Feuille d'activités de la leçon : Théorème des diviseurs pour la division synthétique Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser la division synthétique et le théorème des diviseurs pour déterminer si un binôme est un diviseur d'un polynôme, et déterminer les diviseurs restants.

Question 1

Mehdi a utilisΓ© la division synthΓ©tique pour prouver que 4 est une racine du polynΓ΄me 𝑓(π‘₯)=2π‘₯βˆ’9π‘₯+π‘₯+12.

En utilisant son rΓ©sultat, factorise 𝑓(π‘₯) en trois diviseurs linΓ©aires.

  • A𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)(π‘₯+1)(2π‘₯βˆ’3)
  • B𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)(π‘₯βˆ’1)(2π‘₯+3)
  • C𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)(2π‘₯+1)(π‘₯βˆ’3)
  • D𝑓(π‘₯)=(π‘₯+4)(2π‘₯βˆ’1)(π‘₯+3)
  • E𝑓(π‘₯)=(π‘₯+4)(π‘₯+1)(2π‘₯βˆ’3)

Question 2

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=2π‘₯+10π‘₯+5π‘₯βˆ’20π‘₯+3οŠͺ.

Utilise la division synthΓ©tique pour dΓ©terminer la valeur de 𝑓(βˆ’3).

Indique lequel parmi (π‘₯βˆ’3) et (π‘₯+3) est un diviseur de 𝑓(π‘₯).

  • ASeul (π‘₯+3) est un diviseur.
  • B(π‘₯βˆ’3) et (π‘₯+3) sont des diviseurs.
  • CSeul (π‘₯βˆ’3) est un diviseur.
  • DNi (π‘₯βˆ’3) ni (π‘₯+3) ne sont des diviseurs.

Question 3

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=2π‘₯βˆ’π‘₯βˆ’12π‘₯βˆ’7π‘₯βˆ’6οŠͺ.

Sachant que deux parmi les trois nombres 1,βˆ’2 et 3 sont des racines de 𝑓(π‘₯), utilise la division synthΓ©tique pour factoriser complΓ¨tement 𝑓(π‘₯).

  • A𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+2)(2π‘₯βˆ’5)(π‘₯+1)
  • B𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3)(π‘₯+2)(π‘₯+1)
  • C𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3)(π‘₯+2)ο€Ήπ‘₯+π‘₯+1ο…οŠ¨
  • D𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3)(π‘₯+2)ο€Ή2π‘₯+π‘₯+1ο…οŠ¨
  • E𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3)(π‘₯βˆ’1)ο€Ή2π‘₯+7π‘₯+10ο…οŠ¨

Question 4

L'un des zΓ©ros de la fonction 𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’4π‘₯βˆ’17π‘₯+60 appartient Γ  l'ensemble {2,3,4}. En utilisant la division synthΓ©tique, dΓ©termine tous les zΓ©ros de 𝑓.

  • Aβˆ’4, 2, 6
  • Bβˆ’4, 3, βˆ’5
  • Cβˆ’4, 3, 5
  • D4, 3, βˆ’5
  • E4, 2, βˆ’6

Question 5

La fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’5π‘₯+7π‘₯+3π‘₯βˆ’10οŠͺ a 2 zΓ©ros rΓ©els et 2 zΓ©ros imaginaires.

En utilisant la substitution synthΓ©tique, dΓ©termine laquelle des valeurs 1, 2, 3 et 4 est une racine de 𝑓(π‘₯) et Γ©cris 𝑓(π‘₯) sous la forme (π‘₯βˆ’π‘Ž)𝑄(π‘₯).

  • A𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)ο€Ήπ‘₯βˆ’π‘₯+3π‘₯+15ο…οŠ©οŠ¨
  • B𝑓(π‘₯)=(π‘₯+2)ο€Ήπ‘₯βˆ’7π‘₯+21π‘₯βˆ’39ο…οŠ©οŠ¨
  • C𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’2)ο€Ήπ‘₯βˆ’3π‘₯+π‘₯+5ο…οŠ©οŠ¨
  • D𝑓(π‘₯)=(π‘₯+4)ο€Ήπ‘₯βˆ’9π‘₯+43π‘₯βˆ’175ο…οŠ©οŠ¨
  • E𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’1)ο€Ήπ‘₯βˆ’4π‘₯+3π‘₯+6ο…οŠ©οŠ¨

En utilisant la substitution synthΓ©tique, dΓ©termine laquelle des valeurs βˆ’1, βˆ’2, βˆ’3, et βˆ’4 est une racine de 𝑄(π‘₯) et Γ©cris 𝑄(π‘₯) sous la forme (π‘₯βˆ’π‘)𝑃(π‘₯).

  • A𝑄(π‘₯)=(π‘₯+1)ο€Ήπ‘₯βˆ’4π‘₯+5ο…οŠ¨
  • B𝑄(π‘₯)=(π‘₯βˆ’1)ο€Ήπ‘₯βˆ’2π‘₯βˆ’1ο…οŠ¨
  • C𝑄(π‘₯)=(π‘₯+1)ο€Ήπ‘₯βˆ’8π‘₯+29ο…οŠ¨
  • D𝑄(π‘₯)=(π‘₯βˆ’2)ο€Ήπ‘₯βˆ’π‘₯βˆ’1ο…οŠ¨
  • E𝑄(π‘₯)=(π‘₯+2)ο€Ήπ‘₯βˆ’5π‘₯+11ο…οŠ¨

Γ‰nonce tous les zΓ©ros de 𝑓.

  • Aβˆ’2, 1, 2+𝑖, 2βˆ’π‘–
  • B2, βˆ’1, 2+𝑖, 2βˆ’π‘–
  • C4, βˆ’1, 2+𝑖, 2βˆ’π‘–
  • D4, 1, 52+√192𝑖, 52βˆ’βˆš192𝑖
  • E2, βˆ’1, 52+√192𝑖, 52βˆ’βˆš192𝑖

Question 6

Le polynΓ΄me 𝑓(π‘₯) est divisΓ© par (π‘₯βˆ’π‘Ž). Sachant que (π‘₯βˆ’π‘Ž) n’est pas un diviseur de 𝑓(π‘₯), quel est le reste ?

  • A𝑓(π‘Ž)
  • B𝑓(π‘Ÿ)
  • C0
  • D𝑓(π‘₯)

Question 7

Sachant que (π‘₯βˆ’π‘Ž) est un diviseur de 𝑓(π‘₯), quel est le reste dans la division euclidienne de 𝑓(π‘₯) par (π‘₯βˆ’π‘Ž) ?

Question 8

ConsidΓ¨re la fonction 𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’9π‘₯+3π‘₯βˆ’7π‘₯+12οŠͺ.

Utilise la division synthΓ©tique pour trouver le quotient 𝑄(π‘₯) et le reste 𝑅 vΓ©rifiant 𝑓(π‘₯)=𝑄(π‘₯)(π‘₯+2)+𝑅.

  • A𝑄(π‘₯)=π‘₯βˆ’11π‘₯+25π‘₯βˆ’57, 𝑅=102
  • B𝑄(π‘₯)=π‘₯+7π‘₯βˆ’11π‘₯+15, 𝑅=βˆ’42
  • C𝑄(π‘₯)=π‘₯βˆ’11π‘₯+25π‘₯βˆ’57, 𝑅=126
  • D𝑄(π‘₯)=π‘₯βˆ’7π‘₯βˆ’11π‘₯βˆ’29, 𝑅=βˆ’46
  • E𝑄(π‘₯)=π‘₯βˆ’7π‘₯βˆ’11π‘₯βˆ’29, 𝑅=βˆ’70

Calcule 𝑓(βˆ’2).

Question 9

Utilise la substitution synthΓ©tique pour dΓ©terminer la valeur de 𝑓(20) sachant que 𝑓(π‘₯)=0,06π‘₯βˆ’0,14π‘₯βˆ’3,1π‘₯+5,4οŠͺ.

Question 10

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=π‘₯+5π‘₯βˆ’8π‘₯+9οŠͺ.

D'aprΓ¨s le thΓ©orΓ¨me du reste, que dit-on de 𝑓(3) ?

  • A𝑓(3) est le reste lorsqu'on divise 𝑓(π‘₯) par 3π‘₯βˆ’3.
  • B𝑓(3) est le reste lorsqu'on divise 𝑓(π‘₯) par π‘₯βˆ’3.
  • C𝑓(3) est le reste lorsqu'on divise 𝑓(π‘₯) par π‘₯.
  • D𝑓(3) est le reste lorsqu'on divise 𝑓(π‘₯) par π‘₯+3.

Ainsi, utilise la division sythΓ©tique pour dΓ©terminer 𝑓(3).

Question 11

DΓ©termine la valeur de π‘Ž sachant que 2π‘₯+π‘Žπ‘₯βˆ’21π‘₯βˆ’36 est divisible par (π‘₯+4).

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