Feuille d'activités : Suites convergentes et divergentes

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer si une suite est convergente ou divergente.

Q1:

En utilisant la courbe d'équation 𝑦=1𝑥 sur la figure, on définit 𝑎 comme étant l'aire colorée. Cela donne un terme de la suite de terme général 𝑎.

En utilisant une intégrale, donne une expression exacte de 𝑎.

  • A(1+2++𝑛)+(𝑛+1)ln
  • B(1+2++𝑛)(𝑛+1)ln
  • C1+12++1𝑛(𝑛+1)ln
  • D1+12++1𝑛(𝑛1)ln
  • E1+12++1𝑛+(𝑛+1)ln

La suite de terme général 𝑎 est clairement croissante. Que nous dit le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 à propos de la valeur de 𝑎?

  • A𝑎<45
  • B𝑎>45
  • C𝑎=45
  • D𝑎1

Que peux-tu, par conséquent, donner comme limite supérieure pour tous les 𝑎?

Que peux-tu conclure à propos de la suite de terme général 𝑎?

  • AOn ne peut rien conclure.
  • BElle est divergente.
  • CSes termes, à partir d'un certain rang, sont plus grand que 1.
  • DElle est convergente.
  • EElle est convergente vers 1.

Q2:

On pose 𝑁(𝑥)=𝑥+32𝑥.

Définis 𝑁(𝑥)=𝑁(𝑥) arrondi à 6 décimales près. Soit à présent 𝑥=1, 𝑥=𝑁(𝑥)=2,000000, 𝑥=𝑁(𝑥)=1,750000, et ainsi de suite. La suite {𝑥} est constante à partir d'un certain rang. À partir de quel rang?

Avec 𝑁(𝑥)=𝑁(𝑥) arrondie à 10 décimales près, quelle est la limite, lorsque 𝑛+, de la suite définie par 𝑥=1 et 𝑥=𝑁(𝑥) pour 𝑛1?

Si 𝑢𝑧 lorsque 𝑛+, puis, par continuité de 𝑁, 𝑢=𝑁(𝑢)𝑁(𝑧). Ainsi 𝑁(𝑧)=𝑧. Que vaut 𝑧?

  • A5
  • B2
  • C3

Q3:

En utilisant la récurrence, montre que la suite 1;2;7;37+1;337+1+1; est croissante et bornée, et détermine la limite de la suite.

  • A3+52
  • B3+132

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