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Feuille d'activités : Application des produits cartésiens

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser les opérations appliquées aux ensembles telles que l'union, l'intersection et la différence des ensembles pour résoudre des problèmes liés au produit cartésien.

Q1:

Soit 𝑋 = { 2 ; 6 ; 7 } . Trouve 𝑋 2 .

  • A { ( 2 ; 2 ) ; ( 2 ; 6 ) ; ( 2 ; 7 ) ; ( 6 ; 2 ) ; ( 6 ; 7 ) ; ( 7 ; 7 ) ; ( 7 ; 2 ) ; ( 7 ; 6 ) }
  • B { ( 2 ; 2 ) ; ( 2 ; 6 ) ; ( 2 ; 7 ) ; ( 6 ; 2 ) ; ( 6 ; 7 ) ; ( 7 ; 7 ) ; ( 7 ; 2 ) ; ( 2 ; 7 ) ; ( 2 ; 2 ) }
  • C { ( 2 ; 2 ) ; ( 2 ; 6 ) ; ( 2 ; 7 ) ; ( 2 ; 2 ) ; ( 6 ; 6 ) ; ( 6 ; 7 ) ; ( 7 ; 2 ) ; ( 7 ; 6 ) }
  • D { ( 2 ; 2 ) ; ( 2 ; 6 ) ; ( 2 ; 7 ) ; ( 6 ; 2 ) ; ( 6 ; 6 ) ; ( 6 ; 7 ) ; ( 7 ; 2 ) ; ( 7 ; 6 ) ; ( 7 ; 7 ) }

Q2:

Si 𝑋 = { 2 ; 3 } , détermine 𝑋 × ∅ .

  • A { ( 2 ; 3 ) }
  • B { ( 2 ; 3 ) ; ( 3 ; 2 ) }
  • C { ( 3 ; 2 ) }
  • D ∅

Q3:

On pose 𝑋 = { 8 } , 𝑌 = { 8 , 3 } et 𝑍 = { 9 , 4 , 5 } . Trouve ( 𝑋 × 𝑌 ) ∪ ( 𝑌 × 𝑍 ) .

  • A { ( 3 , 5 ) , ( 3 , 8 ) , ( 8 , 9 ) , ( 8 , 8 ) , ( 3 , 9 ) , ( 8 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 8 , 4 ) }
  • B { ( 4 , 8 ) , ( 9 , 8 ) , ( 9 , 3 ) , ( 3 , 8 ) , ( 8 , 8 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 8 ) , ( 5 , 3 ) }
  • C { ( 8 , 3 ) , ( 4 , 8 ) , ( 9 , 8 ) , ( 9 , 3 ) , ( 8 , 8 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 8 ) , ( 5 , 3 ) }
  • D { ( 3 , 5 ) , ( 8 , 3 ) , ( 8 , 9 ) , ( 8 , 8 ) , ( 3 , 9 ) , ( 8 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 8 , 4 ) }
  • E { ( 8 , 3 ) , ( 8 , 8 ) , ( 3 , 9 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) }

Q4:

Sachant que 𝑋 × 𝑌 = { ( 8 ; 9 ) ; ( 8 ; 1 ) ; ( 8 ; 3 ) } , détermine 𝑌 × 𝑋 .

  • A { ( 9 ; 9 ) ; ( 9 ; 1 ) ; ( 9 ; 3 ) ; ( 1 ; 9 ) ; ( 1 ; 1 ) ; ( 1 ; 3 ) ; ( 3 ; 9 ) ; ( 3 ; 1 ) ; ( 3 ; 3 ) }
  • B { ( 8 ; 8 ) }
  • C { ( 8 ; 9 ) ; ( 1 ; 9 ) ; ( 3 ; 9 ) }
  • D { ( 9 ; 8 ) ; ( 1 ; 8 ) ; ( 3 ; 8 ) }

Q5:

Soient 𝑋 = { 2 ; 3 } , 𝑌 = { 5 ; 7 } et 𝑍 = { 7 } . Détermine ( 𝑋 × 𝑌 ) ∩ ( 𝑋 × 𝑍 ) .

  • A { ( 2 ; 7 ) ; ( 3 ; 7 ) ; ( 2 ; 5 ) ; ( 3 ; 5 ) }
  • B ∅
  • C { ( 7 ; 3 ) ; ( 7 ; 2 ) }
  • D { ( 2 ; 7 ) ; ( 3 ; 7 ) }

Q6:

Soient 𝑋 = { 4 } , 𝑌 = { 8 ; 1 ; 6 } et 𝑍 = { 8 ; 4 } . Détermine ( 𝑋 × 𝑌 ) ∩ ( 𝑋 × 𝑍 ) .

  • A { ( 4 ; 1 ) ; ( 4 ; 6 ) ; ( 4 ; 8 ) }
  • B ∅
  • C { ( 8 ; 4 ) }
  • D { ( 4 ; 8 ) }

Q7:

Sachant que 𝑋 × 𝑌 = { ( 2 ; 9 ) ; ( 2 ; 6 ) ; ( 7 ; 9 ) ; ( 7 ; 6 ) } , détermine 𝑌 2 .

  • A { ( 9 ; 9 ) ; ( 9 ; 7 ) ; ( 7 ; 9 ) ; ( 7 ; 7 ) }
  • B { ( 2 ; 2 ) ; ( 2 ; 7 ) ; ( 7 ; 2 ) ; ( 7 ; 7 ) }
  • C { ( 2 ; 2 ) ; ( 2 ; 6 ) ; ( 6 ; 2 ) ; ( 6 ; 6 ) }
  • D { ( 9 ; 9 ) ; ( 9 ; 6 ) ; ( 6 ; 9 ) ; ( 6 ; 6 ) }

Q8:

On pose 𝑋 = { 1 } , 𝑌 = { 3 ; 4 } et 𝑍 = { 2 ; 5 } . Détermine ( 𝑍 ⧵ 𝑌 ) × ( 𝑋 ∪ 𝑌 ) .

  • A { ( 1 ; 2 ) ; ( 1 ; 5 ) ; ( 3 ; 2 ) ; ( 3 ; 5 ) ; ( 4 ; 2 ) ; ( 4 ; 5 ) }
  • B { ( 3 ; 1 ) ; ( 3 ; 3 ) ; ( 3 ; 4 ) ; ( 4 ; 1 ) ; ( 4 ; 3 ) ; ( 4 ; 4 ) }
  • C { ( 2 ; 3 ) ; ( 2 ; 4 ) ; ( 5 ; 3 ) ; ( 5 ; 4 ) }
  • D { ( 2 ; 1 ) ; ( 2 ; 3 ) ; ( 2 ; 4 ) ; ( 5 ; 1 ) ; ( 5 ; 3 ) ; ( 5 ; 4 ) }
  • E { ( 2 ; 1 ) ; ( 3 ; 1 ) ; ( 4 ; 1 ) ; ( 5 ; 1 ) }

Q9:

Soient 𝑋 et 𝑌 deux ensembles. Une fonction 𝑓 existe de 𝑋 vers 𝑌 . De plus, 𝑎 ∈ 𝑋 , 𝑏 ∈ 𝑌 et 𝑎 𝑅 𝑏 signifie que 𝑏 est divisible par 𝑎 . Sachant que 𝑋 ∪ 𝑌 = { 2 ; 4 ; 7 ; 9 ; 1 3 ; 1 6 ; 2 1 } , que C a r d ( 𝑋 ) = 3 et que C a r d ( 𝑋 × 𝑌 ) = 1 2 , détermine 𝑅 .

  • A 𝑅 = { ( 2 ; 1 6 ) ; ( 4 ; 1 6 ) ; ( 7 ; 9 ) }
  • B 𝑅 = { ( 1 6 ; 2 ) ; ( 1 6 ; 4 ) ; ( 2 1 ; 7 ) }
  • C 𝑅 = { ( 2 ; 9 ) ; ( 4 ; 1 3 ) ; ( 7 ; 1 6 ) }
  • D 𝑅 = { ( 2 ; 1 6 ) ; ( 4 ; 1 6 ) ; ( 7 ; 2 1 ) }
  • E 𝑅 = { ( 2 ; 1 6 ) ; ( 4 ; 1 6 ) ; ( 7 ; 2 1 ) ; ( 2 ; 9 ) }

Q10:

Si 𝑋 = { 9 , 5 } , 𝑌 = { 3 , 4 } et 𝑍 = { 4 } , détermine ( 𝑋 ⧵ 𝑌 ) × 𝑍 .

  • A { ( 4 , 9 ) , ( 4 , 5 ) }
  • B { ( 3 , 4 ) , ( 4 , 4 ) }
  • C { ( 4 , 3 ) , ( 4 , 4 ) }
  • D { ( 9 , 4 ) , ( 5 , 4 ) }

Q11:

On pose 𝑋 = { 2 } , 𝑌 = { 4 } et 𝑍 = { 2 , 7 } . Détermine ( 𝑋 − 𝑌 ) × ( 𝑌 − 𝑍 ) .

  • A { ( 4 , 4 ) }
  • B { ( 4 , 2 ) }
  • C { ( 2 , 2 ) , ( 2 , 7 ) }
  • D { ( 2 , 4 ) }
  • E { ( 2 , 2 ) , ( 7 , 2 ) }

Q12:

On pose 𝑋 = { 9 } et 𝑌 = { 2 ; 6 } . Détermine 𝑋 × 𝑌 .

  • A { ( 9 ; 2 ) ; ( 6 ; 2 ) }
  • B { ( 2 ; 9 ) ; ( 2 ; 6 ) }
  • C { ( 6 ; 9 ) ; ( 6 ; − 3 ) }
  • D { ( 9 ; 2 ) ; ( 9 ; 6 ) }
  • E { ( 2 ; 9 ) ; ( 6 ; 9 ) }

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