Feuille d'activités : Matrice d'une transformation linéaire

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer la matrice d'une transformation linéaire et comment la décrire géométriquement.

Q1:

Considère la transformation linéaire qui envoie (1;1) sur (3;7) et (2;0) sur (2;6).

Détermine la matrice 𝐴 qui représente cette transformation.

  • A𝐴=1234
  • B𝐴=3143
  • C𝐴=3241
  • D𝐴=2314
  • E𝐴=1234

Quelles sont les images par cette transformation de (1;0) et (0;1) ?

  • A(1;0)→(1;3), (0;1)→(2;4)
  • B(1;0)→(3;1), (0;1)→(4;3)
  • C(1;0)→(3;2), (0;1)→(4;1)
  • D(1;0)→(2;3), (0;1)→(1;4)
  • E(1;0)→(1;3), (0;1)→(3;4)

Q2:

Suppose que l'application linéaire 𝐿 transforme (1;0) en (−1;5) et (1;1) en (−6;6). Quelle est la valeur absolue du déterminant de la matrice représentant 𝐿 ?

Q3:

Le déterminant d'une matrice de taille 2×2 est égal à −1. Quelle est l'aire de l'image d'un carré unité par la transformation que la matrice représente ?

Q4:

Une application linéaire transforme les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 en les points 𝐴∗, 𝐵∗, 𝐶∗ et 𝐷, comme montré ci-dessous.

En déterminant les aires de l'objet et de l'image, et en tenant compte de l'orientation, trouve le déterminant de la matrice représentant cette transformation.

  • A−65
  • B85
  • C65
  • D95
  • E−85

Q5:

La matrice 𝐴 représente une application linéaire qui envoie le vecteur 10 sur 𝑝𝑞. Que peut-on dire à propos de la matrice 𝐴 ?

  • ASa première colonne est 𝑝𝑞.
  • BSa première ligne est (𝑝𝑞).
  • CSa seconde colonne est 𝑝𝑞.
  • DSa seconde ligne est (𝑝𝑞).

Q6:

Suppose que la matrice 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔ℎ𝑖 représente une transformation qui envoie le vecteur 001 sur lui-même et chaque vecteur du plan 𝑥𝑦 sur un vecteur (possiblement différent) du plan 𝑥𝑦. Que peut-on dire des valeurs de 𝐴 ?

  • A𝑏=1, ℎ=1, 𝑑=1, 𝑓=1, 𝑒=0
  • B𝑐=0, 𝑓=0, 𝑔=0, ℎ=0, 𝑖=1
  • C𝑐=1, 𝑓=1, 𝑔=0, ℎ=0, 𝑖=1
  • D𝑏=0, ℎ=0, 𝑑=0, 𝑓=0, 𝑒=1
  • E𝑐=1, 𝑓=1, 𝑔=1, ℎ=1, 𝑖=0

Q7:

Suppose que la matrice 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔ℎ𝑖 représente une transformation qui envoie le vecteur 010 sur lui-même et chaque vecteur du plan 𝑥𝑧 sur un vecteur (possiblement distinct) du plan 𝑥𝑧. Que peut-on dire sur les valeurs de 𝐴 ?

  • A𝑏=0, ℎ=1, 𝑑=0, 𝑓=0, 𝑒=0
  • B𝑏=1, ℎ=1, 𝑑=1, 𝑓=1, 𝑒=0
  • C𝑏=0, ℎ=0, 𝑑=0, 𝑓=0, 𝑒=1
  • D𝑐=0, 𝑓=0, 𝑔=0, ℎ=0, 𝑖=1
  • E𝑏=0, ℎ=0, 𝑑=0, 𝑓=0, 𝑒=0

Q8:

On considère l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus trois. L'opérateur de dérivation 𝐷 est une application linéaire sur cet espace vectoriel. Détermine la matrice qui représente l'application linéaire 𝐿=𝐷+2𝐷+1 sur la base 1;𝑥;𝑥;𝑥.

  • A⎛⎜⎜⎝1100011000110001⎞⎟⎟⎠
  • B⎛⎜⎜⎝1120011600110001⎞⎟⎟⎠
  • C⎛⎜⎜⎝1000010000100001⎞⎟⎟⎠
  • D⎛⎜⎜⎝1100012000130001⎞⎟⎟⎠
  • E⎛⎜⎜⎝1220014600160001⎞⎟⎟⎠

Q9:

On considère l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus trois. L'opérateur de dérivation 𝐷 est une application linéaire sur cet espace vectoriel. Détermine la matrice qui représente l'application linéaire 𝐿=𝐷+5𝐷+4 sur la base 1;𝑥;𝑥;𝑥.

  • A⎛⎜⎜⎝1100012000130001⎞⎟⎟⎠
  • B⎛⎜⎜⎝4000040000400004⎞⎟⎟⎠
  • C⎛⎜⎜⎝4100042000430004⎞⎟⎟⎠
  • D⎛⎜⎜⎝410004100004150004⎞⎟⎟⎠
  • E⎛⎜⎜⎝452004106004150004⎞⎟⎟⎠

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