Feuille d'activités : Théorème des diviseurs pour la division synthétique

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser la division synthétique et le théorème des diviseurs pour déterminer si un binôme est un diviseur d'un polynôme, et déterminer les diviseurs restants.

Q1:

Mehdi a utilisé la division synthétique pour prouver que 4 est une racine du polynôme 𝑓(𝑥)=2𝑥−9𝑥+𝑥+12.

En utilisant son résultat, factorise 𝑓(𝑥) en trois diviseurs linéaires.

  • A𝑓(𝑥)=(𝑥−4)(𝑥+1)(2𝑥−3)
  • B𝑓(𝑥)=(𝑥−4)(𝑥−1)(2𝑥+3)
  • C𝑓(𝑥)=(𝑥−4)(2𝑥+1)(𝑥−3)
  • D𝑓(𝑥)=(𝑥+4)(2𝑥−1)(𝑥+3)
  • E𝑓(𝑥)=(𝑥+4)(𝑥+1)(2𝑥−3)

Q2:

Considère la fonction définie par 𝑓(𝑥)=2𝑥+10𝑥+5𝑥−20𝑥+3.

Utilise la division synthétique pour déterminer la valeur de 𝑓(−3).

Indique lequel parmi (𝑥−3) et (𝑥+3) est un diviseur de 𝑓(𝑥).

  • ASeul (𝑥+3) est un diviseur.
  • B(𝑥−3) et (𝑥+3) sont des diviseurs.
  • CSeul (𝑥−3) est un diviseur.
  • DNi (𝑥−3) ni (𝑥+3) ne sont des diviseurs.

Q3:

Considère la fonction définie par 𝑓(𝑥)=2𝑥−𝑥−12𝑥−7𝑥−6.

Sachant que deux parmi les trois nombres 1,−2 et 3 sont des racines de 𝑓(𝑥), utilise la division synthétique pour factoriser complètement 𝑓(𝑥).

  • A𝑓(𝑥)=(𝑥−1)(𝑥+2)(2𝑥−5)(𝑥+1)
  • B𝑓(𝑥)=(𝑥−3)(𝑥+2)(𝑥+1)
  • C𝑓(𝑥)=(𝑥−3)(𝑥+2)𝑥+𝑥+1
  • D𝑓(𝑥)=(𝑥−3)(𝑥+2)2𝑥+𝑥+1
  • E𝑓(𝑥)=(𝑥−3)(𝑥−1)2𝑥+7𝑥+10

Q4:

L'un des zéros de la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥−4𝑥−17𝑥+60 appartient à l'ensemble {2,3,4}. En utilisant la division synthétique, détermine tous les zéros de 𝑓.

  • A−4, 2, 6
  • B−4, 3, −5
  • C−4, 3, 5
  • D4, 3, −5
  • E4, 2, −6

Q5:

La fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥−5𝑥+7𝑥+3𝑥−10 a 2 zéros réels et 2 zéros imaginaires.

En utilisant la substitution synthétique, détermine laquelle des valeurs 1, 2, 3 et 4 est une racine de 𝑓(𝑥) et écris 𝑓(𝑥) sous la forme (𝑥−𝑎)𝑄(𝑥).

  • A𝑓(𝑥)=(𝑥−4)𝑥−𝑥+3𝑥+15
  • B𝑓(𝑥)=(𝑥+2)𝑥−7𝑥+21𝑥−39
  • C𝑓(𝑥)=(𝑥−2)𝑥−3𝑥+𝑥+5
  • D𝑓(𝑥)=(𝑥+4)𝑥−9𝑥+43𝑥−175
  • E𝑓(𝑥)=(𝑥−1)𝑥−4𝑥+3𝑥+6

En utilisant la substitution synthétique, détermine laquelle des valeurs −1, −2, −3, et −4 est une racine de 𝑄(𝑥) et écris 𝑄(𝑥) sous la forme (𝑥−𝑏)𝑃(𝑥).

  • A𝑄(𝑥)=(𝑥+1)𝑥−4𝑥+5
  • B𝑄(𝑥)=(𝑥−1)𝑥−2𝑥−1
  • C𝑄(𝑥)=(𝑥+1)𝑥−8𝑥+29
  • D𝑄(𝑥)=(𝑥−2)𝑥−𝑥−1
  • E𝑄(𝑥)=(𝑥+2)𝑥−5𝑥+11

Énonce tous les zéros de 𝑓.

  • A−2, 1, 2+𝑖, 2−𝑖
  • B2, −1, 2+𝑖, 2−𝑖
  • C4, −1, 2+𝑖, 2−𝑖
  • D4, 1, 52+√192𝑖, 52−√192𝑖
  • E2, −1, 52+√192𝑖, 52−√192𝑖

Q6:

Le polynôme 𝑓(𝑥) est divisé par (𝑥−𝑎). Sachant que (𝑥−𝑎) n’est pas un diviseur de 𝑓(𝑥), quel est le reste ?

  • A𝑓(𝑎)
  • B𝑓(𝑟)
  • C0
  • D𝑓(𝑥)

Q7:

Sachant que (𝑥−𝑎) est un diviseur de 𝑓(𝑥), quel est le reste dans la division euclidienne de 𝑓(𝑥) par (𝑥−𝑎) ?

Q8:

Considère la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥−9𝑥+3𝑥−7𝑥+12.

Utilise la division synthétique pour trouver le quotient 𝑄(𝑥) et le reste 𝑅 vérifiant 𝑓(𝑥)=𝑄(𝑥)(𝑥+2)+𝑅.

  • A𝑄(𝑥)=𝑥−11𝑥+25𝑥−57, 𝑅=102
  • B𝑄(𝑥)=𝑥+7𝑥−11𝑥+15, 𝑅=−42
  • C𝑄(𝑥)=𝑥−11𝑥+25𝑥−57, 𝑅=126
  • D𝑄(𝑥)=𝑥−7𝑥−11𝑥−29, 𝑅=−46
  • E𝑄(𝑥)=𝑥−7𝑥−11𝑥−29, 𝑅=−70

Calcule 𝑓(−2).

Q9:

Utilise la substitution synthétique pour déterminer la valeur de 𝑓(20) sachant que 𝑓(𝑥)=0,06𝑥−0,14𝑥−3,1𝑥+5,4.

Q10:

Considère la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+5𝑥−8𝑥+9.

D'après le théorème du reste, que dit-on de 𝑓(3) ?

  • A𝑓(3) est le reste lorsqu'on divise 𝑓(𝑥) par 3𝑥−3.
  • B𝑓(3) est le reste lorsqu'on divise 𝑓(𝑥) par 𝑥−3.
  • C𝑓(3) est le reste lorsqu'on divise 𝑓(𝑥) par 𝑥.
  • D𝑓(3) est le reste lorsqu'on divise 𝑓(𝑥) par 𝑥+3.

Ainsi, utilise la division sythétique pour déterminer 𝑓(3).

Q11:

Détermine la valeur de 𝑎 sachant que 2𝑥+𝑎𝑥−21𝑥−36 est divisible par (𝑥+4).

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