Feuille d'activités : Utiliser des dérivées dans les problèmes d'optimisation

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser des dérivées qui identifient l'emplacement des valeurs maximales et minimales pour optimiser des quantités dans des modèles.

Q1:

Détermine les deux nombres dont la somme vaut 96 et qui sont les plus grands possibles.

  • A48, 48
  • B48, 144
  • C192, 96
  • D192, 288

Q2:

Trouve deux nombres dont la somme vaut 156 et dont la somme de leurs carrés est la plus petite possible.

  • A78; 78
  • B344; 500
  • C148; 8
  • D452; 608

Q3:

Calcule le volume maximal d’un cylindre de révolution dont la surface totale est d’aire 24𝜋 cm2.

  • A4𝜋 cm3
  • B8𝜋 cm3
  • C16 cm3
  • D16𝜋 cm3

Q4:

On considère un pavé droit de base carrée et dont la somme des longueurs de toutes les arêtes vaut 12 cm. Détermine les dimensions qui rendent le volume maximal.

  • A4 cm, 2 cm, 6 cm.
  • B1 cm, 2 cm, 2 cm.
  • C2 cm, 2 cm, 2 cm.
  • D1 cm, 1 cm, 1 cm.

Q5:

Un agriculteur veut créer un champ rectangulaire sur son terrain en utilisant un mur existant pour délimiter un côté. Détermine, au millième près, l'aire maximale qu'il peut obtenir s'il a 177 mètres de clôture pour entourer les trois autres côtés.

Q6:

Le volume d’un ballon augmente suivant l’équation horaire 𝑉(𝑡)=7000𝑡𝑡+49+4000, où le temps est mesuré en heure. Détermine le volume maximal.

Q7:

Une fenêtre est faite d'un demi-cercle au-dessus d'un rectangle, avec le diamètre du demi-cercle égal à la largeur du rectangle. Étant donné que le périmètre de la fenêtre est égal à 30 m, détermine le rayon du demi-cercle qui maximise l'aire de la fenêtre.

  • A304+𝜋 m
  • B302+𝜋 m
  • C2+𝜋𝜋 m
  • D14+𝜋 m
  • E4+𝜋30 m

Q8:

Détermine les coordonnées des points de la courbe d’équation 𝑦=2𝑥+21 qui sont les plus proches du point de coordonnées (6,0).

  • A5,31, 5,31
  • B4,13, 4,13
  • C7,7, 7,7
  • D7,35, 7,35

Q9:

Un morceau de carton rectangulaire a pour dimensions 10 cm et 16 cm. On découpe des carrés identiques de côté 𝑥 cm sur chaque coin du carton, et on forme une boîte sans couvercle. Calcule les dimensions de cette boîte pour qu’elle admette un volume maximal.

  • A2 cm, 6 cm, 12 cm
  • B6 cm, 4 cm, 10 cm
  • C6 cm, 2 cm, 4 cm
  • D2 cm, 8 cm, 14 cm

Q10:

On considère un secteur circulaire d'aire 16 cm2. Calcule le rayon 𝑟 qui réduit son périmètre au minimum, puis détermine la mesure de l'angle correspondant 𝜃 en radians.

  • A𝑟=4cm, 𝜃=116rad
  • B𝑟=8cm, 𝜃=12rad
  • C𝑟=4cm, 𝜃=2rad
  • D𝑟=4cm, 𝜃=12rad
  • E𝑟=16cm, 𝜃=18rad

Q11:

Un réservoir vertical de forme cylindrique et de capacité 384𝜋 m3 est construit avec un dessus hémisphérique bombé. Si le coût de peinture du dessus égale trois fois celui des côtés, alors quelles dimensions rendront-elles le coût de peinture minimal?

  • A rayon = 8 m, hauteur = 24 m
  • B rayon = 5 m, hauteur = 8 m
  • C rayon = 4 m, hauteur = 24 m
  • D rayon = 3 m, hauteur = 30 m
  • E rayon = 6 m, hauteur = 36 m

Q12:

Quelle est l’aire maximale d’un triangle isocèle inscrit dans un cercle de rayon 47 cm? Arrondis le résultat au centième près.

Q13:

Sachant que la somme de l’aire d’une sphère et celle d’un cylindre de révolution est égale à 1000𝜋 cm2, et que leurs rayons sont égaux, détermine la longueur du rayon de la sphère qui rend la somme de leurs volumes maximale.

Q14:

Une roquette est tirée en l’air. Son altitude, en mètres, est donnée comme une fonction du temps par (𝑡)=4,9𝑡+229𝑡+234. Détermine l’altitude maximale que la roquette atteint.

Q15:

Une échelle est placée contre un bâtiment et touche aussi le sommet d’une barrière. La barrière est haute de 6 m et se situe à 6,25 m du bâtiment. Quelle est la longueur minimale de l’échelle? Arrondis au millième près.

Q16:

Une agricultrice constate que si elle plante 75 arbres par acre, le rendement de chaque arbre sera égal à 20 boisseaux de fruits. Elle estime que pour chaque arbre supplémentaire planté par acre, le rendement de chaque arbre diminuera de 3 boisseaux. Combien d'arbres doit-elle planter par acre pour maximiser sa récolte?

  • A41 arbres par acre
  • B560 arbres par acre
  • C12 arbres par acre
  • D75 arbres par acre
  • E82 arbres par acre

Q17:

Un cylindre circulaire droit doit avoir un volume de 40 pouces cubes. Le coût de construction de la hauteur et de la base est de 4 centimes/pouce carré, et il est de 1 centime/pouce carré pour le reste du cylindre. Calcule le rayon qui donnerait le coût minimum, arrondi au dixième près.

Q18:

On considère une boîte ayant la forme d'un pavé droit et dont la base est carrée. Sachant que la somme de toutes ses arêtes égale 792 cm, calcule les dimensions que la boîte doit avoir pour que son volume soit maximal.

  • A66 cm, 66 cm, 66 cm
  • B33 cm, 33 cm, 132 cm
  • C99 cm, 99 cm, 66 cm
  • D198 cm, 198 cm, 99 cm

Q19:

On souhaite construire un terrain de sport de forme rectangulaire avec deux demi-cercles en largeur. Le périmètre du terrain doit être égal à 594 m. Quelle est l’aire maximale?

  • A176418𝜋 m2
  • B88‎ ‎209 m2
  • C176‎ ‎418 m2
  • D88209𝜋 m2

Q20:

Un cylindre circulaire droit sans couvercle a un volume de 50 mètres cubes. Quel rayon donnera une aire de surface minimale pour ce cylindre?

Q21:

Un fil métallique de 41 cm de longueur est utilisé pour former un rectangle. Quelles dimensions donnent l’aire maximale?

  • A415 cm, 12310 cm
  • B413 cm, 416 cm
  • C412 cm, 412 cm
  • D413 cm, 823 cm
  • E414 cm, 414 cm

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