Feuille d'activités : Matrice d'une transformation linéaire

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer la matrice d'une transformation linéaire et comment la décrire géométriquement.

Q1:

Considère la transformation linéaire qui envoie ( 1 , 1 ) sur ( 3 , 7 ) et ( 2 , 0 ) sur ( 2 , 6 ) .

Détermine la matrice 𝐴 qui représente cette transformation.

  • A 𝐴 = 3 1 4 3
  • B 𝐴 = 1 2 3 4
  • C 𝐴 = 2 3 1 4
  • D 𝐴 = 1 2 3 4
  • E 𝐴 = 3 2 4 1

Quelles sont les images par cette transformation de ( 1 , 0 ) et ( 0 , 1 ) ?

  • A ( 1 , 0 ) ( 1 , 3 ) , ( 0 , 1 ) ( 2 , 4 )
  • B ( 1 , 0 ) ( 2 , 3 ) , ( 0 , 1 ) ( 1 , 4 )
  • C ( 1 , 0 ) ( 3 , 1 ) , ( 0 , 1 ) ( 4 , 3 )
  • D ( 1 , 0 ) ( 1 , 3 ) , ( 0 , 1 ) ( 3 , 4 )
  • E ( 1 , 0 ) ( 3 , 2 ) , ( 0 , 1 ) ( 4 , 1 )

Q2:

Suppose que l'application linéaire 𝐿 transforme ( 1 , 0 ) en ( 1 , 5 ) et ( 1 , 1 ) en ( 6 , 6 ) . Quelle est la valeur absolue du déterminant de la matrice représentant 𝐿 ?

Q3:

Le déterminant d'une matrice de taille 2 × 2 est égal à 1 . Quelle est l'aire de l'image d'un carré unité par la transformation que la matrice représente?

Q4:

Considère les transformations linéaires pour lesquelles 𝑣 , l'image de 1 0 , et 𝑤 , l'image de 0 1 , sont des vecteurs unitaires. Soit 𝐿 une transformation linéaire de ce type qui possède la propriété supplémentaire que l’aire du parallélogramme avec comme sommets 0 , 𝑣 , 𝑤 et 𝑣 + 𝑤 est aussi gros que possible. Quelles sont les valeurs possibles de la mesure de l'angle entre 𝑣 et 𝑤 pour la transformation 𝐿 ?

  • A 2 7 0 seulement
  • B 9 0 seulement
  • C 0
  • D 9 0 et 2 7 0
  • E 1 8 0

Q5:

Une application linéaire transforme les points 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 et 𝐷 en les points 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 et 𝐷 , comme montré ci-dessous.

En déterminant les aires de l'objet et de l'image, et en tenant compte de l'orientation, trouve le déterminant de la matrice représentant cette transformation.

  • A 6 5
  • B 8 5
  • C 6 5
  • D 8 5
  • E 9 5

Q6:

La matrice 𝐴 représente une application linéaire qui envoie le vecteur 1 0 sur 𝑝 𝑞 . Que peut-on dire à propos de la matrice 𝐴 ?

  • ASa première ligne est ( 𝑝 𝑞 ) .
  • BSa seconde colonne est 𝑝 𝑞 .
  • CSa seconde ligne est ( 𝑝 𝑞 ) .
  • DSa première colonne est 𝑝 𝑞 .

Q7:

Suppose que la matrice 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 représente une transformation qui envoie le vecteur 0 0 1 sur lui-même et chaque vecteur du plan 𝑥 𝑦 sur un vecteur (possiblement différent) du plan 𝑥 𝑦 . Que peut-on dire des valeurs de 𝐴 ?

  • A 𝑏 = 0 , = 0 , 𝑑 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑒 = 1
  • B 𝑐 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑔 = 1 , = 1 , 𝑖 = 0
  • C 𝑏 = 1 , = 1 , 𝑑 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑒 = 0
  • D 𝑐 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑔 = 0 , = 0 , 𝑖 = 1
  • E 𝑐 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑔 = 0 , = 0 , 𝑖 = 1

Q8:

Suppose que la matrice 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 représente une transformation qui envoie le vecteur 0 1 0 sur lui-même et chaque vecteur du plan 𝑥 𝑧 sur un vecteur (possiblement distinct) du plan 𝑥 𝑧 . Que peut-on dire sur les valeurs de 𝐴 ?

  • A 𝑐 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑔 = 0 , = 0 , 𝑖 = 1
  • B 𝑏 = 1 , = 1 , 𝑑 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑒 = 0
  • C 𝑏 = 0 , = 1 , 𝑑 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑒 = 0
  • D 𝑏 = 0 , = 0 , 𝑑 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑒 = 1
  • E 𝑏 = 0 , = 0 , 𝑑 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑒 = 0

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