Fiche d'activités de la leçon : Optimisation : applications sur les extrémums Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser des dérivées qui identifient l'emplacement des valeurs maximales et minimales pour optimiser des quantités dans des modèles.

Q1:

Détermine les deux nombres dont la somme vaut 96 et qui sont les plus grands possibles.

  • A48, 144
  • B192, 288
  • C192, 96
  • D48, 48

Q2:

Trouve deux nombres dont la somme vaut 156 et dont la somme de leurs carrés est la plus petite possible.

  • A452; 608
  • B78; 78
  • C344; 500
  • D148; 8

Q3:

Quel est le volume maximal d’un cylindre de révolution dont l'aire de surface vaut 24𝜋 cm2? Donne la réponse en fonction de 𝜋.

  • A8𝜋 cm3
  • B16 cm3
  • C4𝜋 cm3
  • D16𝜋 cm3

Q4:

On considère un pavé droit de base carrée et dont la somme des longueurs de toutes les arêtes vaut 12 cm. Détermine les dimensions qui rendent le volume maximal.

  • A2 cm, 2 cm, 2 cm.
  • B1 cm, 1 cm, 1 cm.
  • C4 cm, 2 cm, 6 cm.
  • D1 cm, 2 cm, 2 cm.

Q5:

Un agriculteur veut créer un champ rectangulaire sur son terrain en utilisant un mur existant pour délimiter un côté. Détermine, au millième près, l'aire maximale qu'il peut obtenir s'il a 177 mètres de clôture pour entourer les trois autres côtés.

Q6:

Le volume d’un ballon augmente suivant l’équation horaire 𝑉(𝑡)=7000𝑡𝑡+49+4000, où le temps est mesuré en heure. Détermine le volume maximal.

Q7:

Une fenêtre est faite d'un demi-cercle au-dessus d'un rectangle, avec le diamètre du demi-cercle égal à la largeur du rectangle. Étant donné que le périmètre de la fenêtre est égal à 30 m, détermine le rayon du demi-cercle qui maximise l'aire de la fenêtre.

  • A304+𝜋 m
  • B4+𝜋30 m
  • C2+𝜋𝜋 m
  • D302+𝜋 m
  • E14+𝜋 m

Q8:

Détermine les coordonnées des points de la courbe d’équation 𝑦=2𝑥+21 qui sont les plus proches du point de coordonnées (6,0).

  • A5,31, 5,31
  • B4,13, 4,13
  • C7,7, 7,7
  • D7,35, 7,35

Q9:

Un morceau de carton rectangulaire a pour dimensions 10 cm et 16 cm. On découpe des carrés identiques de côté 𝑥 cm sur chaque coin du carton, et on forme une boîte sans couvercle. Calcule les dimensions de cette boîte pour qu’elle admette un volume maximal.

  • A2 cm, 6 cm, 12 cm
  • B6 cm, 4 cm, 10 cm
  • C6 cm, 2 cm, 4 cm
  • D2 cm, 8 cm, 14 cm

Q10:

On considère un secteur circulaire d'aire 16 cm2. Calcule le rayon 𝑟 qui réduit son périmètre au minimum, puis détermine la mesure de l'angle correspondant 𝜃 en radians.

  • A𝑟=4cm, 𝜃=116rad
  • B𝑟=8cm, 𝜃=12rad
  • C𝑟=4cm, 𝜃=2rad
  • D𝑟=4cm, 𝜃=12rad
  • E𝑟=16cm, 𝜃=18rad

Q11:

Un réservoir vertical de forme cylindrique et de capacité 384𝜋 m3 est construit avec un dessus hémisphérique bombé. Si le coût de peinture du dessus égale trois fois celui des côtés, alors quelles dimensions rendront-elles le coût de peinture minimal?

  • A rayon = 8 m, hauteur = 24 m
  • B rayon = 5 m, hauteur = 8 m
  • C rayon = 4 m, hauteur = 24 m
  • D rayon = 3 m, hauteur = 30 m
  • E rayon = 6 m, hauteur = 36 m

Q12:

Quelle est l’aire maximale d’un triangle isocèle inscrit dans un cercle de rayon 47 cm? Arrondis le résultat au centième près.

Q13:

Sachant que la somme de l’aire d’une sphère et celle d’un cylindre de révolution est égale à 1000𝜋 cm2, et que leurs rayons sont égaux, détermine la longueur du rayon de la sphère qui rend la somme de leurs volumes maximale.

Q14:

Une échelle est placée contre un bâtiment et touche aussi le sommet d’une barrière. La barrière est haute de 6 m et se situe à 6,25 m du bâtiment. Quelle est la longueur minimale de l’échelle? Arrondis au millième près.

Q15:

On considère une boîte ayant la forme d'un pavé droit et dont la base est carrée. Sachant que la somme de toutes ses arêtes égale 792 cm, calcule les dimensions que la boîte doit avoir pour que son volume soit maximal.

  • A99 cm, 99 cm, 66 cm
  • B198 cm, 198 cm, 99 cm
  • C33 cm, 33 cm, 132 cm
  • D66 cm, 66 cm, 66 cm

Q16:

On souhaite construire un terrain de sport de forme rectangulaire avec deux demi-cercles en largeur. Le périmètre du terrain doit être égal à 594 m. Quelle est l’aire maximale?

  • A88209𝜋 m2
  • B176‎ ‎418 m2
  • C176418𝜋 m2
  • D88‎ ‎209 m2

Q17:

Un fil métallique de 41 cm de longueur est utilisé pour former un rectangle. Quelles dimensions donnent l’aire maximale?

  • A412 cm, 412 cm
  • B415 cm, 12310 cm
  • C414 cm, 414 cm
  • D413 cm, 823 cm
  • E413 cm, 416 cm

Q18:

La section transversale rectangulaire d'un bloc de bois est découpée dans une bûche cylindrique de diamètre 67 cm. La résistance de ce bloc est proportionnelle à sa largeur et au carré de sa longueur. Quelles dimensions donnent la plus grande résistance?

  • A6733 cm, 6763 cm
  • B676 cm, 676 cm
  • C673 cm, 676 cm
  • D6736 cm, 6766 cm

Q19:

La hauteur d'un parallélépipède égale le double de la largeur de la base. Si son volume vaut 7‎ ‎375, alors quelles sont les dimensions qui rendent l'aire de sa surface minimale?

  • A17,69, 35,38, 11,78
  • B14,04, 28,08, 18,71
  • C22,28, 44,56, 7,43

Q20:

On construit une boîte sans couvercle en retirant des petits carrés à chaque coin d’un grand carré de côté 12 cm. Détermine la longueur du côté d’un petit carré à retirer pour obtenir une boîte au volume maximal.

Q21:

On veut construire un triangle rectangle d’hypothénuse mesurant 33,5 cm, et tel que l’aire du triangle soit maximale. Détermine les longueurs, au millième près, des deux autres côtés pour obtenir un tel triangle.

  • A23,688 cm; 41,029 cm
  • B16,750 cm; 16,750 cm
  • C23,688 cm; 7,089 cm
  • D23,688 cm; 23,688 cm

Q22:

Tous les sommets d'un certain rectangle se trouvent sur un triangle équilatéral avec des côtés de longueur 14 cm; un côté du rectangle se situe sur la base du triangle et les sommets du côté opposé du rectangle se situent sur les deux autres côtés du triangle. Quelle est l'aire maximale que ce rectangle pourrait avoir?

  • A49 cm2
  • B4932 cm2
  • C196 cm2
  • D1962 cm2

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