Feuille d'activités : Matrice d'une transformation linéaire

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer la matrice d'une transformation linéaire et comment la décrire géométriquement.

Q1:

Considère la transformation linéaire qui envoie (1;1) sur (3;7) et (2;0) sur (2;6).

Détermine la matrice 𝐴 qui représente cette transformation.

  • A𝐴=1234
  • B𝐴=3143
  • C𝐴=3241
  • D𝐴=2314
  • E𝐴=1234

Quelles sont les images par cette transformation de (1;0) et (0;1)?

  • A(1;0)(1;3), (0;1)(2;4)
  • B(1;0)(3;1), (0;1)(4;3)
  • C(1;0)(3;2), (0;1)(4;1)
  • D(1;0)(2;3), (0;1)(1;4)
  • E(1;0)(1;3), (0;1)(3;4)

Q2:

Suppose que l'application linéaire 𝐿 transforme (1;0) en (1;5) et (1;1) en (6;6). Quelle est la valeur absolue du déterminant de la matrice représentant 𝐿?

Q3:

Le déterminant d'une matrice de taille 2×2 est égal à 1. Quelle est l'aire de l'image d'un carré unité par la transformation que la matrice représente?

Q4:

Une application linéaire transforme les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 en les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷, comme montré ci-dessous.

En déterminant les aires de l'objet et de l'image, et en tenant compte de l'orientation, trouve le déterminant de la matrice représentant cette transformation.

  • A65
  • B85
  • C65
  • D95
  • E85

Q5:

La matrice 𝐴 représente une application linéaire qui envoie le vecteur 10 sur 𝑝𝑞. Que peut-on dire à propos de la matrice 𝐴?

  • ASa première colonne est 𝑝𝑞.
  • BSa première ligne est (𝑝𝑞).
  • CSa seconde colonne est 𝑝𝑞.
  • DSa seconde ligne est (𝑝𝑞).

Q6:

Suppose que la matrice 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔𝑖 représente une transformation qui envoie le vecteur 001 sur lui-même et chaque vecteur du plan 𝑥𝑦 sur un vecteur (possiblement différent) du plan 𝑥𝑦. Que peut-on dire des valeurs de 𝐴?

  • A𝑏=1, =1, 𝑑=1, 𝑓=1, 𝑒=0
  • B𝑐=0, 𝑓=0, 𝑔=0, =0, 𝑖=1
  • C𝑐=1, 𝑓=1, 𝑔=0, =0, 𝑖=1
  • D𝑏=0, =0, 𝑑=0, 𝑓=0, 𝑒=1
  • E𝑐=1, 𝑓=1, 𝑔=1, =1, 𝑖=0

Q7:

Suppose que la matrice 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔𝑖 représente une transformation qui envoie le vecteur 010 sur lui-même et chaque vecteur du plan 𝑥𝑧 sur un vecteur (possiblement distinct) du plan 𝑥𝑧. Que peut-on dire sur les valeurs de 𝐴?

  • A𝑏=0, =1, 𝑑=0, 𝑓=0, 𝑒=0
  • B𝑏=1, =1, 𝑑=1, 𝑓=1, 𝑒=0
  • C𝑏=0, =0, 𝑑=0, 𝑓=0, 𝑒=1
  • D𝑐=0, 𝑓=0, 𝑔=0, =0, 𝑖=1
  • E𝑏=0, =0, 𝑑=0, 𝑓=0, 𝑒=0

Q8:

On considère l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus trois. L'opérateur de dérivation 𝐷 est une application linéaire sur cet espace vectoriel. Détermine la matrice qui représente l'application linéaire 𝐿=𝐷+2𝐷+1 sur la base 1;𝑥;𝑥;𝑥.

  • A1100011000110001
  • B1120011600110001
  • C1000010000100001
  • D1100012000130001
  • E1220014600160001

Q9:

On considère l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus trois. L'opérateur de dérivation 𝐷 est une application linéaire sur cet espace vectoriel. Détermine la matrice qui représente l'application linéaire 𝐿=𝐷+5𝐷+4 sur la base 1;𝑥;𝑥;𝑥.

  • A1100012000130001
  • B4000040000400004
  • C4100042000430004
  • D410004100004150004
  • E452004106004150004

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