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Feuille d'activités : Utiliser des dérivées dans les problèmes d'optimisation

Q1:

Détermine les deux nombres dont la somme vaut 74 et qui sont les plus grands possibles.

  • A 1 4 8 , 222
  • B 3 7 , 111
  • C148, 7 4
  • D37, 37

Q2:

Détermine les deux nombres dont la somme vaut 96 et qui sont les plus grands possibles.

  • A 1 9 2 , 288
  • B 4 8 , 144
  • C192, 9 6
  • D48, 48

Q3:

On considère un pavé droit de base carrée et dont la somme des longueurs de toutes les arêtes vaut 12 cm. Détermine les dimensions qui rendent le volume maximal.

  • A 1 cm, 2 cm, 2 cm.
  • B 2 cm, 2 cm, 2 cm.
  • C 4 cm, 2 cm, 6 cm.
  • D 1 cm, 1 cm, 1 cm.

Q4:

On considère un pavé droit de base carrée et dont la somme des longueurs de toutes les arêtes vaut 24 cm. Détermine les dimensions qui rendent le volume maximal.

  • A 2 cm, 4 cm, 4 cm.
  • B 4 cm, 4 cm, 4 cm.
  • C 8 cm, 4 cm, 12 cm.
  • D 2 cm, 2 cm, 2 cm.

Q5:

Calcule le volume maximal d’un cylindre de révolution dont la surface totale est d’aire 2 4 𝜋 cm2.

  • A 4 𝜋 cm3
  • B 8 𝜋 cm3
  • C 16 cm3
  • D 1 6 𝜋 cm3

Q6:

Calcule le volume maximal d’un cylindre de révolution dont la surface totale est d’aire 2 1 6 𝜋 cm2.

  • A 3 6 𝜋 cm3
  • B 7 2 𝜋 cm3
  • C 432 cm3
  • D 4 3 2 𝜋 cm3

Q7:

Un morceau de carton rectangulaire a pour dimensions 10 cm et 16 cm. On découpe des carrés identiques de côté 𝑥 cm sur chaque coin du carton, et on forme une boîte sans couvercle. Calcule les dimensions de cette boîte pour qu’elle admette un volume maximal.

  • A 2 cm, 8 cm, 14 cm
  • B 6 cm, 2 cm, 4 cm
  • C 6 cm, 4 cm, 10 cm
  • D 2 cm, 6 cm, 12 cm

Q8:

Un morceau de carton rectangulaire a pour dimensions 5 cm et 8 cm. On découpe des carrés identiques de côté 𝑥 cm sur chaque coin du carton, et on forme une boîte sans couvercle. Calcule les dimensions de cette boîte pour qu’elle admette un volume maximal.

  • A 1 cm, 4 cm, 7 cm
  • B 3 cm, 1 cm, 2 cm
  • C 3 cm, 2 cm, 5 cm
  • D 1 cm, 3 cm, 6 cm

Q9:

Sachant que la somme de l’aire d’une sphère et celle d’un cylindre de révolution est égale à 1 0 0 0 𝜋 cm2, et que leurs rayons sont égaux, détermine la longueur du rayon de la sphère qui rend la somme de leurs volumes maximale.

Q10:

Sachant que la somme de l’aire d’une sphère et celle d’un cylindre de révolution est égale à 8 1 0 𝜋 cm2, et que leurs rayons sont égaux, détermine la longueur du rayon de la sphère qui rend la somme de leurs volumes maximale.

Q11:

Une fenêtre est faite d'un demi-cercle au-dessus d'un rectangle, avec le diamètre du demi-cercle égal à la largeur du rectangle. Étant donné que le périmètre de la fenêtre est égal à 30 m, détermine le rayon du demi-cercle qui maximise l'aire de la fenêtre.

  • A 2 + 𝜋 𝜋 m
  • B 1 4 + 𝜋 m
  • C 3 0 2 + 𝜋 m
  • D 3 0 4 + 𝜋 m
  • E 4 + 𝜋 3 0 m

Q12:

Une fenêtre est faite d'un demi-cercle au-dessus d'un rectangle, avec le diamètre du demi-cercle égal à la largeur du rectangle. Étant donné que le périmètre de la fenêtre est égal à 58 m, détermine le rayon du demi-cercle qui maximise l'aire de la fenêtre.

  • A 2 + 𝜋 𝜋 m
  • B 1 4 + 𝜋 m
  • C 5 8 2 + 𝜋 m
  • D 5 8 4 + 𝜋 m
  • E 4 + 𝜋 5 8 m

Q13:

Quelle est l’aire maximale d’un triangle isocèle inscrit dans un cercle de rayon 47 cm? Arrondis le résultat au centième près.

Q14:

Quelle est l’aire maximale d’un triangle isocèle inscrit dans un cercle de rayon 28 cm? Arrondis le résultat au centième près.

Q15:

Détermine les coordonnées des points de la courbe d’équation 𝑦 = 2 𝑥 + 2 1 2 qui sont les plus proches du point de coordonnées ( 6 ; 0 ) .

  • A 7 ; 3 5 , 7 ; 3 5
  • B 5 ; 3 1 , 5 ; 3 1
  • C 4 ; 1 3 , 4 ; 1 3
  • D 7 ; 7 , 7 ; 7

Q16:

Détermine les coordonnées des points de la courbe d’équation 𝑦 = 3 𝑥 + 2 4 2 qui sont les plus proches du point de coordonnées ( 3 ; 0 ) .

  • A 3 2 ; 7 8 2 , 3 2 ; 7 8 2
  • B 9 2 ; 4 2 2 , 9 2 ; 4 2 2
  • C 0 ; 2 6 , 0 ; 2 6
  • D 3 2 ; 1 1 4 2 , 3 2 ; 1 1 4 2

Q17:

Trouve deux nombres dont la somme vaut 156 et dont la somme de leurs carrés est la plus petite possible.

  • A 4 5 2 ; 608
  • B 3 4 4 ; 500
  • C148; 8
  • D78; 78

Q18:

Trouve deux nombres dont la somme vaut 4 0 et dont la somme de leurs carrés est la plus petite possible.

  • A 4 6 8 ; 428
  • B 7 3 ; 33
  • C 4 2 4 ; 384
  • D 2 0 ; 2 0

Q19:

On considère un secteur circulaire d'aire 16 cm2. Calcule le rayon 𝑟 qui réduit son périmètre au minimum, puis détermine la mesure de l'angle correspondant 𝜃 en radians.

  • A 𝑟 = 4 c m , 𝜃 = 1 1 6 r a d
  • B 𝑟 = 1 6 c m , 𝜃 = 1 8 r a d
  • C 𝑟 = 8 c m , 𝜃 = 1 2 r a d
  • D 𝑟 = 4 c m , 𝜃 = 2 r a d
  • E 𝑟 = 4 c m , 𝜃 = 1 2 r a d