Feuille d'activités : Déterminer l'équation cartésienne d'une sphère dans l'espace

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer l'équation d'une sphère étant donné le centre et comment déterminer le centre et le rayon étant donnée l'équation de la sphère.

Q1:

Détermine l'équation de la sphère qui passe par les points 𝐴(9;0;0), 𝐵(3;13;5) et 𝐶(11;0;10), sachant que son centre appartient au plan 𝑦𝑧.

  • A𝑥+𝑦+𝑧−2𝑦−7𝑧−81=0
  • B𝑥−𝑦−𝑧+4𝑦+14𝑧+81=0
  • C𝑥+𝑦+𝑧−4𝑦−14𝑧−81=0
  • D𝑥−𝑦−𝑧+2𝑦+7𝑧+81=0

Q2:

Donne l'équation de la sphère de centre (11,8,−5) et de rayon 3 sous forme standard.

  • A(𝑥+11)+(𝑦+8)+(𝑧−5)=9
  • B(𝑥+11)+(𝑦+8)+(𝑧−5)=3
  • C(𝑥−11)+(𝑦−8)+(𝑧+5)=3
  • D(𝑥−11)+(𝑦−8)+(𝑧+5)=9

Q3:

Laquelle des équations suivantes est celle d'une sphère de centre (8,−15,10) et passant par le point de coordonnées (−14,13,−14) ?

  • A(𝑥−8)+(𝑦+15)+(𝑧−10)=56
  • B(𝑥−8)+(𝑦+15)+(𝑧−10)=1844
  • C(𝑥−8)−(𝑦+15)−(𝑧−10)=56
  • D(𝑥−8)−(𝑦+15)−(𝑧−10)=1844

Q4:

Détermine l’équation d’une sphère de centre (0,1,0), sachant qu’elle est tangente à l'un des plans du repère.

  • A𝑥+(𝑦+1)+𝑧=1
  • B𝑥+(𝑦−1)+𝑧=1
  • C𝑥−(𝑦+1)−𝑧=1
  • D𝑥−(𝑦−1)−𝑧=1

Q5:

Étant donnée l'équation d'un cercle (𝑥+5)+(𝑦−12)+(𝑧−2)−289=0, détermine son centre et son rayon.

  • A(5,−12,−2), 289 unités de longueur
  • B(−5,12,2), 17 unités de longueur
  • C(5,−12,−2), 17 unités de longueur
  • D(−5,12,2), 289 unités de longueur

Q6:

Une sphère de rayon 2 est tangente aux trois plans. Sachant que les coordonnées de son centre sont toutes positives, quelle est l’équation de cette sphère ?

  • A(𝑥−4)+(𝑦−4)+(𝑧−4)=4
  • B(𝑥+2)+(𝑦+2)+(𝑧+2)=4
  • C(𝑥−2)+(𝑦−2)+(𝑧−2)=4
  • D(𝑥−2)+(𝑦−2)+(𝑧−2)=2

Q7:

Détermine l'aire de surface de la sphère d'équation 𝑥+𝑦+𝑧−1444=0, en donnant ta réponse en fonction de 𝜋.

  • A2888𝜋
  • B152𝜋
  • C5776𝜋
  • D76𝜋

Q8:

Sachant que 𝐴(0;4;4), et que [𝐴𝐵] est un diamètre de la sphère d'équation (𝑥+2)+(𝑦+1)+(𝑧−1)=38, quelles sont les coordonnées du point 𝐵 ?

  • A(−2;−5;−3)
  • B(4;6;2)
  • C(−4;−6;−2)
  • D(2;5;3)

Q9:

Détermine l'équation de la sphère concentrique avec une sphère d'équation 𝑥+𝑦+𝑧+𝑥−5𝑦+4𝑧=3, mais dont le rayon vaut le double.

  • A𝑥+12+𝑦−52+(𝑧+2)=27
  • B𝑥+12−𝑦−52−(𝑧+2)=27
  • C𝑥+12+𝑦−52+(𝑧+2)=54
  • D𝑥+12−𝑦−52−(𝑧+2)=54

Q10:

Une sphère est tangente au plan 𝑥𝑦 et son centre est situé sur l'axe des 𝑧 à une distance de 35 unités de longueur par rapport à 𝑥𝑦. Quelle est l'équation de la sphère ?

  • A𝑥+(𝑦+35)+𝑧=1225 ou 𝑥+(𝑦−35)+𝑧=1225
  • B𝑥+𝑦+𝑧=1225 ou 𝑥−𝑦−𝑧=1225
  • C(𝑥+35)+𝑦+𝑧=1225 ou (𝑥−35)+𝑦+𝑧=1225
  • D𝑥+𝑦+(𝑧+35)=1225 ou 𝑥+𝑦+(𝑧−35)=1225

Q11:

Sachant que les deux sphères d'équations (𝑥+3)+(𝑦+5)+(𝑧+5)=36 et (𝑥−1)+(𝑦−2)+(𝑧−𝑘)=100 sont tangentes, détermine toutes les valeurs possibles de 𝑘.

  • A𝑘=−√191+5 ou 𝑘=−√191−5
  • B𝑘=5+√191 ou 𝑘=−5+√191
  • C𝑘=5+√191 ou 𝑘=−√191+5
  • D𝑘=−5+√191 ou 𝑘=−√191−5

Q12:

Détermine l'équation de la sphère où 𝐴=(9,−6,1) et 𝐵=(−16,−12,2) sont les extrémités d'un diamètre.

  • A𝑥+72+(𝑦+9)+𝑧−32=3312
  • B𝑥−252+(𝑦−3)+𝑧+12=1912
  • C𝑥+72−(𝑦+9)−𝑧−32=3312
  • D𝑥−252−(𝑦−3)−𝑧+12=1912

Q13:

Une sphère de rayon 50 a pour centre le point situé sur l'axe des 𝑧 à une distance de 17 du plan 𝑥𝑦.Quelle est l'équation de la sphère ?

  • A𝑥+𝑦+(𝑧−17)=50 ou 𝑥+𝑦+(𝑧+17)=50
  • B𝑥−𝑦−(𝑧−17)=2500 ou 𝑥−𝑦−(𝑧+17)=2500
  • C𝑥+𝑦+(𝑧−17)=2500 ou 𝑥+𝑦+(𝑧+17)=2500
  • D𝑥−𝑦−(𝑧−17)=50 ou 𝑥−𝑦−(𝑧+17)=50

Q14:

Une sphère de centre (𝑙−10,𝑚+4,3) et de rayon 2 est tangente aux plans 𝑥𝑧 et 𝑦𝑧. Détermine toutes les valeurs possibles de 𝑙 et 𝑚.

  • A𝑙=12, 𝑚=6 ou 𝑙=8, 𝑚=2
  • B𝑙=−2, 𝑚=12 ou 𝑙=−6, 𝑚=8
  • C𝑙=12, 𝑚=−2 ou 𝑙=8, 𝑚=−6
  • D𝑙=−8, 𝑚=−2 ou 𝑙=−12, 𝑚=−6

Q15:

Sachant que [𝐴𝐵] est un diamètre d'une sphère dont l'équation est 𝑥+𝑦+𝑧+4𝑥+5𝑦+3𝑧−18=0, et que les coordonnées de 𝐴 sont (0;0;3), détermine les coordonnées du point 𝐵.

  • A(4;5;6)
  • B(−4;−5;−6)
  • C2;52;92
  • D−2;−52;−92

Q16:

Donne l'équation de la sphère de centre (−6,15,11) qui est tangente au plan 𝑥𝑦.

  • A(𝑥+6)+(𝑦−15)+(𝑧−11)=121
  • B(𝑥+6)+(𝑦−15)+(𝑧−11)=11
  • C(𝑥+6)−(𝑦−15)−(𝑧−11)=121
  • D(𝑥+6)−(𝑦−15)−(𝑧−11)=11

Q17:

Détermine l'équation d'une sphère qui passe par les points 𝐴(0,3,−2) et 𝐵(−1,−3,−5), sachant que son centre se situe sur l'axe des 𝑧.

  • A𝑥+𝑦+𝑧+113=1069
  • B𝑥+𝑦+𝑧−113=1069
  • C𝑥−𝑦−𝑧−113=1069
  • D𝑥−𝑦−𝑧+113=1069

Q18:

Donne le centre et le rayon de la sphère d'équation 𝑥+𝑦+𝑧+7𝑥+6𝑦+3𝑧+12=0.

  • A72,6,32,5√102
  • B72,−6,32,5√102
  • C−72,3,−32,√462
  • D−72,−3,−32,√462

Q19:

Détermine l'équation d'une sphère de centre (−23,−18,−23), sachant qu'elle est tangente à la fois au plan 𝑥𝑦 et au plan 𝑦𝑧.

  • A(𝑥+23)−(𝑦+18)−(𝑧+23)=529
  • B(𝑥+23)−(𝑦+18)−(𝑧+23)=324
  • C(𝑥+23)+(𝑦+18)+(𝑧+23)=529
  • D(𝑥+23)+(𝑦+18)+(𝑧+23)=324

Q20:

L'axe des 𝑥 coupe la sphère d'équation (𝑥−12)+(𝑦−4)+(𝑧+6)=88 en les deux points 𝐴 et 𝐵. Quelle est la longueur du segment [𝐴𝐵] ?

Q21:

Est-ce que les deux sphères dont les équations sont (𝑥−4)+(𝑦−19)+(𝑧+17)=225 et (𝑥+4)+(𝑦+9)+(𝑧+8)=64 se coupent ?

  • Anon
  • Boui

Q22:

Indique si l’équation correspond à une sphère 𝑥+𝑦−𝑧+12𝑥+2𝑦−4𝑧+32=0. Si oui, détermine son rayon et son centre.

  • AOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre (6;1;−2).
  • BNon, l’équation ne correspond pas à une sphère.
  • COui, l’équation correspond à une sphère de rayon 3 et de centre (6;1;−2).
  • DOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre (−6;−1;2).
  • EOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 2 et de centre (−6;−1;2).

Q23:

Indique si l’équation 2𝑥+2𝑦+2𝑧+4𝑥+4𝑦+4𝑧−44=0 représente une sphère. Si oui, détermine son rayon et son centre.

  • AOui, l’équation représente une sphère de rayon 11 et de centre le point de coordonnées (−1;−1;−1).
  • BOui, l’équation représente une sphère de rayon 11 et de centre le point de coordonnées (1;1;1).
  • CNon, l’équation ne représente pas une sphère.
  • DOui, l’équation représente une sphère de rayon 5 et de centre le point de coordonnées (1;1;1).
  • EOui, l’équation représente une sphère de rayon 5 et de centre le point de coordonnées (−1;−1;−1).

Q24:

Indique si l’équation 𝑥+𝑦+𝑧−4𝑥−6𝑦−10𝑧+37=0 correspond à une sphère. Si oui, détermine son rayon et son centre.

  • ANon, l’équation ne correspond pas à une sphère.
  • BOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre le point de coordonnées (−2;−3;−5).
  • COui, l’équation correspond à une sphère de rayon 5 et de centre le point de coordonnées (−2;−3;−5).
  • DOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 5 et de centre le point de coordonnées (2;3;5).
  • EOui, l’équation correspond à une sphère de rayon 1 et de centre le point de coordonnées (2;3;5).

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