Feuille d'activités : Matrice d'une transformation linéaire

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer la matrice d'une transformation linéaire et comment la décrire géométriquement.

Q1:

Considère la transformation linéaire qui envoie (1,1) sur (3,7) et (2,0) sur (2,6).

Détermine la matrice 𝐴 qui représente cette transformation.

  • A 𝐴 = 3 1 4 3
  • B 𝐴 = 2 3 1 4
  • C 𝐴 = 1 2 3 4
  • D 𝐴 = 1 2 3 4
  • E 𝐴 = 3 2 4 1

Quelles sont les images par cette transformation de (1,0) et (0,1) ?

  • A ( 1 , 0 ) → ( 3 , 2 ) , ( 0 , 1 ) → ( 4 , 1 )
  • B ( 1 , 0 ) → ( 1 , 3 ) , ( 0 , 1 ) → ( 2 , 4 )
  • C ( 1 , 0 ) → ( 3 , 1 ) , ( 0 , 1 ) → ( 4 , 3 )
  • D ( 1 , 0 ) → ( 1 , 3 ) , ( 0 , 1 ) → ( 3 , 4 )
  • E ( 1 , 0 ) → ( 2 , 3 ) , ( 0 , 1 ) → ( 1 , 4 )

Q2:

Suppose que l'application linéaire 𝐿 transforme (1,0) en (−1,5) et (1,1) en (−6,6). Quelle est la valeur absolue du déterminant de la matrice représentant 𝐿 ?

Q3:

Le déterminant d'une matrice de taille 2×2 est égal à −1. Quelle est l'aire de l'image d'un carré unité par la transformation que la matrice représente ?

Q4:

Une application linéaire transforme les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 en les points 𝐴∗, 𝐵∗, 𝐶∗ et 𝐷, comme montré ci-dessous.

En déterminant les aires de l'objet et de l'image, et en tenant compte de l'orientation, trouve le déterminant de la matrice représentant cette transformation.

  • A 8 5
  • B 9 5
  • C 6 5
  • D − 6 5
  • E − 8 5

Q5:

La matrice 𝐴 représente une application linéaire qui envoie le vecteur 10 sur 𝑝𝑞. Que peut-on dire à propos de la matrice 𝐴?

  • ASa première colonne est 𝑝𝑞.
  • BSa première ligne est (𝑝𝑞).
  • CSa seconde colonne est 𝑝𝑞.
  • DSa seconde ligne est (𝑝𝑞).

Q6:

Suppose que la matrice 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔ℎ𝑖 représente une transformation qui envoie le vecteur 001 sur lui-même et chaque vecteur du plan 𝑥𝑦 sur un vecteur (possiblement différent) du plan 𝑥𝑦. Que peut-on dire des valeurs de 𝐴 ?

  • A 𝑐 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑔 = 1 , ℎ = 1 , 𝑖 = 0
  • B 𝑐 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑔 = 0 , ℎ = 0 , 𝑖 = 1
  • C 𝑐 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑔 = 0 , ℎ = 0 , 𝑖 = 1
  • D 𝑏 = 1 , ℎ = 1 , 𝑑 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑒 = 0
  • E 𝑏 = 0 , ℎ = 0 , 𝑑 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑒 = 1

Q7:

Suppose que la matrice 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔ℎ𝑖 représente une transformation qui envoie le vecteur 010 sur lui-même et chaque vecteur du plan 𝑥𝑧 sur un vecteur (possiblement distinct) du plan 𝑥𝑧. Que peut-on dire sur les valeurs de 𝐴 ?

  • A 𝑏 = 0 , ℎ = 1 , 𝑑 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑒 = 0
  • B 𝑏 = 0 , ℎ = 0 , 𝑑 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑒 = 0
  • C 𝑏 = 1 , ℎ = 1 , 𝑑 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑒 = 0
  • D 𝑏 = 0 , ℎ = 0 , 𝑑 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑒 = 1
  • E 𝑐 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑔 = 0 , ℎ = 0 , 𝑖 = 1

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