3, mais dont le rayon vaut le double.

  • A𝑥+12+𝑦−52+(𝑧+2)=27
  • B𝑥+12−𝑦−52−(𝑧+2)=27
  • C𝑥+12+𝑦−52+(𝑧+2)=54
  • D𝑥+12−𝑦−52−(𝑧+2)=54

Q12:

La droite d'équation 𝑥+9−10=𝑦+4−4=𝑧−85 est tangente à la sphère d'équation (𝑥−7)+(𝑦+3)+(𝑧−7)=𝑟. Calcule le rayon de la sphère au centième près.

Q13:

Que représente l'équation ‖‖⃗𝑟‖‖−⃗𝑟⋅−10⃗𝚤−6⃗𝚥+10⃗𝑘+50=0 parmi les choix suivants ?

  • Aun cercle de rayon 5√2 unités de longueur
  • Bun plan
  • Cune sphère de rayon 5√2 unités de longueur
  • Dun cercle de rayon 3 unités de longueur
  • Eune sphère de rayon 3 unités de longueur

Q14:

Indique si l’équation correspond à une sphère 𝑥+𝑦−𝑧+12𝑥+2𝑦−4𝑧+32=0. Si oui, détermine son rayon et son centre.

  • AOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre (6,1,−2).
  • BNon, l’équation ne correspond pas à une sphère.
  • COui, l’équation correspond à une sphère de rayon 3 et de centre (6,1,−2).
  • DOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre (−6,−1,2).
  • EOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 2 et de centre (−6,−1,2).

Q15:

Les sphères d’équations 𝑥+𝑦+𝑧=9 et (𝑥−4)+(𝑦+2)+(𝑧−4)=9 se coupent en un cercle. Détermine l’équation du plan contenant ce cercle.

  • A2𝑥−𝑦+2𝑧−9=0
  • B8𝑥−4𝑦+8𝑧−54=0
  • C2𝑥−𝑦+2𝑧+9=0
  • D2𝑥+2𝑦+2𝑧+9=0
  • E8𝑥−4𝑦+8𝑧−27=0

Q16:

Détermine le ou les points d’intersection entre la sphère d’équation (𝑥−3)+(𝑦+1)+(𝑧−3)=9 et la droite d’équation 𝑥=−1+2𝑡, 𝑦=−2−3𝑡, 𝑧=3+𝑡.

  • A(3,−1,3)
  • B(−1,−2,3)
  • Caucun point d’intersection
  • D−127,−1314,3714, −27,−4314,4714
  • E−2+√877,−34+3√8714,47+√8714, −2−√877,−34−3√8714,47−√8714

Q17:

On peut montrer que quatre points non coplanaires définissent une sphère. Détermine l’équation de la sphère qui passe par les points de coordonnées (0,0,0), (0,0,2), (1,−4,3) et (0,−1,3).

  • A(𝑥−2)+(𝑦+2)+(𝑧−1)=0
  • B(𝑥−2)+(𝑦+2)+(𝑧−1)=9
  • C(𝑥+2)+(𝑦−2)+(𝑧+1)=0
  • D(𝑥+2)+(𝑦−2)+(𝑧+1)=9
  • E𝑥+𝑦+𝑧=0

Q18:

Sachant que les deux sphères d'équations (𝑥+3)+(𝑦+5)+(𝑧+5)=36 et (𝑥−1)+(𝑦−2)+(𝑧−𝑘)=100 sont tangentes, détermine toutes les valeurs possibles de 𝑘.

  • A𝑘=−√191+5 ou 𝑘=−√191−5
  • B𝑘=5+√191 ou 𝑘=−5+√191
  • C𝑘=5+√191 ou 𝑘=−√191+5
  • D𝑘=−5+√191 ou 𝑘=−√191−5

Q19:

Détermine l'équation de la sphère où 𝐴=(9,−6,1) et 𝐵=(−16,−12,2) sont les extrémités d'un diamètre.

  • A𝑥+72+(𝑦+9)+𝑧−32=3312
  • B𝑥−252+(𝑦−3)+𝑧+12=1912
  • C𝑥+72−(𝑦+9)−𝑧−32=3312
  • D𝑥−252−(𝑦−3)−𝑧+12=1912

Q20:

Une sphère de rayon 50 a pour centre le point situé sur l'axe des 𝑧 à une distance de 17 du plan 𝑥𝑦.Quelle est l'équation de la sphère ?

  • A𝑥+𝑦+(𝑧−17)=50 ou 𝑥+𝑦+(𝑧+17)=50
  • B𝑥−𝑦−(𝑧−17)=2500 ou 𝑥−𝑦−(𝑧+17)=2500
  • C𝑥+𝑦+(𝑧−17)=2500 ou 𝑥+𝑦+(𝑧+17)=2500
  • D𝑥−𝑦−(𝑧−17)=50 ou 𝑥−𝑦−(𝑧+17)=50

Q21:

Une sphère de centre (𝑙−10,𝑚+4,3) et de rayon 2 est tangente aux plans 𝑥𝑧 et 𝑦𝑧. Détermine toutes les valeurs possibles de 𝑙 et 𝑚.

  • A𝑙=12, 𝑚=6 ou 𝑙=8, 𝑚=2
  • B𝑙=−2, 𝑚=12 ou 𝑙=−6, 𝑚=8
  • C𝑙=12, 𝑚=−2 ou 𝑙=8, 𝑚=−6
  • D𝑙=−8, 𝑚=−2 ou 𝑙=−12, 𝑚=−6

Q22:

Sachant que [𝐴𝐵] est un diamètre d'une sphère dont l'équation est 𝑥+𝑦+𝑧+4𝑥+5𝑦+3𝑧−18=0, et que les coordonnées de 𝐴 sont (0,0,3), détermine les coordonnées du point 𝐵.

  • A(4,5,6)
  • B(−4,−5,−6)
  • C2,52,92
  • D−2,−52,−92

Q23:

Donne l'équation de la sphère de centre (−6,15,11) qui est tangente au plan 𝑥𝑦.

  • A(𝑥+6)+(𝑦−15)+(𝑧−11)=121
  • B(𝑥+6)+(𝑦−15)+(𝑧−11)=11
  • C(𝑥+6)−(𝑦−15)−(𝑧−11)=121
  • D(𝑥+6)−(𝑦−15)−(𝑧−11)=11

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